競賽數學導數題庫及答案

一、單項選擇題1.函數\(y=x^3\)在點\((1,1)\)處的導數是（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)答案：C2.若函數\(f(x)=e^x\)，則\(f^\prime(0)\)等于（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(e\)D.\(\frac{1}{e}\)答案：B3.函數\(y=\sinx\)的導數\(y^\prime\)是（）A.\(\cosx\)B.\(-\cosx\)C.\(\sinx\)D.\(-\sinx\)答案：A4.已知函數\(f(x)=x^2+3x\)，則\(f^\prime(2)\)的值為（）A.\(7\)B.\(5\)C.\(6\)D.\(8\)答案：A5.函數\(y=\frac{1}{x}\)的導數為（）A.\(\frac{1}{x^2}\)B.\(-\frac{1}{x^2}\)C.\(\frac{1}{x}\)D.\(-\frac{1}{x}\)答案：B6.若\(f(x)=x\lnx\)，則\(f^\prime(x)\)等于（）A.\(\lnx+1\)B.\(\lnx-1\)C.\(\frac{1}{x}\)D.\(x\)答案：A7.函數\(y=\cos(2x)\)的導數是（）A.\(-2\sin(2x)\)B.\(2\sin(2x)\)C.\(-\sin(2x)\)D.\(\sin(2x)\)答案：A8.已知\(f(x)=e^{2x}\)，則\(f^\prime(x)\)為（）A.\(e^{2x}\)B.\(2e^{2x}\)C.\(e^x\)D.\(2e^x\)答案：B9.函數\(y=x^4-2x^2+3\)的導數\(y^\prime\)是（）A.\(4x^3-4x\)B.\(4x^3-2x\)C.\(x^3-4x\)D.\(x^3-2x\)答案：A10.若\(f(x)=\frac{\sinx}{x}\)，則\(f^\prime(x)\)等于（）A.\(\frac{x\cosx-\sinx}{x^2}\)B.\(\frac{x\cosx+\sinx}{x^2}\)C.\(\frac{\cosx-\sinx}{x^2}\)D.\(\frac{\cosx+\sinx}{x^2}\)答案：A二、多項選擇題1.下列函數求導正確的是（）A.若\(y=x^5\)，則\(y^\prime=5x^4\)B.若\(y=\cosx\)，則\(y^\prime=-\sinx\)C.若\(y=e^x\)，則\(y^\prime=e^x\)D.若\(y=\lnx\)，則\(y^\prime=\frac{1}{x}\)答案：ABCD2.已知函數\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\)（\(a\neq0\)），其導數\(f^\prime(x)\)具有以下性質（）A.\(f^\prime(x)\)是二次函數B.\(f^\prime(x)\)的對稱軸為\(x=-\frac{3a}\)C.當\(a\gt0\)時，\(f^\prime(x)\)有最小值D.\(f^\prime(x)\)的零點個數可能為\(0\)、\(1\)、\(2\)答案：ACD3.對于函數\(y=\sin(3x)\)，以下說法正確的是（）A.它的導數\(y^\prime=3\cos(3x)\)B.它的周期是\(\frac{2\pi}{3}\)C.它是奇函數D.它的圖象關于點\((\frac{\pi}{3},0)\)對稱答案：ABC4.若函數\(f(x)\)和\(g(x)\)都可導，且\(y=f(x)g(x)\)，則（）A.\(y^\prime=f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x)\)B.\(y^\prime=f^\prime(x)g^\prime(x)\)C.當\(f(x)=g(x)\)時，\(y^\prime=2f(x)f^\prime(x)\)D.當\(g(x)=1\)時，\(y^\prime=f^\prime(x)\)答案：ACD5.函數\(y=\frac{1}{x^2+1}\)的導數\(y^\prime\)的相關性質有（）A.\(y^\prime=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}\)B.\(y^\prime\)在\((-\infty,0)\)上大于\(0\)C.\(y^\prime\)在\((0,+\infty)\)上小于\(0\)D.\(y^\prime\)有最大值答案：ABC6.已知\(f(x)=\ln(x^2+1)\)，則（）A.\(f^\prime(x)=\frac{2x}{x^2+1}\)B.\(f(x)\)是偶函數C.\(f(x)\)在\((0,+\infty)\)上單調遞增D.\(f(x)\)的值域是\([0,+\infty)\)答案：ABC7.設函數\(f(x)=x^3-3x\)，則（）A.\(f^\prime(x)=3x^2-3\)B.\(f(x)\)的極值點為\(x=\pm1\)C.\(f(x)\)在\((-\infty,-1)\)上單調遞增D.\(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上單調遞減答案：ABC8.對于函數\(y=e^{-x}\)，下列說法正確的是（）A.它的導數\(y^\prime=-e^{-x}\)B.它在\(R\)上單調遞減C.它的圖象恒在\(x\)軸上方D.當\(x\to+\infty\)時，\(y\to0\)答案：ABCD9.若\(f(x)\)的導數\(f^\prime(x)\)滿足\(f^\prime(x)\gt0\)在區(qū)間\((a,b)\)上恒成立，則（）A.\(f(x)\)在\((a,b)\)上單調遞增B.\(f(x)\)在\((a,b)\)上的圖象是上升的C.\(f(x)\)在\((a,b)\)上沒有極值點D.\(f(x)\)在\((a,b)\)上的最小值為\(f(a)\)答案：ABC10.函數\(y=\tanx\)的導數及相關性質有（）A.\(y^\prime=\sec^2x\)B.\(y=\tanx\)的周期是\(\pi\)C.\(y=\tanx\)是奇函數D.\(y=\tanx\)在\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)上單調遞增答案：ABCD三、判斷題1.函數\(y=5\)的導數是\(0\)。（）答案：對2.若\(f(x)=x^n\)（\(n\)為正整數），則\(f^\prime(x)=nx^{n-1}\)。（）答案：對3.函數\(y=\ln(-x)\)的導數是\(\frac{1}{x}\)。（）答案：錯。導數是\(\frac{1}{-x}\times(-1)=\frac{1}{x}\)（\(x\lt0\)），原表述沒考慮定義域等條件，錯誤。4.函數\(y=\sin^2x\)的導數是\(2\sinx\)。（）答案：錯。\(y=\sin^2x\)，令\(u=\sinx\)，\(y=u^2\)，則\(y^\prime=2u\cosx=2\sinx\cosx\)，原表述錯誤。5.若\(f(x)\)和\(g(x)\)都可導，且\(y=f(x)+g(x)\)，則\(y^\prime=f^\prime(x)+g^\prime(x)\)。（）答案：對6.函數\(y=e^{x^2}\)的導數是\(2xe^{x^2}\)。（）答案：對7.函數\(y=\cosx\)在\((0,\pi)\)上單調遞增。（）答案：錯。\(y=\cosx\)在\((0,\pi)\)上單調遞減。8.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)一定是\(f(x)\)的極值點。（）答案：錯。\(f^\prime(x_0)=0\)，\(x_0\)不一定是極值點，比如\(f(x)=x^3\)，\(f^\prime(0)=0\)，但\(x=0\)不是極值點。9.函數\(y=\frac{1}{x-1}\)的導數是\(-\frac{1}{(x-1)^2}\)。（）答案：對10.函數\(y=\lnx\)在\((0,+\infty)\)上的圖象是上凸的。（）答案：對四、簡答題1.求函數\(y=(2x+1)^5\)的導數。答案：令\(u=2x+1\)，則\(y=u^5\)。根據復合函數求導法則，先對\(y\)關于\(u\)求導得\(y^\prime_u=5u^4\)，再對\(u\)關于\(x\)求導得\(u^\prime_x=2\)。那么\(y\)關于\(x\)的導數\(y^\prime=y^\prime_u\cdotu^\prime_x=5(2x+1)^4\cdot2=10(2x+1)^4\)。2.已知函數\(f(x)=x^3-3x^2+2\)，求其單調區(qū)間。答案：先求\(f(x)\)的導數\(f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。當\(x\lt0\)時，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)單調遞增；當\(0\ltx\lt2\)時，\(f^\prime(x)\lt0\)，\(f(x)\)單調遞減；當\(x\gt2\)時，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)單調遞增。所以\(f(x)\)的單調遞增區(qū)間是\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)，單調遞減區(qū)間是\((0,2)\)。3.求函數\(y=x\sinx+\cosx\)的導數。答案：根據求導的加法法則和乘法法則。\((x\sinx)^\prime=x^\prime\sinx+x(\sinx)^\prime=\sinx+x\cosx\)，\((\cosx)^\prime=-\sinx\)。那么\(y^\prime=(x\sinx+\cosx)^\prime=(\sinx+x\cosx)-\sinx=x\cosx\)。4.已知函數\(f(x)=\frac{x}{e^x}\)，求其極值。答案：先求\(f(x)\)的導數\(f^\prime(x)=\frac{e^x-xe^x}{(e^x)^2}=\frac{1-x}{e^x}\)。令\(f^\prime(x)=0\)，即\(1-x=0\)，解得\(x=1\)。當\(x\lt1\)時，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)單調遞增；當\(x\gt1\)時，\(f^\prime(x)\lt0\)，\(f(x)\)單調遞減。所以\(x=1\)時\(f(x)\)取得極大值，\(f(1)=\frac{1}{e}\)。五、討論題1.討論函數\(y=x^3-6x^2+9x+1\)的圖象與直線\(y=a\)（\(a\)為常數）的交點個數情況。答案：先求函數\(y=x^3-6x^2+9x+1\)的導數\(y^\prime=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=1\)或\(x=3\)。\(y(1)=5\)，\(y(3)=1\)。當\(x\lt1\)或\(x\gt3\)時，\(y^\prime\gt0\)，函數遞增；當\(1\ltx\lt3\)時，\(y^\prime\lt0\)，函數遞減。當\(a\lt1\)或\(a\gt5\)時，有\(zhòng)(1\)個交點；當\(a=1\)或\(a=5\)時，有\(zhòng)(2\)個交點；當\(1\lta\lt5\)時，有\(zhòng)(3\)個交點。2.討論函數\(f(x)=x^2e^{-x}\)的單調性、極值及最值情況。答案：求導得\(f^\prime(x)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=x(2-x)e^{-x}\)。令\(f^\prime(x)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。當\(x\lt0\)或\(x\gt2\)時，\(f^\prime(x)\lt0\)，函數遞減；當\(0\ltx\lt2\)時，\(f^\prime(x)\gt0\)，函數遞增。所以\(x=0\)是極小值點，\(f(0)=0\)；\(x=2