每天半小時(shí)天天“7+1”自主加餐練(三)一、7道把關(guān)小題增分練1．李老師一家要外出游玩幾天，家里有一盆花交給鄰居幫忙照顧，如果這幾天內(nèi)鄰居記得澆水，那么花存活的概率為0.8，如果這幾天內(nèi)鄰居忘記澆水，那么花存活的概率為0.3，假設(shè)李老師對鄰居不了解，即可以認(rèn)為鄰居記得和忘記澆水的概率均為0.5，幾天后李老師回來發(fā)現(xiàn)花還活著，則鄰居記得澆水的概率為()A．eq\f(3,11) B．eq\f(1,2)C．eq\f(8,11) D．1解析：選C設(shè)事件B表示“鄰居記得澆水”，eq\x\to(B)表示“鄰居忘記澆水”，A表示“花還活著”，則P(B)＝0.5，P(eq\x\to(B))＝0.5，P(A|B)＝0.8，P(A|eq\x\to(B))＝0.3，P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(eq\x\to(B))P(A|eq\x\to(B))＝0.5×0.8＋0.5×0.3＝0.55.所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(0.5×0.8,0.55)＝eq\f(8,11)，故選C．2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y＝2x－4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點(diǎn)M，使|MA|＝2|MO|，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為()A．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(12,5))) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(12,5)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(12,5)，\f(12,5))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(12,5)))解析：選D由圓心C的橫坐標(biāo)為a，得圓心C的坐標(biāo)為(a,2a－4)，則圓C的方程為(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1.設(shè)M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，可得eq\r(x2＋y－32)＝2eq\r(x2＋y2)，整理得x2＋(y＋1)2＝4，則圓(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1與圓x2＋(y＋1)2＝4有公共點(diǎn)，即2－1≤eq\r(0－a2＋－1－2a＋42)≤2＋1,1≤5a2－12a＋9≤9，解得0≤a≤eq\f(12,5).故選D．3．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－3)3＋x－1，{an}是公差不為0的等差數(shù)列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14，則a1＋a2＋…＋a7＝()A．0 B．7C．14 D．21解析：選D由f(x)＝(x－3)3＋x－1，得f(x)－2＝(x－3)3＋x－3.令g(x)＝f(x)－2，所以函數(shù)g(x)關(guān)于點(diǎn)(3,0)對稱．因?yàn)閒(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝14，所以f(a1)－2＋f(a2)－2＋…＋f(a7)－2＝14－14＝0，即g(a1)＋g(a2)＋…＋g(a7)＝0.所以a4,(a4)g為g(x)與x軸的交點(diǎn)．因?yàn)間(x)關(guān)于點(diǎn)(3,0)對稱，所以a4＝3.因?yàn)閧an}是公差不為0的等差數(shù)列，所以a1＋a7＝a2＋a6＝a3＋a5＝2a4＝6，所以a1＋a2＋…＋a7＝21.故選D．4．(多選)已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))的相鄰對稱軸之間的距離為eq\f(π,2)，且f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))，則下列說法正確的是()A．該函數(shù)解析式為f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))B．函數(shù)f(x)的一個(gè)對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)，0))C．函數(shù)y＝eq\r(\r(2)fx－1)的定義域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,24)＋kπ，\f(5π,24)＋kπ))(k∈Z)D．將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移b(b>0)個(gè)單位，得到函數(shù)g(x)的圖象，且函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則b的最小值為eq\f(π,3)解析：選ABC由題意知，該函數(shù)最小正周期為T＝2×eq\f(π,2)＝π＝eq\f(2π,ω)，解得ω＝2，即f(x)＝sin(2x＋φ)．將點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))代入，得eq\f(2π,3)＋φ＝kπeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k∈Z，0<φ<\f(π,2)))，所以φ＝eq\f(π,3).函數(shù)解析式為f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，故A正確；feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2π,3)))＋\f(π,3)))＝sin(－π)＝0，故B正確；y＝eq\r(\r(2)fx－1)＝eq\r(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))－1)，滿足eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))－1≥0，所以2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2kπ，\f(3π,4)＋2kπ))(k∈Z)，解得x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,24)＋kπ，\f(5π,24)＋kπ))(k∈Z)，故C正確；由題意，得g(x)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x－b＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)－2b))，根據(jù)該函數(shù)為奇函數(shù)，知eq\f(π,3)－2b＝kπ(k∈Z)，從而得到b＝eq\f(π,6)－eq\f(kπ,2)(k∈Z)．因?yàn)閎>0，所以b的最小值為eq\f(π,6)，故D錯(cuò)誤．故選A、B、C．5．(多選)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R，若f(x)為奇函數(shù)，且f(x＋2)＝f(x)，則()A．f′(x)為偶函數(shù)B．f′(0)＝0C．f(x)的圖象關(guān)于(1,0)對稱D．若F(x)＝f(x)＋xf′(x)，則F′(x)為奇函數(shù)解析：選AC因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)且在定義域R上可導(dǎo)，即f(－x)＝－f(x)，所以兩邊對x取導(dǎo)可得(－x)′f′(－x)＝－f′(x)，即f′(－x)＝f′(x)，所以f′(x)為偶函數(shù)，故A正確．令f(x)＝sin(πx)，顯然f(x)為奇函數(shù)，且最小正周期T＝eq\f(2π,π)＝2，即滿足f(x＋2)＝f(x)，所以f′(x)＝πcos(πx)，則f′(0)＝π，故B錯(cuò)誤．因?yàn)閒(x＋2)＝f(x)且f(x)為R上的奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，即f(x＋2)＝－f(－x)．所以f(x－1＋2)＝f(x＋1)＝－f(1－x)，即f(x＋1)＋f(1－x)＝0，所以f(x)的圖象關(guān)于(1,0)對稱，故C正確．因?yàn)镕(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以F(－x)＝f(－x)－xf′(－x)＝－f(x)－xf′(x)＝－F(x)，即F(x)為奇函數(shù)，由A可知F′(x)為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤．故選A、C．6．在對附屬中學(xué)高三年級(jí)學(xué)生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣．已知抽取了男生20人，其平均數(shù)和方差分別為175和12，抽取了女生30人，其平均數(shù)和方差分別為165和38.則抽取的50位學(xué)生的平均數(shù)為________，方差為________．解析：根據(jù)題意，抽取的50位學(xué)生的平均數(shù)為eq\x\to(x)＝eq\f(20,20＋30)×175＋eq\f(30,20＋30)×165＝169，抽取的50位學(xué)生的方差為s2＝eq\f(20,20＋30)×[12＋(175－169)2]＋eq\f(30,20＋30)×[38＋(165－169)2]＝eq\f(258,5).答案：169eq\f(258,5)7．已知實(shí)數(shù)x1，x2滿足x1ex1＝e3，x2(lnx2－2)＝e5，則x1x2＝________.解析：因?yàn)閷?shí)數(shù)x1，x2滿足x1ex1＝e3，x2(lnx2－2)＝e5，所以x1>0，x2>e2.令lnx2－2＝t>0，則x2＝et＋2，所以tet＝e3.令f(x)＝xex(x>0)，則f′(x)＝(x＋1)ex>0(x>0)，所以f(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞增．而f(x1)＝f(t)＝e3，所以x1＝t＝lnx2－2，所以x1x2＝x2(lnx2－2)＝e5.答案：e5二、一道?？即箢}循環(huán)練(今日練點(diǎn)：數(shù)列)8．已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，Sn為{eq\r(an)}的前n項(xiàng)和，且eq\r(an)，Sn，an－2成等差數(shù)列．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)已知bn＝(－1)nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)由eq\r(an)，Sn，an－2成等差數(shù)列，得2Sn＝eq\r(an)＋an－2.①當(dāng)n＝1時(shí)，2eq\r(a1)＝eq\r(a1)＋a1－2，∴a1－eq\r(a1)－2＝0，得eq\r(a1)＝2(舍負(fù))．當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn－1＝eq\r(an－1)＋an－1－2，②①－②得，2eq\r(an)＝eq\r(an)－eq\r(an－1)＋an－an－1，∴eq\r(an)＋eq\r(an－1)＝an－an－1＝(eq\r(an)＋eq\r(an－1))(eq\r(an)－eq\r(an－1))．又eq\r(an)＋eq\r(an－1)≠0，∴eq\r(an)－eq\r(an－1)＝1.∴{eq\r(an)}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列．∴eq\r(an)＝2＋n－1＝n＋1，故an＝(n＋1)2.(2)由(1)知bn＝(－1)n(n＋1)2.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，Tn＝－22＋32－42＋52－62＋72－…－(n－1)2＋n2－(n＋1)2＝(3－2)(3＋2)＋(5－4)(5＋4)＋(7－6)(7＋6)＋…＋[n－(n－1)](n＋n－1)－(n＋1)2＝5＋9＋13＋…＋(2n－1)－(n＋1)2＝eq\f(5＋2n－1,2)×eq\f(n－1,2)－(n＋1)2＝eq\f(－n2