專題跟蹤檢測（九）空間點、線、面的位置關(guān)系一、題點考法全面練1.(2023·鹽城模擬)如圖，在四棱錐P－ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點，且MN∥平面PAD，則()A．MN∥PD B．MN∥PAC．MN∥AD D．以上均有可能解析：選B∵MN∥平面PAD，MN?平面PAC，平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA．故選B．2．(2023·泰安一模)已知m，n是兩條不重合的直線，α是一個平面，n?α，則“m⊥α”是“m⊥n”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A由線面垂直的性質(zhì)知，若m⊥α，n?α，則m⊥n成立，即充分性成立；根據(jù)線面垂直的定義，m必須垂直平面α內(nèi)的兩條相交直線，才有m⊥α，即必要性不成立．故選A．3．設(shè)α，β是兩個不同的平面，則“α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行”是“α∥β”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，A1B1∥平面ABCD．在平面ABB1A1內(nèi)，除直線AB外，其他所有與A1B1平行的直線，都與平面ABCD平行，但是平面ABB1A1與平面ABCD不平行；若α∥β，根據(jù)面面平行的定義可知，平面α內(nèi)的直線都與平面β平行．所以“α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行”是“α∥β”的必要不充分條件．故選B．4．已知三棱錐A－BCD的側(cè)面展開圖放在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，那么在三棱錐A－BCD中，AB與CD所成的角為()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4) D．eq\f(π,2)解析：選D由題圖可知，在三棱錐A－BCD中，AB＝BC＝BD＝eq\r(5)，AC＝AD＝eq\r(2)，CD＝2，取CD的中點E，連接AE，BE，如圖所示．因為BC＝BD＝eq\r(5)，AC＝AD＝eq\r(2)，所以AE⊥CD，BE⊥CD．因為AE∩BE＝E，AE，BE?平面ABE，所以CD⊥平面ABE.因為AB?平面ABE，所以CD⊥AB，即AB與CD所成的角為eq\f(π,2)，故選D．5.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線BD1與平面ABCD所成角的正切值為()A．1 B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),3)解析：選C如圖所示，連接BD，因為DD1⊥平面ABCD，所以∠DBD1就是直線BD1與平面ABCD所成的角．設(shè)正方體棱長為1，則DD1＝1，DB＝eq\r(2)，所以tan∠DBD1＝eq\f(DD1,DB)＝eq\f(\r(2),2).故選C．6.在通用技術(shù)課上，某小組將一個直三棱柱ABC－A1B1C1展開，得到的平面圖如圖所示．其中AB＝4，AC＝3，BC＝AA1＝5，M是BB1上的點，則在直三棱柱ABC－A1B1C1中，下列結(jié)論錯誤的是()A．AM與A1C1是異面直線B．AC⊥A1MC．平面AB1C將三棱柱截成一個五面體和一個四面體D．A1M＋MC的最小值是2eq\r(26)解析：選D由題設(shè)，可得直三棱柱，如圖．由直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征知，A1C1∥AC，又AC，AM是相交直線，所以AM與A1C1是異面直線，A正確；因為AB＝4，AC＝3，BC＝5，AB2＋AC2＝BC2，所以AB⊥AC．又AA1⊥AC，且AA1∩AB＝A，AA1，AB?平面AA1B1B，所以AC⊥平面AA1B1B．又A1M?平面AA1B1B，故AC⊥A1M，B正確；由圖知，平面AB1C將三棱柱截成四棱錐B1－ACC1A1和三棱錐B1－ABC，即一個五面體和一個四面體，C正確；將平面AA1B1B和平面CC1B1B展開為一個平面，如圖，當A1，M，C共線時，A1M＋MC的最小值為eq\r(106)，D錯誤．7.(2023·昆明模擬)如圖，已知ABC－A1B1C1是側(cè)棱長和底面邊長均等于a的直三棱柱，D是側(cè)棱CC1的中點．則點C到平面AB1D的距離為()A．eq\f(\r(2),4)a B．eq\f(\r(2),8)aC．eq\f(3\r(2),4)a D．eq\f(\r(2),2)a解析：選A取AB的中點O，連接CO.因為△ABC為等邊三角形，O為AB的中點，所以CO⊥AB．以點O為坐標原點，eq\o(OB,\s\up6(―→))，eq\o(OC,\s\up6(―→))，eq\o(BB1,\s\up6(―→))的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，則Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)a，0))，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0，0))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0，a))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)a，\f(a,2))).設(shè)平面AB1D的法向量為n＝(x，y，z)，eq\o(AB1,\s\up6(―→))＝(a,0，a)，eq\o(AD,\s\up6(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(\r(3),2)a，\f(a,2)))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB1,\s\up6(―→))＝ax＋az＝0，,n·\o(AD,\s\up6(―→))＝\f(a,2)x＋\f(\r(3),2)ay＋\f(a,2)z＝0，))取x＝1，可得n＝(1,0，－1)．又eq\o(AC,\s\up6(―→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，\f(\r(3),2)a，0))，所以點C到平面AB1D的距離d＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(―→))·n|,|n|)＝eq\f(\f(a,2),\r(2))＝eq\f(\r(2),4)A．故選A．8.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點M，N分別是棱DD1和線段BC1上的動點，則滿足與DD1垂直的直線MN()A．有且僅有1條 B．有且僅有2條C．有且僅有3條 D．有無數(shù)條解析：選D過點N作NE⊥BC，垂足為E，連接DE(圖略)，當M，N高度一樣，即MD＝NE時，一定有DD1⊥MN.理由如下：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，NE∥CC1∥MD，所以四邊形MDEN為平行四邊形，所以MN∥DE.因為DD1⊥平面ABCD，且DE?平面ABCD，所以DD1⊥DE，即DD1⊥MN.所以當M，N高度一樣，即MD＝NE時，一定有DD1⊥MN，此時滿足條件的直線MN有無數(shù)條．故選D．9.(2023·衡水模擬)(多選)如圖，已知圓錐的頂點為S，底面ACBD的兩條對角線恰好為圓O的兩條直徑，E，F(xiàn)分別為SA，SC的中點，且SA＝AC＝AD，則下列說法正確的有()A．SD∥平面OEFB．平面OEF∥平面SBDC．OE⊥SAD．直線EF與SD所成的角為45°解析：選ABC由已知可得四邊形ACBD為正方形，且四棱錐S－ACBD各棱長均相等．由O，F(xiàn)分別為CD，SC的中點，可得OF∥SD．又OF?平面OEF，SD?平面OEF，所以SD∥平面OEF，故A正確；因為O，E分別為AB，SA的中點，所以O(shè)E∥SB．又OE?平面OEF，SB?平面OEF，故SB∥平面OEF.而SD∩SB＝S，且SB?平面SBD，SD?平面SBD，所以平面OEF∥平面SBD，故B正確；設(shè)SA＝1，則SB＝AD＝BD＝1，AB＝eq\r(2)AD＝eq\r(2)，所以SA2＋SB2＝AB2，即SA⊥SB，由B選項可知OE∥SB，所以O(shè)E⊥SA，故C正確；EF∥AC∥BD，故∠SDB(或其補角)即為異面直線EF與SD所成的角，而∠SDB＝60°，故D錯誤．10．(2023·泉州模擬)已知某圓錐的母線長為2，記其側(cè)面積為S，體積為V，則當eq\f(V,S)取得最大值時，母線與底面所成角的正弦值為()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(3,4)解析：選A設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，母線長為l，則l＝2，h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(4－r2)，V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)πr2eq\r(4－r2)，S＝πrl＝2πr，于是eq\f(V,S)＝eq\f(\f(1,3)πr2\r(4－r2),2πr)＝eq\f(1,6)req\r(4－r2)≤eq\f(1,6)×eq\f(r2＋4－r2,2)＝eq\f(1,3)，當且僅當r＝eq\r(4－r2)，即r＝eq\r(2)時取等號，此時l＝2，r＝eq\r(2)，由線面角的定義得，所求的母線與底面所成角的正弦值為eq\f(\r(2),2)，故選A．11.(多選)如圖，正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱AA′，CC′的中點，過直線EF的平面分別與棱BB′，DD′交于點M，N，以下四個命題正確的是()A．四邊形EMFN一定為矩形B．平面EMFN⊥平面DBB′D′C．四棱錐A－MENF的體積為eq\f(1,6)D．四邊形EMFN的周長最小值為2eq\r(5)解析：選BC連接BD，B′D′，MN，AC，顯然AE∥CF，且AE＝CF，所以四邊形ACFE為平行四邊形，所以AC∥EF.由題意得AC⊥BD，BB′⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以BB′⊥AC．因為BD∩BB′＝B，BD，BB′?平面BDD′B′，所以AC⊥平面BDD′B′，則EF⊥平面BDD′B′.又EF?平面EMFN，所以平面EMFN⊥平面BDD′B′，故B正確；由正方體的性質(zhì)得平面BCC′B′∥平面ADD′A′，平面BCC′B′∩平面EMFN＝MF，平面ADD′A′∩平面EMFN＝EN，故MF∥EN，同理得ME∥NF.又EF⊥平面BDD′B′，MN?平面BDD′B′，所以EF⊥MN，所以四邊形MENF為菱形，故A錯誤；四棱錐A－MENF的體積V1＝VM－AEF＋VN－AEF＝eq\f(1,3)DB·S△AEF＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(1,6)，故C正確；因為四邊形MENF是菱形，所以四邊形MENF的周長l＝4eq\r(\f(MN2,4)＋\f(EF2,4))＝4·eq\f(\r(MN2＋2),2)＝2eq\r(MN2＋2).所以當點M，N分別為BB′，DD′的中點時，四邊形MENF的周長最小，此時MN＝EF＝eq\r(2)，即周長的最小值為4，故D錯誤．故選B、C．12．(多選)如圖，ABCD－A′B′C′D′為正方體．任作平面α與對角線AC′垂直，使得α與正方體的每個面都有公共點，記這樣得到的截面多邊形的面積為S，周長為l.則()A．S為定值B．S不為定值C．l為定值D．l不為定值解析：選BC將正方體切去兩個正三棱錐A－A′BD與C′－D′B′C后，得到一個以平行平面A′BD與D′B′C為上、下底面的幾何體V，如圖①，在A′B′上取一點E′，作E′T∥B′D′，E′S∥A′B，再作TM∥A′D，MR∥CD′，RQ∥BD，QS∥B′C，則六邊形E′TMRQS即為平面α，記為W.V的每個側(cè)面都是等腰直角三角形，截面多邊形W的每一條邊分別與V的底面上的對應(yīng)邊平行，將V的側(cè)面沿棱A′B′剪開，展平在一張平面上，得到一個平行四邊形A′B′B1A1，而多邊形W的周界展開后便成為一條與A′A1平行的線段(如圖②中E′E1)，顯然E′E1＝A′A1，故l為定值．當E′位于A′B′中點時，多邊形W為正六邊形，而當E′移至A′處時，W為正三角形，易知周長為定值l的正六邊形與正三角形面積分別為eq\f(\r(3),24)l2與eq\f(\r(3),36)l2，故S不為定值．13．在四棱錐V－ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，其他四個側(cè)面都是側(cè)棱長為eq\r(5)的等腰三角形，則二面角V－AB－C的大小為________．解析：如圖，作VO⊥平面ABCD，垂足為O，則VO⊥AB．取AB的中點H，連接VH，OH，則VH⊥AB．因為VH∩VO＝V，所以AB⊥平面VHO，所以AB⊥OH，所以∠VHO為二面角V－AB－C的平面角．易求VH2＝VA2－AH2＝4，所以VH＝2.而OH＝eq\f(1,2)BC＝1，所以∠VHO＝60°.故二面角V－AB－C的大小是60°.答案：60°14．在空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，則AD與平面BCD所成的角是________．解析：如圖，過A作AO⊥BD于點O.∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO?平面ABD，∴AO⊥平面BCD，則∠ADO即為AD與平面BCD所成的角．∵∠BAD＝90°，AB＝AD，∴∠ADO＝45°.答案：45°15.如圖，AB是⊙O的直徑，PA⊥平面⊙O，C為圓周上一點，AB＝5cm，AC＝2cm，則B到平面PAC的距離為________cm.解析：由PA⊥平面⊙O，得PA⊥平面ABC．因為BC?平面ABC，所以PA⊥BC．由AB是⊙O的直徑，C為圓周上一點，得AC⊥BC．因為PA∩AC＝A，且AC?平面PAC，PA?平面PAC，所以BC⊥平面PAC．所以BC為點B到平面PAC的距離．在Rt△ABC中，AB＝5cm，AC＝2cm，得BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(21)(cm)．答案：eq\r(21)16．已知直線l不在α，β內(nèi)，給出下列三個論斷：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β；以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：________.(填序號)解析：①②為條件，③為結(jié)論，命題正確，證明如下：若l∥β，l?β，過l作平面γ與平面β相交于直線a，則l∥A．因為l⊥α，所以a⊥α.又a?β，所以α⊥β；②③為條件，①為結(jié)論，命題錯誤，如圖①，長方體中l(wèi)∥β，α⊥β，但是l不垂直α；①③為條件，②為結(jié)論，命題正確，如圖②，因為l⊥α，α⊥β，l?β，則l∥β.答案：①②為條件，③為結(jié)論(或①③為條件，②為結(jié)論)二、壓軸考法增分練17.(多選)如圖，在幾何體ABC－A1B1C1D1中，平面ABC∥平面A1B1C1D1，BB1∥CC1，AB⊥BC，BB1⊥平面A1B1C1D1，底面A1B1C1D1為直角梯形，A1B1⊥B1C1，E為A1B1的中點，CC1＝A1B1＝B1C1＝2AB＝2C1D1＝2，則()A．AA1∥CD1B．B1C1⊥CD1C．AC與D1C1所成角的余弦值為eq\f(2\r(5),5)D．幾何體ABC－A1ED1的體積為2解析：選ABDA1B1的中點為E，連接BE，D1E，則B1E∥C1D1，且B1E＝C1D1，∴四邊形B1C1D1E為平行四邊形，∴D1E∥C1B1，D1E＝C1B1.∵平面ABC∥平面A1B1C1D1，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，平面A1B1C1D1∩平面BB1C1C＝B1C1，∴B1C1∥BC．又BB1∥CC1，∴四邊形BB1C1C為平形四邊形．∴B1C1＝BC，B1C1∥BC，∴BC∥D1E，BC＝D1E，∴四邊形CBED1為平行四邊形，則BE∥CD1.∵平面ABC∥平面A1B1C1D1，平面ABC∩平面AA1B1B＝AB，平面A1B1C1D1∩平面AA1B1B＝A1B1，∴AB∥A1B1.易知AB＝A1E，∴四邊形ABEA1為平行四邊形，∴AA1∥BE，∴AA1∥CD1，故A正確．∵BB1∥CC1，BB1⊥平面A1B1C1D1，∴CC1⊥平面A1B1C1D1.∵B1C1?平面A1B1C1D1，∴CC1⊥B1C1.又∵四邊形A1B1C1D1為直角梯形，A1B1⊥B1C1，A1B1＝2C1D1，∴B1C1⊥C1D1.又∵C1D1∩CC1＝C1，C1D1，CC1?平面CC1D1，∴B1C1⊥平面CC1D1.∵CD1?平面CC1D1，∴B1C1⊥CD1，故B正確；AA1∥CD1，AA1＝CD1，∴四邊形AA1D1C為平行四邊形，∴AC∥A1D1，AC與D1C1所成的角即為∠A1D1C1或其補角．∵∠A1D1C1＝∠ED1C1＋∠A1D1E，∠ED1C1＝90°，而sin∠A1D1E＝eq\f(\r(5),5)，∴cos∠A1D1C1＝cos(90°＋∠A1D1E)＝－sin∠A1D1E＝－eq\f(\r(5),5)，即AC與D1C1所成角的余弦值為eq\f(\r(5),5)，故C錯誤；三棱柱ABC－A1ED1的體積V＝eq\f(1,2)×2×1×2＝2，故D正確．18．(2023·漳州三模)(多選)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為線段B1C上的動點，則()A．AP∥平面A1C1DB．B1D⊥平面ACD1C．三棱錐C1－PDA1的體積為定值D．直線AP與A1D所成角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))解析：選ABC對于A，∵A1B1∥CD，A1B1＝CD，∴四邊形A1B1CD是平行四邊形．∴A1D∥B1C，A1D?平面A1C1D，B1C?平面A1C1D，∴B1C∥平面A1C1D．∵B1C1∥AD，B1C1＝AD，∴四邊形C1B1AD是平行四邊形，∴AB1∥C1D，C1D?平面A1C1D，AB1?平面A1C1D，∴AB1∥平面A1C1D．又B1C∩AB1＝B1，且B1C?平面ACB1，AB1?平面ACB1，∴平面ACB1∥平面A1C1D．而P為線段B1C上的動點，AP?平面ACB1，∴AP∥平面A1C1D，正確；對于B，∵CD⊥平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D⊥AD1，A1D∩CD＝D，A1D，CD?平面A1B1CD，∴AD1⊥平面A1B1CD，而B1D?平面A1B1CD，∴AD1⊥B1D，同理可證，CD1⊥B1D．又CD1∩AD1＝D1，CD1，AD1?平面ACD1，∴B1D⊥平面ACD1，正確；對于C，三棱錐C1－PDA1的體積即為三棱錐P－DA1C1的體積，由選項A可得，P∈平面ACB1，平面ACB1∥平面A1C1D，則P到平面A1C1D的距離為定值．又底面積為定值，∴三棱錐C1－PDA1的體積為定值，正確；對于D，∵A1D∥B1C，∴直線AP與A1D所成的角即直線AP與B1C所成的角．在△ACB1中，當點P與點B1或點C重合時，取到最小值eq\f(π,3)，當點P在線段B1C中點時，取到最大值eq\f(π,2)，錯誤．故選A、B、C．19.正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，當E，F(xiàn)，G分別是B1C1，C1D1，B1B的中點