專題05 基本不等式證明以及柯西、權(quán)方和不等式的秒殺應用(壓軸題4大類型專項訓練)數(shù)學人教A版2019必修一(解析版)_第1頁
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PAGE1專題05基本不等式證明以及柯西、權(quán)方和不等式的秒殺應用目錄(Ctrl并單擊鼠標可跟蹤鏈接)TOC\o"1-2"\h\u典例詳解 1類型一、利用基本不等式證明 1類型二、二維柯西不等式 6類型三、三維柯西不等式 10類型四、權(quán)方和不等式 15壓軸專練 19類型一、利用基本不等式證明基本不等式鏈:即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值(注意等號成立的條件).一、解答題1.(24-25高一上·湖南·階段練習)已知,且.(1)證明:;(2)求的最小值.【答案】(1)證明過程見解析(2)【分析】(1)由基本不等式得到,從而得到,證明出結(jié)論;(2)變形得到,由基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】(1)已知,且,由基本不等式得,即,解得,當且僅當,即時,等號成立,證畢;(2)因為,且,所以,所以,當且僅當,即時,等號成立,故的最小值為2.(24-25高一上·福建寧德·期中)(1)已知,,且,求的最大值;(2)證明:、、,.【答案】(1);(2)證明見解析【分析】(1)利用基本不等式可得出關(guān)于的不等式,即可解得的最大值;(2)利用基本不等式可證得所求不等式成立.【詳解】(1)因為,,且,由基本不等式可得,可得,當且僅當時,即當時,等號成立,故的最大值為;(2)因為、、都是正數(shù),由基本不等式可得,,,由不等式的基本性質(zhì)可得,當且僅當時,等號成立.故.3.(24-25高一上·廣東廣州·階段練習)已知,求證:(1);(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)依題意可得,再由基本不等式證明即可;(2)利用代入得到,再由乘“1”法及基本不等式計算可得.【詳解】(1),,當且僅當,即時等號成立.(2),,當且僅當時,即時等號成立.4.(24-25高一上·四川德陽·階段練習)已知,,,且,證明:(1);(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)利用基本不等式可證不等式成立;(2)利用基本不等式結(jié)合“1”的代換可證不等式成立.【詳解】(1)因為,當且僅當時等號成立,故,當且僅當時等號成立,故成立.(2),由基本不等式有,,,故,當且僅當時等號成立.5.(24-25高一上·四川達州·階段練習)(1)已知,,.求證:.(2)已知正數(shù)滿足,求的最小值【答案】(1)證明見解析;(2)18【分析】(1)由基本不等式的乘“1”法得到即可;(2)先將條件等式變形為,再利用基本不等式求解即可;【詳解】(1)由題意可得,所以,當且僅當時取等號;(2)由可,即,所以,當且僅當時取等號,所以的最小值為18.6.(24-25高一上·四川達州·階段練習)(1)設(shè)、、、為正實數(shù),證明不等式:;(2)若正實數(shù)、滿足:,求的最小值;(3)若,,當時,求的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】(1)只需證明即可,不等式左邊展開后結(jié)合基本不等式即可得證;(2)直接由(1)中結(jié)論即可求解;(3)結(jié)合條件等式對目標式子進行變形可得,然后由基本不等式即可求解.【詳解】(1)設(shè)、、、為正實數(shù),則,故,等號成立當且僅當;(2)由(1)可知,,等號成立當且僅當,所以的最小值為;(3),等號成立當且僅當或,所以的最大值為.類型二、二維柯西不等式1、二維形式的柯西不等式2、記憶方法:口訣:平和城,城和平平:平方城:同“乘”,相乘的意思3、二維形式的柯西不等式的變式一、單選題1.設(shè),且,則的最小值為A. B.9 C.10 D.0【答案】B【分析】利用柯西不等式得出最小值.【詳解】(x2)(y2)≥(x)2=9.當且僅當xy即xy=時取等號.故選B.【點睛】本題考查了柯西不等式的應用,熟記不等式準確計算是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.2.已知:,,則的取值范圍是(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】利用柯西不等式,可得,解不等式即可.【詳解】解:利用柯西不等式,得,,解得.故選:B【點睛】本題是一道求代數(shù)式取值范圍的題目,關(guān)鍵是掌握柯西不等式.3.實數(shù)x、y滿足,則的最小值是(

)A. B. C.3 D.4【答案】A【分析】由得,運用柯西不等式有,進而得解.【詳解】解:實數(shù)x、y滿足,,,,當且僅當時取等號,的最小值是.故選:A.【點睛】考查柯西不等式的應用,基礎(chǔ)題.4.已知a,,,則的最大值為(

)A.18 B.9 C. D.【答案】C【分析】利用柯西不等式,即可求出的最大值.【詳解】由題意,,當且僅當時等號成立,當,時,故的最大值為.故選:C.【點睛】本題考查了函數(shù)的最值,考查柯西不等式的運用,正確運用柯西不等式是關(guān)鍵.屬于較易題.二、填空題5.已知正實數(shù)滿足,則的最小值為.【答案】/0.5【分析】由柯西不等式的二元形式即可求得最小值.【詳解】由柯西不等式而,所以時等號成立,故答案為:.三、解答題6.(24-25高一上·遼寧·階段練習)根據(jù)要求完成下列問題:(1)已知,是否存在正實數(shù),使得?若存在,求出,的值;若不存在,請說明理由;(2)已知,比較與的大小并說明理由;(3)利用(2)的結(jié)論解決下面問題:已知,均為正數(shù),且,求的最大值.【答案】(1)不存在,理由見解析(2),理由見解析(3)【分析】(1)由基本不等式說明即可;(2)用作差法比較大小即可;(3)由(2)的結(jié)論得,即可求解.【詳解】(1)不存在,∵,,∴,又,∴,∴,∴不存在、使得.(2),證明如下:,當且僅當時等號成立,∴.(3)由(1)得,∴,∴,當且僅當,即,時等號成立,∴的最大值為.7.設(shè)實數(shù),滿足,求證:.【答案】證明見解析【分析】由柯西不等式(1),可以通過構(gòu)造作為一個因式而得到證明.【詳解】由柯西不等式得,當且僅當,即時,等號成立.類型三、三維柯西不等式,當且僅當時,等號成立.注:有條件要用;沒有條件,創(chuàng)造條件也要用.比如,對,并不是不等式的形狀,但變成就可以用柯西不等式了.一、單選題1.已知且則的最小值是(

)A.1 B. C. D.2【答案】B【分析】利用柯西不等式即可求解.【詳解】由柯西不等式可得:,即所以,當且僅當即時取等號,故的最小值為,故選:B.2.柯西不等式的三元形式如下:對實數(shù)和,有,當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ阎?,請你用柯西不等式,求出的最大值是()A.14 B.12 C.10 D.8【答案】A【分析】根據(jù)柯西不等式的三元形式,構(gòu)造求解即可.【詳解】因為,根據(jù)題目中柯西不等式的三元形式可知,所以,當且僅當,即時等號成立,所以的最大值是,故選:A3.已知,則的取最小值時,為(

)A. B. C.3 D.【答案】B【分析】利用柯西不等式求出的最小值,從而可求出,進而可求出的值【詳解】由柯西不等式得:則.則根據(jù)等號成立條件知,,,所以故選:B4.由柯西不等式,當時,求的最大值為(

)A.10 B.4 C.2 D.【答案】D【分析】利用柯西不等式可得,即求.【詳解】解:由柯西不等式,得,當且僅當,即時,等號成立.因為,所以,則,故的最大值為.故選:D二、填空題5.已知、、,且滿足,則的最小值為.【答案】【分析】利用柯西不等式可求得的最小值.【詳解】因為、、,且滿足,所以,,當且僅當時,等號成立,故的最小值為.故答案為:.6.已知為正實數(shù),且,則的最小值為.【答案】36【分析】直接利用柯西不等式求最小值及取最小值的條件.【詳解】由柯西不等式得當且僅當,即,,時,等號成立;所以當,,時,取得最小值36.故答案為:36.【點睛】本題主要考查柯西不等式求最值,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.7.(2025高一·全國·專題練習)已知正實數(shù)x、y、z的和為1,則的最小值為.【答案】/【分析】利用不等式構(gòu)造定值求解即可.【詳解】解法一:(柯西不等式)∵x,y,,,∴,則.當且僅當時取等號.解法二:(均值不等式),,,所以.當且僅當時取等號.解法三:(權(quán)方和不等式).當且僅當時取等號.故答案為:三、解答題8.(2025高一·全國·專題練習)設(shè)正數(shù),,滿足.(1)求的最小值;(2)求證:.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)由柯西不等式即可求解;(2)由柯西不等式即可得證.【詳解】(1)由三維形式的柯西不等式知:.,,當且僅當,即,時,取最小值.(2)由柯西不等式知:,所以.9.(2025高一·全國·專題練習)設(shè)正數(shù),,滿足.(1)求的最小值;(2)求證:.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)由柯西不等式即可求解;(2)由柯西不等式即可得證.【詳解】(1)由柯西不等式知:.,,當,,時,取到最小值為.(2)由柯西不等式和(1)得,,所以.類型四、權(quán)方和不等式權(quán)方和不等式:若,則,當且僅當時,等號成立.證明1:要證只需證即證故只要證,當且僅當時,等號成立即,當且僅當時,等號成立.證明2:對柯西不等式變形,易得在時,就有了當時,等號成立.推廣1:當時,等號成立.推廣:2:若,則,當時,等號成立.推廣3:若,則,當時,等號成立.注:1、很多題目是不會直接可以利用權(quán)方和不等式解決的,需要進行一定的配湊與變形.2、權(quán)方和不等式的特征是分子的冪指數(shù)比分母的冪指數(shù)大1,用于“知和求和型”快速求最值,本質(zhì)還是代數(shù)式常數(shù)化.另外,一定要驗證等號成立條件.一、單選題1.已知且,a,b,c為常數(shù),則的最小值為(

)A. B.C. D.前三個答案都不對【答案】D【分析】利用柯西不等式可求最小值.【詳解】根據(jù)柯西不等式,有,等號當時取得,因此所求最小值為.故選:D.二、填空題2.已知x>0,y>0,且,則x+2y的最小值為.【答案】【詳解】解法一:設(shè),可解得,從而,當且僅當時取等號.故答案為:.解法二:考慮直接使用柯西不等式的特殊形式,即權(quán)方和不等式:,,所以,當且僅當時取等號.故答案為:.3.已知a,b為正實數(shù),,且滿足,則的最小值為.【答案】2【分析】直接根據(jù)權(quán)和不等式即可得結(jié)果.【詳解】由權(quán)方和不等式,可知==,當且僅當時等號成立,所以的最小值為2.故答案為:2.4.已知正數(shù),,滿足,則的最小值為【答案】【分析】根據(jù)權(quán)方和不等式可得解.【詳解】因為正數(shù),滿足,所以,當且僅當即時取等號.故答案為:.三、解答題5.(23-24高一上·江西景德鎮(zhèn)·階段練習)已知,,,且.(1)求證:;(2)求證:.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】利用基本不等式或權(quán)方和不等式或柯西不等式證明即可.【詳解】(1)方法一:∵,,∴,∴,即,同理可的,,將以上各式相加得:,即.當且僅當時,取等號.方法二:,,,由權(quán)方和不等式可得:,當且僅當,即時,取等號.方法三:,,,由柯西不等式可得:,∴,當且僅當時,取等號.(2)方法一:∵,,,∴,∴,即,∴,當且僅當時,取等號.方法二:∵,,,由權(quán)方和不等式可得:,∴當且僅當時,取等號.方法三:∵,,,由柯西不等式可得:,整理得,當且僅當時,取等號.一、單選題1.實數(shù),,,滿足,,那么的最大值為(

).A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)柯西不得式,直接計算結(jié)果.【詳解】由柯西不等式等號成立的條件是,所以的最大值是.故選:B【點睛】本題考查柯西不等式,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題型.2.已知、,,求的最大值為(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】利用柯西不等式可求得的最大值.【詳解】,由柯西不等式可得,即,.當且僅當,時,取得最大值.因此,的最大值為.故選:B.【點睛】本題考查利用柯西不等式求最值,解答的關(guān)鍵在于對代數(shù)式進行合理配湊,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.3.函數(shù)的最大值是()A. B. C.3 D.5【答案】B【解析】利用柯西不等式求解.【詳解】因為當且僅當,即時,取等號.故選:B【點睛】本題主要考查柯西不等式的應用,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.4.已知,,為實數(shù),且,則的最小值為(

)A. B.1 C.2 D.【答案】C【分析】由,根據(jù)三維柯西不等式可得的最小值.【詳解】由三維柯西不等式:當且僅當時取等,所以所以,當且僅當時取等,所以的最小值為:2故選:C5.已知,,,且,則的最大值為A.3 B. C.18 D.9【答案】B【分析】先利用柯西不等式求得的最大值,由此求得的最大值.【詳解】由柯西不等式得:,所以,當且僅當時,等號成立,故選B.【點睛】本小題主要考查利用柯西不等式求最大值,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題6.(23-24高一·全國·課堂例題)若不等式對任意正實數(shù)x,y都成立,則實數(shù)k的最小值為.【答案】/【分析】運用柯西不等式進行求解即可.【詳解】由柯西不等式的變形可知,整理得,當且僅當,即時等號成立,則k的最小值為.故答案為:7.已知,求的最小值為【答案】【分析】應用權(quán)方和不等式即可求解.【詳解】當且僅當時取等號故答案為:608.已知,,均為非負數(shù),且,則的最小值為.【答案】2【分析】根據(jù)題意得到,再由柯西不等式,即可求出結(jié)果.【詳解】因為,,均為非負數(shù),且,則,所以由柯西不等式可得:,所以;當且僅當,即,由解得:,即時,等號成立.故答案為:2.【點睛】本題主要考查由柯西不等式求最值,熟記柯西不等式即可,屬于??碱}型.9.(24-25高一上·陜西西安·階段練習)存在正數(shù)使得不等式成立,則的最大值是.【答案】3【分析】運用柯西不等式計算即可.【詳解】解:由柯西不等式可知由能成立.故答案為:3.10.(2024·河南信陽·模擬預測)已知正數(shù)滿足,則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)分離常量法可得,結(jié)合權(quán)方和不等式計算可得,即,即可求解.【詳解】,,所以,當且僅當即時等號成立,所以,得,所以或(舍去),即的最小值為.故答案為:11.(24-25高一上·陜西西安·階段練習)已知,,則的最小值為.【答案】10【分析】利用已知條件將,化簡為,然后利用柯西不等式求解最小值即可.【詳解】由,得所以當且僅當,即時,等號成立,故的最小值為10.故答案為:10.【點睛】關(guān)鍵點點睛:結(jié)合條件特點,將目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為滿足柯西不等式的形式,從而利用柯西不等式,當且僅當時,等號成立)求最小值,技巧性較強.三、解答題12.(24-25高一上·貴州六盤水·階段練習)已知,,且.(1)求的最小值;(2)證明:.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)變換得到,再利用均值不等式計算得到答案;(2)變換,展開利用均值不等式即可證明.【詳解】(1)因為,所以,,,故,當且僅當,即時取等號,所以,即的最小值為8;(2)證明:,當且僅當,即時取等號,所以.13.(24-25高一上·河北唐山·期中)已知,,且.(1)證明:.(2)求的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)16【分析】(1)由基本不等式即可直接求證;(2)由乘“1”法即可求解.【詳解】(1)證明:由基本不等式可得,當且僅當,即時,等號成立.因為,,且,所以,所以,當且僅當時,等號成立,所以,所以.故,當且僅當時,等號成立.(2)解:因為,所以.因為,,所以,,所以,當且僅當,即,時,等號成立,所以,所以,則,即的最小值是16.14.(2024·四川成都·二模)已知.(1)證明:;(2)已知,,求的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)根據(jù)題意,結(jié)合作差比較法,即可求解;(2)由(1)得,得到,進而得到答案.【詳解】(1)解:由,所以,當且僅當時取等號.(2)解:由(1)可得,所以,即,當且僅當時取等號,又由,解得或.15.(24-25高一上·廣東東莞·階段練習)學習了不等式的內(nèi)容后,老師布置了這樣一道題:已知,且,求的最小值.李雷和韓梅梅兩位同學都“巧妙地用了”,但結(jié)果并不相同.李雷的解法:由于,所以,而.那么,則最小值為.韓梅梅的解法:由于,所以,而,當且僅當,即時,等號成立則最小值為.(1)你認為哪位同學的解法正確,哪位同學的解法有錯誤?(錯誤的需說明理由)(2)為鞏固學習效果,老師布置了另外兩道題,請你解決:(i)設(shè)都是正數(shù),求證:;(ii)已知,且,求的最小值.【答案】(1)李雷的解法錯誤,韓梅梅的解法正確,理由見解析(2)(ⅰ)證明見解析;(ⅱ)【分析】(1)李雷用了2次基本不等式,需判斷2次等號成立的條件是否成立;(2)(?。├没静坏仁郊纯勺C明;(ⅱ)由條件變形為,再將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子,再利用基本不等式,即可求解.【詳解】(1)李雷的解法錯誤,韓梅梅的解法正確,李雷的解法中用了2次基本不等式,一次是,等號成立的條件是,,即第二次是,等號成立的條件是,,即,這與矛盾,所以兩根等號不能同時取到,所以最小值也不正確;(2)(?。┯苫静坏仁娇芍?,,,,所以,即等號成立的條件是當且僅當,即時,等號成立,所以(ⅱ)由已知,且,則,即,所以,,,當且僅當,即時,等號成立.所以的最小值為【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題的關(guān)鍵是掌握基本不等式的條件“一正,二定,三相等”,最后一問的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化思想的應用.16.(2024·陜西安康·模擬預測)已知均為正數(shù),且.(1)證明:;(2)求的最小值.【答案】(1)證明見解析(2)27【分析】(1)構(gòu)造基本不等式,利用不等式即可證明;(2)首先由柯西不等式證明,再構(gòu)造柯西不等式,求的最小值.【詳解】(1)因為,所以,當且僅當時等號成立,所以,故.(2)由柯西不等式得,當且僅當時上式等號成立,所以.再由柯西不等式得,所以,當且僅當時上式等號成立,所以的最小值為27.17.(2024·四川成都·模擬預測)已知,且.(1)求的最小值m;(2)證明:.【答案】(1)4(2)證明見解析【分析】(1)將等式變形為,再利用基本不等式,(2)對已知條件兩邊同除可得,再利用柯西不等式求證.【詳解】(1)由均值不等式可知,即,(當且僅當時,“=”成立).整理得,故的最小值為4.(2)由(1)知,即證,由可得,即有,由柯西不等式可知,取等條件為,即.故,即:得證.18.已知x,y,.(1)若,證明:;(2)若,證明.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)運

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