2025-2026學(xué)年八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)單元檢測(cè)卷第12章全等三角形·能力提升建議用時(shí)：120分鐘，滿分：150分一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1．下列命題：①如果，那么；②同位角相等；③如果，那么；④平行于同一條直線的兩條直線平行；其中假命題有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】此題考查了真假命題的判斷，逐一判斷每個(gè)命題的真假，統(tǒng)計(jì)假命題的個(gè)數(shù)，即可解答．【詳解】解：命題①：若，那么．反例：當(dāng)時(shí)，，但．故①是假命題．命題②：同位角相等．正確結(jié)論需前提“兩直線平行”．若兩直線不平行，同位角不一定相等．故②是假命題．命題③：若，那么．反例：當(dāng)時(shí)，成立，但，，．故③是假命題．命題④：平行于同一條直線的兩條直線平行．根據(jù)平行公理，平行于同一直線的兩直線互相平行．故④是真命題．綜上，假命題為①、②、③，共3個(gè)．故選C．2．如圖所示，亮亮?xí)系娜切伪荒E污染了一部分，很快他就根據(jù)所學(xué)知識(shí)畫(huà)出一個(gè)與書(shū)上完全一樣的三角形，那么這兩個(gè)三角形完全一樣的依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的應(yīng)用．圖中三角形沒(méi)被污染的部分有兩角及夾邊，根據(jù)全等三角形的判定方法解答即可．【詳解】解：由圖可知，可以通過(guò)畫(huà)出與書(shū)上完全一樣的三角形，故選：A．3．如圖，在中，，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到．若點(diǎn)恰好落在邊上，且，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，根據(jù)等邊對(duì)等角可得：，，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得：，利用三角形內(nèi)角和定理及等量代換求解即可．【詳解】解∶∵旋轉(zhuǎn)，∴，，∴，∵，∴，又，∴，∴，∵，∴，∴，故選∶C．4．如圖，是的中線，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．和全等B．若平分，則是等腰三角形C．若，則是等腰三角形D．若點(diǎn)到和的距離相等，則【答案】A【分析】?jī)H根據(jù)無(wú)法證明和全等，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，利用“邊角邊”證明，由全等三角形性質(zhì)得到，，結(jié)合平分，可證是等腰三角形，則選項(xiàng)說(shuō)法正確；利用“邊角邊”證明，由全等三角形性質(zhì)即可證是等腰三角形，則選項(xiàng)說(shuō)法正確；若點(diǎn)到和的距離相等，即平分，根據(jù)選項(xiàng)可得是等腰三角形，結(jié)合三線合一定理即可證，則選項(xiàng)說(shuō)法正確．【詳解】解：是的中線，，此時(shí)，但不一定等于，無(wú)法證明和全等，選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意，選項(xiàng)正確；平分，，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，在和中，，，，，，，，即是等腰三角形，選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；，，在和中，，，，即是等腰三角形，選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；若點(diǎn)到和的距離相等，點(diǎn)在的角平分線上，平分，則根據(jù)選項(xiàng)可得是等腰三角形，結(jié)合三線合一定理即可證，選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定、三線合一、角平分線的判定，解題關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形下的判定與性質(zhì)．5．已知等腰三角形一腰上的中線將它的周長(zhǎng)分成和兩部分，則等腰三角形的腰長(zhǎng)為（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的定義，三角形中線的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意先畫(huà)出圖形，設(shè)腰，由中線性質(zhì)可得，再分和兩種情況，列出方程解答即可求解，運(yùn)用分類(lèi)討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，中，，為的中線，設(shè)腰，∵為的中線，∴，∵中線將它的周長(zhǎng)分成和兩部分,當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；∴等腰三角形的腰長(zhǎng)為或，故選：．6．如圖，在中，為內(nèi)一點(diǎn)，平分，，垂足為，交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平分，，證出，得到，即可．【詳解】解：平分，，，，，，，，又，，，，，，，故選：A．7．如圖，在長(zhǎng)方形中，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．連接，．三點(diǎn)同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)某一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到終點(diǎn)時(shí)，其它點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，若在某一時(shí)刻，與全等，則的值為（

）A．2或3 B．3或5.5 C．2或 D．2或【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握全等三角形全等的條件，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊．分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，然后分別計(jì)算出t的值，進(jìn)而得到a的值．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，依題意，得，，，，∵四邊形是矩形，，如果與全等，那么可分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，，，；②當(dāng)時(shí)，，，，，，的值為2或，故選：D．8．如圖，點(diǎn)位于內(nèi)部，點(diǎn)和分別在射線，上．若，，點(diǎn)到的距離為，到的距離為，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別作點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)、，連接、、、、、、，當(dāng)點(diǎn)、同時(shí)在上時(shí)，的周長(zhǎng)最?。驹斀狻拷猓悍謩e作點(diǎn)關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)、，連接、、、、、、，∵點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，，，∴，，，∵點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，∴，，，∴，，∴是等邊三角形，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)、同時(shí)在上時(shí)取“”，此時(shí)的值最小，即的周長(zhǎng)最小，最小值為的長(zhǎng)，為，∴的周長(zhǎng)的最小值為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱—最短路線問(wèn)題，考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，掌握兩點(diǎn)之間線段最短是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在銳角中，，的垂直平分線，相交于點(diǎn)O，連接，，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，交于點(diǎn)G．若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B．12 C． D．16【答案】A【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)得出，，，，則可得出，，，設(shè)，，由三角形外角的定義和性質(zhì)可得出，，由三角形內(nèi)角和定理得出，證明，則得出，過(guò)點(diǎn)A作與點(diǎn)N，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，再得出，即可得出，，再結(jié)合已知條件可得出答案．【詳解】解：∵，垂直平分，，∴，，，，∴，，，設(shè)，，∵是的一個(gè)外角，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，即，則，在中，，∴，又∵，∴，∴，過(guò)點(diǎn)A作與點(diǎn)N，則，∵，，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的綜合問(wèn)題，三角形內(nèi)角和定理以及外角的定義和性質(zhì)等知識(shí)，掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，，連接，且的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接，則下列說(shuō)法中正確的有（

）①；②；③；④A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題考查了多邊形內(nèi)角和、全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的判定等知識(shí)，準(zhǔn)確作出輔助線構(gòu)造直角三角形逐項(xiàng)驗(yàn)證是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．根據(jù)，可得，易證，可得出①正確；由三角形全等的性質(zhì)結(jié)合四邊形內(nèi)角和即可得出②正確；過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，根據(jù)證明得出，利用角平分線的判定定理可推出平分，可得出③正確，由已知無(wú)法確定④正確，即可得到答案．【詳解】解：，∴，∴，又

∵，∴，∴，故①正確；，∴，，∴，，∴，故②正確；過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，如圖所示：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，，，又，，，又，，平分，，故③正確；由已知無(wú)法確定，則與不一定相等，∴與不一定相等，∴與不一定相等，∴不一定等于，故④錯(cuò)誤，故正確的有3個(gè)．故選：C．二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．如圖，在中，點(diǎn)D在邊上，，，則．【答案】【分析】本題考查了等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的定義及性質(zhì)，先由等邊對(duì)等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可得出，再結(jié)合三角形外角的定義及性質(zhì)計(jì)算即可得解，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：．12．如圖，平分，，若，則的度數(shù)是【答案】/132度【分析】本題考查了等邊對(duì)等角，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)角平分線的定義求得，由等邊對(duì)等角求得，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵平分，，∴，∵，∴，∴，故答案為：．13．如圖，，若和分別垂直平分和，則．【答案】/20度【分析】本題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到，得到，即可得到答案．【詳解】解：，，和分別垂直平分和，，，，．故答案為：．14．如圖，在中，，，，平分，平分，將平移使其頂點(diǎn)與點(diǎn)I重合，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為．【答案】8【分析】本題考查了三角形的內(nèi)角平分線的含義，平移的性質(zhì)及等腰三角形的判定等知識(shí)，熟練掌握三角形的三條角平分線的交于一點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．連接，證明平分，則，由平移得，則，推出，得出，同理可得的周長(zhǎng)，即可得出結(jié)果．【詳解】解：連接，如圖所示，∵平分平分，∴平分，∴，由平移得，，，，同理可得；∴的周長(zhǎng)，即圖中陰影部分的周長(zhǎng)為8；故答案為：8．15．在中，是邊上的兩點(diǎn)，且，有下列四個(gè)推斷：①若是的高，則可能是的中線；②若是的中線，則可能是的高；③若是的角平分線，則可能是的中線；④若是的高，則不可能是的角平分線．上述推斷中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】②④【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理、三角形全等的判定與性質(zhì)、三角形的中線與高等知識(shí)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．證出，從而可得，則，由此即可判斷①錯(cuò)誤；延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，先證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，再證出，根據(jù)可得有可能等于，由此即可判斷②正確；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，先求出，利用三角形的面積公式可得，則，由此即可判斷③錯(cuò)誤；先得出，再得出，由此即可判斷④正確．【詳解】解：如圖1，是的高，

∴，∵在中，，∴，∴，即，∴，∵是邊上的兩點(diǎn)，且，∴，∴不可能是的中線，則結(jié)論①錯(cuò)誤；如圖2，是的中線，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，

∵是的中線，∴，在和中，，∴，∴，，∵在中，，∴，，∴，∴，∴，即，又∵，∴，∵，∴，有可能等于，∴可能是的高，結(jié)論②正確；如圖3，是的角平分線，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

由角平分線的性質(zhì)定理得：的邊上的高與的邊上的高相等，∵，∴，又∵，，∴，又∵，∴，∴不可能是的中線，則結(jié)論③錯(cuò)誤；如圖4，是的高，

∴，∵在中，，∴，∴，即，∵是邊上的兩點(diǎn)，且，∴，，∴，∴不可能是的角平分線，則結(jié)論④正確；綜上，上述推斷中所有正確結(jié)論的序號(hào)是②④，故答案為：②④．16．如圖，在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)F在上，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)F出發(fā)，以每秒的速度沿運(yùn)動(dòng)，最終到達(dá)點(diǎn)C；動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒的速度沿運(yùn)動(dòng)，最終回到點(diǎn)D；過(guò)點(diǎn)P作垂直直線于點(diǎn)M，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x，則當(dāng)秒時(shí)，與全等．【答案】【分析】本題考查三角形全等的判定與動(dòng)態(tài)問(wèn)題，根據(jù)長(zhǎng)方形得到，結(jié)合垂直得到，即可根據(jù)與全等得到，列式求解即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，①當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上時(shí)，∵四邊形是長(zhǎng)方形，∴，，∵，∴，∴，∵與全等，∴，∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)F出發(fā)，以每秒的速度沿運(yùn)動(dòng)，最終到達(dá)點(diǎn)C；動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒的速度沿運(yùn)動(dòng)，最終回到點(diǎn)D，∴，，∴，∴，解得：，②當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上時(shí)，∵與全等，∴，，∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)F出發(fā)，以每秒的速度沿運(yùn)動(dòng)，最終到達(dá)點(diǎn)C；動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒的速度沿運(yùn)動(dòng)，最終回到點(diǎn)D，∴，，，∴，∵，∴，無(wú)解，故答案為：．17．如圖，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與、重合），在同側(cè)分別作等邊和等邊，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接，以下四個(gè)結(jié)論①；②；③平分；④，其中正確結(jié)論的序號(hào)為．【答案】①②③④【分析】首先結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而證明，易得，結(jié)合“有一個(gè)角為60度的等腰三角形為等邊三角形”可得為等邊三角形，進(jìn)一步可知，可證明，即可判定結(jié)論②；證明，易得，結(jié)合三角形外角的定義性質(zhì)可得，即可判定結(jié)論①；過(guò)作，垂足分別為，利用面積法證明，證明平分，即可判斷結(jié)論③；在上取點(diǎn)，使得，證明為等邊三角形，進(jìn)一步證明，可知，進(jìn)一步可得，即可判斷結(jié)論④．【詳解】解：∵，均為等邊三角形，∴，，∴，即，在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴為等邊三角形，∴，∴，故結(jié)論②正確；∵，∴，∴，∴，故結(jié)論①正確；如圖，過(guò)作，垂足分別為，∵，，∴，即，∴，∴平分，故結(jié)論③正確；如圖，在上取點(diǎn)，使得，∵，∴為等邊三角形，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故結(jié)論④正確．綜上所述，結(jié)論正確的有①②③④．故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的定義和性質(zhì)、角平分線的判定等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．18．已知，如圖，長(zhǎng)方形，，．N為上一點(diǎn)，，M為上一動(dòng)點(diǎn)，將繞點(diǎn)N順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，連接，則當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，的度數(shù)為．【答案】【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)P作于Q，可證明得到，則點(diǎn)P在平行于的直線上，且該直線到的距離為1，過(guò)點(diǎn)P作交于H，交于T，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G，連接，連接交于，可證明當(dāng)P、D、G三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)的周長(zhǎng)有最小值，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)重合，證明，得到，再證明，即可得到．【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作于Q，由長(zhǎng)方形的性質(zhì)可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，∴，∴，∴，∴，又∵，∴點(diǎn)P在平行于的直線上，且該直線到的距離為1，如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作交于H，交于T，作點(diǎn)A關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)G，連接，連接交于，∴，∴的周長(zhǎng)，∴當(dāng)P、D、G三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，即此時(shí)的周長(zhǎng)有最小值，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)重合，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，故答案為：．三、解答題（共7小題，共78分）19．（10分）（1）如圖，方格紙中有一條直線和一格點(diǎn)C．在直線上找一點(diǎn)N，使得最?。唬?）如圖，已知點(diǎn)是直線外一點(diǎn)，用尺規(guī)作直線，使．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，垂線的定義，平行線的尺規(guī)作圖，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）取格點(diǎn)E，D，連接，交于N，點(diǎn)N即為所求；（2）過(guò)點(diǎn)C任作一條直線交直線于E，再作即可．【詳解】解：（1）如圖所示，取格點(diǎn)E，D，連接，交于N，點(diǎn)N即為所求；由網(wǎng)格的特點(diǎn)可得，則，由垂線段最短可得，點(diǎn)N即為所求；（5分）（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)C任作一條直線交直線于E，再作即可．（10分）20．（10分）周末，紅紅、青青與華華三人在公園玩蕩秋千，發(fā)現(xiàn)蕩秋千的過(guò)程中蘊(yùn)含著很多數(shù)學(xué)知識(shí)，于是，三人把蕩秋千的過(guò)程抽象為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行探討．如圖，紅紅坐在秋千的起始位置處，與地面垂直于，兩腳在地面上用力一蹬，青青在距地面高的處接住紅紅后用力一推，華華在處接住紅紅，若青青與華華到的水平距離、分別為和，(1)與全等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)華華是在距離地面多高的地方接住紅紅的？【答案】(1)與全等．理由見(jiàn)解析(2)華華是在距離地面的地方接住紅紅的．【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法．（1）根據(jù)證明與全等即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，，求出，據(jù)此求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：與全等．理由如下：由題意可知，，∵，∴，∴，在和中，，∴；（5分）（2）解：∵，∴，，∴，∵，∴，答：華華是在距離地面的地方接住紅紅的．（10分）21．（10分）如圖，在中，，是角平分線，與相交于點(diǎn)F，，垂足分別為M，N．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）求出，根據(jù)角平分線定義，得，，得，；（2）連接，判定也是角平分線，∴，證明，得，即得．【詳解】（1）解：∵在中，，∴，∵分別是的平分線，∴，，∴，∴，∴的度數(shù)為；（5分）（2）證明：如圖，連接，∵F是角平分線交點(diǎn)，∴也是角平分線，∴，∵由（1）知，，，，∴，，∴，在和中，，∴，∴．（10分）【點(diǎn)睛】本題考查了三角形角平分線．熟練掌握角平分線定義和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形角性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，是解題關(guān)鍵．22．（12分）如圖，一種地磚形如四邊形，其中,．已知．E，F(xiàn)分別是上的點(diǎn)，連接恰好垂直平分．(1)求的度數(shù)．(2)用該型號(hào)地磚給長(zhǎng)，寬的房間鋪地面．①能否實(shí)現(xiàn)無(wú)縫隙密鋪？請(qǐng)說(shuō)明理由；②如果要用該型號(hào)地磚無(wú)縫隙密鋪（可以切割鋪設(shè)），請(qǐng)直接寫(xiě)出至少需要多少塊．【答案】(1)(2)①能密鋪，理由見(jiàn)解析；②至少需要塊【分析】（1）先利用平行線的性質(zhì)得出．再證明是等腰直角三角形，從而可得，再利用垂直平分的性質(zhì)，得出，進(jìn)而求得的度數(shù)；（2）①先判斷能密鋪，再說(shuō)理，根據(jù)每塊磚的四個(gè)角分別為，相鄰磚可交替拼接，正好滿足密鋪條件，從而可得能夠密鋪；②先說(shuō)明四邊形是梯形，且是梯形的高，再利用梯形面積求得，并求得長(zhǎng)，寬的房間面積，房間面積除以梯形面積即可求解．【詳解】（1）解：，．又，，，是等腰直角三角形，．垂直平分，∴，．（6分）（2）①能密鋪．理由是：由（1）可知，每塊磚的四個(gè)角分別為，相鄰磚可通過(guò)交替拼接，正好滿足密鋪條件，∴能夠密鋪；（9分）②∵，∴四邊形是梯形，且是梯形的高，∴．∵長(zhǎng)，寬的房間面積，∵地磚取整數(shù)，∴至少需要塊．（12分）【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，垂直平分的性質(zhì)，求梯形的面積，等邊對(duì)等角，多邊形密鋪問(wèn)題，解題關(guān)鍵掌握上述知識(shí)點(diǎn)，并能熟練運(yùn)用求解．23．（12分）【問(wèn)題情境】在數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們開(kāi)展了探究?jī)山侵g數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)點(diǎn)C為線段上一點(diǎn)，分別以，為邊在線段同側(cè)作和，且，．，直線與交于點(diǎn)F．【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，若，則_______【深入探究】如圖2，若，則的度數(shù)為多少？【拓展提升】將圖2中的繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)任意角度，的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)F，如圖3，試探究與a的數(shù)量關(guān)系，并加以說(shuō)明理由．【答案】[初步思考]；[深入探究]；[拓展提升]；【分析】（1）根據(jù)證明，得出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到，進(jìn)而可得答案；（2）根據(jù)證明，得出，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可得到，進(jìn)而可得答案；（3）當(dāng)交點(diǎn)F在線段上，結(jié)合圖形，仿照（2）小題的證明解答即可．【詳解】解：【探索發(fā)現(xiàn)】∵∴在和∴∴∵∴∴故答案為：；（4分）【深入探究】∵∴在和∴∴∵∴∴故答案為：；（8分）【拓展提升】①當(dāng)交點(diǎn)F在線段上時(shí)，如圖，∵∴在和∴∴∵∴∴綜上，．（12分）【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，正確分類(lèi)、熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（12分）如圖1，在與中，，，，，，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)E在的上方．現(xiàn)有一動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)A出發(fā)，沿著三角形的邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止，速度為，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)如圖1，請(qǐng)連接，當(dāng)_______秒，．(2)如圖2，若點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，連接、，是否存在，若存在，求出t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)如圖3，若點(diǎn)Q是動(dòng)點(diǎn)，與P點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，沿著邊運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A停止（點(diǎn)Q的速度小于點(diǎn)P的速度）．在兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若線段分割所形成的三角形恰好與全等，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度_______．【答案】(1)或(2)存在，(3)或【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，垂線段最短，一元一次方程的應(yīng)用，運(yùn)用分類(lèi)討論的思想是解題的關(guān)鍵．（1）分三種情況討論，根據(jù)線段和差以及速度路程的關(guān)系建立方程求解即可；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，則，由三角形內(nèi)角和定理表示出，則，由鄰補(bǔ)角可得，再分三種情況討論，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，不存在；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，證明，則，則，即可求解；（3）設(shè)點(diǎn)的速度為，分四種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)建立方程求解，注意點(diǎn)Q的速度小于點(diǎn)P的速度．【詳解】（1）解：如圖，∵，，，∴，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，根據(jù)垂線段最短可得，∴點(diǎn)在上時(shí)不成立；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，∵，∴，解得：；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，∵，∴，解得：，綜上：當(dāng)或秒時(shí)，，故答案為：或．（4分）（2）解：存在，理由如下：設(shè)，當(dāng)時(shí)，則，∵，∴，∴，∴①當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，∵，∴，故不成立，∴不存在；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，如圖：∵，，∴，∵點(diǎn)Q是的中點(diǎn)，，∴，∵，∴，∴，∴，解得：；當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，顯然不成立，∴綜上，存在，．（8分）（3）解：設(shè)點(diǎn)的速度為，當(dāng)點(diǎn)在上，在上，時(shí)，如圖：則，∴，解得：（舍）；當(dāng)點(diǎn)在上，在上，時(shí)，如圖：則，∴，解得：；當(dāng)點(diǎn)在上，在上，時(shí)，如圖：則，∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為，點(diǎn)運(yùn)