2025年統(tǒng)計學專業(yè)期末考試：抽樣調(diào)查方法與比例抽樣原理真題模擬考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題（每空2分，共20分）1.在抽樣調(diào)查中，由樣本統(tǒng)計量推算總體參數(shù)所產(chǎn)生的不確定性稱為________誤差。2.若從總體N個單元中，按預先確定的規(guī)則抽取n個單元組成樣本，這種抽樣方法稱為________抽樣。3.分層抽樣中，為使樣本在各層中的分布比例與總體一致，通常采用________抽樣方法。4.比例抽樣（如PPS）要求每個抽樣單元具有一個唯一的、已知的________。5.在比例抽樣中，若總體各單元的規(guī)模（或價值）與所要估計的總體目標量存在系統(tǒng)性的正相關關系，則奈曼估計量相比簡單隨機抽樣估計具有________的優(yōu)勢。6.抽樣框是包含總體所有單元信息的________。7.抽樣調(diào)查中，為保證每個單元被抽中的非零概率，常用的無放回抽樣方法包括________抽樣和________抽樣。8.若將總體單元按某種規(guī)則排列，通過隨機起點和固定間隔抽取樣本單元，這種方法稱為________抽樣。9.抽樣設計中，確定樣本量需要考慮的因素包括總體規(guī)模、可接受的抽樣誤差、置信水平以及________。10.整群抽樣中，以群為單位進行抽樣，其抽樣誤差通常比簡單隨機抽樣________。二、名詞解釋（每題3分，共15分）1.抽樣框2.無偏估計量3.抽樣比4.單元規(guī)模成數(shù)抽樣（PPS）5.抽樣設計三、判斷題（每題2分，共10分）請在括號內(nèi)打“√”或“×”1.在所有抽樣方法中，分層抽樣的抽樣誤差一定最小。（）2.比例抽樣（PPS）適用于任何類型的抽樣調(diào)查。（）3.系統(tǒng)抽樣屬于一種隨機抽樣方法，因此它總能保證樣本的代表性。（）4.抽樣誤差是可以通過改進抽樣技術來完全消除的。（）5.整群抽樣的優(yōu)點之一是實施方便，缺點之一是抽樣誤差通常較大。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述簡單隨機抽樣（SRS）的基本原理及其主要特點。2.與簡單隨機抽樣相比，比例抽樣（如PPS）在什么情況下可能提供更有效的總體總量估計？3.簡述分層抽樣的主要步驟和優(yōu)點。4.列舉三種可能影響抽樣誤差的因素。五、計算題（共35分）1.（10分）假設某村有100戶居民（總體單元數(shù)N=100），為估計該村所有戶的年平均收入，采用PPS抽樣進行抽樣。已知每戶的編號為1到100，其對應的年收入（萬元）如下（部分數(shù)據(jù)）：3,4.5,2.8,5.1,3.2,...,6.8（注：此處僅為示意，非真實數(shù)據(jù)，實際考試將給出完整數(shù)據(jù)列表）。抽樣比n/N=0.1，采用隨機數(shù)表法（或指定方法）抽取一個樣本，計算樣本單元的編號，并根據(jù)樣本單元的年收入計算該村所有戶年平均收入的奈曼估計值及其方差估計值。（要求：寫出抽樣步驟和計算過程）2.（10分）考慮一個由4個單元（A,B,C,D）組成的總體，單元規(guī)模（權重）分別為fA=2,fB=1,fC=3,fD=4?，F(xiàn)采用分層抽樣方法抽取樣本，其中層A和B各抽取1個單元，層C和D各抽取2個單元（樣本總量n=5）。若層內(nèi)抽樣采用簡單隨機抽樣，計算樣本加權平均數(shù)（作為總體平均數(shù)Y?的估計）為2.1，估計總體平均數(shù)Y?的方差V(Y?)。（要求：寫出計算過程）3.（15分）某工廠有5000名工人（N=5000），為估計該廠工人某月總工資額，考慮采用PPS抽樣。已知每個工人的工號從1到5000，且已知每個工人的工資額?，F(xiàn)決定抽樣比n/N=0.02。假設通過隨機抽樣方法（如隨機數(shù)生成）獲得了一個樣本容量為n=100的樣本。請回答：a.該如何根據(jù)工號范圍和抽樣比確定樣本單元的抽取方法？請簡述步驟。b.假設樣本中某個被抽中工人的工資為W_i，請寫出利用PPS方法估計總體總工資額T的估計量公式。c.請寫出奈曼估計量方差估計的一般公式（不需要計算）。六、論述題（10分）結合實際例子，論述選擇采用比例抽樣（如PPS）而非簡單隨機抽樣或分層抽樣的可能原因及其條件。試卷答案一、填空題1.抽樣2.系統(tǒng)隨機3.等比例4.規(guī)模（或編號、價值等與目標量相關的量）5.更有效（或更低）6.目錄（或清單、列表）7.系統(tǒng)隨機、簡單隨機（或其他無放回抽樣，如PPS）8.系統(tǒng)隨機9.抽樣方法（或抽樣方差、經(jīng)費、時間等）10.增大（或更高）二、名詞解釋1.抽樣框：指包含總體所有單元信息的目錄或清單，是進行抽樣調(diào)查抽取樣本的依據(jù)。*解析思路：定義抽樣框的核心是“包含總體所有單元信息”的“目錄/清單”，并強調(diào)其作為“抽樣依據(jù)”的作用?？疾鞂靖拍畹臏蚀_理解。2.無偏估計量：指當用樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)時，樣本統(tǒng)計量的期望值等于所估計的總體參數(shù)。*解析思路：定義無偏性的核心是“期望值等于參數(shù)”。這是衡量估計量好壞的基本標準之一。3.抽樣比：指樣本容量n與總體容量N的比值，即n/N。*解析思路：定義抽樣比的核心是“樣本容量/總體容量”。它是抽樣設計中一個重要的參數(shù)。4.單元規(guī)模成數(shù)抽樣（PPS）：指以總體中每個單元的規(guī)模（如大小、價值、數(shù)量等）為輔助信息，按照規(guī)模成數(shù)進行隨機抽樣的方法，確保每個單元被抽中的概率與其規(guī)模成正比。*解析思路：定義PPS的核心是“以單元規(guī)模為輔助信息”、“隨機抽樣”、“概率與規(guī)模成正比”。需要區(qū)分PPS與簡單隨機抽樣。5.抽樣設計：指在進行抽樣調(diào)查之前，根據(jù)研究目標、總體特征、經(jīng)費、時間等限制條件，系統(tǒng)地規(guī)劃抽樣方案的過程，包括確定抽樣框、選擇抽樣方法、確定樣本量等。*解析思路：定義抽樣設計需要涵蓋“規(guī)劃過程”、“關鍵要素”（框、方法、樣本量等），體現(xiàn)其系統(tǒng)性和前瞻性。三、判斷題1.×*解析思路：抽樣誤差的大小取決于多種因素，并非分層抽樣一定最小。選擇合適的抽樣方法才能獲得最小的或滿足需求的抽樣誤差。2.×*解析思路：PPS抽樣主要適用于單元具有已知且與目標量相關的規(guī)模變量的情況。如果缺乏這種規(guī)模信息或規(guī)模變量與目標量無關，則無法使用PPS。3.√*解析思路：系統(tǒng)抽樣若起點和間隔選擇得當，且總體不存在周期性或系統(tǒng)性的排列模式，則其抽樣過程是隨機的，理論上能保證樣本代表性。但需注意潛在的非隨機性風險。4.×*解析思路：抽樣誤差是抽樣本身固有的、無法完全消除的隨機誤差。只能通過改進抽樣設計（如增加樣本量、選擇更優(yōu)方法）來控制或減小。5.√*解析思路：整群抽樣由于樣本單元集中在少數(shù)幾個群內(nèi)，其樣本分布的分散性不如簡單隨機抽樣，導致平均抽樣誤差通常較大。但實施方便是其優(yōu)點。四、簡答題1.簡述簡單隨機抽樣（SRS）的基本原理及其主要特點。*解析思路：基本原理：從總體N個單元中，完全隨機地（每個單元被抽中的概率相等）抽取n個單元組成樣本。主要特點：①抽樣過程完全隨機；②每個單元被抽中的概率相同（p=n/N）；③理論簡單，是其他抽樣方法的基礎；④抽樣誤差計算相對容易；⑤實施可能困難（尤其N很大時），樣本可能分布不均。2.與簡單隨機抽樣相比，比例抽樣（如PPS）在什么情況下可能提供更有效的總體總量估計？*解析思路：情況：當總體各單元的規(guī)模（或編號、價值等與目標量相關的量）與所要估計的總體目標量存在系統(tǒng)性的正相關關系時。解釋：PPS的奈曼估計量利用了這種相關性，使得估計量更集中于真值，從而降低了抽樣誤差，提高了估計效率（方差更?。：唵坞S機抽樣未利用這種信息，估計效率可能較低。3.簡述分層抽樣的主要步驟和優(yōu)點。*主要步驟：①劃分總體為互不重疊的層，確保層內(nèi)同質、層間異質；②確定各層樣本量（如按比例、最優(yōu)分配等）；③在各層內(nèi)獨立地采用簡單隨機抽樣或其他抽樣方法抽取樣本。優(yōu)點：①提高估計精度（因層內(nèi)同質，層間異質）；②能獲得各層子總體的估計；③對各層情況進行了解和推斷；④確保樣本在關鍵特征上的代表性。4.列舉三種可能影響抽樣誤差的因素。*解析思路：影響抽樣誤差的因素主要有：①總體方差：總體內(nèi)部差異越大，抽樣誤差通常越大；②樣本量：樣本量越大，抽樣誤差通常越小；③抽樣方法：不同抽樣方法的抽樣效率不同，導致抽樣誤差不同（如PPS通常比SRS更有效）；④抽樣框質量：抽樣框的準確性和完整性影響抽樣效果，可能導致無回答或重復，增加誤差。五、計算題1.（10分）假設某村有100戶居民（總體單元數(shù)N=100），為估計該村所有戶的年平均收入，采用PPS抽樣進行抽樣。已知每戶的編號為1到100，其對應的年收入（萬元）如下（部分數(shù)據(jù)）：3,4.5,2.8,5.1,3.2,...,6.8（注：此處僅為示意，非真實數(shù)據(jù)，實際考試將給出完整數(shù)據(jù)列表）。抽樣比n/N=0.1，采用隨機數(shù)表法（或指定方法）抽取一個樣本，計算樣本單元的編號，并根據(jù)樣本單元的年收入計算該村所有戶年平均收入的奈曼估計值及其方差估計值。（要求：寫出抽樣步驟和計算過程）*解析思路：*抽樣步驟：a.編號：給每戶分配編號1到100。b.規(guī)模：計算每戶年收入作為規(guī)模f_i（需完整數(shù)據(jù)）。計算總規(guī)模F=Σf_i。c.比例：計算每個單元被抽中的概率p_i=f_i/F。d.抽樣：生成100個[0,1]區(qū)間的隨機數(shù)，按從小到大排序。找到每個隨機數(shù)落在第i個單元的p_i區(qū)間的編號，即為抽中的樣本單元編號。重復n次（n=10）。e.計算：根據(jù)抽中的樣本單元編號，找到其對應的年收入W_i。計算奈曼估計值?=Σ(W_i/f_i)/Σ(1/f_i)。計算方差估計值V(?)=(1/(n-1))*Σ(p_i*(1-p_i))*(W_i/f_i-?)^2（或使用其他常用公式，如基于抽樣框的方差公式）。*計算過程（示意）：假設隨機數(shù)法抽中編號為5,23,47,...（需實際操作確定）。假設樣本年收入W_5=3.2,W_23=4.1,...。假設計算得到Σ(W_i/f_i)=20.5,Σ(1/f_i)=0.18。則?=20.5/0.18=113.89。假設計算得到V(?)≈0.15（具體值取決于f_i和W_i）。2.（10分）考慮一個由4個單元（A,B,C,D）組成的總體，單元規(guī)模（權重）分別為fA=2,fB=1,fC=3,fD=4?，F(xiàn)采用分層抽樣方法抽取樣本，其中層A和B各抽取1個單元，層C和D各抽取2個單元（樣本總量n=5）。若層內(nèi)抽樣采用簡單隨機抽樣，計算樣本加權平均數(shù)（作為總體平均數(shù)Y?的估計）為2.1，估計總體平均數(shù)Y?的方差V(Y?)。（要求：寫出計算過程）*解析思路：*計算過程：a.總規(guī)模F=fA+fB+fC+fD=2+1+3+4=10。b.總體平均數(shù)估計：?=Σ(W_i/f_i)/Σ(1/f_i)。這里直接給出?=2.1。c.方差估計：V(?)=Σ[(fA_i/F)^2*V(Y?)_i]/n。d.計算層內(nèi)方差：假設層內(nèi)單元值分別為：A層{1,2},B層{3,4},C層{5,6},D層{7,8}。V(Y?)_A=Var(1,2)/2=((1-2.5)^2+(2-2.5)^2)/2=0.25。V(Y?)_B=Var(3,4)/2=((3-3.5)^2+(4-3.5)^2)/2=0.25。V(Y?)_C=Var(5,6)/2=((5-5.5)^2+(6-5.5)^2)/2=0.25。V(Y?)_D=Var(7,8)/2=((7-7.5)^2+(8-7.5)^2)/2=0.25。e.計算總方差：V(?)=[(2/10)^2*0.25+(1/10)^2*0.25+(3/10)^2*0.25+(4/10)^2*0.25]/5=[(0.04*0.25)+(0.01*0.25)+(0.09*0.25)+(0.16*0.25)]/5=[0.01+0.0025+0.0225+0.04]/5=0.075/5=0.015。（注意：此計算假設層內(nèi)方差相同，實際可能不同。若層內(nèi)值未給出，無法計算具體方差。）3.（15分）某工廠有5000名工人（N=5000），為估計該廠工人某月總工資額，考慮采用PPS抽樣。已知每個工人的工號從1到5000，且已知每個工人的工資額?，F(xiàn)決定抽樣比n/N=0.02。假設通過隨機抽樣方法（如隨機數(shù)生成）獲得了一個樣本容量為n=100的樣本。請回答：a.該如何根據(jù)工號范圍和抽樣比確定樣本單元的抽取方法？請簡述步驟。b.假設樣本中某個被抽中工人的工資為W_i，請寫出利用PPS方法估計總體總工資額T的估計量公式。c.請寫出奈曼估計量方差估計的一般公式（不需要計算）。*解析思路：a.抽樣步驟：i.編號：確認工號為1到5000。ii.規(guī)模：假設每個工人的工資額即為規(guī)模變量W_i（或更可能是工號，這里按題目設）。iii.總規(guī)模：計算總工資額T=ΣW_i（或總工號，若按工號抽樣）。設總規(guī)模為F。iv.概率：計算每個工人被抽中的概率p_i=W_i/T=W_i/F。v.抽樣：生成一個5000個[0,1]區(qū)間隨機數(shù)的序列。對于第k個隨機數(shù)R_k，找到滿足Σp_j<R_k≤Σp_j+p_k的工號j，則工號j被抽中。重復100次。b.估計量公式：?=Σ(W_i/f_i)/Σ(1/f_i)=Σ(W_i^2/T)/Σ(1/(W_i/T))=Σ(W_i^2/T)/(T/ΣW_i)=(1/