2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試題庫(kù)——統(tǒng)計(jì)與決策應(yīng)用題型解析考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分）1.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，X?,X?,...,Xn為樣本，當(dāng)n固定時(shí)，下列哪個(gè)估計(jì)量是總體均值μ的無(wú)偏估計(jì)量，且方差最?。浚ǎ〢.基于樣本中位數(shù)的估計(jì)B.基于樣本極差的估計(jì)C.基于樣本均值的估計(jì)(X?=(1/n)ΣX?)D.基于樣本眾數(shù)的估計(jì)2.在假設(shè)檢驗(yàn)H?:μ=μ?vsH?:μ≠μ?中，若選用顯著性水平α進(jìn)行檢驗(yàn)，則該檢驗(yàn)的第一類錯(cuò)誤概率為？（）A.μ≠μ?的概率B.μ=μ?的概率C.|μ-μ?|/σ的概率D.α3.對(duì)于一元線性回歸模型Y=β?+β?X+ε，若變量X增加一個(gè)單位，則Y的預(yù)期值增加？（）A.β?B.β?C.β?+β?D.ε4.在進(jìn)行簡(jiǎn)單線性回歸分析時(shí)，若殘差分析顯示存在明顯的異方差性，則可能的影響是？（）A.回歸系數(shù)的估計(jì)仍然是無(wú)偏和有效的B.回歸系數(shù)的估計(jì)是有偏的C.模型的預(yù)測(cè)精度會(huì)降低D.F檢驗(yàn)的結(jié)論總是更顯著5.從總體中抽取樣本進(jìn)行抽樣調(diào)查，若希望以較小的樣本量獲得更精確的總體均值估計(jì)（即抽樣誤差更?。瑧?yīng)采用哪種抽樣方法？（）A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.分層抽樣C.整群抽樣D.系統(tǒng)抽樣二、計(jì)算題（每小題10分，共30分）6.某燈泡廠生產(chǎn)一批燈泡，隨機(jī)抽取10只進(jìn)行壽命測(cè)試，得到壽命數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）：950,960,940,980,955,965,975,945,970,960。假設(shè)燈泡壽命服從正態(tài)分布。(1)計(jì)算樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差。(2)檢驗(yàn)這批燈泡的平均壽命是否顯著高于950小時(shí)？（α=0.05）7.某研究想比較兩種教學(xué)方法（方法A和方法B）對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果是否有顯著差異。隨機(jī)抽取15名學(xué)生，分為兩組，每組7人，分別接受不同方法教學(xué)。一段時(shí)間后，兩組學(xué)生的測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢〝?shù)據(jù)已排序）：方法A組：65,68,72,75,78,80,85方法B組：60,63,70,72,75,78,82假設(shè)兩組學(xué)生的成績(jī)均服從正態(tài)分布且方差相等。試用假設(shè)檢驗(yàn)方法判斷兩種教學(xué)方法的效果是否存在顯著差異？（α=0.10）8.某公司想研究廣告投入（X，單位：萬(wàn)元）與銷售額（Y，單位：萬(wàn)元）之間的關(guān)系。收集了10組數(shù)據(jù)，計(jì)算得到：ΣX?=60,ΣY?=700,ΣX?2=400,ΣX?Y?=4380。假設(shè)數(shù)據(jù)符合一元線性回歸模型。(1)建立Y對(duì)X的一元線性回歸方程。(2)計(jì)算回歸系數(shù)的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤（s?）。三、分析題（每小題15分，共30分）9.某銀行想知道客戶的月收入（X，單位：千元）對(duì)其月消費(fèi)支出（Y，單位：千元）是否有線性影響。隨機(jī)抽取了8位客戶，得到以下數(shù)據(jù)：X:4,5,6,6,7,8,9,10Y:3,4,6,5,7,7,9,10(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖，初步判斷X與Y之間是否存在線性關(guān)系。(2)建立Y對(duì)X的線性回歸方程，并對(duì)回歸系數(shù)β?進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)（H?:β?=0vsH?:β?≠0），判斷月收入對(duì)月消費(fèi)支出是否有顯著影響？（α=0.05）(3)若某客戶月收入為8千元，預(yù)測(cè)其月消費(fèi)支出，并給出預(yù)測(cè)區(qū)間（置信水平為95%）。10.假設(shè)某產(chǎn)品的重量理論上應(yīng)穩(wěn)定在500克。質(zhì)檢部門(mén)定期抽取樣本進(jìn)行檢測(cè)。某次抽檢10件產(chǎn)品，測(cè)得重量數(shù)據(jù)如下（單位：克）：498,501,503,497,502,504,499,501,503,505。假設(shè)產(chǎn)品重量服從正態(tài)分布。(1)計(jì)算樣本均值和樣本方差。(2)試用假設(shè)檢驗(yàn)方法判斷該批次產(chǎn)品的平均重量是否顯著偏離500克？（α=0.01）(3)結(jié)合計(jì)算結(jié)果，從統(tǒng)計(jì)決策的角度，該批次產(chǎn)品是否應(yīng)判定為合格？（假設(shè)合格標(biāo)準(zhǔn)是平均重量在500克附近一定范圍內(nèi)）---試卷答案一、選擇題1.C2.D3.B4.C5.B二、計(jì)算題6.(1)樣本均值X?=960,樣本標(biāo)準(zhǔn)差s≈14.14(2)H?:μ=950,H?:μ>950。采用單樣本t檢驗(yàn)。計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量t=(X?-μ?)/(s/√n)=(960-950)/(14.14/√10)≈0.89。查t分布表得臨界值t_{0.05,9}≈1.833。因0.89<1.833，未拒絕H?。解析思路：計(jì)算樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)思想，提出原假設(shè)和備擇假設(shè)。由于總體方差未知且小樣本，選用t檢驗(yàn)。計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t的值。與臨界值或P值比較，做出統(tǒng)計(jì)決策。7.H?:μ_A=μ_B,H?:μ_A≠μ_B。采用雙樣本t檢驗(yàn)（假設(shè)方差相等）。合并方差s_p2=[(n_A-1)s_A2+(n_B-1)s_B2]/(n_A+n_B-2)≈47.03,s_p≈6.86。計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量t=(X?_A-X?_B)/(s_p*√(1/n_A+1/n_B))≈(73-73)/(6.86*√(1/7+1/7))=0。查t分布表得臨界值t_{0.10/2,12}≈1.782。因|t|=0<1.782，未拒絕H?。解析思路：根據(jù)題設(shè)條件（正態(tài)、方差相等）選擇合適的假設(shè)檢驗(yàn)方法（雙樣本t檢驗(yàn)）。計(jì)算兩組樣本均值、樣本方差和合并標(biāo)準(zhǔn)差。計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t的值。與臨界值或P值比較，做出統(tǒng)計(jì)決策。8.(1)β?=Cov(X,Y)/Var(X)=(ΣX?Y?-nX?Y?)/(ΣX?2-nX?2)=(4380-10*6*70)/(400-10*62)=180/40=4.5。β?=Y?-β?X?=70-4.5*6=41.0?；貧w方程為Y?=41.0+4.5X。(2)s?=√[Σ(Y?-Y?)2/(n-2)]=√[ΣY?2-nY?2-β?ΣX?Y?+β?2ΣX?2]/(n-2)=√[(ΣY?2-nY?2)-β?(ΣX?Y?-nX?Y?)+β?2(ΣX?2-nX?2)]/(n-2)=√[(7002-10*702)-4.5*(4380-10*6*70)+4.52*(400-10*62)]/(10-2)=√[490000-490000-4.5*180+20.25*40]/8=√[-810+810]/8=√0/8=0。注意：此題數(shù)據(jù)特殊，導(dǎo)致殘差平方和為零，標(biāo)準(zhǔn)誤為0，這在實(shí)際中少見(jiàn)。通常需使用實(shí)際數(shù)據(jù)計(jì)算。若按常規(guī)計(jì)算：(ΣY?2-nY?2-4.5*ΣX?Y?+4.52*ΣX?2)/8。解析思路：回歸系數(shù)β?通過(guò)計(jì)算協(xié)方差除以方差得到，或通過(guò)最小二乘法公式計(jì)算。截距β?通過(guò)均值和β?計(jì)算。標(biāo)準(zhǔn)誤s?通過(guò)計(jì)算殘差平方和的均值根號(hào)得到。將給定數(shù)據(jù)代入公式進(jìn)行計(jì)算。三、分析題9.(1)散點(diǎn)圖（文字描述）：繪制X與Y的散點(diǎn)圖，點(diǎn)的分布大致呈一條上升的直線，表明可能存在線性關(guān)系。(2)H?:β?=0,H?:β?≠0。t統(tǒng)計(jì)量t=β??/s_β?=4.5/0.98≈4.59。自由度df=n-2=8-2=6。查t分布表得P-value<2*P(t>4.59)≈2*0.005=0.01<0.05。拒絕H?。解析思路：先繪制散點(diǎn)圖進(jìn)行可視化判斷。再進(jìn)行線性回歸分析。計(jì)算回歸系數(shù)β??和標(biāo)準(zhǔn)誤s_β?。計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t。查t分布表得P值或臨界值，與α比較，做出決策。(3)預(yù)測(cè)值Y?=41.0+4.5*8=73.0。預(yù)測(cè)區(qū)間為Y?±t_{α/2,df}*s?*√(1+1/n+(X?-X?)2/Σ(X?-X?)2)。需要計(jì)算s?(從(2)中已知為0，或按常規(guī)計(jì)算)，t_{0.025,6}≈2.447，X?=8,X?=6,Σ(X?-X?)2=40。區(qū)間=73±2.447*0*√(1+1/8+(8-6)2/40)=73±0。解析思路：使用回歸方程計(jì)算給定X?=8時(shí)的預(yù)測(cè)值Y?。根據(jù)置信水平和自由度查找臨界值t_{α/2,df}。計(jì)算預(yù)測(cè)區(qū)間所需的各項(xiàng)（標(biāo)準(zhǔn)誤s?，常數(shù)項(xiàng)，平方根部分）。代入公式計(jì)算區(qū)間端點(diǎn)。此題因s?為0，區(qū)間退化為一個(gè)點(diǎn)。10.(1)X?=500.8,s2≈24.68,s≈4.97(2)H?:μ=500,H?:μ≠500。采用單樣本t檢驗(yàn)。計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量t=(X?-μ?)/(s/√n)=(500.8-500)/(4.97/√10)≈1.29。查t分布表得臨界值t_{0.005,9}≈3.250。因|t|=1.29<3.250，未拒絕H?。解析思路：計(jì)算樣本均值和標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)思想，提出原假設(shè)和備擇假設(shè)。由于總體方差未知且小樣本，選用t檢驗(yàn)。計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t的值。與臨界值或P值比較，做出