五年（2021-2025）高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題11直線和圓的方程考點五年考情（2021-2025）命題趨勢直線與方程（5年3考）2025年求點到直線的距離2024年求平面兩點間的距離2022年求點到直線的距離直線和圓的方程相關(guān)內(nèi)容主要出現(xiàn)在選擇題、填空題中，偶爾在解答題中作為某一問的一部分或與其他知識綜合考查，分值一般為5分左右，若在解答題中考查，分值會有所增加。直線與圓的方程常與函數(shù)、方程、不等式、向量等知識相結(jié)合。圓與方程（5年2考）2023年由標準方程確定圓心和半徑、圓的一般方程與標準方程之間的互化2022年判斷直線與圓的位置關(guān)系、判斷圓與圓的位置關(guān)系考點01直線與方程1．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知，C在上，則的面積（

）A．有最大值，但沒有最小值 B．沒有最大值，但有最小值C．既有最大值，也有最小值 D．既沒有最大值，也沒有最小值【答案】A【知識點】利用函數(shù)單調(diào)性求最值或值域、求點到直線的距離〖祥解〗設(shè)出曲線上一點為，得出，將三角形的高轉(zhuǎn)化成關(guān)于的函數(shù),分析其單調(diào)性，從而求解.【詳析】設(shè)曲線上一點為，則，則，，方程為：，即，根據(jù)點到直線的距離公式，到的距離為：，設(shè)，由于，顯然關(guān)于單調(diào)遞減，，無最小值，即中，邊上的高有最大值，無最小值，又一定，故面積有最大值，無最小值.故選：A2．（2022·上?！じ呖颊骖}）設(shè)有橢圓方程，直線，下端點為A，M在l上，左、右焦點分別為.(1)，AM的中點在x軸上，求點M的坐標；(2)直線l與y軸交于B，直線AM經(jīng)過右焦點，在中有一內(nèi)角余弦值為，求b；(3)在橢圓上存在一點P到l距離為d，使，隨a的變化，求d的最小值.【答案】(1)(2)或(3)【知識點】求點到直線的距離、橢圓定義及辨析、根據(jù)a、b、c求橢圓標準方程、求橢圓中的最值問題〖祥解〗（1）由題意可得橢圓方程為，從而確定點的縱坐標，進一步可得點的坐標；（2）由直線方程可知，分類討論和兩種情況確定的值即可；（3）設(shè)，利用點到直線距離公式和橢圓的定義可得，進一步整理計算，結(jié)合三角函數(shù)的有界性求得即可確定的最小值．【詳析】（1）解：由題意可得，所以，的中點在軸上，的縱坐標為，代入得；（2）解：由直線方程可知，，①若，則，即，，.②若，則，，，，，即，，.綜上，或；（3）解：設(shè)，結(jié)合已知條件，由橢圓的定義及點到直線距離公式可得，顯然橢圓在直線的左下方，則，即，，，即，，整理可得，即，，即的最小值為．3．（2024·上?！じ呖颊骖}）已知雙曲線，左、右頂點分別為，過點的直線交雙曲線于兩點.(1)若的離心率為2，求.(2)若為等腰三角形，且點在第一象限，求點的坐標.(3)連接（為坐標原點）并延長交于點，若，求的最大值.【答案】(1)；(2)當時，；(3)的最大值為.【知識點】求平面兩點間的距離、根據(jù)離心率求雙曲線的標準方程、根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、根據(jù)韋達定理求參數(shù)〖祥解〗（1）根據(jù)離心率的概念求出，再求出即可；（2）如圖，易知為鈍角，則，根據(jù)兩點距離公式建立方程組，解之即可求解；（3）設(shè)，：，聯(lián)立雙曲線方程，利用韋達定理和平面向量數(shù)量積的坐標表示建立關(guān)于的方程，得，結(jié)合即可求解.【詳析】（1）由雙曲線的方程知，，因為離心率為2，所以，得.（2）當時，雙曲線，且.因為點在第一象限，所以為鈍角.又為等腰三角形，所以.設(shè)點，且，則得，所以.（3）由雙曲線的方程知，且由題意知關(guān)于原點對稱.設(shè)，則.由直線不與軸垂直，可設(shè)直線的方程為.聯(lián)立直線與雙曲線的方程得消去，得，且，即，得.，由，得，所以，即，整理得，所以，整理得，所以.又，所以，解得，所以，又，故的取值范圍是，故的最大值為.【『點石成金』】關(guān)鍵點『點石成金』：解圓錐曲線與平面向量交匯題的關(guān)鍵是設(shè)相關(guān)點的坐標，將平面向量用坐標表示，運用相應(yīng)的平面向量坐標運算法則（加、減、數(shù)量積、數(shù)乘）或運算律或數(shù)量積的幾何意義，將問題中向量間的關(guān)系（相等、垂直、平行等）轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系.考點02圓與方程4．（2022·上?！じ呖颊骖}）在平面直角坐標系中，已知關(guān)于點集的兩個結(jié)論：①存在直線l，使得集合中不存在點在直線l上，而存在點在l的兩側(cè)；②存在直線l，使得集合中存在無數(shù)個點在直線上.則下列判斷正確的是（

）A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立【答案】B【知識點】判斷直線與圓的位置關(guān)系、判斷圓與圓的位置關(guān)系〖祥解〗對于①只需要找一條直線，使得一部分圓在直線的方程，余下圓在直線的下方即可.對于②從極限的思想考慮.【詳析】對于①，取直線,則對于任意的，有，故圓均在直線的下方，而對任意的，有，故圓均在直線的上方，而當時，表示原點，它在直線的下方，故此時集合中所有的點均不在直線上，且存在點在直線的兩側(cè).所以①成立.對于②，設(shè)直線的方程為，則圓心到直線的距離為當時所以直線只能與有限個圓相交，所以②不成立.故選：B5．（2023·上?！じ呖颊骖}）已知圓的面積為，則．【答案】【知識點】由標準方程確定圓心和半徑、圓的一般方程與標準方程之間的互化〖祥解〗根據(jù)圓的面積求出圓的半徑，利用圓的標準方程求出半徑即可列方程求解.【詳析】圓化為標準方程為：，圓的面積為，圓的半徑為，，解得．故答案為：一、單選題1．（2025·上?！と＃┰O(shè)為實數(shù)，直線，直線，則“”是“平行”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分又不必要【答案】A〖祥解〗利用兩者之間推出的關(guān)系可得條件關(guān)系.【詳析】若，則直線，直線，此時平行，若平行，則即，當時，平行，當時，直線，直線，此時也平行，故平行時推不出，故“”是“平行”的充分不必要條件，故選：A.2．（2025·上海金山·二模）已知點在圓上，點在圓上，且為坐標原點.對于以下兩個命題，判斷正確的是（

）①在坐標平面內(nèi)存在點，使得恒成立；②三角形面積的最小值為.A．①是真命題，②是真命題 B．①是假命題，②是真命題C．①是真命題，②是假命題 D．①是假命題，②是假命題【答案】A〖祥解〗對于①，注意到，則可想到當時滿足題意；對于②，設(shè)，則，后由可得，利用三角函數(shù)知識可得，據(jù)此可判斷命題正誤.【詳析】，則當時，，，，即當時，恒成立，則①是真命題；設(shè)，則，又，則.因，則，則，令，則，即，則，其中，，則，因，則，則，則，故②是真命題.故選：A.【『點石成金』】關(guān)鍵『點石成金』：對于命題①，關(guān)鍵為注意到；對于命題②，難點在于確定的范圍，為此首先將看作整體，隨后將從相關(guān)等式中分離出來，最后利用三角函數(shù)的值域確定范圍.二、填空題3．（2025·上海浦東新·二模）設(shè)圓方程為，則圓的半徑為．【答案】〖祥解〗將圓的方程化為標準方程，可得出圓的半徑.【詳析】將圓的方程化為標準方程可得，故圓的半徑為.故答案為：.4．（2025·上海楊浦·模擬預測）設(shè).已知方程表示的曲線是一個圓，則的取值范圍為.【答案】〖祥解〗根據(jù)圓的標準方程性質(zhì)，將一般方程變形標準方程，求出范圍.【詳析】因為，變形得，所以，解得.故答案為：.5．（2025·上海·模擬預測）圓上的點到直線的距離最大值為.【答案】4〖祥解〗首先確定圓的圓心坐標和圓的半徑，然后確定直線與圓的位置關(guān)系，進而可求出圓上的點到直線的距離的最大值.【詳析】因為，所以圓心坐標為，半徑.所以圓上的點到的距離最大值為圓心到直線的距離加圓的半徑，即的長度.所以.故答案為：4.6．（2025·上海奉賢·二模）直線上的動點和直線上的動點，則點與點之間距離的最小值是．【答案】〖祥解〗利用平行線之間的距離公式求解即可.【詳析】直線和直線互相平行，故點與點之間距離的最小值即兩條直線間的距離，且兩條直線間的距離：.故答案為：7．（2025·上海嘉定·二模）直線與圓相交所得的弦長為．【答案】〖祥解〗首先確定圓心和半徑，應(yīng)用點線距離公式求圓心到直線的距離，再利用幾何法求相交弦長即可.【詳析】由，即，所以圓心為，半徑為，所以到的距離，綜上，直線與圓的相交弦長為.故答案為：8．（2025·上海奉賢·二模）已知是斜率為的直線的傾斜角，計算．【答案】〖祥解〗根據(jù)正切函數(shù)值求出角進而得出正弦值即可.【詳析】因為是斜率為的直線的傾斜角，所以，所以，所以．故答案為：.9．（2025·上海松江·二模）已知點為直線上的點，過點作圓的切線，切點為，則最大值為.【答案】/〖祥解〗結(jié)合圖象得到，問題轉(zhuǎn)化成求最小值即可求解.【詳析】圓的圓心，半徑，，當最小時，最大.的最小值為圓心到直線的距離，根據(jù)點到直線距離公式，所以.故答案為：.

10．（2025·上海黃浦·三模）直線，直線，若，則．【答案】1〖祥解〗利用直線平行的判定列方程求參數(shù)值，注意驗證.【詳析】由題設(shè)及，有，則，所以或，當，則，重合，不符合；當，則，，符合.所以.故答案為：111．（2025·上?！と＃┤羰侵本€的一個法向量，則直線的傾斜角大小為．【答案】〖祥解〗根據(jù)直線的方向向量求出直線的斜率，即可得出該直線的傾斜角.【詳析】因為是直線的一個法向量，故直線的斜率為，則該直線的傾斜角為．故答案為：.12．（2025·上海徐匯·三模）直線m過點且法向量，則直線m的點法向式方程為.【答案】〖祥解〗根據(jù)直線所過的點及法向量寫出點法式方程即可.【詳析】由題設(shè)，直線m的點法向式方程為.故答案為：13．（2025·上海黃浦·二模）已知為常數(shù)，圓與圓有公共點，當取到最小值時，的值為．【答案】1〖祥解〗根據(jù)給定條件，求出兩圓的圓心距，利用兩圓有公共點的條件建立不等式求解.【詳析】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑為1，由兩圓有公共點，得，，當且僅當時取等號，當時，取得最小值，取得最小值，此時兩圓外切，滿足兩圓有公共點，所以當取到最小值時，的值為1.故答案為：114．（2025·上海楊浦·三模）已知三角形的，則三角形的面積的取值范圍是．【答案】〖祥解〗以為坐標原點所在直線為軸建立平面直角坐標系，設(shè)出點坐標，根據(jù)列等式，即可得到的軌跡.再求點到的距離范圍即可得到三角形的面積的取值范圍.【詳析】以為坐標原點所在直線為軸建立平面直角坐標系，設(shè)，.因為，所以，化簡得，則點的軌跡為以為圓心，半徑為的圓（除去兩點）.則點到直線的最大距離即為半徑，此時三角形的面積.又點到直線的距離可趨近于，所以三角形的面積的取值范圍為.故答案為：15．（2025·上海浦東新·三模）已知復數(shù)滿足，則（i是虛數(shù)單位）的最小值為.【答案】〖祥解〗確定復數(shù)的軌跡，結(jié)合點到線的距離公式即可求解.【詳析】設(shè)，則由可得：，則，即或的幾何意義為射線上的點與的距離，結(jié)合圖像可知：到的距離即為最小值，最小值為：，故答案為：16．（2025·上海浦東新·模擬預測）已知直線過點，且上至少有一點到點的距離為2，則的傾斜角的最大值為.【答案】〖祥解〗依題意，直線l與以為圓心，2為半徑作圓C至少有一個交點，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求出直線傾斜角的范圍即可.【詳析】以為圓心，2為半徑作圓C，如圖所示，依題意直線l與圓C至少有一個交點，①當直線l的科率不存在時，直線l與圓C有2個交點，此時直線l的傾斜角；②當直線l的斜率存在時，設(shè)為，則，即依題意，解得或，此時直線l的傾斜角綜上所述，直線l的傾斜角，故直線l的傾斜角的最大值為．故答案為：17．（2025·上海松江·二模）設(shè)向量，記.若點為圓：上任意三點，且滿足，則的取值范圍是.【答案】〖祥解〗設(shè)，，根據(jù)題意可得為圓的直徑，得，將求范圍問題轉(zhuǎn)化為直線與圓相切的問題.【詳析】將圓化為標準方程，圓心，半徑.因為，所以為圓的直徑.設(shè)，.由.因為為直徑，所以，則.令，即，且，當直線與圓相切時，取得最值.根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑，可得，解得或，所以，則的取值范圍是.故答案為：.三、解答題18．（2025·上?！つM預測）已知拋物線：，圓：，O為坐標原點.(1)求拋物線的焦點坐標和準線方程；(2)已知點，M、N是拋物線上的兩個點，滿足直線，均與圓C相切，判斷并證明直線與圓C的位置關(guān)系；(3)若直線l：分別與拋物線交于點，，與圓C交于點、，且與面積相等，求m的取值范圍.【答案】(1)焦點坐標為，準線方程為；(2)相切，證明見詳析；(3).〖祥解〗（1）根據(jù)拋物線性質(zhì)直接可得；（2）設(shè)出直線，的方程，聯(lián)立拋物線方程求出坐標，從而得到直線的方程，利用圓心到直線的距離與半徑關(guān)系可得；（3）根據(jù)面積公式可得，進而可得，直線方程分別聯(lián)立拋物線方程和圓方程，利用韋達定理建立和的關(guān)系，結(jié)合判別式求出范圍，然后可得范圍.【詳析】（1）由拋物線方程可知，拋物線開口向上，其中，所以拋物線焦點為，準線方程為.（2）直線與圓相切，證明如下：易知直線，的斜率存在，圓的圓心為，半徑，設(shè)過點與圓相切的直線方程為，即則，解得，不妨記直線方程為，直線方程為，設(shè)，聯(lián)立得，則，即，所以，聯(lián)立得，則，即，所以，所以，所以的方程為，整理得，因為圓心到直線的距離為，所以直線與圓C相切.（3）記原點到直線的距離為，因為，所以，即，所以，所以線段和的中點重合，聯(lián)立得，則，，聯(lián)立得（*），則，，因為線段和的中點重合，所以，因為，所以，因為，所以，又，所以，得，由（*）整理得，將代入整理得：，解得，綜上，，所以，即m的取值范圍為.19．（2025·上?！つM預測）在平面直角坐標系中，已知橢圓:的右頂點為，點、分別是軸負半軸、軸正半軸上的動點.(1)若是的左焦點，且，求的值；(2)設(shè)，上存在軸上方一點.若，求的坐標；(3)設(shè)，過的直線與交于、兩點(、兩點不重合)，與軸交于且的縱坐標，記與到直線的距離分別為、.若存在直線，滿足成立，求的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)〖祥解〗（1）根據(jù)計算求參；（2）設(shè)點的坐標結(jié)合兩角和正切，應(yīng)用點在橢圓上計算；（3）設(shè)直線方程再聯(lián)立得出韋達定理，再結(jié)合點到直線距離分類討論計算求出參數(shù)范圍.【詳析】（1）因為與的左焦點重合，故，因此.又因為，而，所以，解得：(負舍).（2）因為，又因為，而，代入解得.若在第一象限，則，故在第二象限.設(shè)，而，整理可得.代入橢圓方程，可得：.所以解得(增根舍去)，所以.因此.（3）由題意可知：直線的解析式為，設(shè)直線的解析式為()，且、.聯(lián)立，可得，.根據(jù)韋達定理，，.

因為、兩點均在直線的左側(cè)，故.又因為，，因此，代入化簡可得