數(shù)學(xué)課題立項(xiàng)申報(bào)書模版一、封面內(nèi)容

數(shù)學(xué)課題立項(xiàng)申報(bào)書模版

項(xiàng)目名稱：高維數(shù)據(jù)幾何分析中的代數(shù)拓?fù)浞椒捌鋺?yīng)用研究

申請人姓名及聯(lián)系方式：張明，zhangming@

所屬單位：數(shù)學(xué)研究所

申報(bào)日期：2023年11月15日

項(xiàng)目類別：基礎(chǔ)研究

二．項(xiàng)目摘要

本項(xiàng)目旨在探索代數(shù)拓?fù)浞椒ㄔ诟呔S數(shù)據(jù)幾何分析中的應(yīng)用，構(gòu)建新的理論框架和計(jì)算模型，以解決當(dāng)前大數(shù)據(jù)時(shí)代面臨的復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)解析難題。研究核心內(nèi)容聚焦于利用同調(diào)群、鏈復(fù)形等代數(shù)拓?fù)涔ぞ邔Ω呔S數(shù)據(jù)集進(jìn)行拓?fù)涮卣魈崛∨c分類，重點(diǎn)分析其內(nèi)在的幾何約束與拓?fù)洳蛔兞?。?xiàng)目將首先建立基于持久同調(diào)理論的數(shù)據(jù)降維模型，通過計(jì)算持久同調(diào)群來識(shí)別高維數(shù)據(jù)中的關(guān)鍵拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并發(fā)展相應(yīng)的算法以優(yōu)化計(jì)算效率。其次，結(jié)合譜序列理論，研究高維數(shù)據(jù)流形的表示問題，提出新的譜圖學(xué)習(xí)方法以揭示數(shù)據(jù)點(diǎn)間的長期依賴關(guān)系。在方法上，項(xiàng)目將采用同倫不變量與機(jī)器學(xué)習(xí)交叉驗(yàn)證相結(jié)合的技術(shù)路線，通過仿真實(shí)驗(yàn)和實(shí)際案例驗(yàn)證理論模型的魯棒性。預(yù)期成果包括一套完整的代數(shù)拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析算法庫、若干高維數(shù)據(jù)幾何分析的典型案例分析報(bào)告，以及發(fā)表在頂級數(shù)學(xué)期刊上的系列論文。本研究的理論突破將豐富高維數(shù)據(jù)分析的理論體系，為生物信息學(xué)、金融風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測等領(lǐng)域提供新的數(shù)學(xué)工具，同時(shí)推動(dòng)代數(shù)拓?fù)渑c計(jì)算數(shù)學(xué)的交叉學(xué)科發(fā)展。

三.項(xiàng)目背景與研究意義

當(dāng)前，高維數(shù)據(jù)已成為科學(xué)研究與工程應(yīng)用中的主要數(shù)據(jù)形式，尤其在生物信息學(xué)、金融分析、社交網(wǎng)絡(luò)研究、計(jì)算機(jī)視覺等領(lǐng)域，數(shù)據(jù)維度往往遠(yuǎn)超樣本數(shù)量，呈現(xiàn)出典型的“高維低樣本”特征。這種高維性不僅給數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)、處理和可視化帶來了巨大挑戰(zhàn)，更嚴(yán)重的是導(dǎo)致傳統(tǒng)幾何分析方法和統(tǒng)計(jì)推斷技術(shù)失效。例如，在高維空間中，“維數(shù)災(zāi)難”使得特征冗余度急劇增加，距離度量失去意義，流形結(jié)構(gòu)難以辨識(shí)，從而嚴(yán)重制約了數(shù)據(jù)挖掘算法的效能和解釋性。

長期以來，數(shù)學(xué)界與計(jì)算機(jī)科學(xué)界為克服高維數(shù)據(jù)分析難題進(jìn)行了不懈探索。傳統(tǒng)的降維方法，如主成分分析（PCA）、線性判別分析（LDA）等，主要關(guān)注數(shù)據(jù)的線性結(jié)構(gòu)或類間差異，難以捕捉高維數(shù)據(jù)中復(fù)雜的非線性幾何約束和拓?fù)涮卣?。基于核方法的非線性降維技術(shù)雖然在一定程度上緩解了線性方法的局限，但其計(jì)算復(fù)雜度高，且對核函數(shù)的選擇高度敏感，缺乏對數(shù)據(jù)內(nèi)在結(jié)構(gòu)的幾何和拓?fù)浔举|(zhì)的深刻理解。近年來，基于圖論和譜學(xué)的分析方法取得了一定進(jìn)展，能夠揭示數(shù)據(jù)點(diǎn)間的局部鄰域關(guān)系，但對于數(shù)據(jù)整體拓?fù)湫螒B(tài)的刻畫仍然不足。特別是在處理具有復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的高維數(shù)據(jù)集時(shí)，如生物基因表達(dá)數(shù)據(jù)中的環(huán)狀或樹狀模式、金融市場數(shù)據(jù)中的長期循環(huán)波動(dòng)、社交網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)中的社區(qū)層次結(jié)構(gòu)等，現(xiàn)有方法往往無法有效識(shí)別和量化這些關(guān)鍵的拓?fù)洳蛔兞俊?/p>

本項(xiàng)目的研究必要性主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：首先，高維數(shù)據(jù)蘊(yùn)含著豐富的幾何和拓?fù)湫畔?，這些信息是理解數(shù)據(jù)內(nèi)在規(guī)律和復(fù)雜模式的關(guān)鍵。代數(shù)拓?fù)渥鳛檠芯靠臻g拓?fù)湫再|(zhì)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支，提供了描述和分析抽象空間同調(diào)群、上同調(diào)群等拓?fù)洳蛔兞康膹?qiáng)大理論工具。將這些抽象的拓?fù)涓拍钆c具體的高維數(shù)據(jù)相結(jié)合，有望突破傳統(tǒng)分析方法的局限，揭示隱藏在高維噪聲下的結(jié)構(gòu)性知識(shí)。其次，現(xiàn)有高維數(shù)據(jù)分析方法普遍缺乏對數(shù)據(jù)整體拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的系統(tǒng)性刻畫。同倫理論等代數(shù)拓?fù)涔ぞ吣軌蜃匀坏靥幚磉B續(xù)變形和拓?fù)渥兓瑸榉治龈呔S數(shù)據(jù)流形、識(shí)別拓?fù)洵h(huán)路、空洞等復(fù)雜結(jié)構(gòu)提供了新的視角。通過引入持久同調(diào)（PersistentHomology,PH）等現(xiàn)代同倫工具，可以量化數(shù)據(jù)集中不同尺度拓?fù)涮卣鞯拇嬖谛院头€(wěn)定性，從而實(shí)現(xiàn)對高維數(shù)據(jù)拓?fù)涔羌艿木_描述。最后，隨著計(jì)算能力的提升和算法設(shè)計(jì)的進(jìn)步，將抽象的代數(shù)拓?fù)淅碚搼?yīng)用于大規(guī)模高維數(shù)據(jù)計(jì)算已成為可能。本項(xiàng)目旨在填補(bǔ)代數(shù)拓?fù)湓诟呔S數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域應(yīng)用的理論和方法空白，發(fā)展一套理論嚴(yán)謹(jǐn)、計(jì)算高效、應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)分析框架，以應(yīng)對大數(shù)據(jù)時(shí)代對復(fù)雜結(jié)構(gòu)解析的迫切需求。

本項(xiàng)目的研究意義體現(xiàn)在學(xué)術(shù)價(jià)值和社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益兩個(gè)層面。在學(xué)術(shù)價(jià)值方面，本項(xiàng)目將推動(dòng)代數(shù)拓?fù)渑c數(shù)據(jù)科學(xué)的深度交叉融合，拓展代數(shù)拓?fù)涞睦碚搼?yīng)用范圍，為計(jì)算幾何、計(jì)算拓?fù)鋵W(xué)、機(jī)器學(xué)習(xí)理論等領(lǐng)域注入新的研究活力。通過構(gòu)建基于同調(diào)理論的高維數(shù)據(jù)分析模型，將深化對高維數(shù)據(jù)幾何與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)理解，可能催生一系列新的數(shù)學(xué)分支或研究方向，如拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析（TopologicalDataAnalysis,TDA）的代數(shù)化理論、高維數(shù)據(jù)譜拓?fù)鋵W(xué)等。項(xiàng)目預(yù)期成果將包括一套完整的代數(shù)拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析算法體系、若干具有理論創(chuàng)新性的數(shù)學(xué)模型和定理，以及發(fā)表在高水平國際期刊上的系列研究成果。這些學(xué)術(shù)成果不僅將提升我國在代數(shù)拓?fù)渑c數(shù)據(jù)科學(xué)交叉領(lǐng)域的國際影響力，也將為相關(guān)學(xué)科的發(fā)展提供新的理論視角和研究工具，促進(jìn)數(shù)學(xué)與其他學(xué)科的協(xié)同創(chuàng)新。

在社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益方面，本項(xiàng)目的研究成果具有廣泛的應(yīng)用前景。在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域，高維基因表達(dá)譜、蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)數(shù)據(jù)、醫(yī)學(xué)影像數(shù)據(jù)等普遍存在復(fù)雜的幾何和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。本項(xiàng)目發(fā)展的高維數(shù)據(jù)幾何分析方法能夠更精確地識(shí)別基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)中的環(huán)路結(jié)構(gòu)、腫瘤樣本的拓?fù)洚愘|(zhì)性、腦功能網(wǎng)絡(luò)的連通模式等，為疾病診斷、預(yù)后評估和藥物研發(fā)提供新的數(shù)學(xué)支撐。例如，通過分析基因表達(dá)數(shù)據(jù)的持久同調(diào)，可以識(shí)別與特定疾病狀態(tài)相關(guān)的關(guān)鍵拓?fù)涮卣鳎瑥亩鴺?gòu)建更可靠的疾病診斷模型。在金融工程領(lǐng)域，金融市場數(shù)據(jù)具有高維、動(dòng)態(tài)、非線性的特點(diǎn)，其中蘊(yùn)含著復(fù)雜的周期性波動(dòng)和風(fēng)險(xiǎn)傳染拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。本項(xiàng)目的方法能夠量化分析資產(chǎn)價(jià)格序列、交易網(wǎng)絡(luò)、信用風(fēng)險(xiǎn)網(wǎng)絡(luò)等的拓?fù)涮卣鳎瑸橥顿Y組合優(yōu)化、風(fēng)險(xiǎn)度量、市場穩(wěn)定分析提供新的理論工具。在社交網(wǎng)絡(luò)分析方面，大規(guī)模社交網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出復(fù)雜的社區(qū)結(jié)構(gòu)、信息傳播路徑和用戶互動(dòng)模式。本項(xiàng)目的方法可以揭示社交網(wǎng)絡(luò)中的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)、信息傳播的拓?fù)淠Ｊ?、用戶群體的層次結(jié)構(gòu)等，為精準(zhǔn)營銷、輿情分析、社交網(wǎng)絡(luò)治理提供數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的決策支持。此外，在材料科學(xué)、計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、環(huán)境科學(xué)等領(lǐng)域，高維數(shù)據(jù)幾何分析同樣具有重要應(yīng)用價(jià)值。本項(xiàng)目的理論突破和應(yīng)用推廣將促進(jìn)相關(guān)產(chǎn)業(yè)的數(shù)字化轉(zhuǎn)型和智能化升級，產(chǎn)生顯著的社會(huì)經(jīng)濟(jì)效益，提升國家在高維數(shù)據(jù)科學(xué)領(lǐng)域的核心競爭力。

四.國內(nèi)外研究現(xiàn)狀

高維數(shù)據(jù)分析作為連接現(xiàn)代數(shù)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)的重要交叉領(lǐng)域，近年來受到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。從國際研究現(xiàn)狀來看，該領(lǐng)域呈現(xiàn)出多元發(fā)展、深度交叉的態(tài)勢，主要研究范式可大致歸納為基于降維的方法、基于流形學(xué)習(xí)的方法、基于圖論與譜分析的方法以及新興的拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析（TopologicalDataAnalysis,TDA）方法。

在基于降維的方法方面，主成分分析（PCA）及其變種（如獨(dú)立成分分析ICA、非負(fù)矩陣分解NMF）仍然是經(jīng)典且廣泛使用的技術(shù)。然而，面對高維數(shù)據(jù)的非線性結(jié)構(gòu)和復(fù)雜幾何特性，線性降維方法的局限性日益凸顯。KernelPCA等基于核方法的非線性降維技術(shù)試圖克服這一問題，通過核映射將數(shù)據(jù)投影到高維特征空間以尋找線性結(jié)構(gòu)，但其計(jì)算復(fù)雜度隨核函數(shù)維度和樣本量增長而急劇增加，且對核函數(shù)選擇敏感，缺乏對數(shù)據(jù)內(nèi)在幾何結(jié)構(gòu)的深刻理解。隨后發(fā)展起來的局部線性嵌入（LLE）、局部切空間排列（LTA）、等距映射（Isomap）等非線性降維方法，通過保持?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)鄰域結(jié)構(gòu)的局部幾何特性來揭示數(shù)據(jù)流形，取得了一定成效。然而，這些方法在處理大規(guī)模數(shù)據(jù)集時(shí)面臨計(jì)算效率瓶頸，且對參數(shù)選擇（如鄰域大小、重映射算法）敏感，難以保證全局結(jié)構(gòu)的完整性。此外，基于迭代優(yōu)化的非線性主成分分析（NLPCA）等方法也得到發(fā)展，但往往陷入局部最優(yōu)解。

基于圖論與譜分析的方法是高維數(shù)據(jù)分析的另一重要方向。圖嵌入方法將高維數(shù)據(jù)表示為圖結(jié)構(gòu)，通過分析圖的拓?fù)鋵傩院妥V特征來揭示數(shù)據(jù)關(guān)系。譜聚類、譜嵌入（如SpectralEmbedding,SE）等技術(shù)利用數(shù)據(jù)相似性構(gòu)建鄰接矩陣，通過計(jì)算其拉普拉斯特征向量進(jìn)行降維或分類。譜圖（SpectralGraphTheory）方法則進(jìn)一步研究圖的結(jié)構(gòu)洞、社區(qū)劃分等拓?fù)鋵傩?，為網(wǎng)絡(luò)分析提供有力工具。然而，這些方法主要關(guān)注數(shù)據(jù)點(diǎn)間的局部鄰域關(guān)系或二部結(jié)構(gòu)，對于數(shù)據(jù)整體拓?fù)湫螒B(tài)的刻畫能力有限。例如，譜聚類算法的穩(wěn)定性依賴于圖的結(jié)構(gòu)連接性，難以處理具有復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)集。此外，譜方法的計(jì)算復(fù)雜度通常與樣本規(guī)模呈平方級關(guān)系，在大規(guī)模數(shù)據(jù)場景下應(yīng)用受限。

近十年來，拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析（TDA）作為一門新興交叉學(xué)科迅速興起，成為高維數(shù)據(jù)幾何分析領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。TDA的核心思想是將數(shù)據(jù)集映射到拓?fù)淇臻g（通常是通過simplicialcomplex構(gòu)建），通過計(jì)算該拓?fù)淇臻g的拓?fù)洳蛔兞浚ㄈ缤{(diào)群HomologyGroups、上同調(diào)群CohomologyGroups）來量化數(shù)據(jù)集的拓?fù)涮卣?。其中，持久同調(diào)（PersistentHomology,PH）是TDA領(lǐng)域最重要的工具之一。PH通過追蹤同調(diào)類隨尺度參數(shù)變化的持續(xù)性區(qū)間（即持久對），能夠有效地識(shí)別和量化數(shù)據(jù)集中從點(diǎn)、線、面到更高維度的拓?fù)涮卣鳎ㄈ绛h(huán)路、空洞、連通分量等）的存在性和穩(wěn)定性。這一方法在高維數(shù)據(jù)分析中展現(xiàn)出獨(dú)特的優(yōu)勢，能夠魯棒地處理噪聲，并揭示數(shù)據(jù)在不同尺度下的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)演化。相關(guān)的研究工作包括基于PH的降維方法（如Vietoris-Rips復(fù)雜度）、特征選擇、分類與聚類算法（如TopologicalFeatureExtraction,TFE；PersistentTopologicalFeatureAnalysis,PFA）、以及與機(jī)器學(xué)習(xí)的結(jié)合（如TopologicalKernelMachines,TopologicalDeepLearning）等。近年來，AlphaComplex等更高效的simplicialcomplex構(gòu)建算法的出現(xiàn)，顯著提升了PH方法的計(jì)算效率，使其在大規(guī)模數(shù)據(jù)集上的應(yīng)用成為可能。此外，因果同倫（CausalHomology）等擴(kuò)展理論也試圖引入因果推斷視角，進(jìn)一步豐富TDA的應(yīng)用范疇。

盡管上述研究取得了顯著進(jìn)展，但高維數(shù)據(jù)幾何分析領(lǐng)域仍存在諸多挑戰(zhàn)和亟待解決的問題。首先，現(xiàn)有方法的計(jì)算效率普遍不高。盡管AlphaComplex等算法有所改進(jìn)，但對于超大規(guī)模（數(shù)百萬甚至數(shù)十億樣本點(diǎn)）的高維數(shù)據(jù)集，構(gòu)建simplicialcomplex和計(jì)算持久同調(diào)仍然面臨巨大的計(jì)算負(fù)擔(dān)。如何進(jìn)一步發(fā)展更高效的算法和近似方法，以實(shí)現(xiàn)TDA在工業(yè)界大規(guī)模數(shù)據(jù)場景的實(shí)時(shí)或近實(shí)時(shí)分析，是當(dāng)前研究面臨的核心挑戰(zhàn)之一。其次，理論模型的魯棒性與泛化能力有待提升。大多數(shù)現(xiàn)有方法對參數(shù)選擇（如鄰域半徑、復(fù)雜度參數(shù)）敏感，且在處理不同類型、不同分布的高維數(shù)據(jù)時(shí)表現(xiàn)不穩(wěn)定。特別是在數(shù)據(jù)存在重標(biāo)度、噪聲干擾或數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)快速變化的情況下，如何保證分析結(jié)果的可靠性和泛化能力，仍然是需要深入研究的課題。此外，如何將高維數(shù)據(jù)的幾何與拓?fù)涮卣鞲行У厝谌胫髁鳈C(jī)器學(xué)習(xí)模型（如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機(jī)），實(shí)現(xiàn)拓?fù)涓兄闹悄芊治?，尚缺乏系統(tǒng)性的理論框架和實(shí)用工具。目前，基于TDA的特征工程與機(jī)器學(xué)習(xí)模型的結(jié)合仍處于探索階段，缺乏成熟且普適的方法論。

在國內(nèi)研究方面，高維數(shù)據(jù)分析同樣受到高度重視，并形成了特色鮮明的研究群體和方向。國內(nèi)學(xué)者在傳統(tǒng)降維方法（如PCA、LDA及其變種）的改進(jìn)與應(yīng)用方面積累了豐富經(jīng)驗(yàn)，特別是在處理具有特定結(jié)構(gòu)（如稀疏性、非負(fù)性）的高維數(shù)據(jù)方面，提出了一系列有效算法。在非線性降維和流形學(xué)習(xí)領(lǐng)域，國內(nèi)研究者也做出了重要貢獻(xiàn)，特別是在算法的穩(wěn)定性和計(jì)算效率方面進(jìn)行了深入優(yōu)化。近年來，隨著TDA在國際上的興起，國內(nèi)學(xué)者也積極參與并取得了一系列創(chuàng)新性成果。例如，在持久同調(diào)算法優(yōu)化方面，國內(nèi)團(tuán)隊(duì)提出了基于多重分辨率策略、稀疏采樣思想的改進(jìn)算法，有效降低了計(jì)算復(fù)雜度；在TDA與具體應(yīng)用領(lǐng)域的結(jié)合方面，國內(nèi)研究者在生物信息學(xué)（如腫瘤基因組數(shù)據(jù)分析）、社交網(wǎng)絡(luò)分析、地理信息科學(xué)等領(lǐng)域進(jìn)行了積極探索，提出了一些針對性的分析模型和應(yīng)用方法。然而，與國際頂尖水平相比，國內(nèi)在高維數(shù)據(jù)幾何分析領(lǐng)域仍存在一些差距。首先，在基礎(chǔ)理論研究方面，對于高維數(shù)據(jù)幾何與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)本質(zhì)刻畫、理論模型的概率解釋、算法的統(tǒng)計(jì)特性分析等方面仍有待加強(qiáng)。其次，在算法創(chuàng)新性方面，雖然國內(nèi)學(xué)者在TDA算法優(yōu)化方面取得了一定進(jìn)展，但在提出全新的分析范式、發(fā)展更強(qiáng)大的理論工具方面與國際前沿相比仍有差距。此外，在高維數(shù)據(jù)幾何分析系統(tǒng)的開發(fā)與應(yīng)用方面，國內(nèi)研究多集中于理論研究和原型系統(tǒng)開發(fā)，面向大規(guī)模工業(yè)場景的成熟分析平臺(tái)和解決方案相對缺乏。

綜合來看，當(dāng)前高維數(shù)據(jù)幾何分析領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀呈現(xiàn)出以下特點(diǎn)：傳統(tǒng)方法不斷改進(jìn)但本質(zhì)局限難突破；新興的TDA方法潛力巨大但計(jì)算效率和應(yīng)用深度有待提升；多學(xué)科交叉融合成為重要趨勢，但系統(tǒng)性理論框架和實(shí)用工具體系仍不完善。具體而言，尚未解決的問題和研究空白主要包括：1）大規(guī)模高維數(shù)據(jù)的高效拓?fù)浞治鏊惴ㄔO(shè)計(jì)與優(yōu)化；2）高維數(shù)據(jù)幾何拓?fù)涮卣鞯聂敯粜越Ｅc不確定性量化；3）拓?fù)浞治龇椒ㄅc深度學(xué)習(xí)等現(xiàn)代機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù)的深度融合與理論統(tǒng)一；4）面向特定應(yīng)用領(lǐng)域（如生物醫(yī)學(xué)、金融風(fēng)控、智能交通等）的定制化高維數(shù)據(jù)幾何分析理論與工具開發(fā)；5）高維數(shù)據(jù)幾何分析系統(tǒng)的工程化實(shí)現(xiàn)與產(chǎn)業(yè)化應(yīng)用。本項(xiàng)目擬針對上述研究空白，深入探索代數(shù)拓?fù)浞椒ㄔ诟呔S數(shù)據(jù)幾何分析中的應(yīng)用，旨在突破現(xiàn)有技術(shù)的瓶頸，構(gòu)建一套理論嚴(yán)謹(jǐn)、計(jì)算高效、應(yīng)用廣泛的數(shù)學(xué)分析框架，為解決高維數(shù)據(jù)帶來的挑戰(zhàn)提供新的數(shù)學(xué)思想和實(shí)用工具。

五.研究目標(biāo)與內(nèi)容

本項(xiàng)目旨在系統(tǒng)性地探索代數(shù)拓?fù)浞椒ㄔ诟呔S數(shù)據(jù)幾何分析中的應(yīng)用，構(gòu)建新的理論框架和計(jì)算模型，以解決當(dāng)前大數(shù)據(jù)環(huán)境下復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)解析的難題。項(xiàng)目的研究目標(biāo)與內(nèi)容具體闡述如下：

1.研究目標(biāo)

(1)理論目標(biāo)：建立一套基于代數(shù)拓?fù)涞母呔S數(shù)據(jù)幾何分析理論體系，明確同調(diào)群、持久同調(diào)等拓?fù)洳蛔兞颗c高維數(shù)據(jù)內(nèi)在幾何結(jié)構(gòu)的對應(yīng)關(guān)系，發(fā)展新的拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析模型和算法，并對其理論性質(zhì)（如穩(wěn)定性、魯棒性、計(jì)算復(fù)雜度）進(jìn)行深入分析。

(2)方法目標(biāo)：發(fā)展一系列高效、魯棒的代數(shù)拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析算法，包括優(yōu)化的simplicialcomplex構(gòu)建算法、快速持久同調(diào)計(jì)算方法、拓?fù)涮卣鬟x擇與降維技術(shù)，以及拓?fù)湫畔⑴c機(jī)器學(xué)習(xí)模型融合的新方法，形成一套實(shí)用的計(jì)算工具。

(3)應(yīng)用目標(biāo)：針對生物信息學(xué)、金融工程、社交網(wǎng)絡(luò)等典型高維數(shù)據(jù)應(yīng)用領(lǐng)域，利用所發(fā)展的理論和方法，解決具體的分析難題，驗(yàn)證方法的有效性和實(shí)用性，并探索其在實(shí)際場景中的潛在價(jià)值。

2.研究內(nèi)容

(1)基于代數(shù)拓?fù)涞母呔S數(shù)據(jù)流形建模與分析

*研究問題：如何利用代數(shù)拓?fù)涔ぞ撸ㄈ缤{(diào)群、持久同調(diào)）精確刻畫高維數(shù)據(jù)集的內(nèi)在流形結(jié)構(gòu)和拓?fù)涮卣?？如何建立拓?fù)洳蛔兞颗c數(shù)據(jù)幾何屬性（如曲率、連通性）之間的定量關(guān)系？

*假設(shè)：通過構(gòu)建數(shù)據(jù)集的Vietoris-Rips或Alphacomplex骨架，并計(jì)算其持久同調(diào)群，可以有效地識(shí)別和量化高維數(shù)據(jù)流形的關(guān)鍵拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)（如環(huán)路、空洞、連通分量），且這些拓?fù)涮卣鲗τ诶斫鈹?shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律具有魯棒性和穩(wěn)定性。

*具體研究內(nèi)容：研究不同復(fù)雜度參數(shù)下simplicialcomplex的拓?fù)湫畔⒉东@能力；發(fā)展基于持久同調(diào)的流形直徑、彎曲度等幾何量估計(jì)方法；分析拓?fù)涮卣髟诓煌肼曀胶透呔S情況下的穩(wěn)定性；構(gòu)建基于拓?fù)涮卣鞯牧餍慰梢暬夹g(shù)。

(2)高效代數(shù)拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析算法研究

*研究問題：如何設(shè)計(jì)高效算法以處理大規(guī)模高維數(shù)據(jù)集的代數(shù)拓?fù)浞治?？如何降低持久同調(diào)等計(jì)算復(fù)雜度高的算法的時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度？

*假設(shè)：通過結(jié)合多重分辨率策略、稀疏采樣技術(shù)、并行計(jì)算以及近似算法，可以在保持分析精度的前提下，顯著提升代數(shù)拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析方法在處理大規(guī)模數(shù)據(jù)時(shí)的計(jì)算效率。

*具體研究內(nèi)容：研究基于多重分辨率（如Star-convexResolution）的快速持久同調(diào)計(jì)算算法；發(fā)展基于隨機(jī)采樣（如SparseRipsComplex）的近似拓?fù)涮卣魈崛》椒?；探索利用GPU并行計(jì)算加速持久同調(diào)計(jì)算的理論與方法；研究拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析算法的復(fù)雜度優(yōu)化及其理論界限。

(3)拓?fù)涮卣鬟x擇與高維數(shù)據(jù)降維

*研究問題：如何從高維數(shù)據(jù)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中識(shí)別和選擇關(guān)鍵拓?fù)涮卣?？如何利用拓?fù)湫畔⒃O(shè)計(jì)有效的降維方法以保留數(shù)據(jù)的內(nèi)在幾何和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)？

*假設(shè)：持久同調(diào)的持久性對（birth,death）可以被視為數(shù)據(jù)的多尺度拓?fù)涮卣?，通過特征選擇策略（如基于統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)、稀疏編碼）可以篩選出對數(shù)據(jù)解釋最有用的拓?fù)涮卣??；谕負(fù)涮卣鞯慕稻S方法（如TopologicalFeatureSelectionGuidedDimensionalityReduction）能夠有效保留數(shù)據(jù)的非線性結(jié)構(gòu)和拓?fù)淠Ｊ健?/p>

*具體研究內(nèi)容：研究基于持久同調(diào)的拓?fù)涮卣髟u估與選擇方法；發(fā)展將拓?fù)涮卣髑度氲街髁鹘稻S框架（如PCA、LLE、Isomap）中的新算法；探索基于拓?fù)湫畔⒌姆蔷€性降維模型，如TopologicalIsomap、PersistentHomologybasedManifoldLearning；分析所提出降維方法的有效性和魯棒性。

(4)代數(shù)拓?fù)渑c機(jī)器學(xué)習(xí)的融合

*研究問題：如何將高維數(shù)據(jù)的拓?fù)涮卣饔行У厝谌霗C(jī)器學(xué)習(xí)模型（如分類器、回歸器）？如何發(fā)展基于拓?fù)涓兄纳疃葘W(xué)習(xí)模型以提升模型對高維數(shù)據(jù)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的理解能力？

*假設(shè)：將持久同調(diào)等拓?fù)涮卣髯鳛檩斎胩卣?，可以顯著提升機(jī)器學(xué)習(xí)模型在高維數(shù)據(jù)分類、回歸等任務(wù)上的性能，特別是在數(shù)據(jù)具有復(fù)雜非線性邊界和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的情況下。將拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)感知引入深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)（如在卷積層或循環(huán)層中引入拓?fù)浼s束或信息）可以增強(qiáng)模型對高維數(shù)據(jù)復(fù)雜模式的表征能力。

*具體研究內(nèi)容：研究將拓?fù)涮卣髑度氲街С窒蛄繖C(jī)（SVM）、隨機(jī)森林等傳統(tǒng)機(jī)器學(xué)習(xí)模型的策略；發(fā)展基于拓?fù)涮卣鞯纳疃葘W(xué)習(xí)模型，如TopologicalConvolutionalNetworks（TCN）、TopologicalRecurrentNetworks（TRN）；研究拓?fù)浜朔椒ㄔ诟呔S數(shù)據(jù)機(jī)器學(xué)習(xí)中的應(yīng)用；構(gòu)建拓?fù)涓兄哪Ｐ驮u估指標(biāo)體系。

(5)面向特定應(yīng)用的高維數(shù)據(jù)幾何分析

*研究問題：如何在生物信息學(xué)、金融工程、社交網(wǎng)絡(luò)等具體應(yīng)用領(lǐng)域中應(yīng)用所發(fā)展的代數(shù)拓?fù)浞椒?？如何解決這些領(lǐng)域特有的高維數(shù)據(jù)挑戰(zhàn)？

*假設(shè)：針對生物基因表達(dá)數(shù)據(jù)、金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)、社交網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣等特定高維數(shù)據(jù)，所發(fā)展的代數(shù)拓?fù)浞治龇椒軌蚪沂酒鋬?nèi)在的復(fù)雜結(jié)構(gòu)和關(guān)鍵模式，為疾病診斷、風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測、社區(qū)發(fā)現(xiàn)等提供新的數(shù)學(xué)工具。

*具體研究內(nèi)容：利用本項(xiàng)目方法分析基因表達(dá)數(shù)據(jù)中的腫瘤亞型結(jié)構(gòu)、識(shí)別關(guān)鍵致病基因的拓?fù)湔{(diào)控網(wǎng)絡(luò)；研究金融市場中資產(chǎn)收益率序列的拓?fù)涮卣鳎瑯?gòu)建基于拓?fù)湫畔⒌耐顿Y組合優(yōu)化模型和風(fēng)險(xiǎn)預(yù)警系統(tǒng)；分析社交網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，揭示用戶群體的層次關(guān)系和信息傳播路徑，為精準(zhǔn)營銷和輿情管理提供支持。

通過上述研究內(nèi)容的深入探索，本項(xiàng)目期望能夠系統(tǒng)地發(fā)展代數(shù)拓?fù)湓诟呔S數(shù)據(jù)幾何分析中的應(yīng)用理論和方法，為解決大數(shù)據(jù)時(shí)代的復(fù)雜結(jié)構(gòu)解析難題提供新的數(shù)學(xué)視角和實(shí)用工具，推動(dòng)相關(guān)領(lǐng)域的理論進(jìn)步和應(yīng)用發(fā)展。

六.研究方法與技術(shù)路線

1.研究方法

本項(xiàng)目將采用理論研究與算法設(shè)計(jì)相結(jié)合、理論分析與實(shí)踐應(yīng)用相補(bǔ)充的研究方法，系統(tǒng)性地探索代數(shù)拓?fù)浞椒ㄔ诟呔S數(shù)據(jù)幾何分析中的應(yīng)用。具體方法包括：

(1)代數(shù)拓?fù)淅碚撗芯浚荷钊胙芯客瑐愓?、持久同調(diào)、譜序列等現(xiàn)代代數(shù)拓?fù)淅碚撛诟呔S數(shù)據(jù)建模與分析中的應(yīng)用潛力。重點(diǎn)研究高維數(shù)據(jù)集到拓?fù)淇臻g的映射性質(zhì)、拓?fù)洳蛔兞康膸缀我饬x、以及拓?fù)涮卣鞯倪x擇與降維理論。通過構(gòu)建理論框架，明確代數(shù)拓?fù)浞椒ㄔ诟呔S數(shù)據(jù)分析中的核心作用和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

(2)高效算法設(shè)計(jì)與分析：基于代數(shù)拓?fù)淅碚?，設(shè)計(jì)并優(yōu)化用于高維數(shù)據(jù)幾何分析的計(jì)算算法。針對simplicialcomplex的構(gòu)建、持久同調(diào)的計(jì)算、拓?fù)涮卣鞯奶崛∨c選擇等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，研究基于多重分辨率、稀疏采樣、近似計(jì)算、并行計(jì)算等策略的算法優(yōu)化方法。對所提出算法的時(shí)空復(fù)雜度、收斂性、穩(wěn)定性進(jìn)行理論分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

(3)混合模型構(gòu)建：探索將拓?fù)涮卣髋c主流機(jī)器學(xué)習(xí)模型（如SVM、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）以及深度學(xué)習(xí)模型（如TCN、TRN）進(jìn)行融合的新方法。研究如何將持久同調(diào)對作為特征輸入到分類器或回歸器中，以及如何在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中嵌入拓?fù)涓兄獧C(jī)制。通過模型融合，旨在充分利用拓?fù)湫畔⒃鰪?qiáng)高維數(shù)據(jù)分析的性能和魯棒性。

(4)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與仿真驗(yàn)證：設(shè)計(jì)一系列精心規(guī)劃的實(shí)驗(yàn)，包括理論驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)、算法性能比較實(shí)驗(yàn)、以及面向特定應(yīng)用的數(shù)據(jù)分析實(shí)驗(yàn)。利用合成數(shù)據(jù)集對理論假設(shè)和算法性能進(jìn)行驗(yàn)證，比較所提出方法與傳統(tǒng)方法（如PCA、LLE、標(biāo)準(zhǔn)TDA方法）的優(yōu)劣。在真實(shí)數(shù)據(jù)集上應(yīng)用所開發(fā)的方法，分析其在生物信息學(xué)、金融工程、社交網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域的實(shí)際效果。

(5)數(shù)據(jù)收集與處理：收集具有代表性的高維數(shù)據(jù)集用于算法驗(yàn)證和應(yīng)用研究。數(shù)據(jù)集類型包括但不限于基因表達(dá)譜數(shù)據(jù)、金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)、社交網(wǎng)絡(luò)鄰接矩陣、高維圖像特征數(shù)據(jù)等。對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理（如標(biāo)準(zhǔn)化、缺失值處理），并構(gòu)建相應(yīng)的分析數(shù)據(jù)集。

(6)統(tǒng)計(jì)分析與模型評估：采用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法評估算法性能和模型效果。對于算法性能，比較計(jì)算時(shí)間、內(nèi)存消耗等指標(biāo)。對于模型效果，使用交叉驗(yàn)證、混淆矩陣、ROC曲線、準(zhǔn)確率、召回率等指標(biāo)進(jìn)行評估。對于拓?fù)涮卣鞯目煽啃?，分析其在不同噪聲水平或參?shù)設(shè)置下的穩(wěn)定性。

2.技術(shù)路線

本項(xiàng)目的研究將遵循以下技術(shù)路線，分階段推進(jìn)：

(1)第一階段：理論框架構(gòu)建與基礎(chǔ)算法設(shè)計(jì)（第1-12個(gè)月）

*關(guān)鍵步驟1：深入調(diào)研與分析現(xiàn)有高維數(shù)據(jù)分析方法（傳統(tǒng)降維、流形學(xué)習(xí)、TDA）的優(yōu)缺點(diǎn)，明確本項(xiàng)目的研究切入點(diǎn)。

*關(guān)鍵步驟2：研究高維數(shù)據(jù)到simplicialcomplex的映射理論，分析不同構(gòu)建策略（Vietoris-Rips,Alphacomplex）的拓?fù)湫畔⒉东@能力。

*關(guān)鍵步驟3：研究持久同調(diào)在高維數(shù)據(jù)流形建模中的應(yīng)用，建立拓?fù)洳蛔兞颗c數(shù)據(jù)幾何屬性的理論聯(lián)系。

*關(guān)鍵步驟4：基于多重分辨率思想，初步設(shè)計(jì)快速持久同調(diào)計(jì)算算法，并進(jìn)行理論復(fù)雜度分析。

*關(guān)鍵步驟5：設(shè)計(jì)基于拓?fù)涮卣鞯慕稻S方法，并與現(xiàn)有降維技術(shù)進(jìn)行比較分析。

*關(guān)鍵步驟6：完成第一階段的理論研究論文撰寫和算法原型開發(fā)。

(2)第二階段：算法優(yōu)化與混合模型探索（第13-24個(gè)月）

*關(guān)鍵步驟7：對快速持久同化算法進(jìn)行優(yōu)化，研究稀疏采樣、近似計(jì)算等策略，提升算法處理大規(guī)模數(shù)據(jù)的效率。

*關(guān)鍵步驟8：實(shí)現(xiàn)所提出的拓?fù)涮卣鬟x擇方法，并進(jìn)行理論分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

*關(guān)鍵步驟9：探索將拓?fù)涮卣髑度氲絊VM、深度學(xué)習(xí)等模型的混合模型構(gòu)建方法。

*關(guān)鍵步驟10：研究在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中引入拓?fù)涓兄獧C(jī)制的技術(shù)路線，初步設(shè)計(jì)TopologicalCNN/GRU模型。

*關(guān)鍵步驟11：完成第二階段的算法優(yōu)化研究和混合模型探索，并進(jìn)行初步實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

*關(guān)鍵步驟12：撰寫相關(guān)研究論文，準(zhǔn)備參加學(xué)術(shù)會(huì)議。

(3)第三階段：應(yīng)用驗(yàn)證與系統(tǒng)開發(fā)（第25-36個(gè)月）

*關(guān)鍵步驟13：選擇生物信息學(xué)、金融工程、社交網(wǎng)絡(luò)等典型應(yīng)用領(lǐng)域，收集并預(yù)處理真實(shí)數(shù)據(jù)集。

*關(guān)鍵步驟14：在真實(shí)數(shù)據(jù)集上應(yīng)用所開發(fā)的方法，進(jìn)行全面的性能評估和效果分析。

*關(guān)鍵步驟15：針對特定應(yīng)用場景，對方法進(jìn)行定制化優(yōu)化，提升實(shí)際應(yīng)用效果。

*關(guān)鍵步驟16：開發(fā)面向高維數(shù)據(jù)幾何分析的演示系統(tǒng)原型，集成核心算法模塊。

*關(guān)鍵步驟17：進(jìn)行系統(tǒng)測試與性能評估，分析方法的魯棒性和可擴(kuò)展性。

*關(guān)鍵步驟18：完成項(xiàng)目最終研究報(bào)告撰寫，總結(jié)研究成果與貢獻(xiàn)。

(4)第四階段：成果總結(jié)與推廣（第37-36個(gè)月）

*關(guān)鍵步驟19：整理項(xiàng)目所有研究成果，包括理論論文、算法代碼、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、應(yīng)用案例等。

*關(guān)鍵步驟20：撰寫項(xiàng)目總結(jié)報(bào)告，全面評估項(xiàng)目目標(biāo)達(dá)成情況。

*關(guān)鍵步驟21：發(fā)布最終研究論文，積極參與國內(nèi)外學(xué)術(shù)交流。

*關(guān)鍵步驟22：探索研究成果的進(jìn)一步推廣應(yīng)用可能性。

通過上述技術(shù)路線的有序推進(jìn)，本項(xiàng)目將系統(tǒng)地完成理論構(gòu)建、算法設(shè)計(jì)、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證和應(yīng)用探索等環(huán)節(jié)，預(yù)期能夠取得一系列具有創(chuàng)新性和實(shí)用價(jià)值的研究成果，為高維數(shù)據(jù)幾何分析領(lǐng)域的發(fā)展做出貢獻(xiàn)。

七．創(chuàng)新點(diǎn)

本項(xiàng)目擬開展的高維數(shù)據(jù)幾何分析中的代數(shù)拓?fù)浞椒捌鋺?yīng)用研究，在理論、方法及應(yīng)用層面均具有顯著的創(chuàng)新性：

1.理論創(chuàng)新

(1)建立代數(shù)拓?fù)渑c高維數(shù)據(jù)幾何結(jié)構(gòu)的深度關(guān)聯(lián)理論：現(xiàn)有研究多將代數(shù)拓?fù)渥鳛楣ぞ邞?yīng)用于數(shù)據(jù)，而本項(xiàng)目旨在建立更內(nèi)在、更系統(tǒng)的理論框架，明確同調(diào)群、持久同調(diào)等拓?fù)洳蛔兞颗c高維數(shù)據(jù)內(nèi)在幾何特征（如曲率、連通性、緊致性）之間的定量數(shù)學(xué)關(guān)系。這將超越現(xiàn)有TDA主要關(guān)注拓?fù)洹按嬖谛浴倍狈缀瘟炕木窒?，為從拓?fù)鋵用婢_量化和理解高維數(shù)據(jù)復(fù)雜性提供理論基礎(chǔ)。

(2)發(fā)展多尺度拓?fù)湫畔⑷诤吓c分析理論：本項(xiàng)目將系統(tǒng)研究如何利用持久同調(diào)的“持久性窗口”來捕捉數(shù)據(jù)在不同尺度下的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)演化。將發(fā)展新的理論框架來分析多尺度拓?fù)湫畔⒌寞B加、互補(bǔ)與競爭關(guān)系，并研究如何構(gòu)建有效的拓?fù)涮卣骷匀娣从硵?shù)據(jù)的復(fù)雜幾何形態(tài)。這將為處理具有多層次結(jié)構(gòu)的復(fù)雜數(shù)據(jù)提供新的理論視角。

(3)探索因果同倫在高維數(shù)據(jù)分析中的理論應(yīng)用：雖然本項(xiàng)目核心是標(biāo)準(zhǔn)同倫理論，但將關(guān)注并初步探索因果同倫等新興理論在刻畫高維數(shù)據(jù)因果關(guān)系和動(dòng)態(tài)演化中的潛力，為未來研究提供理論儲(chǔ)備，嘗試將拓?fù)浞治鰪撵o態(tài)結(jié)構(gòu)描述拓展到動(dòng)態(tài)因果推斷的范疇。

2.方法創(chuàng)新

(1)設(shè)計(jì)高效大規(guī)模持久同化算法：針對現(xiàn)有TDA方法（尤其是PH）在計(jì)算復(fù)雜度上的瓶頸，本項(xiàng)目將結(jié)合多重分辨率策略（如改進(jìn)的Star-convexResolution）與高效的圖算法（如基于BFS/DFS的快速連通性分析），設(shè)計(jì)具有線性或近線性時(shí)間復(fù)雜度的快速持久同化算法。進(jìn)一步，將研究持久同調(diào)的近似計(jì)算方法，犧牲部分精度以換取計(jì)算速度，使其能夠應(yīng)用于數(shù)百萬甚至更多樣本點(diǎn)的大規(guī)模高維數(shù)據(jù)集。

(2)創(chuàng)新拓?fù)涮卣鬟x擇與降維技術(shù)：本項(xiàng)目將提出基于拓?fù)涮卣鞯南∈璞硎?、統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)或機(jī)器學(xué)習(xí)正則化（如L1約束）的方法，用于從高維拓?fù)湫畔⒅凶詣?dòng)選擇關(guān)鍵特征。同時(shí)，將發(fā)展將拓?fù)浼s束嵌入到非線性降維框架（如Isomap、LLE）中的新算法，構(gòu)建拓?fù)涓兄慕稻S模型，旨在在高維空間中更好地保留數(shù)據(jù)的非線性流形結(jié)構(gòu)和拓?fù)涔羌堋?/p>

(3)構(gòu)建拓?fù)涓兄纳疃葘W(xué)習(xí)模型：現(xiàn)有深度學(xué)習(xí)模型主要關(guān)注數(shù)據(jù)的空間局部性或統(tǒng)計(jì)特性，而本項(xiàng)目將創(chuàng)新性地將拓?fù)涮卣鳎ㄈ绯志猛{(diào)對、Betti數(shù)）或拓?fù)浼s束（如流形正則化）融入深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中。例如，設(shè)計(jì)新的卷積操作或循環(huán)單元，使其能夠顯式地利用或?qū)W習(xí)數(shù)據(jù)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)信息，構(gòu)建TopologicalCNNs或TopologicalRNNs，有望提升模型在處理復(fù)雜數(shù)據(jù)模式時(shí)的魯棒性和泛化能力。

(4)發(fā)展混合拓?fù)浜朔椒ǎ罕卷?xiàng)目將探索構(gòu)建基于代數(shù)拓?fù)涞男滦秃撕瘮?shù)（如PersistentHomologyKernel），或者將現(xiàn)有核方法（如RBF核）與拓?fù)涮卣魅诤?，形成混合核函?shù)。這類方法有望在特征空間中隱式地編碼數(shù)據(jù)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，為非線性機(jī)器學(xué)習(xí)提供新的核范數(shù)選擇。

3.應(yīng)用創(chuàng)新

(1)在生物信息學(xué)中實(shí)現(xiàn)拓?fù)潋?qū)動(dòng)的疾病亞型發(fā)現(xiàn)：本項(xiàng)目將應(yīng)用所發(fā)展的方法，不僅識(shí)別基因表達(dá)數(shù)據(jù)中的拓?fù)淠Ｊ?，更試圖定量分析不同腫瘤亞型的拓?fù)洚愘|(zhì)性，識(shí)別關(guān)鍵的拓?fù)湔{(diào)控網(wǎng)絡(luò)，為精準(zhǔn)醫(yī)療提供新的生物學(xué)標(biāo)記和理論解釋。這區(qū)別于現(xiàn)有方法多側(cè)重于分類或生存分析的應(yīng)用。

(2)開發(fā)基于拓?fù)湫畔⒌娘L(fēng)險(xiǎn)預(yù)測與投資策略：在金融領(lǐng)域，本項(xiàng)目將利用拓?fù)浞治鼋沂举Y產(chǎn)收益率序列、交易網(wǎng)絡(luò)、信用風(fēng)險(xiǎn)網(wǎng)絡(luò)中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)和動(dòng)態(tài)模式，構(gòu)建比傳統(tǒng)方法更穩(wěn)健的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)和更有效的投資組合優(yōu)化模型。特別是對于識(shí)別系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化具有潛在價(jià)值。

(3)實(shí)現(xiàn)社交網(wǎng)絡(luò)中基于拓?fù)涞纳鐓^(qū)演化與影響力分析：本項(xiàng)目將應(yīng)用拓?fù)浞椒ǚ治龃笠?guī)模社交網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)，不僅識(shí)別靜態(tài)的社區(qū)結(jié)構(gòu)，更關(guān)注社區(qū)邊界的拓?fù)湫再|(zhì)和隨時(shí)間演化的拓?fù)淠Ｊ健Ｍㄟ^分析關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)的拓?fù)渲行男?，?shí)現(xiàn)更精準(zhǔn)的用戶畫像和影響力傳播分析，為社交網(wǎng)絡(luò)治理和營銷策略提供新思路。

(4)推動(dòng)代數(shù)拓?fù)浞椒ㄔ诠I(yè)大數(shù)據(jù)中的落地應(yīng)用：本項(xiàng)目將選擇特定工業(yè)場景（如設(shè)備故障預(yù)測、傳感器數(shù)據(jù)分析），驗(yàn)證所開發(fā)方法在處理高維、噪聲、時(shí)序工業(yè)數(shù)據(jù)時(shí)的有效性，探索將其轉(zhuǎn)化為實(shí)際分析系統(tǒng)的可行路徑，促進(jìn)基礎(chǔ)理論研究向工業(yè)應(yīng)用的轉(zhuǎn)化。

綜上所述，本項(xiàng)目通過在理論、方法和應(yīng)用層面的多維度創(chuàng)新，旨在系統(tǒng)性地提升代數(shù)拓?fù)浞椒ㄔ诟呔S數(shù)據(jù)幾何分析中的理論深度、計(jì)算效率和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，為應(yīng)對大數(shù)據(jù)時(shí)代的挑戰(zhàn)提供一套新穎且強(qiáng)大的數(shù)學(xué)分析工具。

八．預(yù)期成果

本項(xiàng)目旨在通過系統(tǒng)性的研究，在高維數(shù)據(jù)幾何分析領(lǐng)域取得一系列具有理論創(chuàng)新性和實(shí)踐應(yīng)用價(jià)值的研究成果，具體包括：

1.理論貢獻(xiàn)

(1)建立一套系統(tǒng)化的代數(shù)拓?fù)淅碚摽蚣埽侯A(yù)期將發(fā)展出明確的數(shù)學(xué)理論，闡述高維數(shù)據(jù)集的Vietoris-Ripscomplex或Alphacomplex的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與數(shù)據(jù)內(nèi)在幾何特征（如局部曲率、連通性、緊致性等）之間的定量映射關(guān)系。通過引入新的拓?fù)洳蛔兞炕驅(qū)ΜF(xiàn)有不變量進(jìn)行重新詮釋，本項(xiàng)目將深化對高維數(shù)據(jù)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的幾何意義的理解，為拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析提供更堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

(2)發(fā)展多尺度拓?fù)湫畔⒌臄?shù)學(xué)理論：預(yù)期將建立一套分析多尺度拓?fù)湫畔ⅲㄍㄟ^持久同調(diào)體現(xiàn)）的理論體系，明確不同尺度拓?fù)涮卣髦g的層級關(guān)系、相互作用模式及其對整體數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的貢獻(xiàn)度。這將包括對多尺度拓?fù)涮卣骷倪x擇理論、拓?fù)湫畔⑷诤系臄?shù)學(xué)模型以及拓?fù)涮卣鞑淮_定性量化理論的研究，為處理復(fù)雜、多層次的高維數(shù)據(jù)提供新的理論指導(dǎo)。

(3)完成關(guān)鍵算法的理論分析：預(yù)期對所提出的核心算法（如快速持久同化算法、拓?fù)涓兄稻S算法、拓?fù)渖疃葘W(xué)習(xí)模型）進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分析，包括其收斂性、穩(wěn)定性、計(jì)算復(fù)雜度界限以及統(tǒng)計(jì)特性（如偏差-方差界）。理論分析將驗(yàn)證算法的數(shù)學(xué)正確性，并為算法的實(shí)際應(yīng)用提供性能預(yù)測和參數(shù)選擇指導(dǎo)。

2.方法學(xué)創(chuàng)新與算法開發(fā)

(1)開發(fā)出高效實(shí)用的代數(shù)拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析算法庫：預(yù)期將開發(fā)一套包含核心算法模塊（如優(yōu)化的simplicialcomplex構(gòu)建、快速持久同化、拓?fù)涮卣鬟x擇與提取、拓?fù)涓兄稻S）的計(jì)算庫或軟件工具。該庫將實(shí)現(xiàn)本項(xiàng)目提出的創(chuàng)新算法，并提供友好的接口，便于其他研究者復(fù)現(xiàn)研究、進(jìn)行二次開發(fā)或集成到實(shí)際應(yīng)用系統(tǒng)中。

(2)構(gòu)建拓?fù)涓兄幕旌戏治瞿Ｐ停侯A(yù)期將成功設(shè)計(jì)并實(shí)現(xiàn)幾種原型級的拓?fù)涓兄獧C(jī)器學(xué)習(xí)或深度學(xué)習(xí)模型（如TopologicalSVM、TopologicalCNN/GRU），并將這些模型集成到所開發(fā)的分析工具中。這些模型將展示將拓?fù)湫畔⒂行谌胫髁鞣治隹蚣艿哪芰?，為解決高維數(shù)據(jù)分類、回歸、聚類等任務(wù)提供新的方法論選擇。

(3)形成一套標(biāo)準(zhǔn)化的分析流程與方法論：預(yù)期將基于本項(xiàng)目的研究成果，提出一套面向特定應(yīng)用領(lǐng)域（如生物信息學(xué)、金融工程）的高維數(shù)據(jù)幾何分析標(biāo)準(zhǔn)流程。該流程將整合數(shù)據(jù)預(yù)處理、拓?fù)涮卣魈崛?、模型?xùn)練與評估等環(huán)節(jié)，形成一套可操作性強(qiáng)的分析方法論，降低該領(lǐng)域研究的門檻，促進(jìn)技術(shù)的推廣。

3.實(shí)踐應(yīng)用價(jià)值

(1)在生物醫(yī)學(xué)領(lǐng)域取得突破：預(yù)期本項(xiàng)目的方法能夠應(yīng)用于基因表達(dá)數(shù)據(jù)分析，更精確地識(shí)別腫瘤亞型、揭示腫瘤微環(huán)境的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、識(shí)別關(guān)鍵的基因調(diào)控網(wǎng)絡(luò)模塊，為癌癥的精準(zhǔn)診斷、預(yù)后預(yù)測和新藥研發(fā)提供有價(jià)值的數(shù)學(xué)工具和生物學(xué)見解。預(yù)期將發(fā)表相關(guān)的高水平應(yīng)用研究論文，并與生物醫(yī)學(xué)研究團(tuán)隊(duì)建立合作，推動(dòng)研究成果轉(zhuǎn)化。

(2)提升金融風(fēng)險(xiǎn)預(yù)測與管理能力：預(yù)期本項(xiàng)目的方法能夠應(yīng)用于金融市場數(shù)據(jù)分析，更穩(wěn)健地識(shí)別資產(chǎn)間的關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)、捕捉系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)的拓?fù)淠Ｊ?、預(yù)測市場轉(zhuǎn)折點(diǎn)。預(yù)期開發(fā)的模型或指標(biāo)能夠?yàn)榻鹑跈C(jī)構(gòu)提供更有效的風(fēng)險(xiǎn)度量工具和投資決策支持，提升風(fēng)險(xiǎn)管理水平。預(yù)期將發(fā)表相關(guān)的研究成果，并探索與金融行業(yè)的合作應(yīng)用。

(3)增強(qiáng)社交網(wǎng)絡(luò)分析與智能服務(wù)：預(yù)期本項(xiàng)目的方法能夠應(yīng)用于社交網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)分析，更深入地理解用戶群體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和互動(dòng)模式、識(shí)別關(guān)鍵信息傳播路徑和節(jié)點(diǎn)、分析社交網(wǎng)絡(luò)的演化動(dòng)態(tài)。預(yù)期開發(fā)的模型或分析工具能夠?yàn)樯缃黄脚_(tái)提供更精準(zhǔn)的用戶畫像、廣告投放策略和輿情分析服務(wù)，提升智能用戶體驗(yàn)和商業(yè)價(jià)值。

(4)推動(dòng)相關(guān)領(lǐng)域的技術(shù)進(jìn)步：預(yù)期本項(xiàng)目的研究成果將發(fā)表在高水平的國際期刊和會(huì)議上，提升我國在高維數(shù)據(jù)分析領(lǐng)域的學(xué)術(shù)影響力。所開發(fā)的方法和工具將可供學(xué)術(shù)界和工業(yè)界使用，促進(jìn)相關(guān)領(lǐng)域的技術(shù)進(jìn)步和方法革新，培養(yǎng)一批掌握前沿?cái)?shù)據(jù)分析技術(shù)的專業(yè)人才。

綜上所述，本項(xiàng)目預(yù)期將產(chǎn)出一系列高質(zhì)量的理論研究成果、創(chuàng)新性的分析方法和具有顯著應(yīng)用價(jià)值的技術(shù)工具，為高維數(shù)據(jù)幾何分析領(lǐng)域的發(fā)展做出實(shí)質(zhì)性貢獻(xiàn)，并在生物醫(yī)學(xué)、金融工程、社交網(wǎng)絡(luò)等關(guān)鍵應(yīng)用領(lǐng)域產(chǎn)生積極的社會(huì)和經(jīng)濟(jì)效益。

九.項(xiàng)目實(shí)施計(jì)劃

1.時(shí)間規(guī)劃

本項(xiàng)目計(jì)劃總時(shí)長為三年（36個(gè)月），分為四個(gè)主要階段，每個(gè)階段包含具體的任務(wù)和明確的進(jìn)度安排。項(xiàng)目組成員將根據(jù)各階段任務(wù)需求，合理分配研究精力，確保項(xiàng)目按計(jì)劃推進(jìn)。

(1)第一階段：理論框架構(gòu)建與基礎(chǔ)算法設(shè)計(jì)（第1-12個(gè)月）

*任務(wù)1.1：深入文獻(xiàn)調(diào)研與分析（第1-3個(gè)月）：全面梳理高維數(shù)據(jù)分析、代數(shù)拓?fù)淅碚摷跋嚓P(guān)應(yīng)用領(lǐng)域的最新進(jìn)展，明確本項(xiàng)目的研究定位和創(chuàng)新點(diǎn)。完成調(diào)研報(bào)告。

*任務(wù)1.2：高維數(shù)據(jù)到simplicialcomplex的映射理論研究（第2-6個(gè)月）：研究不同構(gòu)建策略的拓?fù)湫畔⒉东@能力，建立數(shù)學(xué)模型。完成理論分析文檔。

*任務(wù)1.3：持久同調(diào)在高維數(shù)據(jù)流形建模中的應(yīng)用研究（第4-9個(gè)月）：建立拓?fù)洳蛔兞颗c數(shù)據(jù)幾何屬性的理論聯(lián)系，設(shè)計(jì)基于持久同調(diào)的流形表征方法。完成理論分析論文初稿。

*任務(wù)1.4：快速持久同化算法初步設(shè)計(jì)（第5-10個(gè)月）：基于多重分辨率思想，初步設(shè)計(jì)快速持久同化算法，進(jìn)行理論復(fù)雜度分析。完成算法設(shè)計(jì)文檔。

*任務(wù)1.5：拓?fù)涮卣鬟x擇與降維方法研究（第7-11個(gè)月）：設(shè)計(jì)基于拓?fù)涮卣鞯倪x擇方法，并與現(xiàn)有降維技術(shù)進(jìn)行比較分析。完成算法設(shè)計(jì)文檔。

*任務(wù)1.6：第一階段總結(jié)與論文撰寫（第11-12個(gè)月）：完成第一階段的理論研究論文撰寫和算法原型開發(fā)初稿，進(jìn)行內(nèi)部評審和修改。

*進(jìn)度安排：每月召開項(xiàng)目組會(huì)議，每周匯報(bào)進(jìn)展，每季度進(jìn)行一次階段性成果匯報(bào)和評審。

(2)第二階段：算法優(yōu)化與混合模型探索（第13-24個(gè)月）

*任務(wù)2.1：快速持久同化算法優(yōu)化（第13-17個(gè)月）：對初步設(shè)計(jì)的算法進(jìn)行優(yōu)化，研究稀疏采樣、近似計(jì)算等策略。完成優(yōu)化算法代碼和文檔。

*任務(wù)2.2：拓?fù)涮卣鬟x擇方法實(shí)現(xiàn)與驗(yàn)證（第14-18個(gè)月）：實(shí)現(xiàn)拓?fù)涮卣鬟x擇方法，進(jìn)行理論分析和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。完成算法驗(yàn)證報(bào)告。

*任務(wù)2.3：混合模型構(gòu)建研究（第16-20個(gè)月）：探索將拓?fù)涮卣髋cSVM、深度學(xué)習(xí)模型融合的方法。完成混合模型設(shè)計(jì)文檔。

*任務(wù)2.4：拓?fù)涓兄疃葘W(xué)習(xí)模型設(shè)計(jì)（第18-22個(gè)月）：初步設(shè)計(jì)TopologicalCNN/GRU模型，進(jìn)行理論分析。完成模型設(shè)計(jì)文檔。

*任務(wù)2.5：實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建與初步實(shí)驗(yàn)（第19-24個(gè)月）：搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，在合成數(shù)據(jù)集和部分真實(shí)數(shù)據(jù)集上進(jìn)行算法性能比較和模型初步驗(yàn)證。完成實(shí)驗(yàn)報(bào)告初稿。

*任務(wù)2.6：第二階段總結(jié)與論文撰寫（第23-24個(gè)月）：完成第二階段的研究論文撰寫和算法優(yōu)化報(bào)告，進(jìn)行內(nèi)部評審和修改。

*進(jìn)度安排：每兩周召開項(xiàng)目組會(huì)議，每周進(jìn)行代碼開發(fā)和實(shí)驗(yàn)，每季度進(jìn)行一次階段性成果匯報(bào)和評審。

(3)第三階段：應(yīng)用驗(yàn)證與系統(tǒng)開發(fā)（第25-36個(gè)月）

*任務(wù)3.1：真實(shí)數(shù)據(jù)集收集與預(yù)處理（第25-27個(gè)月）：收集具有代表性的高維數(shù)據(jù)集（生物信息學(xué)、金融工程、社交網(wǎng)絡(luò)），進(jìn)行數(shù)據(jù)清洗和預(yù)處理。完成數(shù)據(jù)集描述文檔。

*任務(wù)3.2：方法在真實(shí)數(shù)據(jù)集上的應(yīng)用驗(yàn)證（第28-32個(gè)月）：在真實(shí)數(shù)據(jù)集上應(yīng)用所開發(fā)的方法，進(jìn)行全面的性能評估和效果分析。完成應(yīng)用分析報(bào)告。

*任務(wù)3.3：方法定制化優(yōu)化（第29-33個(gè)月）：針對特定應(yīng)用場景，對方法進(jìn)行定制化優(yōu)化。完成優(yōu)化算法文檔。

*任務(wù)3.4：分析系統(tǒng)原型開發(fā)（第30-35個(gè)月）：開發(fā)面向高維數(shù)據(jù)幾何分析的演示系統(tǒng)原型，集成核心算法模塊。完成系統(tǒng)開發(fā)文檔。

*任務(wù)3.5：系統(tǒng)測試與性能評估（第34-36個(gè)月）：進(jìn)行系統(tǒng)測試與性能評估，分析方法的魯棒性和可擴(kuò)展性。完成系統(tǒng)測試報(bào)告。

*任務(wù)3.6：第三階段總結(jié)與論文撰寫（第35-36個(gè)月）：完成項(xiàng)目最終研究報(bào)告撰寫，總結(jié)研究成果與貢獻(xiàn)，準(zhǔn)備項(xiàng)目結(jié)題材料。

*進(jìn)度安排：每月召開項(xiàng)目組會(huì)議，每周進(jìn)行系統(tǒng)開發(fā)和測試，每季度進(jìn)行一次階段性成果匯報(bào)和評審。

(4)第四階段：成果總結(jié)與推廣（第37-36個(gè)月）

*任務(wù)4.1：研究成果整理與歸檔（第37-38個(gè)月）：整理項(xiàng)目所有研究成果，包括理論論文、算法代碼、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)、應(yīng)用案例等。完成成果匯編。

*任務(wù)4.2：項(xiàng)目總結(jié)報(bào)告撰寫（第38-39個(gè)月）：撰寫項(xiàng)目總結(jié)報(bào)告，全面評估項(xiàng)目目標(biāo)達(dá)成情況。完成總結(jié)報(bào)告初稿。

*任務(wù)4.3：最終論文定稿與發(fā)表（第39-40個(gè)月）：根據(jù)評審意見修改完善最終論文，投稿至相關(guān)高水平期刊。完成論文定稿。

*任務(wù)4.4：學(xué)術(shù)交流與成果推廣（第40-42個(gè)月）：積極參與國內(nèi)外學(xué)術(shù)會(huì)議，發(fā)表研究演講，與相關(guān)領(lǐng)域研究人員進(jìn)行交流。完成學(xué)術(shù)交流計(jì)劃。

*任務(wù)4.5：項(xiàng)目結(jié)題與成果推廣（第42-36個(gè)月）：完成項(xiàng)目結(jié)題申請，根據(jù)需要將部分成果進(jìn)行轉(zhuǎn)化或推廣。完成項(xiàng)目結(jié)題報(bào)告。

*進(jìn)度安排：每月召開項(xiàng)目組會(huì)議，每周根據(jù)任務(wù)分配進(jìn)行論文修改和學(xué)術(shù)準(zhǔn)備，按計(jì)劃參加學(xué)術(shù)會(huì)議。

2.風(fēng)險(xiǎn)管理策略

(1)理論研究風(fēng)險(xiǎn)：部分代數(shù)拓?fù)淅碚搼?yīng)用可能存在技術(shù)路徑不確定性。對策：加強(qiáng)前期理論研究，分階段驗(yàn)證核心假設(shè)，及時(shí)調(diào)整研究方案，引入理論物理、幾何拓?fù)涞阮I(lǐng)域?qū)＜疫M(jìn)行咨詢。

(2)算法開發(fā)風(fēng)險(xiǎn)：快速持久同化算法優(yōu)化可能難以達(dá)到預(yù)期效率目標(biāo)。對策：探索多種算法優(yōu)化路徑，包括并行計(jì)算、GPU加速、近似算法等，并設(shè)置合理的性能指標(biāo)閾值，若未達(dá)預(yù)期則及時(shí)調(diào)整優(yōu)化策略。

(3)數(shù)據(jù)獲取風(fēng)險(xiǎn)：部分應(yīng)用領(lǐng)域（如金融、社交網(wǎng)絡(luò)）的真實(shí)數(shù)據(jù)獲取可能存在困難。對策：提前與相關(guān)領(lǐng)域機(jī)構(gòu)建立聯(lián)系，簽訂數(shù)據(jù)合作協(xié)議，同時(shí)準(zhǔn)備使用公開數(shù)據(jù)集進(jìn)行初步驗(yàn)證。

(4)模型應(yīng)用風(fēng)險(xiǎn)：所開發(fā)方法在真實(shí)應(yīng)用場景中可能存在泛化能力不足或?qū)嵱眯圆桓叩膯栴}。對策：加強(qiáng)與應(yīng)用領(lǐng)域的合作，根據(jù)實(shí)際需求調(diào)整模型設(shè)計(jì)和參數(shù)選擇，進(jìn)行充分的跨領(lǐng)域驗(yàn)證。

(5)項(xiàng)目進(jìn)度風(fēng)險(xiǎn)：項(xiàng)目可能因研究瓶頸或人員變動(dòng)影響進(jìn)度。對策：制定詳細(xì)的項(xiàng)目管理計(jì)劃，定期進(jìn)行進(jìn)度檢查和風(fēng)險(xiǎn)評估，建立靈活的研究團(tuán)隊(duì)結(jié)構(gòu)，確保核心研究人員穩(wěn)定。

(6)經(jīng)費(fèi)使用風(fēng)險(xiǎn)：項(xiàng)目經(jīng)費(fèi)可能存在未按計(jì)劃使用的情況。對策：制定詳細(xì)的經(jīng)費(fèi)使用計(jì)劃，定期進(jìn)行財(cái)務(wù)審計(jì)，確保經(jīng)費(fèi)使用符合項(xiàng)目目標(biāo)和預(yù)算要求。

通過上述風(fēng)險(xiǎn)管理策略，確保項(xiàng)目研究方向的正確性和研究進(jìn)度的可控性，提高項(xiàng)目成功實(shí)施的概率。

十.項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)

1.團(tuán)隊(duì)成員的專業(yè)背景與研究經(jīng)驗(yàn)

本項(xiàng)目團(tuán)隊(duì)由來自數(shù)學(xué)研究所、頂尖高校及研究機(jī)構(gòu)的8名研究人員組成，涵蓋了代數(shù)拓?fù)?、?jì)算幾何、機(jī)器學(xué)習(xí)、生物信息學(xué)、金融工程等多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域，形成了跨學(xué)科、結(jié)構(gòu)合理的科研團(tuán)隊(duì)。團(tuán)隊(duì)負(fù)責(zé)人張明教授是國際知名的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)家，在持久同調(diào)理論及其在數(shù)據(jù)科學(xué)中的應(yīng)用方面具有15年研究積累，主持完成多項(xiàng)國家級科研項(xiàng)目，發(fā)表在《AnnalsofMathematics》、《JournalofTopology》等國際頂級期刊。核心成員李紅博士專注于計(jì)算幾何與機(jī)器學(xué)習(xí)交叉研究，擅長非線性降維算法設(shè)計(jì)，在頂級會(huì)議ACMSIGKDD、ICML上發(fā)表多篇論文，并擁有多項(xiàng)算法專利。王強(qiáng)研究員是生物信息學(xué)領(lǐng)域資深專家，在基因網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)分析方面有豐富經(jīng)驗(yàn)，曾參與多項(xiàng)人類基因組計(jì)劃相關(guān)項(xiàng)目，熟悉高維生物數(shù)據(jù)特性。團(tuán)隊(duì)成員陳偉博士專攻金融時(shí)間序列分析，熟悉GARCH模型、小波分析等金融計(jì)量方法，在《JournalofFinance》等期刊發(fā)表多篇論文。趙靜教授是拓?fù)鋽?shù)據(jù)分析的先驅(qū)之一，在持久同調(diào)算法實(shí)現(xiàn)與可視化方面取得突破性進(jìn)展，開發(fā)的TDA工具被廣泛應(yīng)用于學(xué)術(shù)界和工業(yè)界。團(tuán)隊(duì)成員劉波碩士是機(jī)器學(xué)習(xí)方向的青年人才，擅長深度學(xué)習(xí)模型設(shè)計(jì)，參與開