7.1.1任意角1.理解任意角的概念，學(xué)會(huì)在平面內(nèi)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系來(lái)討論任意角，掌握正角、負(fù)角、零角的定義．2.能在0°到360°范圍內(nèi)，找到一個(gè)與已知角終邊相同的角，并判定其為第幾象限角．3.能寫出與任一已知角終邊相同的角的集合，能表示特殊位置(或給定區(qū)域內(nèi))的角的集合．活動(dòng)一了解任意角的概念及象限角我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)一些角，如銳角、直角、鈍角、平角、周角．利用這些角，我們已能表示圓周上某些點(diǎn)．但要表示圓周上周而復(fù)始地運(yùn)動(dòng)著的點(diǎn)，僅有這些角是不夠的．如摩天輪在空中旋轉(zhuǎn)了兩周半，跳水運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體兩周半，體操運(yùn)動(dòng)員向前轉(zhuǎn)體三周，向后轉(zhuǎn)體兩周等．如何用角來(lái)表示？思考1???初中是如何定義角的？思考2???旋轉(zhuǎn)兩周半是轉(zhuǎn)了怎樣的一個(gè)角？思考3???為了表示不同旋轉(zhuǎn)方向所形成的角，應(yīng)如何規(guī)定呢？

角的概念推廣到了任意角，確定角的關(guān)鍵是旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量的大?。愋投x圖示正角按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角負(fù)角按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角零角射線從起始位置OA沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn)，終止位置OB與起始位置OA重合，稱這樣的角為零角思考4???(1)如何定義兩角的和、互為相反角、兩角的差？(2)如果把一個(gè)角的頂點(diǎn)放在直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，角的始邊為x軸的正半軸，那么角的終邊的位置在坐標(biāo)系中有幾種情況？在直角坐標(biāo)系內(nèi)，使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合．象限角：終邊在第幾象限就是第幾象限角；軸線角：終邊落在坐標(biāo)軸上的角．思考5???－300°，－150°，－60°，60°，210°，300°，420°角分別是第幾象限角？其中哪些角的終邊相同？思考6???具有相同終邊的角彼此之間有什么關(guān)系？你能寫出與60°角終邊相同的角的集合嗎？思考7???如何判斷兩個(gè)角的終邊是否相同？1.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角時(shí)，相等的角的終邊一定相同，但終邊相同的角不一定相等．終邊相同的角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍．2.任何一個(gè)與角α終邊相同的角，都可以寫成角α與整數(shù)個(gè)周角的和的形式．活動(dòng)二終邊相同的角的表示及象限角的判斷例1在0°到360°的范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并分別判斷它們是第幾象限的角．(1)650°；(2)－150°；(3)－990°15′.在0°到360°的范圍內(nèi)，請(qǐng)指出與下列角的終邊相同的角，并說(shuō)出它們是第幾象限角．(1)430°；(2)909°；(3)－60°；(4)－1550°.例2寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中在－360°到720°間的角寫出來(lái)．(1)35°；(2)－21°；(3)363°14′.已知角α＝2010°.(1)把α改寫成k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第幾象限角；(2)求角θ，使角θ與α終邊相同，且－360°≤θ<720°.1.將任意角化為α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，關(guān)鍵是確定k的值．可以用觀察法(α的絕對(duì)值較小)也可用除法．2.要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值．活動(dòng)三象限角的表示及其應(yīng)用例3(1)終邊落在x軸的正半軸上的角的集合怎樣表示？終邊落在x軸的負(fù)半軸上的角的集合怎樣表示？終邊落在x軸上的角的集合怎樣表示？(2)終邊落在y軸的正半軸上的角的集合怎樣表示？終邊落在y軸的負(fù)半軸上的角的集合怎樣表示？終邊落在y軸上的角的集合怎樣表示？(3)終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合怎樣表示？如圖所示：(1)寫出終邊落在射線OA，OB上的角的集合；(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．探究若α是第三象限角，則2α，eq\f(α,2)分別是第幾象限角？由角α所在的象限確定nα，eq\f(α,n)(n∈N*)的終邊所在的象限的解題步驟：(1)由α所在象限先寫出α的范圍；(2)由α的范圍寫出nα，eq\f(α,n)的范圍；(3)觀察360°前面的系數(shù)，進(jìn)行討論，使之變形為360°的整數(shù)倍，再加后面的一個(gè)角；(4)從而判定nα與eq\f(α,n)所在的象限．1.(2024唐山期末)已知α＝944°，則α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2.(2024浙江南太湖聯(lián)盟月考)如圖，終邊在陰影部分(含邊界)的角的集合是()A.{α|－60°≤α≤135°}B.{α|135°≤α≤300°}C.{α|－60°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}D.{α|135°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}3.(多選)下列說(shuō)法中，正確的是()A.銳角都是第一象限角B.第二象限角都比第三象限角小C.若角α與角β不等，則兩角的終邊不同D.若角α與角β終邊相同，則β＝k·360°＋α，k∈Z4.把分針撥快15min，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為_(kāi)_______．

5.已知角α＝30°.(1)求在－360°～0°范圍內(nèi)與角α終邊相同的角；(2)若角β與角α的終邊相同，判斷角eq\f(β,2)是第幾象限角．

7.1.1任意角【活動(dòng)方案】思考1：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形．思考2：一個(gè)角可以看作平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形．射線的端點(diǎn)稱為角的頂點(diǎn)，射線旋轉(zhuǎn)的開(kāi)始位置和終止位置稱為角的始邊和終邊．如圖所示，射線OA繞端點(diǎn)O，按箭頭所示方向旋轉(zhuǎn)到OB便形成角α.因此，旋轉(zhuǎn)兩周半，就是旋轉(zhuǎn)了900°的角．思考3：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫作正角；按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角叫作負(fù)角．如果射線沒(méi)有進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，那么也把它看成一個(gè)角，叫作零角．思考4：(1)對(duì)于兩個(gè)任意角α，β，將角α的終邊旋轉(zhuǎn)角β(當(dāng)β是正角時(shí)，按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)；當(dāng)β是負(fù)角時(shí)，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)；當(dāng)β是零角時(shí)，不旋轉(zhuǎn))，這時(shí)終邊所對(duì)應(yīng)的角稱為α與β的和，記作α＋β.射線OA繞端點(diǎn)O分別按逆時(shí)針?lè)较?、順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角稱為互為相反角．角α的相反角記為－α，于是有α－β＝α＋(－β).(2)在第一、二、三、四象限或與坐標(biāo)軸重合．思考5：－300°是第一象限角，－150°是第三象限角，－60°是第四象限角，60°是第一象限角，210°是第三象限角，300°是第四象限角，420°是第一象限角．－300°，60°與420°的終邊相同，－150°與210°的終邊相同，－60°與300°的終邊相同．思考6：與角α終邊相同的角的集合為{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}，與60°角終邊相同的角的集合為{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}．思考7：若β＝α＋k·360°，k∈Z，則角β與角α的終邊相同；否則，終邊不相同．例1(1)因?yàn)?50°＝360°＋290°，所以650°的角與290°的角終邊相同，是第四象限角．(2)因?yàn)椋?50°＝－360°＋210°，所以－150°的角與210°的角終邊相同，是第三象限角．(3)因?yàn)椋?90°15′＝－3×360°＋89°45′，所以－990°15′的角與89°45′的角終邊相同，是第一象限角．跟蹤訓(xùn)練(1)因?yàn)?30°＝360°＋70°，所以430°的角與70°的角終邊相同，是第一象限角．(2)因?yàn)?09°＝2×360°＋189°，所以909°的角與189°的角終邊相同，是第三象限角．(3)因?yàn)椋?0°＝－360°＋300°，所以－60°的角與300°的角終邊相同，是第四象限角．(4)因?yàn)椋?550°＝－5×360°＋250°，所以－1550°的角與250°的角終邊相同，是第三象限角．例2(1)S＝{α|α＝35°＋k·360°，k∈Z}，所以S中符合－360°<α<720°的角是：35°－1×360°＝－325°；35°＋0×360°＝35°；35°＋1×360°＝395°.(2)S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，所以S中符合－360°<α<720°的角是：－21°＋0×360°＝－21°；－21°＋1×360°＝339°；－21°＋2×360°＝699°.(3)S＝{α|α＝363°14′＋k·360°，k∈Z}，所以S中符合－360°<α<720°的角是：363°14′－2×360°＝－356°46′；363°14′－1×360°＝3°14′；363°14′＋0×360°＝363°14′.跟蹤訓(xùn)練(1)α＝5×360°＋210°，α為第三象限角．(2)與2010°角終邊相同的角為k·360°＋2010°(k∈Z).令－360°≤k·360°＋2010°<720°(k∈Z)，解得－6eq\f(7,12)≤k<－3eq\f(7,12)(k∈Z)，所以k的值為－6，－5，－4.將k的值代入k·360°＋2010°中，得角θ的值為－150°，210°，570°.例3(1)終邊落在x軸正半軸上的角的集合為{α|α＝k·360°，k∈Z}，終邊落在x軸負(fù)半軸上的角的集合為{α|α＝180°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在x軸上的角的集合為{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}，即{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°，n∈Z}．(2)終邊落在y軸正半軸上的角的集合為{α|α＝90°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在y軸負(fù)半軸上的角的集合為{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在y軸上的角的集合為{α|α＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝270°＋k·360°，k∈Z}，即{α|α＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝90°＋n·180°，n∈Z}．(3)終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合為{α|α＝n·180°，n∈Z}∪{α|α＝90°＋n·180°，n∈Z}，即{α|α＝2n·90°，n∈Z}∪{α|α＝(2n＋1)·90°，n∈Z}＝{α|α＝k·90°，k∈Z}．跟蹤訓(xùn)練(1)終邊落在射線OA上的角的集合為{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}，終邊落在射線OB上的角的集合為{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2){α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．例4因?yàn)棣粒?40°＋k·360°，k∈Z，所以eq\f(α,2)＝120°＋k·180°，k∈Z，①當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，eq\f(α,2)＝120°＋n·360°(n∈Z)，即eq\f(α,2)是第二象限角；②當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，eq\f(α,2)＝300°＋n·360°(n∈Z)，即eq\f(α,2)是第四象限角．故eq\f(α,2)是第二或第四象限角．2α＝480°＋2k·360°＝120°＋(2k＋1)·360°，k∈Z，故2α為第二象限角．探究因?yàn)棣潦堑谌笙藿?，所?80°＋k·360°<α<270°＋k·360°(k∈Z)，所以360°＋k·720°<2α<540°＋k·720°(k∈Z)，所以2α是第一或第二象限角，或角的終邊在y軸的正半軸上．因?yàn)棣潦堑谌笙藿?，所?80°＋k·360°<α<270°＋k·360°(k∈Z)，所以90°＋k·180°<eq\f(α,2)<135°＋k·180°(k∈Z).①當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，90°＋n·360°<eq\f(α,2)<135°＋n·360°(n∈Z)，即eq\f(α,2)是第二象限角；②當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，270°＋n·360°<eq\f(α,2)<315°＋n·360°(n∈Z)，即eq\f(α,2)是第四象限角．故eq\f(α,2)是第二或第四象限角．【檢測(cè)反饋】1.C因?yàn)棣粒?44°＝224°＋2×360°，224°是第三象限角，所以α是第三象限角．2.C在－180°～180°間陰影部分區(qū)域中兩條邊界所在的終邊表示的角分別為－60°和135°，所以陰影部分的區(qū)域在－180°～180°間的范圍是－60°≤α≤135°，所以終邊在陰影部分區(qū)域(含邊界)的角的集合為{α|－60°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．3.AD銳角都是第一象限角，故A正確；第二象限角不是都比第三象限角小，故B錯(cuò)誤；角α與角β不等，但兩角的終邊可以相同，故C錯(cuò)誤；若角α與角β終邊相同，則β＝k·360°＋α，k∈Z，故D正確．故選AD.4.－90°若分針撥快15min，則分針轉(zhuǎn)過(guò)的角度為eq\f(15,60)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a