五年（2021-2025）高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題01集合與常用邏輯用語考點(diǎn)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1：集合的交并補(bǔ)運(yùn)算（5年5考）2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷、1、集合與充分必要條件相關(guān)內(nèi)容是每年高考的必考板塊。在題型方面，主要以選擇題形式呈現(xiàn)。就考查情況而言，其內(nèi)容、頻率、題型及難度都較為穩(wěn)定，未出現(xiàn)較大波動(dòng)。2、該部分重點(diǎn)聚焦于集合間的基本運(yùn)算，其中集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算是考查的核心要點(diǎn)?？忌枋炀氄莆者@些運(yùn)算規(guī)則，能夠準(zhǔn)確判斷不同集合在交、并、補(bǔ)運(yùn)算下的結(jié)果。此外，充分必要條件的判斷也是重要考查內(nèi)容?？忌逦斫獬浞謼l件、必要條件以及充要條件的概念，并能依據(jù)具體條件關(guān)系進(jìn)行準(zhǔn)確判斷。備考時(shí)，考生應(yīng)針對(duì)這些重點(diǎn)內(nèi)容加強(qiáng)練習(xí)，提升解題能力，以從容應(yīng)對(duì)高考相關(guān)題目?？键c(diǎn)2：充分必要條件的判斷（5年5考）2025北京卷、2024北京卷、2023北京卷、2022北京卷、2021北京卷、考點(diǎn)3：新定義問題（5年2考）2025北京卷、2024北京卷考點(diǎn)01集合的交并補(bǔ)運(yùn)算1．（2025·北京·高考真題）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，故選：D.2．（2024·北京·高考真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意得.故選：C.3．（2023·北京·高考真題）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，，，根據(jù)交集的運(yùn)算可知，.故選：A4．（2022·北京·高考真題）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由補(bǔ)集定義可知：或，即，故選：D．5．（2021·北京·高考真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意可得：.故選：B.考點(diǎn)02充分必要條件的判斷6．（2025·北京·高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，則“的值域?yàn)椤笔恰皩?duì)任意，存在，使得”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t對(duì)任意，一定存在，使得，取，則，充分性成立；取，，則對(duì)任意，一定存在，使得，取，則，但此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)椋匾圆怀闪?；所以“的值域?yàn)椤笔恰皩?duì)任意，存在，使得”的充分不必要條件.故選：A.7．（2024·北京·高考真題）設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】因?yàn)椋傻?，即，可知等價(jià)于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，無法得出或，例如，滿足，但且，可知充分性不成立；綜上所述，“”是“或”的必要不充分條件.故選：B.8．（2023·北京·高考真題）若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】解法一：因?yàn)?，且，所以，即，即，所?所以“”是“”的充要條件.解法二：充分性：因?yàn)?，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因?yàn)?，且，所以，即，即，所?所以必要性成立.所以“”是“”的充要條件.解法三：充分性：因?yàn)?，且，所以，所以充分性成立；必要性：因?yàn)?，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成?所以“”是“”的充要條件.故選：C9．（2022·北京·高考真題）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當(dāng)時(shí)，；若，則，由可得，取，則當(dāng)時(shí)，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”；若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，取且，，假設(shè)，令可得，且，當(dāng)時(shí)，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”.所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的充分必要條件.故選：C.10．（2021·北京·高考真題）已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，故選：A.考點(diǎn)03新定義問題11．（2024·北京·高考真題）已知是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集.設(shè)是中兩點(diǎn)間距離的最大值，是表示的圖形的面積，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】對(duì)任意給定，則，且，可知，即，再結(jié)合x的任意性，所以所求集合表示的圖形即為平面區(qū)域，如圖陰影部分所示，其中，可知任意兩點(diǎn)間距離最大值，陰影部分面積.故選：C.12．（2025·北京·高考真題）已知集合，從M中選取n個(gè)不同的元素組成一個(gè)序列：，其中稱為該序列的第i項(xiàng)，若該序列的相鄰項(xiàng)滿足：或，則稱該序列為K列．(1)對(duì)于第1項(xiàng)為的K列，寫出它的第2項(xiàng)．(2)設(shè)為K列，且中的項(xiàng)滿足：當(dāng)i為奇數(shù)時(shí)，：當(dāng)i為偶數(shù)時(shí)，.判斷，能否同時(shí)為中的項(xiàng)，并說明理由；(3)證明：由M的全部元素組成的序列都不是K列．【解析】（1）根據(jù)題目定義可知，或，若第一項(xiàng)為，顯然或不符合題意（不在集合中），所以下一項(xiàng)是或；（2）假設(shè)二者同時(shí)出現(xiàn)在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨設(shè)在之前.顯然，在K列中，相鄰兩項(xiàng)的橫縱坐標(biāo)之和的奇偶性總是相反的，所以從到必定要向下一項(xiàng)走奇數(shù)次.但又根據(jù)題目條件，這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)均在中，所以從到必定要向下一項(xiàng)走偶數(shù)次.這導(dǎo)致矛盾，所以二者不能同時(shí)出現(xiàn)在中.（3）法1：若中的所有元素構(gòu)成K列，考慮K列中形如的項(xiàng)，這樣的項(xiàng)共有個(gè)，由題知其下一項(xiàng)為，共計(jì)16個(gè)，而，因?yàn)橹荒?由2來，3只能由7來，橫、縱坐標(biāo)不能同時(shí)相差4，這樣下一項(xiàng)只能有12個(gè)點(diǎn)，即對(duì)于16個(gè)，有12個(gè)與之相對(duì)應(yīng)，矛盾．綜上，由M的全部元素組成的序列都不是K列．法2：假設(shè)全體元素構(gòu)成一個(gè)K列，則.設(shè)，.則和都包含個(gè)元素，且中元素的相鄰項(xiàng)必定在中.如果存在至少兩對(duì)相鄰的項(xiàng)屬于，那么屬于的項(xiàng)的數(shù)目一定多于屬于的項(xiàng)的數(shù)目，所以至多存在一對(duì)相鄰的項(xiàng)屬于.如果存在，則這對(duì)相鄰的項(xiàng)的序號(hào)必定形如和，否則將導(dǎo)致屬于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)比屬于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)多2，此時(shí).從而這個(gè)序列的前項(xiàng)中，第奇數(shù)項(xiàng)屬于，第偶數(shù)項(xiàng)屬于；這個(gè)序列的后項(xiàng)中，第奇數(shù)項(xiàng)屬于，第偶數(shù)項(xiàng)屬于.如果不存在相鄰的屬于的項(xiàng)，那么也可以看作上述表示在或的特殊情況.這意味著必定存在，使得.由于相鄰兩項(xiàng)的橫縱坐標(biāo)之和的奇偶性必定相反，故中橫縱坐標(biāo)之和為奇數(shù)的點(diǎn)和橫縱坐標(biāo)之和為偶數(shù)的點(diǎn)的數(shù)量一定分別是和（不一定對(duì)應(yīng)）.但容易驗(yàn)證，和都包含個(gè)橫縱坐標(biāo)之和為奇數(shù)的點(diǎn)和個(gè)橫縱坐標(biāo)之和為偶數(shù)的點(diǎn)，所以，得.從而有.這就得到.再設(shè)，.則同理有.這意味著.從而得到，但顯然它們是不同的集合，矛盾.所以由M的全部元素組成的序列都不是K列．

1．（2025·北京·模擬預(yù)測(cè)）“”是“直線與圓相交”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由題知，圓的圓心為，半徑為1，設(shè)圓心到直線的距離為則，解得：.而為的真子集，故“”是“”的必要不充分條件，即“”是“直線與圓相交”的必要不充分條件，故選：B2．（2025·北京·三模）設(shè)是非零平面向量，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】根據(jù)題意，若，則與共線，不防假設(shè)，則對(duì)任意的都有，進(jìn)而成立，故無法判定，充分性不成立，若，則，所以，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B3．（2025·北京·三模）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，,則.故選：A4．（2025·北京朝陽(yáng)·二模）已知集合，集合，則集合（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】對(duì)于集合，，化簡(jiǎn)得，所以.所以集合.對(duì)于集合，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.所以集合.所以.故選：A.5．（2025·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榛?，又，所?故選：A.6．（2025·北京·二模）已知集合，集合，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，錯(cuò)誤，錯(cuò)誤，錯(cuò)誤，，所以，D正確，故選：D7．（2025·北京昌平·二模）已知全集，集合，，則=（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，則，又，所以.故選：B.8．（2025·北京朝陽(yáng)·二模）設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，得，解得或，由，得，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.9．（2025·北京海淀·二模）已知是非零平面向量，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】由，得，故必要性成立；由，得，得，不一定成立，故充分性不成立.所以“”是“”必要不充分條件.故選：B10．（2025·北京東城·一模）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由，則必有，由，則，可得，又，根據(jù)基本不等式有，若且，則有，即是的充分條件，若，則，此時(shí)滿足，但不成立，所以是的非必要條件，綜上，“”是“”的充分不必要條件.故選：A11．（2025·北京海淀·一模）已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列．若，則“是遞增數(shù)列”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】若是遞增數(shù)列，則對(duì)所有的正整數(shù)都成立，充分性：若是遞增數(shù)列，則即恒成立，又，，①若數(shù)列為無窮數(shù)列，若，則，時(shí)，，所以；若，則，時(shí)，，所以，此時(shí)充分性成立；②若數(shù)列為有窮數(shù)列，若，，只需即可，此時(shí)充分性不成立.必要性：時(shí)，若，有，則不一定成立，故必要性不成立；即時(shí)，“是遞增數(shù)列”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.12．（2025·北京豐臺(tái)·二模）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】集合，則.故選：A.13．（2025·北京海淀·二模）已知集合．若，且，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】由題意知，，因?yàn)?，所?故選：B14．（2025·北京東城·二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，且，則.故選：A15．（2025·北京·模擬預(yù)測(cè)）集合的所有三個(gè)元素的子集記為記為集合中的最大元素，則（

）A．10 B．40 C．45 D．50【答案】C【解析】由題知：，，，，，，，則故選：C16．（2025·北京豐臺(tái)·二模）已知是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集．設(shè)是中兩點(diǎn)間距離的最大值，是中的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，是表示的圖形的面積，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】對(duì)于①代入可得符合題意，故①正確；∵對(duì)恒過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此我們可知的點(diǎn)集是由曲線繞A點(diǎn)往上直到點(diǎn)掃過的區(qū)域，如圖：∴，故②正確；，，，故③錯(cuò)誤；有圖易得，故④正確.故選：C.17．（2025·北京·三模）已知整數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)均為m（m>2），且同時(shí)滿足以下兩個(gè)性質(zhì)：①；②記(1)若m=3，且，寫出的值；(2)記其中表示集合A中元素的最大值.（i）若，，求的最大值；（ii）當(dāng)時(shí)，若，求Q的最小值.【解析】（1）由題意可得，，所以.（2）（i）由②可得，兩個(gè)數(shù)列均值相等，則要使越大，則可考慮一組數(shù)據(jù)更集中，一組數(shù)據(jù)更分散，作為極端情況來考慮，此時(shí)要使取到最大值，對(duì)應(yīng)極端情況，取數(shù)列為1，3，5；取數(shù)列為2，3，4，則，下證：的最大值為2：法1：（反證法）假設(shè)，則，不妨設(shè)，若：因?yàn)?，所以，則，與性質(zhì)②矛盾，舍去；若：因?yàn)椋?，可得則，與性質(zhì)②矛盾，舍去；若：因?yàn)椋?，則，與性質(zhì)②矛盾，舍去．所以，同理可得，所以.取數(shù)列為1，3，5；取數(shù)列為2，3，4，則成立，所以的最大值為2．法2：（一般性證明）設(shè)，不妨設(shè)，則，所以，（7分）取數(shù)列為1，3，5；取數(shù)列為2，3，4，則成立，所以的最大值為2．法3：（枚舉法）取為1，2，3，則只能為1，2，3，此時(shí)；取為1，2，4，則只能為1，2，4，此時(shí)；取為1，2，5，則可能為1，2，5，也可能為1，3，4，此時(shí)或2；取為1，3，4，則可能為1，2，5，也可能為1，3，4，此時(shí)或2；取為1，3，5，則可能為1，3，5，也可能為2，3，4，此時(shí)或2；取為1，4，5，則可能為1，4，5，也可能為2，3，5，此時(shí)或2；取為2，3，4，則可能為2，3，4，也可能為1，3，5，此時(shí)或2；取為2，3，5，則可能為1，4，5，也可能為2，3，5，此時(shí)或2；取為2，4，5，則只能為2，4，5，此時(shí)；取為3，4，5，則只能為3，4，5，此時(shí)．綜上，的最大值為2．（ii）考慮極端情況，顯然，若為偶數(shù)，取為，取為則解得成立；若為奇數(shù)，取為，取為則解得，與為奇數(shù)矛盾，舍去，所以的最小值為30，當(dāng)為為11，12，13，14，15，16，17，18，19，20時(shí)取到．證明：記，則，，設(shè)則有，其中分別表示集合的元素個(gè)數(shù)由（i）可得，所以（＊）又因?yàn)?，所以，進(jìn)一步有，將代入（＊）中可得，再次代入（＊）中可得，解得，另一方面，當(dāng)為為11，12，13，14，15，16，17，18，19，20時(shí)．所以的最小值為30．18．（2025·北京海淀·二模）記表示有窮集合的元素個(gè)數(shù)．已知是正整數(shù)，集合．若集合序列滿足下列三個(gè)性質(zhì)，則稱是“平衡序列”：①，其中；②?，其中；③對(duì)于中的任意兩個(gè)不同元素，都存在唯一的，使得．(1)設(shè)，判斷下列兩個(gè)集合序列是否是“平衡序列”？（結(jié)論不要求證明）(2)已知且集合序列是“平衡序列”，對(duì)于，定義：證明：（i）當(dāng)時(shí)，；（ii）．【解析】（1）是平衡的，不是平衡的．理由：，，，滿足，顯然?，且對(duì)于中的任意兩個(gè)不同元素，，都存在唯一的，使得．故