專(zhuān)題23.1成比例線段與相似圖形1.成比例線段的定義及比例的基本性質(zhì)（重點(diǎn)）2.黃金分割的定義及簡(jiǎn)單計(jì)算（重點(diǎn)）3.相似圖形的概念，尤其是相似多邊形的定義和基本性質(zhì)（重點(diǎn)）4.靈活運(yùn)用比例的基本性質(zhì)解決復(fù)雜問(wèn)題（難點(diǎn)）5.“找等量關(guān)系”時(shí)，難以將實(shí)際問(wèn)題中的文字描述轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子（難點(diǎn)）6.運(yùn)用相似多邊形的性質(zhì)解決綜合性問(wèn)題（難點(diǎn)）相似圖形1.定義我們把具有相同形狀的圖形稱(chēng)為相似圖形特別解讀1.“形狀相同”是判定相似圖形的唯一條件2.兩個(gè)圖形相似是指它們的形狀相同，與它們的位置、大小無(wú)關(guān)2.兩個(gè)關(guān)系(1)相似圖形之間的關(guān)系:兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作由另一個(gè)圖形放大或縮小得到(2)相似與全等的關(guān)系:當(dāng)兩個(gè)圖形的形狀相同、大小也相司時(shí)，它們是全等圖形，全等圖形是相似圖形的特殊情況，即全等圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是全等圖形，只有相似圖形的大小相同時(shí)，它們才全等成比例線段1．兩條線段的比在同一單位長(zhǎng)度下，兩條線段長(zhǎng)度的比叫做這兩條線段的比。線段與線段的比記作＂＂或"a:b".2.對(duì)于給定的四條線段a，b，c，d，如果其中兩條線段的長(zhǎng)度之比等于另外兩條線段的長(zhǎng)度之比，如（或，那么，這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線段．此時(shí)也稱(chēng)這四條線段成比例．在通常情況下，四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)該一致，但有時(shí)為了計(jì)算方便，也可以使與的單位一致，與的單位一致。線段a,b,c,d成比例，只可以寫(xiě)成或，即四條線段a,b,c,d成比例是有順序的，不能隨便更改位置。3．比例中項(xiàng)如果，那么叫做和的比例中項(xiàng)，當(dāng)a,b,c為一般實(shí)數(shù)時(shí)，則由得同號(hào)）；當(dāng)a,b,c為線段長(zhǎng)時(shí)，則由得．比例的基本性質(zhì)1.比例的基本性質(zhì)如果，那么；如果，那么．2.比例的基本性質(zhì)推廣（1）合比性質(zhì)：；（2）等比性質(zhì)：0）．平行線分線段成比例的基本事實(shí)平行線分線段成比例的基本事實(shí)兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例（簡(jiǎn)稱(chēng)“平行線分線段成比例”)數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖，∵，可簡(jiǎn)記為：．1.所有的成比例線段是指被截直線上的線段，與這組平行線上的線段無(wú)關(guān)；2.利用平行線分線段成比例的基本事實(shí)寫(xiě)比例式時(shí)，一定要注意對(duì)應(yīng)線段寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上平行線分線段成比例的推論平行線分線段成比例的基本事實(shí)的推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖，若，則有或或．1.本推論的實(shí)質(zhì)是平行線分線段成比例的基本事實(shí)中一組平行線中的一條過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，一條在三角形一邊上的特殊情況。2.當(dāng)被截的兩條直線相交時(shí)，其交點(diǎn)處可看成含一條隱形的平行線相似三角形1.定義對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似，反之兩個(gè)三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等2.表示方法相似用符號(hào)＂cs＂來(lái)表示，讀作＂相似于＂．例如與相似，記作＂＂，讀作＂相似于＂。3．相似比相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。當(dāng)相似比為1時(shí)，兩個(gè)三角形全等。用符號(hào)“”表示兩個(gè)三角形相似時(shí)，要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上，相似三角形的相似比具有順序性平行線截三角形相似的定理定理平行于三角形一邊的直線，和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交所構(gòu)成的三角形與原三角形相似根據(jù)定理得到的相似三角形的三個(gè)基本圖形中都有，圖①②很像大寫(xiě)字母，故我們稱(chēng)之為＂A＂型相似；圖③很像大寫(xiě)字母X，故我們稱(chēng)之為＂＂型相似（也像阿拉伯?dāng)?shù)字＂8＂）．題型一、比例的性質(zhì)例1（24-25九年級(jí)上·四川·期中）如果，那么．【答案】/【分析】本題主要考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)題意可得，再把代入所求式子中化簡(jiǎn)求值即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．1-1（24-25九年級(jí)上·重慶·期中）如果，那么．【答案】/【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，設(shè)，代入化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：∵，∴設(shè)，∴．故答案為：．1-2（24-25九年級(jí)上·上海楊浦·期中）已知，，那么下列等式不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了比例的性質(zhì)：熟練掌握比例的性質(zhì)：內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．根據(jù)比例的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：由得，A、，則，∴，故不符合題意；B、，則，∴，故不符合題意；C、，則，∴，故不符合題意；D、，則，∴，故符合題意，故選：D．1-3（24-25九年級(jí)上·廣西來(lái)賓·期中）若，則的值是（

）A． B． C．20 D．【答案】B【分析】本題考查比例的性質(zhì)，根據(jù)比例的性質(zhì)，直接計(jì)算即可，熟練掌握比例的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴；故選B．1-4（24-25九年級(jí)上·河南鄭州·期中）已知，那么（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了比例的基本性質(zhì)，解題關(guān)鍵是通過(guò)比例的變形，整體代入求值．根據(jù)可得，，代入求值即可．【詳解】解：，，，，故選：D．題型二、比例線段例2（24-25九年級(jí)上·上?！て谥校┰诒壤邽榈牡貓D上量得兩個(gè)城市間的距離是，那么這兩個(gè)城市的實(shí)際距離是．【答案】【分析】此題考查比例尺，根據(jù)“實(shí)際距離紙上距離比例尺”即可求解，熟知比例尺的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：兩個(gè)城市的實(shí)際距離是，故答案為：．2-1（24-25九年級(jí)上·浙江杭州·期中）已知線段，則線段a，b的比例中項(xiàng)是．【答案】3【分析】本題主要考查比例線段，掌握比例中項(xiàng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．設(shè)線段x是線段a，b的比例中項(xiàng)，根據(jù)比例中項(xiàng)的定義列出等式，利用兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積即可得出答案．【詳解】解：設(shè)線段a、b的比例中項(xiàng)為x，則，∴，即，解得或（舍去）．故答案為：3．2-2（24-25九年級(jí)上·廣東河源·期中）下列四組長(zhǎng)度的線段中，是比例線段的是（

）A．4，5，6，7 B．3，4，6，9 C．8，4，4，2 D．5，10，10，15【答案】C【分析】本題考查比例線段，掌握如果四條線段a，b，c，d滿(mǎn)足，則四條線段a，b，c，d稱(chēng)為比例線段（有先后順序，不可顛倒）是解題關(guān)鍵．根據(jù)比例線段的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A．，故該選項(xiàng)不符合題意；B．，故該選項(xiàng)不符合題意；C．，故該選項(xiàng)符合題意；D．，故該選項(xiàng)不符合題意．故選C．2-3（24-25九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）在比例尺為的無(wú)錫旅游地圖上，某條道路的長(zhǎng)為，則這條道路的實(shí)際長(zhǎng)度為km．【答案】【分析】本題考查比例尺知識(shí)，能夠根據(jù)比例尺正確進(jìn)行計(jì)算，注意單位的轉(zhuǎn)換．根據(jù)比例尺圖上距離：實(shí)際距離，依題意列比例式直接求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，故答案為：2-4（24-25九年級(jí)上·浙江杭州·期中）（1）已知，則代數(shù)式的值是；（2）已知線段，，則線段a，b的比例中項(xiàng)是．【答案】/【分析】本題考查了比例線段，理解比例中項(xiàng)的概念，這里注意線段不能是負(fù)數(shù)．（1）根據(jù)比例的性質(zhì)即可求解；（2）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，列出比例式即可得出中項(xiàng)，注意線段不能為負(fù)．【詳解】解：（1）∵，∴，設(shè)，∴，故答案為：；（2）∵線段，，設(shè)：它們的比例中項(xiàng)是，∴，，（線段是正數(shù)，負(fù)值舍去）．故答案為：．題型三、成比例線段例3（24-25九年級(jí)上·安徽合肥·期中）在比例尺為的合肥市城區(qū)地圖上量得包公祠與大蜀山兩地間距離是，那么兩地的實(shí)際距離是．【答案】【分析】本題主要考查了比例尺的應(yīng)用，設(shè)兩地的實(shí)際距離是，根據(jù)比例尺為，列出方程，解比例即可．【詳解】解：設(shè)兩地的實(shí)際距離是，根據(jù)題意得，解得：，，∴兩地的實(shí)際距離是．故答案為：．3-1（23-24九年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期中）已知a、b、c、d是一組成比例線段，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查比例線段，根據(jù)成比例線段的性質(zhì)即可得出答案．【詳解】解：∵a、b、c、d是一組成比例線段，∴∵，∴，∴，故選：B．3-2（24-25九年級(jí)上·貴州畢節(jié)·期中）下列四組線段中，是成比例線段的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了成比例線段，深刻理解成比例線段的概念是解題的關(guān)鍵：在四條線段中，如果其中的兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線段．根據(jù)成比例線段的概念，通常情況下，讓最小的和最大的相乘，另外兩條也相乘，看它們的積是否相等即可判斷它們是否成比例．按照成比例線段的判斷方法逐項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】A.，∴四條線段不成比例，故不符合題意；B.，∴四條線段成比例，故符合題意；C.，∴四條線段不成比例，故不符合題意；D.，∴四條線段不成比例，故不符合題意；故選擇：B3-3（24-25九年級(jí)上·陜西榆林·期中）若線段，，，是成比例線段，且，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了比例線段：對(duì)于四條線段，，，，如果其中兩條線段的比（即它們的長(zhǎng)度比）與另兩條線段的比相等，如（即），我們就說(shuō)這四條線段是成比例線段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線段．根據(jù)成比例線段的定義得到，然后利用比例的性質(zhì)可求出d．【詳解】解：∵線段，，，是成比例線段，∴，即，解得，∴，故選：C．3-4（24-25九年級(jí)上·安徽六安·期中）已知：線段a，b，c，根據(jù)以下條件回答問(wèn)題．(1)若，，c是a，b的比例中項(xiàng)線段，求c的長(zhǎng)；(2)若，，求a，b，c的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)，，．【分析】本題考查了比例線段，寫(xiě)比例式的時(shí)候一定要注意順序，再根據(jù)比例的基本性質(zhì)求解即可．（1）根據(jù)比例中項(xiàng)的定義列式得到，即，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義求解，即可得到c的長(zhǎng)；（2）設(shè)，然后用表示a，b，c，再代入，求解得到，即可得到a，b，c的值．【詳解】（1）解：∵c是a，b的比例中項(xiàng)線段，∴，∴（負(fù)值舍去）即c的長(zhǎng)為；（2）解：設(shè)，∴，，，∵，∴，∴，∴，，．題型四、黃金分割例4（24-25九年級(jí)上·遼寧阜新·期中）在中華經(jīng)典美文閱讀中，小明發(fā)現(xiàn)自己的一本書(shū)的寬與長(zhǎng)之比為黃金比，已知這本書(shū)的長(zhǎng)是24厘米，則它的寬為厘米．【答案】【分析】本題主要考查了黃金分割的定義：“一個(gè)點(diǎn)把一條線段分成兩條線段，其中較長(zhǎng)線段是較短線段和整個(gè)線段的比例中項(xiàng)，那么就說(shuō)這個(gè)點(diǎn)把這條線段黃金分割，這個(gè)點(diǎn)叫這條線段的黃金分割點(diǎn)，并且較長(zhǎng)線段是整個(gè)線段的”．根據(jù)黃金分割的定義得到書(shū)的寬與長(zhǎng)之比為，即它的寬，然后進(jìn)行近似計(jì)算即可【詳解】解：書(shū)的寬與長(zhǎng)之比為黃金比，長(zhǎng)為厘米，它的寬厘米．故答案為：．4-1（24-25九年級(jí)上·安徽合肥·期中）如圖，古箏上的一根弦的長(zhǎng)度約為，兩個(gè)端點(diǎn)固定在樂(lè)器板面上，支撐點(diǎn)是弦靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度約為cm．（結(jié)果保留根號(hào)）【答案】【分析】本題考查了黃金分割點(diǎn)的應(yīng)用，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)黃金分割的定義計(jì)算即可．【詳解】解：支撐點(diǎn)是弦靠近點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，，，故答案為：．4-2（24-25九年級(jí)上·甘肅白銀·期中）已知點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，且，若，則．【答案】【分析】本題主要考查了黃金分割知識(shí)點(diǎn)，記住黃金分割公式是解題關(guān)鍵．根據(jù)黃金分割的定義即可求出答案．【詳解】解：∵C是線段的黃金分割點(diǎn)，且，，∴，，

故答案是：4-3（24-25九年級(jí)上·安徽馬鞍山·期中）在絢麗多姿的秋色葉類(lèi)植物中，爬山虎有著油畫(huà)般濃郁的色彩。我們學(xué)校墻上的五葉爬山虎樹(shù)葉，蘊(yùn)含著一種數(shù)學(xué)美：“黃金分割”．如圖，為的黃金分割點(diǎn)，如果的長(zhǎng)度為8cm，那么的長(zhǎng)度是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了黃金分割，根據(jù)黃金分割的定義得到，代入值即可求出．【詳解】解：∵P為的黃金分割點(diǎn)，的長(zhǎng)度為，∴，故選：B．4-4（24-25九年級(jí)上·安徽六安·期中）黃金分割被很多人認(rèn)為是“最美比例”，在自然界中黃金分割也很常見(jiàn)，如圖是一個(gè)有著“最美比例”的鸚鵡螺，點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，若，那么的長(zhǎng)為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了黃金分割的有關(guān)計(jì)算．根據(jù)黃金分割的定義得到，把代入計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，，，故選：C．題型五、由平行判斷成比例的線段例5（24-25九年級(jí)上·遼寧本溪·階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B．5 C．6 D．9【答案】C【分析】根據(jù)平行線分線段成比例解答．本題考查了平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵在四邊形中，，，∴，∴即，解得．故選：C．5-1（24-25九年級(jí)上·福建泉州·期中）如圖，直線，分別交直線、于點(diǎn)、、、、、，下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用平行線分線段成比例定理解決問(wèn)題即可．本題考查平行線分線段成比例定理，熟練運(yùn)用平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，，，選項(xiàng)B、C、D不符合題意；，故A選項(xiàng)符合題意；故選：A．5-2（24-25九年級(jí)上·陜西西安·期中）如圖，在中，是上的一點(diǎn)，請(qǐng)利用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在上作一點(diǎn)，使得．（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，并標(biāo)明字母）【答案】見(jiàn)解析【分析】此題考查了尺規(guī)作一個(gè)角等于已知角，平行線的判定，平行線分線段成比例等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．根據(jù)題意作出，進(jìn)而得到，然后利用平行線分線段成比例即可得到．【詳解】解：如圖，點(diǎn)即為所求．5-3（24-25九年級(jí)上·上海靜安·期中）已知線段，求作線段使，下列作法（圖中虛線均為平行線）中不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了利用平行線的性質(zhì)畫(huà)圖的方法，根據(jù)平行線的性質(zhì)一一分析．【詳解】解：A、根據(jù)平行線的性質(zhì)得，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；B、根據(jù)平行線的性質(zhì)得，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；C、根據(jù)平行線的性質(zhì)得，故此選項(xiàng)正確，不符合題意；D、根據(jù)平行線的性質(zhì)得，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．5-4（24-25九年級(jí)上·廣東深圳·期中）如圖，表示一個(gè)窗戶(hù)的高，和表示射入室內(nèi)的光線，窗戶(hù)的下端到地面的距離，已知某一時(shí)刻的地面的影長(zhǎng)，在地面的影長(zhǎng)，則窗戶(hù)的高是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查投影及平行線所截線段對(duì)應(yīng)成比例，解題的關(guān)鍵是根據(jù)管線性質(zhì)得到．根據(jù)和表示射入室內(nèi)的光線，得到，再根據(jù)平行線所截線段對(duì)應(yīng)成比例即可得到，即可得到答案．【詳解】解：∵和表示射入室內(nèi)的光線，∴，∴，∵，，，∴，∴，故選：C．題型六、由平行截線求相關(guān)線段的長(zhǎng)或比值例6（24-25九年級(jí)上·廣東茂名·期中）如圖，直線，，，，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B．1.5 C．4 D．2【答案】C【分析】先求出，再根據(jù)平行線分線段成比例定理列比例式得，進(jìn)而求解即可．本題主要考查了平行線分線段成比例定理，正確的找出對(duì)應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，解得．故選：C6-1（24-25九年級(jí)上·河北石家莊·期中）如圖，在的菱形網(wǎng)格中，連接兩網(wǎng)格線上的點(diǎn)，，線段與網(wǎng)格線的交點(diǎn)為，，則為．【答案】【分析】利用網(wǎng)格構(gòu)建，利用平行線分線段成比例得到，由此可解．本題考查平行線分線段成比例定理，利用格點(diǎn)構(gòu)造等比例線段是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，利用網(wǎng)格構(gòu)建，∴，故答案為：．6-2（24-25九年級(jí)上·廣西南寧·期中）如圖，已知，，則．【答案】12【分析】本題考查平行線分線段成比例，根據(jù)平行線分線段成比例，得到，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴；故答案為：12．6-3（24-25九年級(jí)上·安徽合肥·期中）如圖，，直線與這三條平行線分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到，即，求解即可．【詳解】解：，，，，，，故選：C．6-4（24-25九年級(jí)上·陜西榆林·期中）如圖，在中，，點(diǎn)在上，且，交于點(diǎn)，且．(1)_____．(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)2(2)【分析】本題考查平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，得到，結(jié)合，求出的長(zhǎng)即可；（2）根據(jù)，得到，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：；（2）解：由（1）得，．．．∴∴．題型七、相似圖形例7（24-25九年級(jí)上·河北石家莊·期中）如圖，在矩形、銳角三角形、直角三角形的外邊加寬度一樣的外框，保證外框邊與原圖形對(duì)應(yīng)邊平行，則外框與原圖不一定相似的是（

）．

A．矩形B．矩形和銳角三角形C．矩形和直角三角形D．銳角三角形和直角三角形【答案】A【分析】此題考查了相似三角形的判定．根據(jù)相似多邊形的判定定理：對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定最后答案．【詳解】解：兩矩形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比值不一定相等，不一定相似，符合題意；兩銳角三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比值相等，兩圖形相似，不符合題意；兩直角三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比值相等，兩圖形相似，不符合題意；故選：A7-1（24-25九年級(jí)上·甘肅天水·期中）下列每個(gè)選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形，不是相似圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】本題考查了相似圖形，根據(jù)相似圖形的概念即可作出判斷．判斷兩個(gè)圖形是否相似，就是看兩個(gè)圖形是不是形狀相同，與其他因素?zé)o關(guān)．【詳解】解：由相似圖形的概念知，選項(xiàng)中D的兩個(gè)圖形不相似；故選：D．7-2（23-24九年級(jí)上·河南駐馬店·期中）下列形狀分別為正方形、圓、正三角形、矩形的邊框，其中不一定是相似圖形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查相似圖形的定義，掌握相似圖形形狀相同是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似圖形的定義，形狀相同，可得出答案．【詳解】解：A、兩個(gè)正方形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；B、兩圓形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；C、兩個(gè)等邊三角形形狀相同，是相似圖形，不符合題意；D、兩個(gè)長(zhǎng)方形形狀不一定相同，不一定是相似圖形，符合題意；故選：D．7-3（24-25九年級(jí)上·上海靜安·期中）下列選項(xiàng)中的兩個(gè)圖形一定相似的是（

）A．兩個(gè)平行四邊形 B．兩個(gè)正方形 C．兩個(gè)菱形 D．兩個(gè)等腰三角形【答案】B【分析】本題考查了相似圖形的識(shí)別，熟練掌握相似圖形的定義：對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等的圖形叫相似圖形是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似圖形的定義，對(duì)選項(xiàng)逐一分析判斷即可．【詳解】解：A、兩個(gè)平行四邊形對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似，不符合題意；B、兩個(gè)正方形對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等，故一定相似，符合題意；C、兩個(gè)菱形對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似，不符合題意；D、兩個(gè)等腰三角形對(duì)應(yīng)角不一定相等，故不一定相似，不符合題意；故選：B．7-4（24-25九年級(jí)上·安徽合肥·期中）下列說(shuō)法正確的是（）A．所有的矩形都是相似形B．所有的等腰直角三角形都相似C．對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)多邊形相似D．對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形相似【答案】B【分析】此題主要考查了相似圖形，熟知相似圖形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．利用相似圖形的判定方法分別判斷得出即可．【詳解】A、所有的矩形不一定是相似形，對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；B、所有的等腰直角三角形都相似，正確，符合題意；C、對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)多邊形不一定相似，對(duì)應(yīng)邊的比值不一定相等，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；D、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形，對(duì)應(yīng)角不一定相等，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意，故選：B．題型八、相似多邊形例8（24-25九年級(jí)上·福建三明·期中）下列網(wǎng)格中各個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的為（

）A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁【答案】D【分析】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，則這兩個(gè)多邊形是相似多邊形．【詳解】解：觀察可得：甲和丁對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，且形狀相同，大小不同．故選：D．8-1（24-25九年級(jí)上·河南平頂山·期中）某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)相似多邊形時(shí)，三位同學(xué)分別將邊長(zhǎng)為4，6，6的等腰三角形、邊長(zhǎng)為4的正方形和長(zhǎng)、寬分別為6，4的矩形按如圖所示的方式向外擴(kuò)張，各得到一個(gè)新圖形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距均為1，則畫(huà)出的三組圖形中，新圖形和舊圖形是相似多邊形的有（

）A．0組 B．1組 C．2組 D．3組【答案】C【分析】本題考查了相似多邊形的定義，理解并掌握相似多邊形的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似多邊形的定義“對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例”進(jìn)行分析即可求解．【詳解】解：如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，同理，四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∴，，∴，，∴，∴，即同理可得，，∴，∵，，∴，同理，，∴，∴；如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵四邊形是正方形，邊長(zhǎng)為，四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，且對(duì)應(yīng)角都是，都相等，∴正方形∽正方形；如圖所示，矩形，，計(jì)算方法同上述正方形，∴矩形，，∴，∴矩形于矩形不是相似圖形；綜上所述，新圖形和舊圖形是相似多邊形的有2組，故選：C．8-2（24-25九年級(jí)上·江蘇無(wú)錫·期中）下列命題中，①任意的矩形都相似；②任意的菱形都相似；③任意的正方形都相似；④任意的圓都相似，正確命題的有．（填序號(hào)）【答案】③④【分析】本題考查的是命題與定理，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．根據(jù)多邊形相似的定義判斷即可．【詳解】解：①兩個(gè)矩形的對(duì)應(yīng)邊不一定成比例，不一定相似，故任意的矩形都相似是假命題；②兩個(gè)菱形的對(duì)應(yīng)角不一定相等，不一定相似，故任意的菱形都相似是假命題；③任意的正方形都相似，是真命題；④任意的圓都相似，是真命題；故答案為：③④．8-3（24-25九年級(jí)上·安徽合肥·期中）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．相似三角形是全等三角形 B．所有矩形都相似C．全等三角形是相似三角形 D．所有等腰直角三角形不一定都相似【答案】C【分析】本題考查相似圖形的判定，熟知相似圖形的判定是解答的關(guān)鍵．根據(jù)相似圖形的判定，結(jié)合相關(guān)知識(shí)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】解：A、相似三角形不一定是全等三角形，原說(shuō)法不正確，本選項(xiàng)不符合題意；B、矩形的四個(gè)角都相等，但邊不一定成比例，所以所有矩形不一定相似，本選項(xiàng)不符合題意；C、全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，故全等三角形一定是相似三角形，本選項(xiàng)符合題意；D、所有的等腰直角三角形都相似，本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．8-4（24-25九年級(jí)上·遼寧·期中）下列兩個(gè)圖形一定相似的是（

）A．兩個(gè)菱形 B．兩個(gè)矩形 C．兩個(gè)正方形 D．兩個(gè)平行四邊形【答案】C【分析】本題考查相似多邊形的定義、特殊平行四邊形的性質(zhì)．根據(jù)“對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)四邊形相似”進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、兩個(gè)菱形對(duì)應(yīng)的角不一定相等，所以不一定相似，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、兩個(gè)矩形的角都是直角，但邊不一定成比例，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、兩個(gè)正方形的角都是直角，一定相等，并且四條邊都相等，一定成比例，故此選項(xiàng)正確；D、兩個(gè)平行四邊形對(duì)應(yīng)的角不一定相等，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：C．題型九、相似多邊形的性質(zhì)例9（24-25九年級(jí)上·河北邯鄲·期中）如圖，四邊形四邊形，則的值為．【答案】15【分析】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可．【詳解】解：∵四邊形四邊形，∴，即，解得：，故答案為：159-1（23-24九年級(jí)上·陜西咸陽(yáng)·期中）已知四邊形四邊形，且，若四邊形的周長(zhǎng)為15，則四邊形的周長(zhǎng)為．【答案】9【分析】本題主要考查相似多邊的性質(zhì)，根據(jù)周長(zhǎng)比等于相似比可得答案．【詳解】解：∵四邊形四邊形，且，∴，∵四邊形的周長(zhǎng)為15，∴四邊形的周長(zhǎng)，故答案為：9．9-2（24-25九年級(jí)上·安徽滁州·期中）如圖，，，，，則邊的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，由，則，然后把，，代入即可求解，掌握相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出比例式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∵，，，∴，∴，故選：．9-3（24-25九年級(jí)上·江西撫州·期中）已知兩個(gè)矩形相似，第一個(gè)矩形的兩邊長(zhǎng)分別是3和4，第二個(gè)矩形較短的一邊長(zhǎng)是6，那么第二個(gè)矩形較長(zhǎng)的一邊長(zhǎng)是．【答案】8【分析】本題考查相似多邊形，根據(jù)相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊成比例，列出比例式，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)第二矩形較長(zhǎng)的邊為：，則由題意，得：，∴；故第二個(gè)矩形較長(zhǎng)的一邊長(zhǎng)是8；故答案為：8．9-4（24-25九年級(jí)上·遼寧朝陽(yáng)·期中）（1）解方程：；（2）如圖，在矩形中，，E、F分別是、上的點(diǎn)，且，若矩形矩形，求的長(zhǎng)．【答案】（1），；（2）【分析】本題考查解一元二次方程，相似多邊形的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵：（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，列式，求解即可得出答案．【詳解】解：（1），；（2）∵矩形矩形，∴，∵，，，，∴，∴．例已知點(diǎn)C是線段的黃金分割點(diǎn)，且，若，則．【答案】【分析】本題主要考查了黃金分割知識(shí)點(diǎn)，記住黃金分割公式是解題關(guān)鍵．根據(jù)黃金分割的定義即可求出答案．【詳解】解：∵C是線段的黃金分割點(diǎn)，且，，∴，，

故答案是：1．（24-25九年級(jí)上·安徽合肥·期中）已知，則下列式子正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了比例是性質(zhì)，根據(jù)內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行整理化簡(jiǎn)，即可求解；掌握性質(zhì)“若，則．”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.整理得，結(jié)論錯(cuò)誤，故不符合題意；B.整理得，結(jié)論錯(cuò)誤，故不符合題意；C.整理得，結(jié)論正確，故符合題意；D.整理得，結(jié)論錯(cuò)誤，故不符合題意；故選：C．2．（24-25九年級(jí)上·安徽蚌埠·期中）如圖，已知直線，，分別截直線于點(diǎn)，，，截直線于點(diǎn)，，，且．如果，，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】本題主要考查平行線分線段成比例，熟練掌握平行線分線段成比例的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，得到，即可求出答案．【詳解】解：，，，，，，，，故選B．3．（24-25九年級(jí)上·上?！て谥校┮阎敲聪铝兴膫€(gè)選項(xiàng)中一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查比例的性質(zhì)，根據(jù)比例的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可，解題的關(guān)鍵是掌握比例的性質(zhì)和等式的基本性質(zhì)．【詳解】解：由可設(shè)，則，故A正確，符合題意；，故B錯(cuò)誤，不符合題意；則不一定等于，故C錯(cuò)誤，不符合題意；則，故D錯(cuò)誤，不符合題意；故選：A．4．（24-25九年級(jí)上·上海浦東新·階段練習(xí)）下列命題正確的是（

）A．兩個(gè)菱形相似 B．各有一個(gè)角的兩個(gè)等腰三角形相似C．一角相等的兩個(gè)直角三角形相似 D．腰對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似【答案】B【分析】本題考查了命題與定理的知識(shí)，用相似三角形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是了解相似三角形的判定方法．【詳解】解：A、兩個(gè)菱形的內(nèi)角不一定相等，故不一定相似，故選項(xiàng)不符合題意；B、有一個(gè)角的三角形中，角必須為頂角，兩個(gè)底角分別是，可判定三角形相似，故選項(xiàng)符合題意；C、如果相等的這個(gè)角是直角，則這兩個(gè)直角三角形不一定相似，故選項(xiàng)不符合題意；D、腰對(duì)應(yīng)成比例但是頂角不相等的兩個(gè)等腰三角形不一定相似，故選項(xiàng)不符合題意；故選：B．5．（24-25九年級(jí)上·上海·階段練習(xí)）下列各組圖形中，不一定相似的是（

）A．一組鄰邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)矩形 B．兩個(gè)頂角相等的等腰三角形C．有一個(gè)內(nèi)角相等的兩個(gè)菱形 D．有兩條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形【答案】D【分析】本題考查相似的判定，難度不大，判定兩個(gè)圖形相似的依據(jù)是：對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等．兩個(gè)條件必須同時(shí)具備．利用相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，對(duì)應(yīng)角相等分析．【詳解】A．一組鄰邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)矩形，對(duì)應(yīng)角都是直角，一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意；B．兩個(gè)頂角相等的等腰三角形其他角也相等，一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意；C．有一個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)菱形其他角也相等，菱形四條邊相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，故一定相似，故本選項(xiàng)不符合題意；D．有兩條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形，不一定相似，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．6．（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，直線，直線依次交、、于、、三點(diǎn)，直線依次交、、于、、三點(diǎn)，若，，則．【答案】【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用平行線分線段成比例定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，把已知數(shù)據(jù)代入計(jì)算得到答案．【詳解】解：∵，，，，，，解得：．故答案為：．7．（24-25九年級(jí)上·河南鄭州·期中）如圖，直線，分別交直線，于點(diǎn)，，，，，．若，，則．【答案】【分析】本題考查了平行線分線段成比例，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解答．根