12.2全等三角形的判定（第3課時(shí)全等三角形的判定“ASA”或“AAS”）題型一：利用“ASA”或“AAS”作為判斷依據(jù)1．（2024七年級(jí)下·廣東梅州·期末）如圖，小飛在設(shè)計(jì)的“風(fēng)箏”圖案中，已知，，，那么與相等．小飛直接證明，他的證明依據(jù)是（）A． B． C． D．2．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）如圖，為了測(cè)量B點(diǎn)與河對(duì)面的目標(biāo)A之間的距離，在B點(diǎn)同側(cè)選擇了一點(diǎn)C，測(cè)得，，然后在M處立了標(biāo)桿，使，，得到，所以測(cè)得的長(zhǎng)就是A、B兩點(diǎn)間的距離，這里判定的理由是（

）A． B． C． D．3．（24-25八年級(jí)上·遼寧大連·階段練習(xí)）如圖，從C地看A，B兩地的視角是銳角，從C地到A，B兩地的距離相等．A地到路段的距離與B地到路段的距離相等．原因是，全等的依據(jù)是（

）A． B． C． D．4．（24-25八年級(jí)上·四川樂(lè)山·期末）如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)、的距離，可以在的垂線上取兩點(diǎn)，使．再作出的垂線，使三點(diǎn)在一條直線上，通過(guò)證明，得到的長(zhǎng)就等于的長(zhǎng)，這里證明三角形全等的依據(jù)是（

）A． B． C． D．5．（24-25七年級(jí)下·廣東深圳·期末）如圖是一段雙向等寬道路，點(diǎn)，，是馬路兩邊正對(duì)面的兩個(gè)公交站牌，點(diǎn)是隔離帶中的一個(gè)花壇，．小田所在點(diǎn)，學(xué)校門口和花壇在同一條直線上．小田測(cè)量出點(diǎn)A，C之間的距離是，就可知道學(xué)校門口與公交站牌之間的距離為．此方案的依據(jù)是（

）A． B． C． D．6．（24-25七年級(jí)下·廣東深圳·期末）如圖，為測(cè)量坪山河寬度，某同學(xué)在河岸邊選定觀測(cè)點(diǎn)A和B，在岸邊標(biāo)記目標(biāo)點(diǎn)C、D，使，并利用測(cè)角儀測(cè)得．此時(shí)，利用三角形全等的性質(zhì)，測(cè)量長(zhǎng)度即可得到河寬．要說(shuō)明兩個(gè)三角形全等最恰當(dāng)?shù)睦碛墒牵?/p>

）A． B． C． D．7．（2025·河北張家口·二模）為測(cè)量校園內(nèi)的旗桿的高度，嘉嘉設(shè)計(jì)的方案是：如圖，在距旗桿底端A水平距離為的處，使用測(cè)角儀測(cè)得，由于角不方便計(jì)算，淇淇提出了一種解決問(wèn)題的方案：在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，將一根木棒豎直立在地面上的點(diǎn)處，，此時(shí)測(cè)得，故淇淇得出結(jié)論，進(jìn)而推得，則下列選項(xiàng)中淇淇證明全等用到的依據(jù)可能是（

）A． B． C． D．題型二：破碎玻璃修復(fù)問(wèn)題1．（23-24八年級(jí)下·河南安陽(yáng)·期中）如圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打破成了三塊，現(xiàn)在他要到玻璃店去配一塊完全一樣形狀的玻璃，那么最省事的辦法是帶（）去配A．① B．② C．③ D．①和②2．（24-25七年級(jí)下·遼寧丹東·期末）小明不小心把一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標(biāo)有1、2、3、4的四塊），為了能配一塊與原來(lái)完全一樣的三角形，小明應(yīng)該帶（

）去玻璃商店．A．第1塊 B．第2塊 C．第3塊 D．第4塊3．（24-25八年級(jí)上·河南商丘·期中）如圖，某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成了三塊，現(xiàn)在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的辦法是（

）A．帶①去 B．帶②去 C．帶③去 D．帶①和②去4．（24-25八年級(jí)上·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）如圖，小明不慎將一塊三角形玻璃打碎為三塊，他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去，就能配一塊與原來(lái)一樣的三角形模具嗎？如果可以，帶哪塊去合適？（）A．1 B．2 C．3 D．任意一塊5．（24-25八年級(jí)上·福建福州·階段練習(xí)）九年班小穎同學(xué)不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如圖所示的四塊（即圖中標(biāo)有、、、的四塊），他只拎第塊去玻璃店，他這么做的數(shù)學(xué)原理是（

）A．第塊面積最大B．三角形具有穩(wěn)定性C．有兩個(gè)角相等并且這兩個(gè)角的夾邊也相等的兩個(gè)三角形全等D．三角形內(nèi)角和為度6．（2025·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）下圖是三個(gè)疊在一起的三角形（三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ），部分圖形被遮蓋，要作出與圖中三角形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ完全相同的三角形，下列說(shuō)法正確的是（

）A．只有Ⅰ可以 B．只有Ⅰ、Ⅱ可以C．作出三角形Ⅱ的依據(jù)是 D．作出三角形Ⅲ的依據(jù)是7．（24-25七年級(jí)下·上海青浦·期中）如圖，小明不慎把三角形玻璃打碎成四塊，他只要帶哪一塊去即可定制出和原來(lái)一樣的三角形玻璃？（

）A．① B．② C．③ D．④題型三：添加一個(gè)條件使得三角形全等（AAS或ASA）1．（24-25八年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，已知，要判斷，若根據(jù)“”，則還需要的一個(gè)條件是．2．（24-25八年級(jí)上·江蘇·期末）如圖，，只需補(bǔ)充條件，就可以根據(jù)“”得到．3．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）如圖，已知，，要利用“”判定，應(yīng)添加的條件是．4．（24-25七年級(jí)下·上海松江·階段練習(xí)）如圖，，若利用證明，需添加的條件是．（寫出一種即可）5．（24-25八年級(jí)上·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，已知：，，請(qǐng)寫出一個(gè)與點(diǎn)D有關(guān)的正確結(jié)論：．題型四：利用“AAS或ASA”簡(jiǎn)單證明三角形全等（解答題）1．（2024八年級(jí)上·北京·期末）中，，是中點(diǎn)，于點(diǎn)，于，求證：．2．（24-25八年級(jí)上·福建廈門·期末）如圖，點(diǎn)A，B，D在同一條直線上，，，．求證：．3．（24-25九年級(jí)下·湖北宜昌·階段練習(xí)）如圖，四邊形的對(duì)角線與相交于點(diǎn)，∥，平分線段，過(guò)點(diǎn)任作一條線段交于，交于，求證：．4．（24-25八年級(jí)上·江蘇徐州·階段練習(xí)）如圖，，，，，垂足分別為A、B．求證：．5．（2025·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，E是邊上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．求證：點(diǎn)D是的中點(diǎn)．6．（24-25八年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，、相交于點(diǎn)E，，．求證．7．（24-25七年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·期末）如圖，的頂點(diǎn)在的邊上，且，已知和全等嗎？為什么？8．（24-25八年級(jí)上·山西陽(yáng)泉·期中）已知：如圖，，，，垂足分別為、、，且，求證：．9．（23-24八年級(jí)上·寧夏銀川·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)O是直線l上一點(diǎn)，點(diǎn)A，B位于直線l的兩側(cè)，且，，分別過(guò)A，B兩點(diǎn)作于點(diǎn)C，于點(diǎn)D．求證：(1)；(2)．10．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在中，直角頂點(diǎn)A在直線l上，，過(guò)點(diǎn)B、C分別作直線l的垂線，垂足分別為D、E．求證：．題型五：利用“AAS或ASA”證明三角形全等求角度1．（24-25七年級(jí)下·陜西渭南·期中）如圖，在中，平分交于點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（24-25七年級(jí)上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，是的角平分線，，垂足為．若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（24-25八年級(jí)上·安徽淮南·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)．若，則°．4．（2025·陜西西安·一模）如圖，在正五邊形中，于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，則的度數(shù)為．題型六：利用“AAS或ASA”證明三角形全等求線段長(zhǎng)度1．（24-25八年級(jí)上·安徽亳州·期末）如圖，在中，于點(diǎn)E，于點(diǎn)D，，則的長(zhǎng)是（

）A．4 B．3 C．2 D．62．（23-24八年級(jí)上·福建福州·期中）如圖，在中，，平分交于D，若，則的長(zhǎng)為（

）A．9 B．6 C．3 D．3．（2025·遼寧葫蘆島·一模）如圖，在中，D是邊上的一點(diǎn)，交于點(diǎn)E，，，若，，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（24-25七年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·期末）如圖，在中，于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接，若，，則的長(zhǎng)為（

）A．5 B．6 C．7 D．85．（24-25八年級(jí)上·湖南益陽(yáng)·期中）如圖，點(diǎn)，，，在同一直線上，已知，，，連接交于點(diǎn)，若，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（24-25七年級(jí)下·山東東營(yíng)·期末）如圖，，，，，垂足分別是點(diǎn)、，，，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．7．（24-25八年級(jí)上·廣東惠州·期中）如圖，中，是的平分線，，垂足為E．若，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．8．（24-25七年級(jí)下·重慶大渡口·期末）如圖，在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，過(guò)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（

）A．10 B．9 C．8 D．7題型七：利用“AAS或ASA”證明三角形全等求面積1．（24-25八年級(jí)上·江蘇蘇州·期中）如圖，已知的面積為平分，且于，則的面積是（）A．10 B．8 C．6 D．42．（24-25八年級(jí)上·廣東湛江·階段練習(xí)）如圖所示，把一個(gè)邊長(zhǎng)分別為3，4，5的三角形和三個(gè)正方形放置在大長(zhǎng)方形中，則該長(zhǎng)方形中白色部分的面積為（

）A．54 B．60 C．100 D．1103．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在中，，，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則圖中陰影部分的面積為（

）A．24 B．30 C．42 D．484．（24-25七年級(jí)下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)E、F在邊上，點(diǎn)P在四邊形的內(nèi)部，且，，，若，，，則四邊形的面積為（

）A．8 B．6 C．4 D．25．（24-25九年級(jí)上·陜西榆林·階段練習(xí)）如圖，已知中，平分，于點(diǎn)．若，則（

）A．5 B．6 C．7 D．86．（24-25七年級(jí)下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，四邊形中，，，，則的面積為．7．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，和均為直角三角形，，，連接，與交于點(diǎn)，且恰好為的中點(diǎn)，若，，則的面積為．8．（24-25八年級(jí)上·湖南永州·階段練習(xí)）如圖，已知是的平分線，，若，則的面積等于．9．（24-25七年級(jí)下·廣東深圳·期末）如圖，中，，，為平面上一點(diǎn)，，若，則的面積為．題型八：全等三角形的判定綜合1．（23-24八年級(jí)上·重慶潼南·期中）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在同一直線上，，．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．2．（24-25九年級(jí)下·海南三亞·階段練習(xí)）如圖，，，．(1)求證：．(2)若，求的長(zhǎng)．3．（24-25八年級(jí)上·湖北十堰·階段練習(xí)）如圖，在中，是上一點(diǎn)，，是外一點(diǎn)，，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．4．（24-25八年級(jí)上·廣東湛江·期末）如圖，在中，是邊上的高，點(diǎn)E在上，，，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)若平分，，求的長(zhǎng)．5．（25-26八年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·開(kāi)學(xué)考試）如圖，中，，垂足為D，，垂足為E，與相交于點(diǎn)F，．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．6．（24-25八年級(jí)下·云南麗江·期末）如圖，在等腰中，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且于點(diǎn)，于點(diǎn)．(1)如圖①，當(dāng)直線在外部時(shí)，可得，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)如圖②，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)內(nèi)部且點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，判斷（1）中結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由．7．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，，點(diǎn)在邊上，和相交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．8．（24-25七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，是的角平分線上一點(diǎn)，，，垂足分別為，．過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，在射線上取一點(diǎn)，使．(1)求證：．(2)若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．9．（23-24七年級(jí)下·貴州畢節(jié)·期末）如圖，在和中，、、、四點(diǎn)在同一條直線上，，．(1)和全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的理由；(2)若，求的值．題型九：全等三角形的判定實(shí)際應(yīng)用1．（24-25七年級(jí)下·陜西西安·期末）如圖，小敏和小彬玩蹺蹺板游戲，如果蹺蹺板的支點(diǎn)（即蹺蹺板的中點(diǎn)）至地面的距離是，當(dāng)小敏從水平位置上升時(shí)，這時(shí)小彬離地面的高度是（

）A． B． C． D．2．（24-25七年級(jí)下·陜西寶雞·期末）如圖，為了測(cè)量點(diǎn)到河對(duì)岸的目標(biāo)之間的距離，在與點(diǎn)同側(cè)的河岸上選擇了一點(diǎn)，測(cè)得，然后在處立了標(biāo)桿，使，測(cè)得的長(zhǎng)是20米，的長(zhǎng)是30米，則，兩點(diǎn)間的距離為（

）A．10米 B．15米 C．20米

D．30米3．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，是一段斜坡，是水平線，歡歡為了測(cè)斜坡上一點(diǎn)C的豎直高度，他在點(diǎn)C處立上一根竹竿，竹竿垂直于斜坡，在竿頂點(diǎn)D處垂下一根繩子，與斜坡的交點(diǎn)是E．當(dāng)時(shí)，測(cè)得，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．4．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）課間，小明同學(xué)拿著老師的等腰直角三角板玩，不小心將三角板掉到兩根柱子之間，如圖所示，這一幕恰巧被數(shù)學(xué)老師看見(jiàn)了，于是有了下面這道題．若柱子上每塊磚的厚度，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．5．（24-25七年級(jí)下·遼寧沈陽(yáng)·期末）小麗與爸媽在公園里蕩秋千．如圖，小麗坐在秋千的起始位置A處，與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在距地面高的B處接住她后用力一推，爸爸在C處接住她．已知媽媽與爸爸到的水平距離，分別為1.3和1.8，，爸爸在C處接住小麗時(shí)，小麗距離地面的高度是（

）A．1 B．1.3 C．1.5 D．1.86．（24-25八年級(jí)下·湖北孝感·期末）如圖所示，是小明和小穎玩蹺蹺板時(shí)的示意圖，點(diǎn)O是蹺蹺板的中點(diǎn)，支柱與地面垂直，且的長(zhǎng)度為，當(dāng)小明到水平線的距離為時(shí)，小穎（點(diǎn)B）到地面的距離為（

）A． B． C． D．7．（24-25七年級(jí)下·江西吉安·期末）如圖是一個(gè)可調(diào)節(jié)平板支架，其結(jié)構(gòu)示意圖如下，已知平板寬度為，支架腳的長(zhǎng)度為，當(dāng)時(shí)，可測(cè)得，保持此時(shí)的形狀不變，當(dāng)平分時(shí)，點(diǎn)B到的距離是（

）A． B． C． D．題型一：全等三角形中最值問(wèn)題1．（24-25七年級(jí)下·陜西寶雞·期末）如圖，點(diǎn)C是的角平分線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)D，，，動(dòng)點(diǎn)P在射線OB上運(yùn)動(dòng)，它到點(diǎn)C的最小距離為（

）A．2 B．5 C．3 D．無(wú)法確定2．（24-25七年級(jí)下·福建福州·期末）如圖，在的內(nèi)部有一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作與角的兩邊，分別交于點(diǎn)，，下列四種作法中，面積最小的是（）A． B．C． D．3．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在中，，E為的中點(diǎn)，D為上一點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若，與之間的距離為5，則四邊形的周長(zhǎng)的最小值是．4．（24-25七年級(jí)下·山西晉中·期末）如圖，在中，，，，AD平分交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作交AB于點(diǎn)E，點(diǎn)P是DE上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是BD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．題型二：全等三角形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題1．（24-25八年級(jí)上·安徽淮南·階段練習(xí)）如圖，，與交于點(diǎn)O，．點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M回到點(diǎn)A時(shí)，M，N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）；（2）連接，當(dāng)線段經(jīng)過(guò)點(diǎn)O時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為s．2．（24-25七年級(jí)下·河南鄭州·期末）如圖，與相交于點(diǎn)，，，．點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)以的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿向運(yùn)動(dòng)，到位置后，立刻以相同的速度沿向運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿以的速度向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，、兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．當(dāng)三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，的值為．3．（24-25七年級(jí)下·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，為邊上的高．(1)若，求的度數(shù)．(2)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在直線上以的速度移動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交直線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)在直線上移動(dòng)的時(shí)間．題型三：全等三角形中多結(jié)論問(wèn)題1．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，，，，，連接，交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分中，正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．42．（24-25八年級(jí)上·海南海口·期中）如圖，，，于點(diǎn)，于點(diǎn)D．下面四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是（

）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④3．（24-25七年級(jí)下·山東煙臺(tái)·期末）如圖，中，，G為的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，作，垂足為H，交于點(diǎn)下列判斷；；；，所有正確結(jié)論的序號(hào)為（

）A． B． C． D．4．（24-25七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在中，是中線，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．正確的個(gè)數(shù)是（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)5．（24-25七年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·期中）如圖，在中，，的角平分線、相交于點(diǎn)，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．現(xiàn)有下列結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為．6．（24-25八年級(jí)下·河南鄭州·期中）如圖，為的角平分線，點(diǎn)是上的一點(diǎn)，于，于，為上另一點(diǎn)，連接，，則下列結(jié)論：①；②；③；④，正確的是．（填序號(hào)）題型四：全等三角形中解答題壓軸1．（25-26八年級(jí)上·重慶渝中·開(kāi)學(xué)考試）中，，，過(guò)點(diǎn)作，連接，，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．(1)如圖1，點(diǎn)在上，連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，為中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．①若，，則______；②求證：．(2)如圖2，連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，且滿足，連接，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若，，，請(qǐng)求出線段的取值范圍．2．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）問(wèn)題情境：如圖①，在直角三角形中，于點(diǎn)D，可知：（不需要證明）．特例探究：如圖②，，射線在這個(gè)角的內(nèi)部，點(diǎn)在的邊上，且于點(diǎn)于點(diǎn)D．證明：；歸納證明：如圖③，點(diǎn)在的邊上，點(diǎn)在內(nèi)部的射線上，分別是的外角．已知．求證：；拓展應(yīng)用：如圖④，在中，．點(diǎn)D在邊上，，點(diǎn)在線段上，．若的面積為15，則與的面積之和為．3．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期中）（1）如圖（1），在中，，，是過(guò)點(diǎn)A的一條直線，且點(diǎn)，在的異側(cè)，于點(diǎn)，于點(diǎn)．求證：．（2）若直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)（），其余條件不變，問(wèn)與，的關(guān)系如何？請(qǐng)予以證明．4．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖1，在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且于，于E．(1)求證：；(2)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：；(3)當(dāng)直線繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)、、具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．5．（25-26七年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，是經(jīng)過(guò)頂點(diǎn)C的一條直線，，點(diǎn)E，F(xiàn)是直線上兩點(diǎn)，且．若直線經(jīng)過(guò)的內(nèi)部，且點(diǎn)E，F(xiàn)在射線上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題：(1)如圖1，若，問(wèn)，成立嗎？說(shuō)明理由．(2)如圖2，將（1）中的已知條件改成，，問(wèn)仍成立嗎？說(shuō)明理由．6．（24-25八年級(jí)上·遼寧盤錦·階段練習(xí)）在中，，，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，垂足分別為．(1)如圖（），求證：；(2)如圖（）將（）中的條件改為：在中，，三點(diǎn)都在直線m上，并且有，其中為任意銳角或鈍角，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．7．（23-24七年級(jí)下·陜西榆林·期末）【模型建立】（1）如圖1，在與中，，，，試說(shuō)明：；【模型應(yīng)用】（2）如圖2，在與中，，，，、、三點(diǎn)在一條直線上，與交于點(diǎn)，且點(diǎn)為中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．①求的度數(shù)；②若，求的長(zhǎng)．8．（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末）（1）問(wèn)題：如圖①，已知：中，，，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，于D，于E，求證：；（2）拓展：如圖②，將（1）中的條件改為：中，，三點(diǎn)都在直線m上，并且，為任意銳角或鈍角，請(qǐng)問(wèn)結(jié)論是否成立？如成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）應(yīng)用：如圖③，在中，是鈍角，，，，直線m與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若，的面積是14，求與的面積之和．1．（2025·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，E是上一點(diǎn)，，于點(diǎn)D，若．則的面積為（

）A．4 B．5 C．6 D．72．（24-25七年級(jí)下·遼寧錦州·期末）如圖，在中，分別是邊上的點(diǎn)，相交于點(diǎn)，若，，則下列結(jié)論不一定正確的是（

）A． B． C． D．3．（24-25九年級(jí)上·重慶·開(kāi)學(xué)考試）如圖在四邊形中，和都是直角，且．現(xiàn)將沿翻折，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，與邊相交于點(diǎn)，恰好是的角平分線，若，則的長(zhǎng)為（）A． B． C．2 D．4．（25-26八年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，平分，則（

）A． B． C． D．5．（24-25七年級(jí)下·山東·期末）數(shù)學(xué)興趣小組計(jì)劃用一根米的標(biāo)桿測(cè)量旗桿的高度．他們的方案如下：如圖，在旗桿前空地上選取一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到旗桿底端B的水平距離為米，此時(shí)測(cè)得，然后前后移動(dòng)標(biāo)桿（在移動(dòng)過(guò)程中始終保持點(diǎn)B，P，C在同一條直線上），使得，此時(shí)測(cè)得標(biāo)桿底端C到旗桿底端B的水平距離為米．根據(jù)以上信息，可求得該旗桿的高度是（

）A．米 B．米 C．米 D．21米6．（2025八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在和中，，，，如果的面積，那么的面積為（）A． B． C． D．7．（24-25八年級(jí)上·廣東江門·期中）如圖，、分別是的高和角平分線，與相交于，平分交