2025年高二函數(shù)中考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.函數(shù)\(y=\log_{2}(x-1)\)的定義域是（）A.\((1,+\infty)\)B.\([1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\((-\infty,2)\)答案：A2.已知函數(shù)\(f(x)\)是奇函數(shù)，當(dāng)\(x\gt0\)時(shí)，\(f(x)=x^{2}-x\)，則當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\(f(x)\)的表達(dá)式為（）A.\(x^{2}-x\)B.\(-x^{2}-x\)C.\(x^{2}+x\)D.\(-x^{2}+x\)答案：B3.函數(shù)\(y=3^{x}\)與\(y=-3^{-x}\)的圖象關(guān)于（）A.\(x\)軸對稱B.\(y\)軸對稱C.原點(diǎn)對稱D.直線\(y=x\)對稱答案：C4.函數(shù)\(f(x)=2x^{3}-3x^{2}+1\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\((0,1)\)B.\((-\infty,0)\)和\((1,+\infty)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((-\infty,0)\)答案：B5.若函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象經(jīng)過點(diǎn)\((0,1)\)，則函數(shù)\(y=f(x+4)\)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（）A.\((4,1)\)B.\((-4,1)\)C.\((0,5)\)D.\((0,-3)\)答案：B6.已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}2^{x},x\leqslant0\\\log_{2}x,x\gt0\end{cases}\)，則\(f(f(-1))\)的值為（）A.\(-1\)B.\(0\)C.\(1\)D.\(2\)答案：A7.函數(shù)\(y=\sin^{2}x\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)答案：B8.若函數(shù)\(f(x)=ax^{2}+bx+c\)的圖象開口向下，對稱軸為\(x=1\)，則\(f(2)\)，\(f(4)\)，\(f(-1)\)的大小關(guān)系是（）A.\(f(4)\ltf(2)\ltf(-1)\)B.\(f(2)\ltf(4)\ltf(-1)\)C.\(f(-1)\ltf(2)\ltf(4)\)D.\(f(4)\ltf(-1)\ltf(2)\)答案：A9.已知函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且\(f(a)\cdotf(b)\lt0\)，則函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)（）A.有且只有一個(gè)零點(diǎn)B.至少有一個(gè)零點(diǎn)C.至多有一個(gè)零點(diǎn)D.沒有零點(diǎn)答案：B10.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)在區(qū)間\([2,3]\)上的最大值是（）A.\(1\)B.\(\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(-\frac{1}{2}\)答案：A二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\log_{2}|x|\)D.\(y=\frac{1}{x}\)答案：ABC2.下列函數(shù)中，在區(qū)間\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的有（）A.\(y=2^{x}\)B.\(y=\lgx\)C.\(y=x^{3}\)D.\(y=\frac{1}{x}\)答案：ABC3.已知函數(shù)\(f(x)\)的定義域?yàn)閈([0,2]\)，則函數(shù)\(g(x)=f(2x)+\sqrt{8-2^{x}}\)的定義域可能為（）A.\([0,1]\)B.\([0,2]\)C.\([1,2]\)D.\([-1,1]\)答案：A4.關(guān)于函數(shù)\(y=\tanx\)，下列說法正確的有（）A.定義域?yàn)閈(\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\}\)B.最小正周期是\(\pi\)C.圖象關(guān)于點(diǎn)\((\frac{k\pi}{2},0)(k\inZ)\)對稱D.在區(qū)間\((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\)上單調(diào)遞增答案：ABCD5.若函數(shù)\(f(x)=a^{x}(a\gt0,a\neq1)\)滿足\(f(2)\gtf(3)\)，則函數(shù)\(g(x)=\log_{a}(1-x)\)的性質(zhì)有（）A.定義域?yàn)閈((1,+\infty)\)B.在定義域上單調(diào)遞增C.圖象過定點(diǎn)\((0,0)\)D.值域?yàn)閈(R\)答案：BCD6.已知函數(shù)\(f(x)=x^{3}-3x\)，則下列說法正確的是（）A.\(f(x)\)是奇函數(shù)B.\(f(x)\)的極大值為\(2\)C.\(f(x)\)的極小值為\(-2\)D.\(f(x)\)在區(qū)間\((-1,1)\)上單調(diào)遞增答案：ABCD7.函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)(A\gt0,\omega\gt0)\)的圖象可以由\(y=\sinx\)的圖象經(jīng)過（）變換得到。A.先伸縮后平移B.先平移后伸縮C.只伸縮D.只平移答案：AB8.下列函數(shù)中，值域?yàn)閈((0,+\infty)\)的有（）A.\(y=2^{x}\)B.\(y=\frac{1}{x^{2}}\)C.\(y=\sqrt{x}\)D.\(y=\lnx\)答案：ABC9.已知函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x+2)=f(x)\)，則函數(shù)\(f(x)\)（）A.是周期函數(shù)B.圖象關(guān)于直線\(x=1\)對稱C.最大值與最小值一定相等D.在一個(gè)周期內(nèi)的單調(diào)性是固定的答案：A10.對于函數(shù)\(y=\log_{a}(x+1)(a\gt0,a\neq1)\)，下列說法正確的有（）A.圖象恒過定點(diǎn)\((0,0)\)B.當(dāng)\(a\gt1\)時(shí)，在\((-1,+\infty)\)上單調(diào)遞增C.當(dāng)\(0\lta\lt1\)時(shí)，在\((-1,+\infty)\)上單調(diào)遞減D.值域?yàn)閈(R\)答案：ABC三、判斷題1.函數(shù)\(y=\sqrt{x-2}+\sqrt{2-x}\)是一個(gè)函數(shù)。（）答案：對2.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上是增函數(shù)，則\(f(a)\ltf(b)\)。（）答案：對3.函數(shù)\(y=\sinx\)與\(y=\cosx\)的圖象形狀相同，只是位置不同。（）答案：對4.函數(shù)\(f(x)=x^{2}+2x+3\)的圖象關(guān)于直線\(x=-1\)對稱。（）答案：對5.若\(f(x)\)是奇函數(shù)，且\(f(0)\)有定義，則\(f(0)=0\)。（）答案：對6.函數(shù)\(y=2^{x}\)與\(y=\log_{2}x\)的圖象關(guān)于直線\(y=x\)對稱。（）答案：對7.函數(shù)\(y=\cos(x+\frac{\pi}{2})\)是偶函數(shù)。（）答案：錯(cuò)8.函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)有零點(diǎn)，則\(f(a)\cdotf(b)\lt0\)。（）答案：錯(cuò)9.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)在其定義域上是減函數(shù)。（）答案：錯(cuò)10.若函數(shù)\(f(x)\)滿足\(f(x+T)=f(x)\)（\(T\neq0\)），則\(T\)就是函數(shù)\(f(x)\)的周期。（）答案：錯(cuò)四、簡答題1.求函數(shù)\(y=\log_{3}(x^{2}-2x-3)\)的定義域。答案：要使函數(shù)有意義，則\(x^{2}-2x-3\gt0\)，即\((x-3)(x+1)\gt0\)。解不等式得\(x\lt-1\)或\(x\gt3\)。所以函數(shù)的定義域?yàn)閈((-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\)。2.已知函數(shù)\(f(x)=x^{2}+bx+c\)，且\(f(1)=0\)，\(f(3)=0\)，求\(b\)，\(c\)的值。答案：將\(f(1)=0\)，\(f(3)=0\)代入函數(shù)\(f(x)=x^{2}+bx+c\)中，可得方程組\(\begin{cases}1+b+c=0\\9+3b+c=0\end{cases}\)。用第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程得\(8+2b=0\)，解得\(b=-4\)。把\(b=-4\)代入\(1+b+c=0\)，得\(1-4+c=0\)，解得\(c=3\)。所以\(b=-4\)，\(c=3\)。3.求函數(shù)\(y=3\sin(2x+\frac{\pi}{6})\)的對稱軸方程和對稱中心。答案：對于函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)，其對稱軸方程滿足\(\omegax+\varphi=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)。所以\(2x+\frac{\pi}{6}=k\pi+\frac{\pi}{2}\)，解得\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{6}(k\inZ)\)，即對稱軸方程為\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{6}(k\inZ)\)。對稱中心滿足\(\omegax+\varphi=k\pi(k\inZ)\)，即\(2x+\frac{\pi}{6}=k\pi\)，解得\(x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12}(k\inZ)\)，對稱中心為\((\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{12},0)(k\inZ)\)。4.已知函數(shù)\(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2\)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。答案：對\(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=3x^{2}-6x\)。令\(f^\prime(x)=0\)，即\(3x^{2}-6x=0\)，\(3x(x-2)=0\)，解得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x\lt0\)或\(x\gt2\)時(shí)，\(f^\prime(x)\gt0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)\(0\ltx\lt2\)時(shí)，\(f^\prime(x)\lt0\)，函數(shù)單調(diào)遞減。所以單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)，單調(diào)遞減區(qū)間為\((0,2)\)。五、討論題1.討論函數(shù)\(y=a^{x}(a\gt0,a\neq1)\)與\(y=\log_{a}x(a\gt0,a\neq1)\)的關(guān)系，并說明它們在不同\(a\)取值下的單調(diào)性變化。答案：函數(shù)\(y=a^{x}(a\gt0,a\neq1)\)與\(y=\log_{a}x(a\gt0,a\neq1)\)互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線\(y=x\)對稱。當(dāng)\(a\gt1\)時(shí)，\(y=a^{x}\)在\(R\)上單調(diào)遞增，\(y=\log_{a}x\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增；當(dāng)\(0\lta\lt1\)時(shí)，\(y=a^{x}\)在\(R\)上單調(diào)遞減，\(y=\log_{a}x\)在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減。2.結(jié)合生活實(shí)際，舉例說明函數(shù)的單調(diào)性在實(shí)際問題中的應(yīng)用。答案：比如在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，某商品的利潤函數(shù)\(y=f(x)\)，\(x\)表示商品的銷售量。當(dāng)銷售量在一定范圍內(nèi)增加時(shí)，利潤隨著銷售量的增加而增加，即函數(shù)單調(diào)遞增，這反映了薄利多銷的原理；但當(dāng)銷售量超過某個(gè)值后，由于成本等因素，利潤可能隨著銷售量的增加而減少，函數(shù)單調(diào)遞減。通過分析函數(shù)單調(diào)性，商家可以確定最佳銷售量，以獲取最大利潤。3.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的偶函數(shù)，且在\([0,+\infty)\)上單調(diào)遞減，若\(f(2x-1)\gtf(1)\)，求\(x\)的取值范圍。答案：因?yàn)閈(f(x)\)是偶函數(shù)，所以\(f(2x-1)=f(|2x-1|)\)。又\(f(2x-1)\gtf(1)\)，即\(f(|2x-1|)\gtf(1)\)。由于\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)上單調(diào)遞減，所以\(|2x-1|