特別指導(dǎo)

同構(gòu)在函數(shù)問題中的應(yīng)用[反思領(lǐng)悟]含有二元變量函數(shù)的常見同構(gòu)類型答案：A

2．已知b>a>0，且滿足alnb＝blna，e為自然對數(shù)的底數(shù)，則(

)A．a(chǎn)e<ea<eb B．eb<ae<eaC．eb<ea<ae D．ea<ae<eb答案：A

解析：因為y＝ex在R上單調(diào)遞增，b>a>0，所以eb>ea，B、C錯誤；類型(二)指對跨階同構(gòu)型

對于一個指數(shù)、直線、對數(shù)三階的問題，可以通過跨階函數(shù)的同構(gòu)，轉(zhuǎn)化為兩階問題解決，通常在一些求參數(shù)的取值范圍、零點個數(shù)、證明不等式中應(yīng)用跨階同構(gòu)來快速解題．跨階同構(gòu)需要構(gòu)造一個母函數(shù)，即外層函數(shù)，這個母函數(shù)需要滿足：①指對跨階，②單調(diào)性和最值易求．[例3]

(2023·南通質(zhì)檢)若關(guān)于x的不等式ex－a≥lnx＋a對一切正實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是(

)[解題觀摩]

∵ex－a≥lnx＋a，∴ex－a＋x－a≥x＋lnx.∴ex－a＋x－a≥elnx＋lnx.設(shè)f(t)＝et＋t，則f′(t)＝et＋1＞0，∴f(t)在R上單調(diào)遞增．[反思領(lǐng)悟]指對跨階同構(gòu)的基本模式(1)積型：aea≤blnb，一般有三種同構(gòu)方式同左aea≤blnb?aea≤(lnb)elnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xex同右aea≤blnb?ealnea≤blnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝xlnx兩邊同取自然對數(shù)aea≤blnb?a＋lna≤lnb＋ln(lnb)，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x＋lnx(3)和差型：ea±a>b±lnb，一般有兩種同構(gòu)方式同左ea±a>b±lnb?ea±a>elnb±lnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝ex±x同右ea±a>b±lnb?ea±lnea>b±lnb，構(gòu)造函數(shù)f(x)＝x±lnx答案：D

4．若不等式e(m－1)x＋3mxex≥3exlnx＋7xex對任意x∈(0，＋∞)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是______________．解析：e(m－1)x＋3mxex≥3exlnx＋7xex?e(m－2)x＋3mx≥3lnx＋7x?e(m－2)x＋3(m－2)x≥3lnx＋x.構(gòu)造函數(shù)g(x)＝ex＋3x，可得g((m－2)x)≥g(lnx)．∵g(x)＝ex＋3x在R上單調(diào)遞增，類型(三)零點同構(gòu)

[例4]已知函數(shù)f(x)＝xex－2a(lnx＋x)有兩個零點，則a的最小整數(shù)值為(

)A．0 B．1C．2 D．3[反思領(lǐng)悟]先將函數(shù)化為f(x)＝ex＋lnx－2a(lnx＋x)，令t＝x＋lnx，進(jìn)而只需說明g(t)＝et－2at在R上有兩個零點，以下求解若采用對函數(shù)求導(dǎo)，討論出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，最后通過放縮法解決問題比較復(fù)雜，相對來說若先討論a是否為零，再利用分離參數(shù)、數(shù)形結(jié)合法求解更簡便．

[應(yīng)用體驗]5．已知x0是函數(shù)f(x)＝x2ex－2＋lnx