每天半小時(shí)天天“7+1”自主加餐練(二十一)一、7道把關(guān)小題增分練1．某同學(xué)喜愛球類和游泳運(yùn)動(dòng)，在暑假期間，該同學(xué)上午去打球的概率為eq\f(1,3)，若該同學(xué)上午不去打球，則下午一定去游泳；若上午去打球，則下午去游泳的概率為eq\f(1,4).已知該同學(xué)在某天下午去游了泳，則上午打球的概率為()A．eq\f(3,4) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,9) D．eq\f(1,2)解析：選C設(shè)“上午打球”為事件A，“下午游泳”為事件B，則P(eq\x\to(A)B)＝P(eq\x\to(A))＝1－P(A)＝eq\f(2,3)，P(AB)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,12)，故P(B)＝eq\f(2,3)×1＋eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).所以P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(\f(1,12),\f(3,4))＝eq\f(1,9).所以上午打球的概率為eq\f(1,9).2.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2y))(2x－y)5的展開式中x2y4的系數(shù)為()A．80 B．24C．－12 D．－48解析：選A依題意，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2y))(2x－y)5＝eq\f(1,x)(2x－y)5－2y(2x－y)5，顯然eq\f(1,x)(2x－y)5的展開式中沒有x2y4項(xiàng)，－2y(2x－y)5展開式的x2y4項(xiàng)為－2y·Ceq\o\al(3,5)(2x)2(－y)3＝80x2y4，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－2y))(2x－y)5的展開式中x2y4的系數(shù)為80.故選A．3．已知平面向量a＝(2,0)，b＝(0,1)，且非零向量c滿足(a－2c)⊥(b－c)，則|c|的最大值是()A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2解析：選B設(shè)c＝(x，y)，則a－2c＝(2－2x，－2y)，b－c＝(－x,1－y)，(a－2c)·(b－c)＝(2－2x)(－x)＋(－2y)(1－y)＝2x2－2x＋2y2－2y＝0，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(1,2)，則點(diǎn)(x，y)在以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))為圓心，eq\f(\r(2),2)為半徑的圓上，則|c|＝eq\r(x2＋y2)表示(0,0)和圓上點(diǎn)(x，y)之間的距離．又(0,0)在圓eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(1,2)上，故|c|的最大值是2×eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2).故選B．4．(多選)已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,6)))(ω>0)圖象的一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心的最小距離為eq\f(3π,4)，則()A．函數(shù)f(x)的最小正周期為3πB．將函數(shù)f(x)的圖象向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位長(zhǎng)度后所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱C．函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,2)))上單調(diào)遞增D．設(shè)g(x)＝e|x|feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋\f(π,4)))，則g(x)在(－10π，10π)內(nèi)有20個(gè)極值點(diǎn)解析：選ABD根據(jù)題意可得eq\f(T,4)＝eq\f(3π,4)，則T＝eq\f(2π,ω)＝3π，即ω＝eq\f(2,3)，A正確；f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x－\f(π,6)))，圖象向左平移eq\f(π,4)個(gè)單位長(zhǎng)度得y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))－\f(π,6)))＝sineq\f(2,3)x.∵y＝sineq\f(2,3)x為奇函數(shù)，∴其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，B正確；∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,2)))，則eq\f(2,3)x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，∴f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(5π,2)))上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤；∵g(x)＝e|x|feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋\f(π,4)))＝e|x|sinx，則g(－x)＝e|－x|sin(－x)＝－e|x|sinx＝－g(x)，∴g(x)為奇函數(shù)．當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)＝exsinx，則g′(x)＝ex(sinx＋cosx)＝eq\r(2)exsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).令g′(x)＝0，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))＝0，即x＋eq\f(π,4)＝kπ(k∈N*)，∴x＝kπ－eq\f(π,4)(k∈N*)．∵x∈[0,10π)，即0≤kπ－eq\f(π,4)<10π(k∈N*)，則eq\f(1,4)≤k<eq\f(41,4)(k∈N*)，∴k＝1,2,3，…，10共10個(gè)，則g(x)在(－10π，10π)內(nèi)有20個(gè)極值點(diǎn)，D正確．故選A、B、D．5．(多選)已知雙曲線E：x2－eq\f(y2,m2)＝λ(λ≠0)的右頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線l1，l2分別是E的斜率大于0、小于0的漸近線，P是l1上一點(diǎn)，且PA⊥x軸，則下列結(jié)論正確的是()A．若l1的斜率是2，則m2＝4，且雙曲線的離心率為eq\r(5)B．若PF2∥l2，則雙曲線的離心率為eq\r(3)C．PF2有可能垂直于l1D．△F1PF2一定是直角三角形解析：選AD由題意可知，雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,λ)－eq\f(y2,λm2)＝1，其漸近線方程為y＝±|m|x.因?yàn)殡p曲線C的焦點(diǎn)在x軸上，則λ>0.若l1的斜率是2，即|m|＝2，則m2＝4，雙曲線C的離心率為e＝eq\f(c,a)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))2＋1)＝eq\r(m2＋1)＝eq\r(5)，A正確；由題意可得A(eq\r(λ)，0)，則a＝eq\r(λ)，b＝eq\r(λ)|m|，c＝eq\r(1＋m2λ).因?yàn)镻F2∥l2，則∠POF2＝∠PF2O，故△POF2為等腰三角形，且|PO|＝|PF2|.因?yàn)镻A⊥x軸，則A為OF2的中點(diǎn)，所以c＝2a，即eq\r(1＋m2λ)＝2eq\r(λ)，可得m2＝3.此時(shí)雙曲線C的離心率為e＝eq\f(c,a)＝2，B錯(cuò)誤；若PF2⊥l1，直線l1的方程為y＝|m|x，由點(diǎn)到直線的距離公式可得|PF2|＝eq\f(|m|\r(1＋m2λ),\r(1＋m2))＝|m|eq\r(λ)，所以|OP|＝eq\r(|OF2|2－|PF2|2)＝eq\r(1＋m2λ－m2λ)＝eq\r(λ).因?yàn)镻A⊥x軸，則∠AOP＝∠POF2，∠OAP＝∠OPF2＝90°，所以△AOP∽△POF2，則eq\f(|OA|,|OP|)＝eq\f(|OP|,|OF2|)，即eq\f(\r(λ),\r(λ))＝eq\f(\r(λ),\r(1＋m2λ))，則m＝0，與雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程矛盾，假設(shè)不成立，C錯(cuò)誤；易知點(diǎn)F1(－eq\r(1＋m2λ)，0)，F(xiàn)2(eq\r(1＋m2λ)，0)，將x＝eq\r(λ)代入方程y＝|m|x可得y＝|m|eq\r(λ)，即點(diǎn)P(eq\r(λ)，|m|eq\r(λ))，eq\o(PF1,\s\up6(―→))＝(－eq\r(1＋m2λ)－eq\r(λ)，－|m|eq\r(λ))，eq\o(PF2,\s\up6(―→))＝(eq\r(1＋m2λ)－eq\r(λ)，－|m|eq\r(λ))，所以eq\o(PF1,\s\up6(―→))·eq\o(PF2,\s\up6(―→))＝(－eq\r(λ)－eq\r(1＋m2λ))(－eq\r(λ)＋eq\r(1＋m2λ))＋m2λ＝λ－(1＋m2)λ＋m2λ＝0.所以PF1⊥PF2，故△F1PF2一定是直角三角形，D正確．6．已知某種袋裝食品每袋質(zhì)量X～N(500,16)，則隨機(jī)抽取10000袋這種食品，袋裝質(zhì)量在區(qū)間(492,504]的約________袋(質(zhì)量單位：g)．(附：X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973)解析：由題意得P(500－4<X≤500＋4)＝0.6827，P(500－8<X≤500＋8)＝0.9545，則P(492<X≤496)＝eq\f(0.9545－0.6827,2)＝0.1359，故P(492<X≤504)＝0.1359＋0.6827＝0.8186，則袋裝質(zhì)量在區(qū)間(492,504]的約有10000×0.8186＝8186袋．答案：81867．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)于任意x1≠x2，必有f(x1)≠f(x2)，若函數(shù)F(x)＝f(x2－m)＋f(3－2x)只有一個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)g(x)＝eq\f(mx2－6,2－x)(x<2)的最小值是_________．解析：由F(x)＝f(x2－m)＋f(3－2x)＝0可得f(x2－m)＝－f(3－2x)．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(x2－m)＝－f(3－2x)＝f(2x－3)．因?yàn)閷?duì)于任意x1≠x2，必有f(x1)≠f(x2)，所以x2－m＝2x－3，即x2－2x－m＋3＝0.因?yàn)楹瘮?shù)F(x)＝f(x2－m)＋f(3－2x)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以方程x2－2x－m＋3＝0只有一個(gè)根，所以Δ＝4－4(－m＋3)＝0，解得m＝2.所以g(x)＝eq\f(2x2－6,2－x).令t＝2－x(t>0)，則x＝2－t，所以y＝eq\f(2x2－6,2－x)＝eq\f(22－t2－6,t)＝eq\f(2t2－8t＋2,t)＝2t＋eq\f(2,t)－8≥2eq\r(2t·\f(2,t))－8＝－4，當(dāng)且僅當(dāng)2t＝eq\f(2,t)，即t＝1，x＝1時(shí)等號(hào)成立．所以函數(shù)g(x)＝eq\f(mx2－6,2－x)(x<2)的最小值為－4.答案：－4二、一道?？即箢}循環(huán)練(今日練點(diǎn)：數(shù)列)8．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝3，Sn－n＝eq\f(1,2)(an＋1)(n∈N*)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an和前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)bk＝eq\f(1,S2k＋1·S2k＋1)(k∈N*)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和記為Tn，證明：Tn<eq\f(1,6)(n∈N*)．解：(1)由Sn－n＝eq\f(1,2)(an＋1)，得Sn＋1－(n＋1)＝eq\f(1,2)(an＋1＋1)(n∈N*)，兩式相減可得an＋1＋an＝2.由a1＝3，得a2＝－1，數(shù)列{an}為3，－1,3，－1,3，－1,3，…，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3，n＝2k－1，,－1，n＝2k，))k∈N*.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＝eq\f(n,2)[3＋(－1)]＝n；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝eq\f(n－1,2)[3＋(－1)]＋3＝n＋2.所以Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＋2，n＝2k－1，,n，n＝2k，))k∈N*.(2)證明：由bk＝eq\f(1,S2k＋1·S2k＋1)(k∈N*)，得bn＝eq