數(shù)學初三必考試題及答案

一、單項選擇題1.一元二次方程$x^2-3x=0$的根是（）A.$x=3$B.$x_1=0$，$x_2=3$C.$x_1=0$，$x_2=-3$D.$x=0$答案：B2.在$Rt\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$\sinA=\frac{3}{5}$，則$\cosA$的值為（）A.$\frac{4}{5}$B.$\frac{3}{5}$C.$\frac{3}{4}$D.$\frac{4}{3}$答案：A3.拋物線$y=(x-2)^2+3$的頂點坐標是（）A.$(-2,3)$B.$(2,3)$C.$(-2,-3)$D.$(2,-3)$答案：B4.已知$\odotO$的半徑為$5$，點$P$到圓心$O$的距離為$4$，則點$P$與$\odotO$的位置關系是（）A.點$P$在$\odotO$內(nèi)B.點$P$在$\odotO$上C.點$P$在$\odotO$外D.無法確定答案：A5.若反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$）的圖象經(jīng)過點$(-2,3)$，則$k$的值為（）A.$6$B.$-6$C.$\frac{3}{2}$D.$-\frac{3}{2}$答案：B6.一個不透明的袋子中裝有$5$個黑球和$3$個白球，這些球的大小、質地完全相同，隨機從袋子中摸出$4$個球，則下列事件是必然事件的是（）A.摸出的$4$個球中至少有一個是白球B.摸出的$4$個球中至少有一個是黑球C.摸出的$4$個球中至少有兩個是黑球D.摸出的$4$個球中至少有兩個是白球答案：B7.如圖，在$\triangleABC$中，$DE\parallelBC$，$\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}$，則$\frac{DE}{BC}$的值為（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{2}{3}$D.$\frac{3}{4}$答案：B8.用配方法解方程$x^2-6x+4=0$，下列配方正確的是（）A.$(x-3)^2=13$B.$(x+3)^2=13$C.$(x-3)^2=5$D.$(x+3)^2=5$答案：C9.已知圓錐的底面半徑為$3$，母線長為$5$，則圓錐的側面積是（）A.$15\pi$B.$20\pi$C.$24\pi$D.$30\pi$答案：A10.二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖象如圖所示，下列結論：①$abc\gt0$；②$2a+b=0$；③當$m\neq1$時，$a+b\gtam^2+bm$；④$a-b+c\gt0$；⑤若$ax_1^2+bx_1=ax_2^2+bx_2$，且$x_1\neqx_2$，則$x_1+x_2=2$。其中正確的有（）A.①②③B.②④C.②⑤D.②③⑤答案：D二、多項選擇題1.下列關于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）的說法正確的是（）A.當$a+b+c=0$時，方程$ax^2+bx+c=0$必有一根為$1$B.當$c=0$時，方程$ax^2+bx+c=0$一定有一個根為$0$C.當$b=0$時，方程$ax^2+bx+c=0$一定有兩個不相等的實數(shù)根D.當$a+c=b$時，方程$ax^2+bx+c=0$一定有一個根為$-1$答案：ABD2.以下關于三角函數(shù)的說法正確的是（）A.$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$B.$\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$C.$\tan45^{\circ}=1$D.$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$答案：ABCD3.下列關于拋物線$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的說法正確的是（）A.當$a\gt0$時，拋物線開口向上B.對稱軸為直線$x=-\frac{2a}$C.頂點坐標為$(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$D.當$b=0$時，拋物線的對稱軸是$y$軸答案：ABCD4.已知$\odotO$的半徑為$r$，圓心$O$到直線$l$的距離為$d$，下列說法正確的是（）A.當$d\ltr$時，直線$l$與$\odotO$相交B.當$d=r$時，直線$l$與$\odotO$相切C.當$d\gtr$時，直線$l$與$\odotO$相離D.直線$l$與$\odotO$的位置關系只有相交、相切、相離三種答案：ABCD5.對于反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$），下列說法正確的是（）A.當$k\gt0$時，圖象在一、三象限B.當$k\lt0$時，圖象在二、四象限C.在每個象限內(nèi)，$y$隨$x$的增大而增大D.圖象是關于原點對稱的雙曲線答案：ABD6.以下事件中，是隨機事件的有（）A.明天會下雨B.擲一枚質地均勻的骰子，骰子停止轉動后偶數(shù)點朝上C.從一副撲克牌中任意抽取一張，抽到的是大王D.一個三角形的內(nèi)角和為$180^{\circ}$答案：ABC7.下列各組線段中，能成比例的是（）A.$1cm$，$3cm$，$4cm$，$6cm$B.$2cm$，$3cm$，$4cm$，$6cm$C.$1.1cm$，$2.2cm$，$3.3cm$，$6.6cm$D.$1cm$，$2cm$，$2cm$，$4cm$答案：BCD8.用公式法解一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$）時，需要先計算判別式$\Delta=b^2-4ac$的值，以下說法正確的是（）A.當$\Delta\gt0$時，方程有兩個不相等的實數(shù)根B.當$\Delta=0$時，方程有兩個相等的實數(shù)根C.當$\Delta\lt0$時，方程沒有實數(shù)根D.當$\Delta\geq0$時，方程有實數(shù)根答案：ABCD9.下列關于圓錐的說法正確的是（）A.圓錐的側面展開圖是一個扇形B.圓錐的母線長等于底面圓的直徑C.圓錐的高、底面半徑和母線構成直角三角形D.圓錐的側面積公式為$S=\pirl$（其中$r$是底面半徑，$l$是母線長）答案：ACD10.二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖象與系數(shù)$a$、$b$、$c$的關系，以下說法正確的是（）A.$a$的符號決定拋物線的開口方向B.$b$的符號由對稱軸和$a$的符號共同決定C.$c$的值是拋物線與$y$軸交點的縱坐標D.當$a$與$b$同號時，對稱軸在$y$軸左側答案：ABCD三、判斷題1.方程$x^2=4$的解是$x=2$。（×）2.$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。（√）3.拋物線$y=x^2-2x+3$的對稱軸是直線$x=1$。（√）4.圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。（√）5.反比例函數(shù)$y=\frac{2}{x}$，當$x\gt0$時，$y$隨$x$的增大而增大。（×）6.必然事件發(fā)生的概率為$1$。（√）7.兩個相似三角形的面積比等于它們的相似比。（×）8.一元二次方程$2x^2-3x+4=0$有兩個不相等的實數(shù)根。（×）9.圓錐的底面半徑為$r$，母線長為$l$，則它的全面積為$\pirl+\pir^2$。（√）10.二次函數(shù)$y=-x^2+2x-1$的圖象開口向下。（√）四、簡答題1.用配方法解方程$x^2-4x-1=0$。答案：移項得$x^2-4x=1$，配方得$x^2-4x+4=1+4$，即$(x-2)^2=5$，開方得$x-2=\pm\sqrt{5}$，所以$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$。2.在$Rt\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$，$AC=3$，$BC=4$，求$\sinA$，$\cosA$，$\tanA$的值。答案：根據(jù)勾股定理可得$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。$\sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，$\cosA=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$，$\tanA=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$。3.已知拋物線$y=x^2+bx+c$經(jīng)過點$(1,0)$，$(0,3)$，求拋物線的解析式。答案：把點$(1,0)$，$(0,3)$代入拋物線$y=x^2+bx+c$中，得$\begin{cases}1+b+c=0\\c=3\end{cases}$，把$c=3$代入$1+b+c=0$，得$1+b+3=0$，解得$b=-4$，所以拋物線解析式為$y=x^2-4x+3$。4.已知$\odotO$的半徑為$5$，弦$AB=8$，求圓心$O$到弦$AB$的距離。答案：過點$O$作$OC\perpAB$于點$C$，則$AC=\frac{1}{2}AB=4$。在$Rt\triangleAOC$中，$OA=5$，根據(jù)勾股定理可得$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，即圓心$O$到弦$AB$的距離為$3$。五、討論題1.已知一元二次方程$x^2-(m+3)x+m+2=0$。（1）求證：無論$m$取何值，方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程有一個根是負數(shù)，求$m$的取值范圍。答案：（1）證明：$\Delta=[-(m+3)]^2-4(m+2)=m^2+6m+9-4m-8=m^2+2m+1=(m+1)^2$。因為$(m+1)^2\geq0$，所以無論$m$取何值，方程總有兩個實數(shù)根。（2）由求根公式可得$x=\frac{(m+3)\pm\sqrt{(m+1)^2}}{2}=\frac{(m+3)\pm(m+1)}{2}$，即$x_1=m+2$，$x_2=1$。因為方程有一個根是負數(shù)，所以$m+2\lt0$，解得$m\lt-2$。2.如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（$k\neq0$）與一次函數(shù)$y=ax+b$（$a\neq0$）的圖象交于點$A(1,4)$和$B(4,n)$。（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象，直接寫出不等式$\frac{k}{x}\geqax+b$的解集。答案：（1）把$A(1,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$k=4$，所以反比例函數(shù)解析式為$y=\frac{4}{x}$。把$B(4,n)$代入$y=\frac{4}{x}$，得$n=1$，所以$B(4,1)$。把$A(1,4)$，$B(4,1)$代入$y=ax+b$，得$\begin{cases}a+b=4\\4a+b=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-1\\b=5\end{cases}$，所以一次函數(shù)解析式為$y=-x+5$。（2）由圖象可知，不等式$\frac{k}{x}\geqax+b$的解集為$0\ltx\leq1$或$x\geq4$。3.已知$\triangleABC$，以$AB$為直徑的$\odotO$交$AC$于點$D$，過點$D$作$\odotO$的切線交$BC$于點$E$。（1）若$\angleA=30^{\circ}$，求$\angleCDE$的度數(shù)；（2）若$DE\perpBC$，求證：$\triangleABC$是等腰三角形。答案：（1）連接$OD$，因為$DE$是$\odotO$的切線，所以$\angleODE=90^{\circ}$。因為$OA=OD$，$\angleA=30^{\circ}$，所以$\angleADO=\angleA=30^{\circ}$。又因為$\angleODC=180^{\circ}-\angleADO=150^{\circ}$，所以$\angleCDE=\angleODE-\angleODC=90^{\circ}-150^{\circ}+180^{\circ}=120^{\circ}$。（2）證明：