2025年長(zhǎng)沙數(shù)學(xué)招聘真題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.若集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|0<x<6,x\inN\}\)，則滿足\(A\subseteqC\subseteqB\)的集合\(C\)的個(gè)數(shù)為（）A.4B.8C.7D.16答案：B2.函數(shù)\(y=\log_2(x^2-3x+2)\)的定義域?yàn)椋ǎ〢.\((1,2)\)B.\((-\infty,1)\cup(2,+\infty)\)C.\([1,2]\)D.\((-\infty,1]\cup[2,+\infty)\)答案：B3.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec=(-2,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec\)，則\(m\)的值為（）A.4B.-4C.1D.-1答案：B4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3+a_5=10\)，則\(a_4\)的值為（）A.5B.6C.8D.10答案：A5.函數(shù)\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(\frac{\pi}{4}\)答案：A6.若直線\(ax+by+1=0\)（\(a,b\gt0\)）過(guò)圓\(x^2+y^2+8x+2y+1=0\)的圓心，則\(\frac{1}{a}+\frac{4}\)的最小值為（）A.16B.20C.12D.8答案：A7.拋物線\(y^2=8x\)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（）A.1B.2C.4D.8答案：C8.已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}2^x,x\leq0\\\log_3x,x\gt0\end{cases}\)，則\(f(f(\frac{1}{9}))\)的值為（）A.\(\frac{1}{4}\)B.4C.\(\frac{1}{9}\)D.9答案：A9.一個(gè)正方體的棱長(zhǎng)為\(2\)，則該正方體的外接球的表面積為（）A.\(4\pi\)B.\(8\pi\)C.\(12\pi\)D.\(16\pi\)答案：C10.已知\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x\gt0\)時(shí)，\(f(x)=x^2-2x\)，則\(f(-1)\)的值為（）A.3B.-3C.1D.-1答案：C二、多項(xiàng)選擇題1.下列函數(shù)中，在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的函數(shù)有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=\lgx\)D.\(y=2^x\)答案：ACD2.已知\(a,b,c\)為實(shí)數(shù)，下列命題中正確的是（）A.若\(a\gtb\)，則\(ac^2\gtbc^2\)B.若\(ac^2\gtbc^2\)，則\(a\gtb\)C.若\(a\gtb\)，\(ab\gt0\)，則\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}\)D.若\(a\ltb\lt0\)，則\(a^2\gtab\gtb^2\)答案：BCD3.下列關(guān)于圓錐曲線的說(shuō)法正確的是（）A.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的離心率\(e=\frac{c}{a}\)（\(c\)為半焦距），且\(0\lte\lt1\)B.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)C.拋物線\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((\frac{p}{2},0)\)D.圓錐曲線中的離心率\(e\)滿足\(0\lte\lt+\infty\)答案：ABC4.已知\(\alpha,\beta\)是兩個(gè)不同的平面，\(m,n\)是兩條不同的直線，下列說(shuō)法正確的是（）A.若\(m\parallel\alpha\)，\(n\parallel\alpha\)，則\(m\paralleln\)B.若\(m\perp\alpha\)，\(m\paralleln\)，\(n\subset\beta\)，則\(\alpha\perp\beta\)C.若\(\alpha\cap\beta=m\)，\(n\parallelm\)，\(n\not\subset\alpha\)，\(n\not\subset\beta\)，則\(n\parallel\alpha\)且\(n\parallel\beta\)D.若\(\alpha\perp\beta\)，\(\alpha\cap\beta=m\)，\(n\perpm\)，則\(n\perp\beta\)答案：BC5.以下屬于基本初等函數(shù)的有（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)答案：ABCD6.已知函數(shù)\(f(x)\)的定義域?yàn)閈([-1,1]\)，則函數(shù)\(f(2x-1)\)的定義域可能為（）A.\([0,1]\)B.\([-1,1]\)C.\([\frac{1}{2},1]\)D.\([-1,0]\)答案：AC7.對(duì)于數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)，下列說(shuō)法正確的是（）A.若\(a_{n+1}-a_n=d\)（\(d\)為常數(shù)），則\(\{a_n\}\)是等差數(shù)列B.若\(a_{n+1}^2=a_n\cdota_{n+2}\)，則\(\{a_n\}\)是等比數(shù)列C.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)D.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)（\(q\neq1\)）答案：ACD8.已知\(a,b\)為正實(shí)數(shù)，且\(a+b=1\)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.\(ab\leq\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geq4\)C.\(a^2+b^2\geq\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leq\sqrt{2}\)答案：ABCD9.下列關(guān)于向量的運(yùn)算正確的是（）A.\(\vec{a}+\vec=\vec+\vec{a}\)B.\((\vec{a}+\vec)+\vec{c}=\vec{a}+(\vec+\vec{c})\)C.\(\lambda(\vec{a}+\vec)=\lambda\vec{a}+\lambda\vec\)（\(\lambda\)為實(shí)數(shù)）D.\(\vec{a}\cdot\vec=\vec\cdot\vec{a}\)答案：ABCD10.已知函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)+k\)（\(A\gt0,\omega\gt0\)），以下說(shuō)法正確的是（）A.\(A\)決定函數(shù)的振幅B.\(\omega\)決定函數(shù)的周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)C.\(\varphi\)決定函數(shù)的初相D.\(k\)決定函數(shù)圖象的上下平移答案：ABCD三、判斷題1.空集是任何集合的真子集。（）答案：錯(cuò)誤2.函數(shù)\(y=x^3\)是偶函數(shù)。（）答案：錯(cuò)誤3.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，則\(a-c\gtb-d\)。（）答案：錯(cuò)誤4.直線\(y=kx+b\)（\(k\)為斜率）與\(y\)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為\((0,b)\)。（）答案：正確5.圓\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)的圓心坐標(biāo)為\((a,b)\)，半徑為\(r\)。（）答案：正確6.若向量\(\vec{a}\cdot\vec=0\)，則\(\vec{a}\perp\vec\)。（）答案：錯(cuò)誤（當(dāng)\(\vec{a}=\vec{0}\)或\(\vec=\vec{0}\)時(shí)不成立）7.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式一定是關(guān)于\(n\)的一次函數(shù)。（）答案：錯(cuò)誤（常數(shù)列除外）8.函數(shù)\(y=\log_ax\)（\(a\gt0,a\neq1\)）的定義域?yàn)閈((0,+\infty)\)。（）答案：正確9.若\(x^2+y^2=0\)，則\(x=0\)且\(y=0\)。（）答案：正確10.函數(shù)\(y=\sinx\)的值域是\([-1,1]\)。（）答案：正確四、簡(jiǎn)答題1.求函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{x^2-4}}\)的定義域。答案：要使函數(shù)有意義，則根號(hào)下的數(shù)大于\(0\)，即\(x^2-4\gt0\)。因式分解得\((x+2)(x-2)\gt0\)。則\(\begin{cases}x+2\gt0\\x-2\gt0\end{cases}\)或\(\begin{cases}x+2\lt0\\x-2\lt0\end{cases}\)。解得\(x\gt2\)或\(x\lt-2\)。所以函數(shù)的定義域?yàn)閈((-\infty,-2)\cup(2,+\infty)\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，求其前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)的公式。答案：等差數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和公式為\(S_n=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d\)。已知\(a_1=1\)，\(d=2\)，將其代入公式可得：\(S_n=n\times1+\frac{n(n-1)}{2}\times2=n+n^2-n=n^2\)。所以該等差數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n=n^2\)。3.求過(guò)點(diǎn)\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。答案：已知直線\(2x-y+1=0\)的斜率為\(2\)，因?yàn)閮芍本€平行斜率相等，所以所求直線的斜率也為\(2\)。由點(diǎn)斜式\(y-y_0=k(x-x_0)\)（其中\(zhòng)((x_0,y_0)\)為直線上一點(diǎn)，\(k\)為斜率），已知點(diǎn)\((1,2)\)，斜率\(k=2\)，則直線方程為\(y-2=2(x-1)\)，整理得\(2x-y=0\)。4.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。答案：因?yàn)閈(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)，已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，則\(\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha=1-(\frac{3}{5})^2=\frac{16}{25}\)。又因?yàn)閈(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，所以\(\cos\alpha\lt0\)，則\(\cos\alpha=-\frac{4}{5}\)。\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}\)。五、討論題1.討論函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)的單調(diào)性。答案：首先將函數(shù)\(y=x^2-2x+3\)進(jìn)行配方，可得\(y=(x-1)^2+2\)。這是一個(gè)二次函數(shù)，其圖象是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為\(x=1\)。當(dāng)\(x\in(-\infty,1)\)時(shí)，隨著\(x\)的增大，\((x-1)^2\)的值逐漸減小，\(y\)的值也逐漸減小，所以函數(shù)在\((-\infty,1)\)上單調(diào)遞減；當(dāng)\(x\in(1,+\infty)\)時(shí)，隨著\(x\)的增大，\((x-1)^2\)的值逐漸增大，\(y\)的值也逐漸增大，所以函數(shù)在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增。2.在解析幾何中，直線與圓的位置關(guān)系有哪幾種？如何判斷？答案：直線與圓的位置關(guān)系有三種，分別是相離、相切、相交。判斷方法有兩種。代數(shù)法：將直線方程與圓的方程聯(lián)立，消去一個(gè)未知數(shù)得到一個(gè)一元二次方程，根據(jù)判別式\(\Delta\)的值判斷，\(\Delta\lt0\)時(shí)直線與圓相離，\(\Delta=0\)時(shí)直線與圓相切，\(\Delta\gt0\)時(shí)直線與圓相交。幾何法：計(jì)算圓心到直線的距離\(d\)，圓的半徑為\(r\)，當(dāng)\(d\gtr\