單自由度系統(tǒng)的振動TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院12.1引言2.2

無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動

2.3

等效單自由度系統(tǒng)2.4

固有頻率的計算方法2.5

有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動2.6

簡諧激勵作用下的受迫振動2.7

周期激勵作用下的響應(yīng)2.8任意激勵作用下的響應(yīng)FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院22.1

引言為什么要研究單自由度系統(tǒng)的振動2.在工程上有許多振動系統(tǒng)可以簡化為單自由度系統(tǒng)，用單自由度系統(tǒng)的振動理論就可以得到滿意的結(jié)果。3.單自由度系統(tǒng)的基本概念具有普遍意義。多自由度系統(tǒng)和無限自由度系統(tǒng)的振動，在特殊的坐標系中考察時，顯示出與單自由度系統(tǒng)類似的性態(tài)。1.單自由度系統(tǒng)的振動是進一步學習多自由度系統(tǒng)振動的基礎(chǔ)。?FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院32.1

引言FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院42.1

引言同一個實際系統(tǒng)，我們的研究目的不一樣，得到的力學模型也可能不一樣。簡化機床彈性襯墊基礎(chǔ)混凝土如果估算機床的整體振動或以設(shè)計隔振器為目的就可以將此系統(tǒng)簡化為單自由度系統(tǒng)；以研究機床工作時機床本身的彈性變形引起的振動，則不能將其簡化為單自由度系統(tǒng)，一般要用有限單元法分析。問題1FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院52.1

引言振動系統(tǒng)慣性元件阻尼元件彈性元件FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院62.1

引言線性范圍當較小時彈簧的剛度系數(shù)，單位：

彈性元件的意義和性質(zhì)1.彈性元件FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院72.1

引言彈簧的剛度系數(shù)的物理意義：使彈簧產(chǎn)生單位位移所需施加的力對彈性元件需要說明幾點：

通常假定彈簧是無質(zhì)量的；

假定振動系統(tǒng)的振動幅值不會超過彈性元件的線性范圍；FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院82.1

引言

彈簧的等效剛度系數(shù)FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院92.1

引言彈簧串連后，其等效剛度系數(shù)變大還是變小了？上述公式可否推廣？FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院102.1

引言慣性元件的意義和性質(zhì)2.慣性元件FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院112.1

引言阻尼元件的意義和性質(zhì)阻尼系數(shù)：使阻尼器產(chǎn)生單位速度所需施加的力，單位：3.阻尼元件FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院122.1

引言例1：判斷下列系統(tǒng)中，哪些彈簧是串聯(lián)的，哪些彈簧是并聯(lián)的。(c)(b)(a)FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院132.1

引言(e)(f)(d)FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院142.1

引言√問題2FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院152.1

引言問題2╳FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院162.1

引言問題3剛性桿無質(zhì)量彈性桿等效FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院172.1

引言二階常系數(shù)線性微分方程的解二階常系數(shù)齊次微分方程：為任意常數(shù)。(1)定理1（解的線性疊加定理）：若是齊次方程(1)的解，則它們的任意線性組合也是方程(1)的解。為任意常數(shù)。1.齊次微分方程通解的結(jié)構(gòu)是齊次方程的通解么?問題：FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院182.1

引言定理2（通解的結(jié)構(gòu)定理）：若是齊次方程(1)的兩個線性無關(guān)的特解，則是齊次方程(1)的通解.為任意常數(shù)。問題1：線性無關(guān)是什么意思？問題2：特解是什么意思？不含任意常數(shù)的確定的微分方程的解只有時，才能使成立。FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院192.1

引言2.非齊次微分方程通解的結(jié)構(gòu)二階常系數(shù)非齊次微分方程：為任意常數(shù)。(2)定理3：若是非齊次方程(2)的特解,為對應(yīng)齊次方程的通解,則是非齊次方程(2)的通解。非齊次通解齊次通解非齊次特解=＋FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院202.1

引言3.齊次微分方程通解的求法—特征根法

特征根

通解形式

不相等實根

相等實根

共軛復根FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院212.1

引言4.非齊次微分方程特解的求法—待定系數(shù)法二階常系數(shù)非齊次微分方程：其中：或為待定常數(shù)。特解的形式：

當不是特征方程的根時，

當是特征方程的單根時，F(xiàn)undamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院222.1

引言

求下列齊次方程的通解

求下列非齊次方程的特解作業(yè)FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院232.2

無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動1.固有頻率概念的引出無阻尼單自由度系統(tǒng)固有頻率單位：rad/s特征方程natrual的第一個字母FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院242.2

無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動對固有頻率的正確理解：固有頻率僅取決于系統(tǒng)的剛度和質(zhì)量；固有頻率與初始條件和外力等外界因素無關(guān)，是系統(tǒng)的固有特性；它與系統(tǒng)是否振動著以及如何進行振動的方式都毫無關(guān)系固有頻率FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院252.2

無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動2初始擾動引起的自由振動自由振動：運動方程：通解：特征根：FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院262.2

無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動初相位振幅：初相位：自由振動：振幅簡諧運動的三要素頻率初始條件是外界能量注入的一種方式，有初始位移即注入了彈性勢能，有初始速度即注入了動能。無阻尼的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)受到初始擾動后，其自由振動是以為振動頻率的簡諧振動，并且永無休止；在簡諧運動三要素中，哪些參數(shù)是系統(tǒng)的固有參數(shù)？哪些參數(shù)是依賴于外部條件的參數(shù)？FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院272.2

無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院2.2

無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動另一種形式振幅初相位角無阻尼的自由振動是以其靜平衡位置為振動中心的簡諧振動28TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院292.2

無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動系統(tǒng)振動的周期系統(tǒng)振動的頻率系統(tǒng)振動的圓頻率為圓頻率ωn

是物塊在自由振動中每2

秒內(nèi)振動的次數(shù)。f、ωn只與振動系統(tǒng)的彈簧剛度k和物塊的質(zhì)量m有關(guān)，而與運動的初始條件無關(guān)。因此，通常將頻率f稱為固有頻率，圓頻率ωn稱為固有圓頻率。FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院30用彈簧靜變形量表示固有圓頻率的計算公式2.2

無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動物塊靜平衡位置時固有圓頻率TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院312.2

無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(1)簡諧振動是一種周期振動周期振動滿足：振動周期，單位：秒（s）3簡諧振動的特征無阻尼單自由度系統(tǒng)的固有周期

FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院322.2

無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動固有頻率表示單位時間內(nèi)重復振動的次數(shù).的單位：FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院332.2

無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(2)簡諧振動的位移、速度和加速度之間的關(guān)系求導求導

速度與位移的“相位差是90度”意味著什么？

加速度與位移的“相位差是180度”意味著什么？位移最大時，速度為零；速度最大時，位移為零加速度與位移的最大值出現(xiàn)在同一時刻，但符號相反FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院342.2

無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動(3)振動方向相同的簡諧振動的合成兩個頻率相同的簡諧振動的合成（相加）結(jié)果仍為簡諧振動，且頻率不變；若兩個分振動同相，則兩分振動相互加強若兩個分振動反相，則兩分振動相互減弱oFundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院352.2

無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動兩個同頻率不同的簡諧振動的合成，如果兩頻率比為有理數(shù)（可通約）時，合成振動為周期振動；為無理數(shù)時，為非周期振動；合成信號：FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院362.2

無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動可通約的兩個近頻簡諧振動合成后會產(chǎn)生周期性的拍振。FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院372.2

無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動拍：合振幅隨時間做周期型變化，振動時而加強、時而減弱。一個拍ABCFundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院382.2

無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動判斷對錯：一個振動系統(tǒng)當未受到外力的持續(xù)激勵時，不會發(fā)生振動;2.單自由度線性無阻尼系統(tǒng)的自由振動頻率由系統(tǒng)的參數(shù)確定，與初始條件無關(guān);3.線性諧振子的振動周期與其振幅有關(guān)，振幅越大，則周期越長;4.自由振動是初始激勵引起的振動，因此，對于一個單自由度線性系統(tǒng)，初始條件不同，自由振動的振幅、相位、頻率均不同；╳╳√5.單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動頻率為其固有頻率。√╳FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院392.2

無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動【例】在圖中，已知物塊的質(zhì)量為m，彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為k1、k2，分別求并聯(lián)彈簧與串聯(lián)彈簧直線振動系統(tǒng)的固有頻率。解：（1）并聯(lián)情況。彈簧并聯(lián)的特征是：二彈簧變形相等。

系統(tǒng)平衡方程是串聯(lián)彈簧與并聯(lián)彈簧的等效剛度FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院402.2

無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動如果用一根彈簧剛度系數(shù)為k的彈簧來代替原來的兩根彈簧，使該彈簧的靜變形與原來兩根彈簧所產(chǎn)生的靜變形相等，則 k稱為并聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)。并聯(lián)后的等效彈簧剛度系數(shù)是各并聯(lián)彈簧剛度系數(shù)的算術(shù)和。系統(tǒng)的固有頻率FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院412.2

無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動（2）串聯(lián)情況。串聯(lián)彈簧的特征是：二彈簧受力相等。

由于每根彈簧所受的拉力都等于重力mg，故它們的靜變形分別為如果用一根彈簧剛度系數(shù)為k的彈簧來代替原來的兩根彈簧，此彈簧的靜變形等于k稱為串聯(lián)彈簧的等效剛度系數(shù)串聯(lián)后的彈簧剛度系數(shù)的倒數(shù)等于各串聯(lián)彈簧剛度系數(shù)倒數(shù)的算術(shù)和FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院422.2

無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動【例】質(zhì)量為m的物塊懸掛如圖所示。設(shè)桿AB的質(zhì)量不計，兩彈簧的彈簧剛度系數(shù)分別為k1和k2,又AC=a，AB=b，求物塊的自由振動頻率。解：將各彈簧的剛度系數(shù)按靜力等效的原則，折算到質(zhì)量所在處。先將剛度系數(shù)k2換算至質(zhì)量m所在處C的等效剛度系數(shù)k

。C設(shè)在C處作用一力F，按靜力平衡的關(guān)系，作用在B處的力為此力使B彈簧k2產(chǎn)生變形，而此變形使C點發(fā)生的變形為組合彈簧的等效剛度FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院432.2

無阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動得到作用在C處而與k2彈簧等效的剛度系數(shù)C物塊的自由振動頻率為與彈簧k1串聯(lián)得系統(tǒng)的等效剛度系數(shù)FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院442.2等效單自由度系統(tǒng)在實際工程中，有許多振動系統(tǒng)可以簡化成單自由度質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)，它們具有相同形式的振動方程，即這些振動系統(tǒng)具有等效性。單自由度扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)汽車的傳動軸、發(fā)動機的曲軸在運轉(zhuǎn)過程中常產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動，簡稱扭振。若在圓盤的水平面內(nèi)施加一個力矩，再突然撤去，則圓盤將在水平面內(nèi)做扭轉(zhuǎn)振動，這種裝置也稱為扭擺。FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院452.2等效單自由度系統(tǒng)鉛垂圓軸上端固定，下端與水平圓盤固連，圓盤對圓軸的轉(zhuǎn)動慣量為J。假設(shè)圓軸的質(zhì)量可以略去不計，圓軸的扭轉(zhuǎn)剛度為kT，表示使圓盤產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需的力矩，設(shè)在某一時間t圓盤的角位移為θ。運動微分方程扭轉(zhuǎn)振動的固有頻率單自由度扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的自由振動與單自由度質(zhì)量—彈簧系統(tǒng)的對應(yīng)關(guān)系FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院462.2等效單自由度系統(tǒng)單擺繞水平軸轉(zhuǎn)動的細長桿，下端附有一重錘，組成單擺，也稱為數(shù)學擺。假設(shè)細長桿的質(zhì)量和重錘的體積可以略去不計，細長桿長為l，重錘質(zhì)量為m，設(shè)在某一時間t擺偏離靜平衡位置的角度為θ。運動微分方程單擺的振動幅度不大單擺的固有頻率當單擺以微小振幅振動時，振動周期與重錘的質(zhì)量無關(guān)。FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院472.2等效單自由度系統(tǒng)簡支梁橫向振動簡支梁的質(zhì)量全部集中在梁的中部且為m，選取梁的中部撓度δ作為系統(tǒng)的位移，根據(jù)材料力學公式，可得簡支梁的靜撓度E為梁的彈性模量，I為梁橫截面的慣性矩，EI為梁截面的抗彎剛度。簡支梁的等效剛度運動微分方程簡支梁橫向振動的固有頻率FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院48【例】一個質(zhì)量為m的物塊從h的高處自由落下，與一根抗彎剛度為EI、長為的簡支梁作塑性碰撞，不計梁的質(zhì)量，求該系統(tǒng)自由振動的頻率、振幅和最大撓度。解：當梁的質(zhì)量可以略去不計時，梁可以用一根彈簧來代替，于是這個系統(tǒng)簡化成彈簧—質(zhì)量系統(tǒng)。如果知道系統(tǒng)的靜變形，則求出系統(tǒng)的固有頻率由材料力學可知，簡支梁受集中載荷作用，其中點靜撓度為求出系統(tǒng)的固有頻率為2.2等效單自由度系統(tǒng)FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院49以梁承受重物時的靜平衡位置為坐標原點O，建立坐標系，并以撞擊時刻為零瞬時，則t=0時，有自由振動的振幅為梁的最大撓度2.2等效單自由度系統(tǒng)FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院502.3固有頻率的計算方法微分方程法運動微分方程系統(tǒng)的固有頻率能量方法等效質(zhì)量和等效剛度法系統(tǒng)的固有頻率等效質(zhì)量等效剛度靜變形法equivalent的前兩個字母⑤瑞利法求單自由度無阻尼系統(tǒng)固有頻率的幾種方法FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院51能量法在無阻尼單自由度振動系統(tǒng)中沒有能量損失，在振動過程中，動能與勢能不斷轉(zhuǎn)換，但系統(tǒng)總的機械能守恒，振動將永遠持續(xù)下去。在任一瞬時，系統(tǒng)機械能守恒T：動能，由系統(tǒng)質(zhì)量產(chǎn)生。V：勢能，系統(tǒng)重力做功產(chǎn)生的勢能或彈性變形產(chǎn)生的勢能。對t求導將動能與勢能代入，化簡可得出系統(tǒng)的運動微分方程。2.3固有頻率的計算方法FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院52取靜平衡位置為勢能零點，根據(jù)自由振動的特點，當系統(tǒng)在靜平衡位置時，勢能為零，動能具有最大值Tmax，且就是全部的機械能。當系統(tǒng)在最大偏離位置時，動能為零，勢能具有最大值Vmax，且就是全部的機械能。對較復雜系統(tǒng)，用能量法求解系統(tǒng)的固有頻率，有時更為方便。2.3固有頻率的計算方法FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院能量方法：動能：勢能：簡諧運動2.3固有頻率的計算方法FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院53TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院54【例】

船舶振動記錄儀的原理圖如圖所示。重物P連同桿BD對于支點B的轉(zhuǎn)動慣量為IE,求重物P在鉛直方向的振動頻率。已知彈簧AC的彈簧剛度系數(shù)是k。解：這是單自由度的振動系統(tǒng)。系統(tǒng)的位置可由桿BD自水平的平衡位置量起的角來決定。系統(tǒng)的動能設(shè)系統(tǒng)作簡諧振動，則其運動方程角速度為系統(tǒng)的最大動能為2.3固有頻率的計算方法FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院55如取平衡位置為系統(tǒng)的勢能零點。設(shè)在平衡位置時，彈簧的伸長量為dst

。此時，彈性力Fst=kdst,方向向上。

該系統(tǒng)的勢能2.3固有頻率的計算方法FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院56等效質(zhì)量和等效剛度法2.3固有頻率的計算方法FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院57靜變形法2.3固有頻率的計算方法由材料力學可知，簡支梁受集中載荷作用，其中點靜撓度為FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院瑞利法：問題一：

前面的討論中，都忽略了系統(tǒng)中彈簧的質(zhì)量（只有彈性而無慣性）現(xiàn)象1：將分布質(zhì)量系統(tǒng)簡化為單自由度系統(tǒng)，可滿足一部分工程問題現(xiàn)象2：彈簧本身的質(zhì)量占系統(tǒng)總質(zhì)量的一定比例，影響系統(tǒng)的固有頻率問題二：

考慮彈簧的質(zhì)量，就變成連續(xù)系統(tǒng)的振動問題方法：仍將分布質(zhì)量系統(tǒng)簡化為單自由度系統(tǒng)，求固有頻率的近似方法，

稱為瑞利法2.3固有頻率的計算方法FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院58瑞利法：利用能量法，將彈簧的分布質(zhì)量的動能計入系統(tǒng)的總動能，仍按單自由度系統(tǒng)求固有頻率的近似方法，稱為瑞利法。應(yīng)用瑞利法，首先應(yīng)假定系統(tǒng)的振動位形。等效質(zhì)量l對于圖示系統(tǒng)，假設(shè)彈簧上各點在振動過程中任一瞬時的位移與一根等直彈性桿在一端固定另一端受軸向力作用下各截面的靜變形一樣。根據(jù)胡克定律，各截面的靜變形與離固定端的距離成正比。依據(jù)此假設(shè)計算彈簧的動能，并表示為集中質(zhì)量的動能為系統(tǒng)的勢能沒有改變，與不考慮彈簧質(zhì)量是一樣的，然后按照能量法求解。2.3固有頻率的計算方法FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院59TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院60【例】在圖示系統(tǒng)中，彈簧長l，其質(zhì)量ms。求彈簧的等效質(zhì)量及系統(tǒng)的固有頻率。左端距離為

的截面的位移為，則d

彈簧的動能為l

d

假設(shè)彈簧各點在振動中任一瞬時的位移和一根直桿在一端固定另一端受軸向載荷作用時各截面的靜變形一樣解：令x表示彈簧右端的位移，也是質(zhì)量m的位移。2.3固有頻率的計算方法FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院61彈簧的總動能系統(tǒng)的總動能為系統(tǒng)的勢能為固有頻率為設(shè)l

d

2.3固有頻率的計算方法FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院填空：課堂練習1.無阻尼單自由度系統(tǒng)的固有頻率其單位是2.無阻尼單自由度系統(tǒng)的固有頻率3.簡諧振動的三要素：、和振幅頻率初相位FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院624.兩個頻率不同的簡諧振動的合成，如果兩頻率比為

時，合成振動為周期振動.5.單自由度無阻尼振動系統(tǒng)的自由振動解為：寫為正弦形式為：其中：有理數(shù)課堂練習FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院63TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院64求圖示系統(tǒng)的固有頻率(注：圖中所示位置均為靜平衡位置)。(a)(b)(c)課外作業(yè)二FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院652.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動阻尼：阻礙物體運動，消耗系統(tǒng)能量的各種因素統(tǒng)稱為阻尼。

阻尼的機理十分復雜，只靠物理學上的、力學上的定理是不能得到實際系統(tǒng)的阻尼的。因此，阻尼往往通過實驗來確定。

任何事物都有兩面性，這是辨證唯物主義的基本原理。阻尼也不例

外，阻尼既有有用的一面也有有害的一面：有用的一面：消耗系統(tǒng)振動能量，減小振動幅值，增加系統(tǒng)的穩(wěn)定性有害的一面：增加運動阻力，降低運動速度，如魚雷FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院662.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動

增加阻尼的例子圖磁流變阻尼器原理圖高壓輸電線阻尼器FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院672.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動

減小阻尼的例子圖超空泡魚雷當物體在水中的運動速度超過50米/秒時，鈍頭航行器或安裝在頭部的空泡發(fā)生器可產(chǎn)生低密度氣穴，使物體被包圍在由自己產(chǎn)生的長氣泡內(nèi)部，以最小的阻力飛速前進。

FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院682.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動牛頓第二定律運動微分方程1.自由運動微分方程的建立FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院阻尼比臨界阻尼系數(shù)2特征根2.4有阻尼系統(tǒng)的衰減振動欠阻尼情況

臨界阻尼情況

過阻尼情況

FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院69(1)過阻尼情況

特征方程有一對互異實根，故通解為：2.4有阻尼系統(tǒng)的衰減振動1、通解中已不含有簡諧振動因子。2、物體由初始條件激勵產(chǎn)生運動，隨時間的增大，逐漸趨于平衡位置。3、這種運動不僅是非周期的，而且不再具有振動的性質(zhì)。FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院70TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院71圖質(zhì)量塊對初始位移的過阻尼響應(yīng)結(jié)論：過阻尼系統(tǒng)的自由運動為衰減非振蕩運動。

2.4有阻尼系統(tǒng)的衰減振動FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院(2)臨界阻尼情況

特征方程有一對相等實根，故通解：2.4有阻尼系統(tǒng)的衰減振動1、與過阻尼的情形相似，不具有振動的性質(zhì)。2、它是過阻尼情形的下邊界，同一個系統(tǒng)，受相同的運動初始條件激勵，臨界阻尼情形中位移最大，而且返回平衡位置很快。FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院72圖質(zhì)量塊對初始條件的臨界阻尼響應(yīng)結(jié)論：臨界阻尼系統(tǒng)的自由運動為衰減非振蕩運動。2.4有阻尼系統(tǒng)的衰減振動臨界情形：從衰減振動過渡到非周期運動的臨界狀態(tài)。1、運動規(guī)律在性質(zhì)上發(fā)生變化。2、臨界阻尼系數(shù)記為Cc3、只取決于系統(tǒng)本身的質(zhì)量與剛度系統(tǒng)。

FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院73(3)欠阻尼情況

(阻尼振動頻率)或：欠阻尼系統(tǒng)的自由振動響應(yīng)2.4有阻尼系統(tǒng)的衰減振動FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院74振幅按指數(shù)規(guī)律衰減；自由振動具有等時性，即相鄰兩個正（負）峰值之間的時間間隔均為:阻尼振動周期

自由振動為非周期振動；自由振動曲線(欠阻尼)3.欠阻尼振動特性：2.4有阻尼系統(tǒng)的衰減振動FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院75TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院762.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動引入對數(shù)衰減率來描述振動衰減的快慢

相鄰的兩次振動振幅之比的自然對數(shù)叫作對數(shù)衰減率。當系統(tǒng)阻尼比較小時，有：FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院772.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動圖阻尼比對自由振動的影響FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院【思路】：【例】:

有一阻尼單自由度系統(tǒng)，測得質(zhì)量m=5kg，剛度系數(shù)k=500N/m。試驗測得在6個阻尼自然周期內(nèi)振幅由0.02m衰減到0.012m，試求系統(tǒng)的阻尼比和阻尼器的阻尼系數(shù)。根據(jù)得到系統(tǒng)的阻尼比對數(shù)衰減率根據(jù)得到阻尼器的阻尼系數(shù)【關(guān)鍵】：正確求出對數(shù)衰減率2.4有阻尼系統(tǒng)的衰減振動FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院78TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院792.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動【解】：

FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院802.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動【例】:圖示為一擺振系統(tǒng)，不計剛性擺桿質(zhì)量，。求系統(tǒng)繞o點小幅擺動的阻尼振動頻率和臨界阻尼系數(shù)。圖擺振系統(tǒng)的小幅振動【思路】要想求阻尼振動頻率：就要求：通過系統(tǒng)的運動微分方程來求：對不對？當時所對應(yīng)的阻尼系數(shù)就是臨界阻尼系數(shù)。FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院812.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動圖擺振系統(tǒng)的小幅振動解：廣義坐標：正方向：順時針動量矩定理：FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院固有頻率：阻尼比：阻尼振動頻率：臨界阻尼系數(shù)：2.4有阻尼系統(tǒng)的衰減振動特征方程：解法一：解法二：等效質(zhì)量等效剛度FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院82TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院832.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動【例】在欠阻尼（z<1）的系統(tǒng)中，在振幅衰減曲線的包絡(luò)線上，已測得相隔N個周期的兩點P、R的幅值之比xP/xR=r，如圖所示，試確定此振動系統(tǒng)的阻尼比。解：振動衰減曲線的包絡(luò)線方程為設(shè)P、R兩點在包絡(luò)線上的幅值為xP、xR

，則有當z2<<1時此式對估算小阻尼系統(tǒng)的z值是很方便的。例如，經(jīng)過10個周期測得P、R兩點的幅值比r=2，將N=10、r=2代入上式，得到該系統(tǒng)的阻尼比FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院842.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動【例】質(zhì)量為m=2450kg的汽車，壓在4個車輪彈簧上，可使每個彈簧壓縮

st=150mm，當每個彈簧都并聯(lián)上一個粘性阻尼器后，振幅衰減為A1/A3=10；求：1）振幅減縮率

和對數(shù)減縮率

；2）衰減系數(shù)n=c/2m和衰減振動的周期Td；3）臨界阻尼系數(shù)cc。解：畫車身鉛垂振動的受力圖，坐標x的原點為車身的靜平衡位置，車身的運動微分方程為FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院852.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動由已知條件和定義，得：取對數(shù)得，＝2FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院862.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動Omg

XOYOFKFC【例】一長度為l、質(zhì)量為m的均質(zhì)剛性桿鉸接于O點并以彈簧和粘性阻尼器支承，如圖所示。寫出運動微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)和阻尼z振動頻率的表達式。當n＝ωn時，c＝cC解：圖為系統(tǒng)的靜平衡位置，畫受力圖。由動量矩定理，列系統(tǒng)的運動微分方程為：FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院872.4有阻尼單自由度系統(tǒng)的自由振動1.系統(tǒng)阻尼比的定義是：2.阻尼振動（自然）頻率的定義是：3.欠阻尼自由振動響應(yīng)是：4.對數(shù)衰減率為：填空：判斷對錯：1.單自由度欠阻尼系統(tǒng)的自由振動具有等時性，所以是周期運動；╳FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院

簡諧激勵下無阻尼系統(tǒng)的受迫振動

簡諧激勵下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動從數(shù)學的角度理解共振現(xiàn)象會求單自由度有阻尼系統(tǒng)的受迫振動響應(yīng)會根據(jù)幅頻特性曲線計算系統(tǒng)的阻尼比掌握單自由度有阻尼系統(tǒng)的受迫振動的特征2.5簡諧激勵作用下的受迫振動FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院88TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院892.5簡諧激勵作用下的受迫振動1.簡諧力激勵作用下無阻尼系統(tǒng)的受迫振動受迫振動:受迫振動方程：系統(tǒng)在持續(xù)的外界控制的激勵的作用下所發(fā)生的振動。激勵受外界控制，與振動系統(tǒng)本身無關(guān)自激振動方程（顫振）：激勵受系統(tǒng)控制，受振動系統(tǒng)的運動控制自激振動:系統(tǒng)在自身控制的激勵的作用下所發(fā)生的振動。FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院902.5簡諧激勵作用下的受迫振動受迫振動方程：非齊次通解齊次通解非齊次特解=＋齊次方程通解：理解共振現(xiàn)象的數(shù)學本質(zhì)FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院912.5簡諧激勵作用下的受迫振動1.如果非齊次方程通解：特解：待定常數(shù)：由初始條件引起的自由振動部分與外激勵頻率相同的受迫振動部分FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院922.5簡諧激勵作用下的受迫振動2.如果特解：特解的形式：非齊次方程通解：待定常數(shù)：FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院932.5簡諧激勵作用下的受迫振動圖共振響應(yīng)FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院942.5簡諧激勵作用下的受迫振動【思考】：實際系統(tǒng)在共振時，其振幅會是無限大么？1.實際系統(tǒng)都存在阻尼，阻尼能夠使系統(tǒng)在共振時維持有限的振幅。2.當振幅增大到一定程度后，支配系統(tǒng)運動的微分方程已經(jīng)不再是線性微分方程了，而是非線性運動微分方程，所以此時根據(jù)線性運動方程得到的結(jié)果已經(jīng)不能反映實際情況了。FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院952.5簡諧激勵作用下的受迫振動【例】求圖示系統(tǒng)在外激勵作用下的響應(yīng)，齊次方程的通解：由初始條件得到：所以齊次方程的通解為：非齊次方程的特解為：所以系統(tǒng)的響應(yīng)為：*解：FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院962.5簡諧激勵作用下的受迫振動2.簡諧力激勵作用下有阻尼系統(tǒng)的受迫振動求齊次方程通解1.簡諧激勵下受迫振動的解運動方程：求非齊次方程特解特解的形式：圖阻尼受迫振動系統(tǒng)FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院972.5簡諧激勵作用下的受迫振動完整的受迫振動解：瞬態(tài)振動

穩(wěn)態(tài)振動受迫振動響應(yīng)的特征：總的振動響應(yīng)：瞬態(tài)振動和穩(wěn)態(tài)振動的疊加；隨著時間的增加，瞬態(tài)振動消失，響應(yīng)主要由穩(wěn)態(tài)振動構(gòu)成；穩(wěn)態(tài)振動與激勵同頻，但與激勵之間有相位差;④穩(wěn)態(tài)振動的振幅和相位差與初始條件無關(guān)，初始條件只影響系統(tǒng)的瞬態(tài)振動。FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院982.5簡諧激勵作用下的受迫振動圖受迫振動的構(gòu)成0246810-2-1012B0瞬態(tài)振動完整受迫振動穩(wěn)態(tài)振動utFundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院992.5簡諧激勵作用下的受迫振動引入兩個無量綱參數(shù)：穩(wěn)態(tài)振動：頻率比：位移振幅放大因子：

位移幅頻特性FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院1002.5簡諧激勵作用下的受迫振動0123012345λ=0.707λ=0.2λ=0.01λλ=0.1圖位移幅頻特性頻率比對位移響應(yīng)幅值的影響：低頻段：

受迫振動的穩(wěn)態(tài)振動幅值接近激勵力作用下的靜位移，激勵力作用接近于靜力作用。βdFundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院1012.5簡諧激勵作用下的受迫振動高頻段：

0123012345λ=0.707λ=0.2λ=0.01λλ=0.1圖位移幅頻特性位移振幅放大因子趨于0，受迫振動在穩(wěn)態(tài)振動時幾乎靜止不動。激振力的方向改變過快，振動物體由于慣性來不及發(fā)生相應(yīng)的變化，結(jié)果是近似地停著不動。βdFundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院1022.5簡諧激勵作用下的受迫振動圖位移幅頻特性位移共振：

0123012345λ=0.707λ=0.2λ=0.01βdλλ=0.1位移幅頻特性曲線出現(xiàn)峰值FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院1032.5簡諧激勵作用下的受迫振動阻尼比對位移響應(yīng)幅值的影響：阻尼在共振區(qū),對減小振幅有顯著作用；在遠離共振區(qū)，阻尼對減小振幅的作用不大圖位移幅頻特性0123012345z=0.707z=0.2z=0.01bdlz=0.1FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院1042.5簡諧激勵作用下的受迫振動圖位移相頻特性0123-p-p/20λ=0.2λ=0.1λ=0.707λ=0.01ψdλ低頻段：說明響應(yīng)與激勵之間幾乎是同相的。相位差隨頻率比的變化：FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院1052.5簡諧激勵作用下的受迫振動圖：低頻段響應(yīng)與激勵之間幾乎是同相的。FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院1062.5簡諧激勵作用下的受迫振動高頻段：說明響應(yīng)與激勵之間是反相的。圖位移相頻特性0123-p-p/20λ=0.2λ=0.1λ=0.707λ=0.01ψdλFundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院1072.5簡諧激勵作用下的受迫振動圖：高頻段響應(yīng)與激勵之間是反相的。FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院1082.5簡諧激勵作用下的受迫振動位移共振：說明響應(yīng)與激勵之間相差90度。圖位移相頻特性0123-p-p/20λ=0.2λ=0.1λ=0.707λ=0.01ψdλFundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院1092.5簡諧激勵作用下的受迫振動圖：共振時，響應(yīng)與激勵之間相差90度。FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院穩(wěn)態(tài)振動的位移時間歷程：穩(wěn)態(tài)振動的速度時間歷程：穩(wěn)態(tài)振動的速度時間歷程：速度振幅放大因子：加速度振幅放大因子：2.5簡諧激勵作用下的受迫振動FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院110TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院1112.5簡諧激勵作用下的受迫振動①低頻段(λ<<1)系統(tǒng)運動主要由彈性力與激勵力的平衡關(guān)系決定，系統(tǒng)基本呈現(xiàn)彈性。FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院1122.5簡諧激勵作用下的受迫振動②高頻段(λ>>1)系統(tǒng)運動主要由慣性力與激勵力的平衡關(guān)系決定，系統(tǒng)基本呈現(xiàn)慣性。FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院1132.5簡諧激勵作用下的受迫振動③共振頻段(λ≈1)統(tǒng)一規(guī)定，λ=1時發(fā)生共振。FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院1142.5簡諧激勵作用下的受迫振動“共振時彈性力與慣性力相平衡，系統(tǒng)的響應(yīng)由阻尼力與激振力間的平衡關(guān)系確定，系統(tǒng)基本呈阻尼特性”。慣性力阻尼力彈性恢復力++激振力+=0激振力：阻尼力：慣性力：彈性恢復力：共振時，有：FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院1152.5簡諧激勵作用下的受迫振動3測量單自由度系統(tǒng)阻尼比的方法(1)自由振動衰減法量得相隔周的兩個振幅，根據(jù)如下公式計算系統(tǒng)的阻尼比：測得單自由度系統(tǒng)的自由振動曲線FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院(2)半功率法半功率點半功率帶寬半功率點阻尼比：思考：假設(shè)通過實驗已經(jīng)測得曲線，有沒有必要將其轉(zhuǎn)化為曲線?阻尼比小，則品質(zhì)因數(shù)高，共振區(qū)窄，共振峰陡峭；反之，阻尼比大，品質(zhì)因數(shù)低，共振區(qū)寬，共振峰平坦。共振時系統(tǒng)呈阻尼特性，可利用共振現(xiàn)象實測系統(tǒng)阻尼?？稍诜l特性曲線上確定半功率帶寬。2.5簡諧激勵作用下的受迫振動FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院116【例】

質(zhì)量為M的電機安裝在彈性基礎(chǔ)上。由于轉(zhuǎn)子不均衡，產(chǎn)生偏心，偏心距為e，偏心質(zhì)量為m。轉(zhuǎn)子以勻角速w轉(zhuǎn)動如圖示，試求電機的運動。彈性基礎(chǔ)的作用相當于彈簧常量為k的彈簧。設(shè)電機運動時受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系數(shù)為c?！痉治觥?、什么運動？實際上是求什么運動？2、轉(zhuǎn)子偏心，實際上是什么？2.5簡諧激勵作用下的受迫振動FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院117根據(jù)達朗貝爾原理，有2.5簡諧激勵作用下的受迫振動解：取電機的平衡位置為坐標原點O，x軸鉛直向下為正。作用在電機上的力有重力Mg、彈性力F、阻尼力FR、虛加的慣性力FIe、FIr，受力圖如圖所示。FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院118電機作受迫振動的運動方程為當激振力的頻率即電機轉(zhuǎn)子的角速度等于系統(tǒng)的固有頻率ωn時，該振動系統(tǒng)產(chǎn)生共振，此時電機的轉(zhuǎn)速稱為臨界轉(zhuǎn)速。2.5簡諧激勵作用下的受迫振動FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院119阻尼比z較小時，在l=1附近，b值急劇增大，發(fā)生共振。由于激振力的幅值me

2與

2成正比。當→0時，

≌0，B→0；當

>>1時，

→1，B→

，即電機的角速度遠遠大于振動系統(tǒng)的固有頻率時，該系統(tǒng)受迫振動的振幅趨近于。

幅頻特性曲線和相頻特性曲線2.5簡諧激勵作用下的受迫振動FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院120TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院1212.5簡諧激勵作用下的受迫振動【1】實際系統(tǒng)在共振時，其振幅會不會無限大?！?】求解系統(tǒng)完整的受迫振動響應(yīng)時，需要注意列出完整的受迫振動響應(yīng)表達式后再代入初始條件求待定常數(shù)。單自由度有阻尼系統(tǒng)在簡諧激勵下的受迫振動響應(yīng)的特征：

總的振動響應(yīng)：瞬態(tài)振動和穩(wěn)態(tài)振動的疊加；隨著時間的增加，瞬態(tài)振動消失，響應(yīng)主要由穩(wěn)態(tài)振動構(gòu)成；穩(wěn)態(tài)振動與激勵同頻，但與激勵之間有相位差;④穩(wěn)態(tài)振動的振幅和相位差與初始條件無關(guān)，初始條件只影響系統(tǒng)的瞬態(tài)振動?！?】小結(jié)FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院1222.5簡諧激勵作用下的受迫振動【6】

測量單自由度系統(tǒng)阻尼比的方法(1).自由振動衰減法(2)半功率法統(tǒng)一規(guī)定，頻率比時發(fā)生共振?！?】阻尼比對位移響應(yīng)幅值的影響：

阻尼在共振區(qū),對減小振幅有顯著作用；在遠離共振區(qū)，阻尼對減小振幅的作用不大【5】FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院作業(yè)習題：2-72-92-122-13FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院123TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院1242.5簡諧激勵作用下的受迫振動受迫振動系統(tǒng)的能量關(guān)系從能量的觀點分析，振動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)受迫振動的實現(xiàn)，是輸入系統(tǒng)的能量和消耗的能量平衡的結(jié)果?，F(xiàn)將討論簡諧激振力作用下的系統(tǒng)，在穩(wěn)態(tài)受迫振動中的能量關(guān)系。受迫振動系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為周期1.激振力在系統(tǒng)發(fā)生共振的情況下，相位差，激振力在一周期內(nèi)做功為，做功最多。對于無阻尼系統(tǒng)(除共振情況外)相位差。因此，每一周期內(nèi)激振力做功之和為零，形成穩(wěn)態(tài)振動?；騀undamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院TheoryofVibrationwithApplication江蘇大學汽車與交通工程學院1252.5簡諧激勵作用下的受迫振動2.粘性阻尼力做的功上式表明，在一個周期內(nèi)，阻尼做負功。它消耗系統(tǒng)的能量。而且做的負功和振幅B的平方成正比。由于受迫振動在共振區(qū)內(nèi)振幅較大，所以，粘性阻尼能明顯地減小振幅、有效地控制振幅的大小。這種減小振動的方法是用消耗系統(tǒng)的能量而實現(xiàn)的。線性粘性阻尼是最常用的一種阻尼模型。阻尼力F的大小與運動質(zhì)點的速度的大小成正比，方向相反，記作F=-cv，c為粘性阻尼系數(shù)，其數(shù)值須由振動試驗確定。FundamentalsofMechanicalVibration江蘇大學汽車與交通工程學院The