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something知識網(wǎng)絡(luò)單位向量及零向量平行向量和共線向量平行與垂直的條件向量向量有關(guān)概念向量的運(yùn)算基本應(yīng)用向量的定義相等向量及相反向量向量的加法向量的減法實(shí)數(shù)和向量的積向量的數(shù)量積求長度求角度一、向量的概念1、向量：既有

，又有

的量叫做向量。大小方向二、向量的表示1、代數(shù)字母表示：2、幾何有向表示：（有向線段、作圖）3、坐標(biāo)表示：（綜合運(yùn)算）xyO(x,y)Axy（可運(yùn)算）向量的兩要素：大小方向和（與位置無關(guān)，沒有大?。┤讉€特點(diǎn)向量3、相等向量：

的向量叫相等向量。

長度為1任意的平行2、單位向量：

的向量叫單位向量。記作

。

1、零向量：

的向量叫零向量。記作

，

零向量的方向是

，零向量與任意向量

。

4、相反向量：

的向量叫相反向量。

5、平行向量：

的向量叫平行向量。

注意：共線向量也稱平行向量長度為零長度相等，方向相反長度相等，方向相同表示向量的一些有向線段，平行或在一直線上6、請說出以上向量的相互關(guān)系？三、向量的運(yùn)算（一）向量的加法ABC三角形法則：ABCD平行四邊形法則：ab2、坐標(biāo)運(yùn)算：1、作圖（二）向量的減法2、坐標(biāo)運(yùn)算：1、作圖平行四邊形法則：abab+ab+（1）長度：（2）方向：

（三）數(shù)乘向量4、平面向量基本定理1、平面向量數(shù)量積的定義：2、數(shù)量積的幾何意義：OABθB1(四)數(shù)量積4、運(yùn)算律:3、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算①e·a=a·e=|a|cosθ②a⊥ba·b=0③a，b同向a·b=|a||b|反向時a·b=-|a|·|b|

a2=a·a=|a|2(a·a=)④cosθ=⑤|a·b|≤|a|·|b|平面向量的數(shù)量積a·b的性質(zhì):四、向量垂直的判定五、向量平行的判定(共線向量的判定)六、向量的長度七、向量的夾角向量表示坐標(biāo)表示向量表示坐標(biāo)表示特別注意：由此，當(dāng)需要判斷或證明兩向量夾角為銳角或鈍角時，應(yīng)排除夾角為0或的情況，也就是要進(jìn)一步說明兩向量不共線。例1e1、e2不共線，a=e1+e2b=3e1－3e2a與b是否共線。典型例題分析:解：假設(shè),a與b共線則

e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe21=3λ1=-3λ

這樣λ不存在。

∴a與b不共線。例2設(shè)a，b是兩個不共線向量。AB=2a+kbBC=a+bCD=a-2bA、B、D共線則k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb2=2λλ=-1k=-λk=-1∴k=-1∴例3、已知a=(3,-2)

b=(-2,1)c=(7,-4)，用a、b表示c。解：c=ma+nb

(7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1)3m-2n=7m=1-2m+n=-4n=-2

c=a-2b例4、|a|=10b=(3,-4)且a∥b求a解：設(shè)a=(x,y)

則x2+y2=100

-4x-3y=0x=6x=-6y=-8y=8

a=(6,-8)或(-6,8)例5、設(shè)|a|=|b|=1|3a-2b|=3則|3a+b|=____解：法1

a=(x1y1)b=(x2,y2)

x12+y12=1x22+y22=1

3a-2b=3(x1,y1)-2(x2,y2)=(3x1-2x2,3y1-2y2)∴9(x12+y12)+4(x12+y12)-12(x1x2+y1y2)=9x1x2+y1y2=

3a+b=3(x1,y1)+(x2,y2)=(3x1+x2,3y1+y2)|3a+b|2=(3x1+x2)2+(3y1+y2)2=9(x12+y12)+(x22+y22)+6(x1x2+y1y2)=12∴(3a+b)=2法29=9a2+4b2-12a·b∴a·b=

又,(3a+b)2=9a2+b2+6a·b=12

∴|3a+b|=2解：∵∴同理可得

∴θ=120°（1）k=19（2）,反向[解][答案]

C[解]考點(diǎn)歸納

1、向量的概念

2、實(shí)數(shù)與向量的積

3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

4、線段的定比分點(diǎn)

5、平面向量的數(shù)量積練習(xí)一、選擇題：1、如圖所示，G為ABC的重心，則GA+GB-GC等于（）

A.0

B.GEC.4GD

D.4GF2、若a=(λ,2)，b=(-3,5)，且a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是()A.λ>B.λ≥C.λ<D.λ≤3、已知|a|=18,|b|=1,a·b=-9，則a和b的夾角θ是（

）

A.120。B.150。C.60。D.30。ABDCGFEDAA4、已知|a|=|b|=1,a與b的夾角為90。，c=2a+3b,d=ka-4b,c⊥d,k=（）

A.-6

B.6

C.3

D.-35、已知|a|=3,|b|=4,(a+b)·(a+3b)=33，則a與b的夾角為（）

A.30。B.60。C.120。D.150。6.若|a-b|=,|a|=4,|b|=5,則a·b=()A.10B.-10C.10D.10BCA二、解答題：7、已知e1與e2是夾角為60。的單位向量，且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,求a·b及a與b的夾角α。解：e1,e2是單位向量，且夾角為60。

∴e1.e2=|e1||e2|cos60。=∴a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6|e12|+e1·e2+2e22=-3而|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1·e2+e22=7|b|2=b2=(-3e1+2e2)2=9e12-2e1·e2+4e22=7|a|=|b|=∴cosα=α=120。8、（1）已知a,b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直,a-4b與7a-2b垂直，求a與b的夾角；(2)已知|a|=,|b|=，且a與b的夾角為，試求a+2b與a-b的夾角θ的大小。解：（1）(a+3b)·(7a-5b)=0(a-4b)·(7a-2b)=07a+16a·b-15b=07a2-30a·b+8b2=0a2=b22a·b=b2∴cosθ=θ=60。（2）a2=3b2=4|a|·|b|=2a·b=|a|·|b|cosθ=·cos30。=39、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC邊上的高為AD。（1）求證：AB⊥AC；（2）求點(diǎn)D和向量AD的坐標(biāo)；（3）求證：AD2=BD·DC解：（1）A(2,4)B(-1,-2)C(4,3)AB=(-3,-6)AC=(2,-1)AB·AC=(-3)×2+(-6)×(-1)=0AB⊥AC（2）D(x,y)AD=(x-2,y-4)BC=(5,5)BD=(x+1,y+2)AD⊥BC∴AD·BC=05(x-2)+5(y-4)=0又B、D、C共線

∴5×(x+1)-5(y+2)=0x+y-6=0x=D(,)x-y-1=0y=AD=(,-)經(jīng)常不斷地學(xué)習(xí),你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKn