4.7一元二次方程的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)-2025-2026學(xué)年初中數(shù)學(xué)青島版2012九年級上冊-青島版2012科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）4.7一元二次方程的應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)-2025-2026學(xué)年初中數(shù)學(xué)青島版2012九年級上冊-青島版2012教學(xué)內(nèi)容分析1.本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容：本節(jié)課主要講解一元二次方程的應(yīng)用，包括一元二次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用和解題步驟。內(nèi)容涉及青島版2012九年級上冊教材中的4.7章節(jié)。

2.教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系：本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生在之前學(xué)習(xí)的代數(shù)知識(shí)相關(guān)聯(lián)，特別是對一元一次方程的求解方法有較好的掌握。學(xué)生需要運(yùn)用這些已有的知識(shí)，結(jié)合本節(jié)課所學(xué)，解決實(shí)際問題。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生以下核心素養(yǎng)：首先，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，使他們能夠?qū)?shí)際問題抽象為一元二次方程模型；其次，增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力，通過解題過程訓(xùn)練學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)思維；最后，強(qiáng)化學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，使學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題。通過這些學(xué)習(xí)活動(dòng)，學(xué)生將更好地理解數(shù)學(xué)的價(jià)值和意義。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：

-重點(diǎn)一：理解一元二次方程的建模過程，能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為方程形式。例如，在求解拋物線與地面相交點(diǎn)的問題時(shí)，學(xué)生需要理解如何根據(jù)拋物線的定義建立方程。

-重點(diǎn)二：掌握一元二次方程的解法，包括公式法和配方法。例如，通過解方程x^2-5x+6=0，學(xué)生需要熟練運(yùn)用公式法或配方法找到方程的解。

-重點(diǎn)三：學(xué)會(huì)運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題，如利潤問題、增長率問題等。例如，在計(jì)算某商品打折后的利潤時(shí)，學(xué)生需要能夠建立正確的方程并求解。

2.教學(xué)難點(diǎn)：

-難點(diǎn)一：正確建立一元二次方程模型。例如，在求解河流中兩船相遇問題或火車過橋問題，學(xué)生可能難以確定合適的變量和方程形式。

-難點(diǎn)二：解一元二次方程時(shí)，正確使用公式法或配方法。例如，在解方程x^2-6x+9=0時(shí)，學(xué)生可能對配方過程中的步驟理解不透徹。

-難點(diǎn)三：在實(shí)際問題中，如何確定方程的解在實(shí)際情境中的意義。例如，在解方程x^2-4x+4=0時(shí)，學(xué)生可能難以理解x=2的解在實(shí)際問題中的具體含義。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有青島版2012九年級上冊數(shù)學(xué)教材，以便學(xué)生能夠跟隨課本內(nèi)容進(jìn)行學(xué)習(xí)。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與一元二次方程應(yīng)用相關(guān)的圖片、圖表和視頻，如拋物線圖像、實(shí)際應(yīng)用案例視頻等，以幫助學(xué)生直觀理解概念。

3.實(shí)驗(yàn)器材：無特殊實(shí)驗(yàn)器材需求，但可準(zhǔn)備一些幾何模型或教具，以輔助學(xué)生更好地理解方程的幾何意義。

4.教室布置：設(shè)置分組討論區(qū)，方便學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)；確保教室環(huán)境安靜，便于學(xué)生集中注意力。教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課（用時(shí)5分鐘）

-開場白：首先，通過提問學(xué)生對于一元一次方程的掌握情況，引導(dǎo)學(xué)生回顧一元一次方程的應(yīng)用。

-引入問題：提出一個(gè)與一元一次方程相關(guān)的生活實(shí)際問題，如“小明有x元，如果他每天節(jié)省y元，問多少天后他的儲(chǔ)蓄將達(dá)到100元？”

-引出主題：通過上述問題的討論，引出一元二次方程的概念，并提出本節(jié)課的主題——一元二次方程的應(yīng)用。

2.新課講授（用時(shí)15分鐘）

-（1）一元二次方程建模

-講解一元二次方程的定義和一般形式。

-舉例說明如何從實(shí)際問題中提取關(guān)鍵信息，建立一元二次方程模型。

-以“一個(gè)長方形的長是寬的2倍，若長方形的面積是100平方厘米，求長和寬”為例，引導(dǎo)學(xué)生建立方程。

-（2）一元二次方程的解法

-介紹公式法解一元二次方程的步驟。

-以方程x^2-5x+6=0為例，講解如何使用公式法求解。

-引導(dǎo)學(xué)生嘗試用配方法解一元二次方程，并舉例說明。

-（3）一元二次方程的應(yīng)用

-講解一元二次方程在幾何問題中的應(yīng)用，如求拋物線與直線交點(diǎn)、計(jì)算圖形面積等。

-通過實(shí)例分析，如“一拋物線y=ax^2+bx+c與x軸交于兩點(diǎn)，求拋物線頂點(diǎn)的坐標(biāo)”，讓學(xué)生理解方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

3.實(shí)踐活動(dòng)（用時(shí)15分鐘）

-（1）分組練習(xí)

-將學(xué)生分成小組，每組發(fā)放一份包含多個(gè)一元二次方程應(yīng)用的練習(xí)題。

-學(xué)生在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成練習(xí)，教師巡視指導(dǎo)，解答學(xué)生疑問。

-（2）課堂展示

-每組選派一名代表展示解題過程，其他組學(xué)生進(jìn)行評價(jià)。

-教師點(diǎn)評展示過程，總結(jié)解題技巧。

-（3）問題解答

-教師針對學(xué)生在練習(xí)中遇到的問題進(jìn)行解答，鞏固所學(xué)知識(shí)。

4.學(xué)生小組討論（用時(shí)10分鐘）

-（1）討論一元二次方程建模的步驟

-例如，如何從實(shí)際問題中確定未知數(shù)、如何根據(jù)實(shí)際問題建立方程等。

-（2）討論一元二次方程解法的技巧

-例如，如何選擇合適的解法、如何避免計(jì)算錯(cuò)誤等。

-（3）討論一元二次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用

-例如，如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型、如何利用方程解決實(shí)際問題等。

5.總結(jié)回顧（用時(shí)5分鐘）

-教師總結(jié)本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，如一元二次方程的建模、解法、應(yīng)用等。

-舉例說明本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，如正確建立方程模型、解方程過程中的技巧等。

-鼓勵(lì)學(xué)生在課后繼續(xù)練習(xí)，鞏固所學(xué)知識(shí)。教學(xué)資源拓展1.拓展資源：

-一元二次方程的圖像與性質(zhì)：介紹一元二次方程的圖像特點(diǎn)，如開口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸等，以及這些性質(zhì)在實(shí)際問題中的應(yīng)用。

-一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：講解一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系，如韋達(dá)定理，以及如何利用這些關(guān)系解決實(shí)際問題。

-一元二次方程在實(shí)際工程中的應(yīng)用：探討一元二次方程在工程領(lǐng)域的應(yīng)用，如建筑、機(jī)械設(shè)計(jì)、電子技術(shù)等，通過實(shí)際案例展示數(shù)學(xué)在工程中的價(jià)值。

-一元二次方程與函數(shù)的關(guān)系：闡述一元二次方程與二次函數(shù)之間的關(guān)系，包括二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)以及如何通過二次函數(shù)解決一元二次方程問題。

2.拓展建議：

-學(xué)生可以通過閱讀相關(guān)的數(shù)學(xué)科普書籍或雜志，了解一元二次方程在現(xiàn)實(shí)世界中的應(yīng)用。

-鼓勵(lì)學(xué)生參與數(shù)學(xué)競賽或挑戰(zhàn)，通過解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題來提高自己的解題能力和數(shù)學(xué)思維。

-建議學(xué)生嘗試將一元二次方程應(yīng)用于自己的興趣愛好或日常生活中，如設(shè)計(jì)一個(gè)游戲，通過方程來控制游戲中的元素。

-推薦學(xué)生觀看與數(shù)學(xué)相關(guān)的紀(jì)錄片或在線課程，如介紹數(shù)學(xué)家的故事或數(shù)學(xué)原理的講解視頻，以激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。

-鼓勵(lì)學(xué)生參加數(shù)學(xué)俱樂部或興趣小組，與同學(xué)一起討論數(shù)學(xué)問題，互相學(xué)習(xí)，共同進(jìn)步。

-建議學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源，如數(shù)學(xué)論壇或在線問答平臺(tái)，解決自己在學(xué)習(xí)中遇到的問題，并與其他學(xué)生交流心得。

-鼓勵(lì)學(xué)生嘗試自己編寫一元二次方程的數(shù)學(xué)故事或案例，通過創(chuàng)作來加深對知識(shí)的理解和記憶。

-建議學(xué)生參加數(shù)學(xué)講座或研討會(huì)，與專家面對面交流，獲取更多的數(shù)學(xué)知識(shí)和見解。

-鼓勵(lì)學(xué)生參與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)或項(xiàng)目，通過實(shí)際操作來探索一元二次方程在不同領(lǐng)域中的應(yīng)用。課后作業(yè)1.作業(yè)一：

-題目：一個(gè)長方體的長是寬的3倍，如果長方體的體積是270立方厘米，求長方體的長和寬。

-解答：設(shè)長方體的寬為x厘米，則長為3x厘米。根據(jù)體積公式V=長×寬×高，得：

V=3x×x×h=270

解得：x^2×3=270

x^2=90

x=√90

因此，長方體的寬為√90厘米，長為3√90厘米。

2.作業(yè)二：

-題目：一個(gè)二次函數(shù)的圖像開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-3)，且圖像與y軸交于點(diǎn)(0,4)。求該二次函數(shù)的解析式。

-解答：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)為頂點(diǎn)坐標(biāo)。由題意知，頂點(diǎn)為(2,-3)，代入得：

y=a(x-2)^2-3

又因?yàn)閳D像與y軸交于點(diǎn)(0,4)，代入得：

4=a(0-2)^2-3

4=4a-3

解得：a=7/4

因此，二次函數(shù)的解析式為y=(7/4)(x-2)^2-3。

3.作業(yè)三：

-題目：一輛汽車以60公里/小時(shí)的速度行駛，剎車后每秒減速1米/秒。求汽車剎車后10秒內(nèi)的行駛距離。

-解答：設(shè)汽車剎車后的速度為v米/秒，初始速度為60米/秒，剎車時(shí)間為t秒。根據(jù)減速公式v=u-at，其中u為初始速度，a為加速度（這里是減速，所以為負(fù)值），得：

v=60-1t

當(dāng)t=10秒時(shí)，v=60-10=50米/秒

汽車剎車后的行駛距離S為：

S=ut-1/2at^2

S=60×10-1/2×1×10^2

S=600-50

S=550米

4.作業(yè)四：

-題目：一個(gè)二次方程x^2-4x+3=0，求該方程的根，并解釋這些根在幾何上的意義。

-解答：解方程x^2-4x+3=0，可以使用因式分解法：

(x-1)(x-3)=0

解得：x1=1，x2=3

這兩個(gè)根在幾何上代表拋物線y=x^2-4x+3與x軸的交點(diǎn)，即拋物線的根。

5.作業(yè)五：

-題目：一個(gè)正方形的周長是24厘米，求正方形的面積。

-解答：設(shè)正方形的邊長為x厘米，根據(jù)周長公式P=4x，得：

24=4x

解得：x=6厘米

正方形的面積A為：

A=x^2

A=6^2

A=36平方厘米板書設(shè)計(jì)①一元二次方程的定義

-一元二次方程：形如ax^2+b