空間幾何角度計算練習(xí)題空間幾何中的角度計算，是立體幾何學(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，它不僅要求我們具備清晰的空間想象能力，還需要熟練運(yùn)用各種定理與方法將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決。以下為你精心準(zhǔn)備了一系列練習(xí)題，涵蓋了空間中常見的線線角、線面角及面面角的計算，希望能幫助你鞏固相關(guān)知識，提升解題技能。一、異面直線所成角題目1：在棱長為\(a\)的正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，求異面直線\(A_1B\)與\(AC\)所成角的大小。分析與提示：正方體是空間幾何中最基本的模型之一，其各棱、各面對角線之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系相對明確，是解決異面直線所成角問題的良好載體。求異面直線所成角，常用的方法是平移法，即通過平移其中一條或兩條直線，使其相交，轉(zhuǎn)化為相交直線所成的銳角或直角。此外，向量法也是一種行之有效的工具，通過求兩條直線方向向量的夾角來得到異面直線所成角。解答過程：方法一（幾何法）：連接\(A_1C_1\)和\(BC_1\)。在正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(AA_1\parallelCC_1\)且\(AA_1=CC_1\)，故四邊形\(AA_1C_1C\)為平行四邊形，因此\(AC\parallelA_1C_1\)。所以，異面直線\(A_1B\)與\(AC\)所成的角即為直線\(A_1B\)與\(A_1C_1\)所成的角，即\(\angleBA_1C_1\)（或其補(bǔ)角，根據(jù)圖形判斷應(yīng)為銳角）。在\(\triangleA_1BC_1\)中，\(A_1B=A_1C_1=BC_1\)（均為正方體面對角線），故\(\triangleA_1BC_1\)為等邊三角形。因此，\(\angleBA_1C_1=60^\circ\)，即異面直線\(A_1B\)與\(AC\)所成角為\(60^\circ\)。方法二（向量法）：以點(diǎn)\(D\)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以\(DA,DC,DD_1\)所在直線為\(x,y,z\)軸建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)正方體棱長為\(a\)，則各點(diǎn)坐標(biāo)為：\(A(a,0,0)\)，\(C(0,a,0)\)，\(A_1(a,0,a)\)，\(B(a,a,0)\)。向量\(\overrightarrow{A_1B}=(0,a,-a)\)，向量\(\overrightarrow{AC}=(-a,a,0)\)。設(shè)異面直線\(A_1B\)與\(AC\)所成角為\(\theta\)，則：\[\cos\theta=\frac{|\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{A_1B}|\cdot|\overrightarrow{AC}|}=\frac{|0\times(-a)+a\timesa+(-a)\times0|}{\sqrt{0^2+a^2+(-a)^2}\cdot\sqrt{(-a)^2+a^2+0^2}}=\frac{|a^2|}{\sqrt{2a^2}\cdot\sqrt{2a^2}}=\frac{a^2}{2a^2}=\frac{1}{2}\]因?yàn)閈(\theta\in(0^\circ,90^\circ]\)，所以\(\theta=60^\circ\)。小結(jié)與拓展：本題兩種方法均較為常用。幾何法需要較強(qiáng)的空間想象力和作輔助線的技巧；向量法則更具程序性，關(guān)鍵在于建立合適的坐標(biāo)系并準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo)。對于正方體這類規(guī)則幾何體，向量法往往能事半功倍。思考一下，如果將題目中的“\(A_1B\)”換成“\(B_1D\)”，結(jié)果又會如何？二、直線與平面所成角題目2：在三棱錐\(P-ABC\)中，\(PA\perp\)平面\(ABC\)，\(AB\perpBC\)，\(PA=AB=BC=1\)，求直線\(PC\)與平面\(PAB\)所成角的正弦值。分析與提示：直線與平面所成角，其定義是直線與其在平面上的射影所成的銳角。因此，解決此類問題的關(guān)鍵在于找到直線在平面內(nèi)的射影。通常，我們需要過直線上一點(diǎn)（非斜足）作平面的垂線，垂足與斜足的連線即為射影。向量法同樣適用，直線與平面所成角\(\theta\)的正弦值等于直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦值的絕對值，即\(\sin\theta=|\cos\langle\vec{a},\vec{n}\rangle|\)。解答過程：方法一（幾何法）：因?yàn)閈(PA\perp\)平面\(ABC\)，且\(BC\subset\)平面\(ABC\)，所以\(PA\perpBC\)。又因?yàn)閈(AB\perpBC\)，且\(PA\capAB=A\)，\(PA,AB\subset\)平面\(PAB\)，所以\(BC\perp\)平面\(PAB\)。設(shè)\(C\)在平面\(PAB\)上的射影為\(B\)（因?yàn)閈(CB\perp\)平面\(PAB\)），則\(PB\)為\(PC\)在平面\(PAB\)上的射影。因此，\(\angleCPB\)即為直線\(PC\)與平面\(PAB\)所成的角。在\(\text{Rt}\trianglePAB\)中，\(PA=AB=1\)，所以\(PB=\sqrt{PA^2+AB^2}=\sqrt{2}\)。在\(\text{Rt}\trianglePBC\)中，\(BC=1\)，\(PB=\sqrt{2}\)，則\(PC=\sqrt{PB^2+BC^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}=\sqrt{3}\)。所以，\(\sin\angleCPB=\frac{BC}{PC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)。方法二（向量法）：以\(A\)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以\(AB,AP\)所在直線為\(y\)軸、\(z\)軸，過\(A\)作與\(AB\)垂直的直線為\(x\)軸，建立空間直角坐標(biāo)系。由已知可得各點(diǎn)坐標(biāo)：\(A(0,0,0)\)，\(B(0,1,0)\)，\(P(0,0,1)\)。因?yàn)閈(AB\perpBC\)，\(AB\)在\(y\)軸上，設(shè)\(C(x,1,0)\)，又因?yàn)閈(BC=1\)，\(B(0,1,0)\)，所以\(\sqrt{(x-0)^2+(1-1)^2+(0-0)^2}=|x|=1\)，不妨取\(x=1\)（取\(x=-1\)結(jié)果相同），則\(C(1,1,0)\)。向量\(\overrightarrow{PC}=(1,1,-1)\)。平面\(PAB\)的法向量：因?yàn)閈(PA\perp\)平面\(ABC\)，\(AB\subset\)平面\(ABC\)，所以\(PA\perpAB\)，又\(x\)軸\(\perpAB\)，\(x\)軸\(\perpPA\)，故\(x\)軸垂直于平面\(PAB\)，可取平面\(PAB\)的一個法向量\(\vec{n}=(1,0,0)\)。設(shè)直線\(PC\)與平面\(PAB\)所成角為\(\theta\)，則：\[\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{PC},\vec{n}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{PC}\cdot\vec{n}|}{|\overrightarrow{PC}|\cdot|\vec{n}|}=\frac{|1\times1+1\times0+(-1)\times0|}{\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}\cdot\sqrt{1^2+0^2+0^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}\times1}=\frac{\sqrt{3}}{3}\]小結(jié)與拓展：本題中，幾何法通過分析線面垂直關(guān)系，直接找到了射影，過程簡潔。向量法則通過建立坐標(biāo)系，將幾何問題代數(shù)化。當(dāng)幾何體較為規(guī)整，易于建系時，向量法優(yōu)勢明顯。若將“\(PA=AB=BC=1\)”改為“\(PA=a,AB=b,BC=c\)”，你還能順利求解嗎？三、二面角題目3：在四棱錐\(S-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是邊長為1的正方形，\(SA\perp\)底面\(ABCD\)，\(SA=2\)，求二面角\(C-SB-D\)的余弦值。分析與提示：二面角的計算是空間幾何中的難點(diǎn)。常見的方法有：定義法（直接作出二面角的平面角）、三垂線定理（或逆定理）法、垂面法以及向量法。其中，向量法通過計算兩個半平面法向量的夾角（或其補(bǔ)角）來得到二面角的大小，是目前較為流行且操作性較強(qiáng)的方法。定義法和三垂線定理法則需要較強(qiáng)的空間構(gòu)造能力，要能準(zhǔn)確找到二面角的平面角。解答過程：方法（向量法）：以\(A\)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以\(AB,AD,AS\)所在直線為\(x,y,z\)軸建立空間直角坐標(biāo)系。則各點(diǎn)坐標(biāo)為：\(A(0,0,0)\)，\(B(1,0,0)\)，\(C(1,1,0)\)，\(D(0,1,0)\)，\(S(0,0,2)\)。向量\(\overrightarrow{SC}=(1,1,-2)\)，\(\overrightarrow{SB}=(1,0,-2)\)，\(\overrightarrow{SD}=(0,1,-2)\)。設(shè)平面\(SBC\)的法向量為\(\vec{n_1}=(x_1,y_1,z_1)\)，平面\(SBD\)的法向量為\(\vec{n_2}=(x_2,y_2,z_2)\)。對于平面\(SBC\)：\[\begin{cases}\vec{n_1}\cdot\overrightarrow{SB}=0\\\vec{n_1}\cdot\overrightarrow{SC}=0\end{cases}\implies\begin{cases}x_1-2z_1=0\\x_1+y_1-2z_1=0\end{cases}\]由第一個方程得\(x_1=2z_1\)，代入第二個方程得\(2z_1+y_1-2z_1=y_1=0\)。令\(z_1=1\)，則\(x_1=2\)，\(y_1=0\)，所以\(\vec{n_1}=(2,0,1)\)。對于平面\(SBD\)：向量\(\overrightarrow{SB}=(1,0,-2)\)，\(\overrightarrow{SD}=(0,1,-2)\)。\[\begin{cases}\vec{n_2}\cdot\overrightarrow{SB}=0\\\vec{n_2}\cdot\overrightarrow{SD}=0\end{cases}\implies\begin{cases}x_2-2z_2=0\\y_2-2z_2=0\end{cases}\]解得\(x_2=2z_2\)，\(y_2=2z_2\)。令\(z_2=1\)，則\(x_2=2\)，\(y_2=2\)，所以\(\vec{n_2}=(2,2,1)\)。設(shè)二面角\(C-SB-D\)的大小為\(\theta\)，則\(\theta\)為平面\(SBC\)與平面\(SBD\)所成的角，其大小等于\(\vec{n_1}\)與\(\vec{n_2}\)夾角或其補(bǔ)角。\[\cos\langle\vec{n_1},\vec{n_2}\rangle=\frac{\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}=\frac{2\times2+0\times2+1\times1}{\sqrt{2^2+0^2+1^2}\cdot\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}\cdot3}=\frac{5}{3\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{3}\]接下來判斷二面角是銳角還是鈍角。我們可以觀察圖形或取半平面內(nèi)的點(diǎn)來判斷法向量的方向。取點(diǎn)\(C(1,1,0)\)和點(diǎn)\(D(0,1,0)\)，它們分別在二面角的兩個半平面內(nèi)。向量\(\overrightarrow{AC}=(1,1,0)\)，\(\overrightarrow{AD}=(0,1,0)\)。計算\(\vec{n_1}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times1+0\times1+1\times0=2>0\)，\(\vec{n_2}\cdot\overrightarrow{AD}=2\times0+2\times1+1\times0=2>0\)，說明兩個法向量都指向二面角的外部或內(nèi)部，因此二面角\(C-SB-D\)的大小等于\(\langle\vec{n_1},\vec{n_2}\rangle\