2025年廣東數(shù)學(xué)培優(yōu)題庫(kù)及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.若函數(shù)\(y=\frac{1}{\sqrt{x-3}}\)有意義，則\(x\)的取值范圍是（）A.\(x\neq3\)B.\(x\gt3\)C.\(x\geq3\)D.\(x\lt3\)答案：B2.一元二次方程\(x^{2}-4x+3=0\)的根為（）A.\(x_1=1\)，\(x_2=3\)B.\(x_1=-1\)，\(x_2=-3\)C.\(x_1=1\)，\(x_2=-3\)D.\(x_1=-1\)，\(x_2=3\)答案：A3.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是\(1080^{\circ}\)，則這個(gè)多邊形是（）A.六邊形B.七邊形C.八邊形D.九邊形答案：C4.已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)\((0,2)\)，且\(y\)隨\(x\)的增大而增大，則這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式可以是（）A.\(y=-2x+2\)B.\(y=2x+2\)C.\(y=-x+2\)D.\(y=x-2\)答案：B5.在\(\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\sinA=\frac{3}{5}\)，則\(\cosA\)的值是（）A.\(\frac{3}{5}\)B.\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{4}{3}\)答案：B6.拋物線\(y=2(x-3)^{2}+4\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.\((3,4)\)B.\((-3,4)\)C.\((3,-4)\)D.\((-3,-4)\)答案：A7.已知\(\odotO\)的半徑為\(5\)，點(diǎn)\(P\)到圓心\(O\)的距離為\(3\)，則點(diǎn)\(P\)與\(\odotO\)的位置關(guān)系是（）A.點(diǎn)\(P\)在\(\odotO\)內(nèi)B.點(diǎn)\(P\)在\(\odotO\)上C.點(diǎn)\(P\)在\(\odotO\)外D.無(wú)法確定答案：A8.若分式\(\frac{x^{2}-1}{x+1}\)的值為\(0\)，則\(x\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(\pm1\)答案：B9.數(shù)據(jù)\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(4\)，\(3\)的眾數(shù)是（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(4\)D.\(5\)答案：B、C10.如圖，在平行四邊形\(ABCD\)中，\(AB=4\)，\(BC=6\)，\(\angleB=30^{\circ}\)，則此平行四邊形的面積是（）A.\(6\)B.\(12\)C.\(18\)D.\(24\)答案：B二、多項(xiàng)選擇題1.下列運(yùn)算正確的是（）A.\(a^{2}\cdota^{3}=a^{5}\)B.\((a^{2})^{3}=a^{6}\)C.\((ab)^{2}=a^{2}b^{2}\)D.\(a^{6}\diva^{2}=a^{3}\)答案：ABC2.以下圖形中，是軸對(duì)稱(chēng)圖形的有（）A.線段B.角C.等腰三角形D.平行四邊形答案：ABC3.下列函數(shù)中，\(y\)隨\(x\)的增大而減小的有（）A.\(y=-2x+1\)B.\(y=3x-2\)C.\(y=-\frac{1}{2}x\)D.\(y=\frac{1}{3}x\)答案：AC4.關(guān)于一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)\(b^{2}-4ac\gt0\)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.當(dāng)\(b^{2}-4ac=0\)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.當(dāng)\(b^{2}-4ac\lt0\)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根D.當(dāng)\(b^{2}-4ac\geq0\)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根答案：ABCD5.下列數(shù)據(jù)能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度的是（）A.\(3\)，\(4\)，\(5\)B.\(5\)，\(12\)，\(13\)C.\(7\)，\(24\)，\(25\)D.\(8\)，\(15\)，\(17\)答案：ABCD6.以下屬于相似三角形判定定理的有（）A.兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似B.兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似C.三邊成比例的兩個(gè)三角形相似D.有一個(gè)角相等的兩個(gè)三角形相似答案：ABC7.二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）的圖象性質(zhì)，說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)\(a\gt0\)時(shí)，圖象開(kāi)口向上B.對(duì)稱(chēng)軸為\(x=-\frac{2a}\)C.頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((-\frac{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a})\)D.當(dāng)\(a\lt0\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)的增大而減小答案：ABC8.下列事件中，是隨機(jī)事件的有（）A.明天會(huì)下雨B.打開(kāi)電視，正在播放廣告C.拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面朝上D.太陽(yáng)從東方升起答案：ABC9.一個(gè)圓錐的底面半徑為\(3\)，母線長(zhǎng)為\(5\)，則以下說(shuō)法正確的是（）A.圓錐的側(cè)面積為\(15\pi\)B.圓錐的底面積為\(9\pi\)C.圓錐的全面積為\(24\pi\)D.圓錐的高為\(4\)答案：ABCD10.若點(diǎn)\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)在反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)）的圖象上，且\(x_1\ltx_2\lt0\)時(shí)，\(y_1\lty_2\)，則\(k\)的值可以是（）A.\(-1\)B.\(-2\)C.\(1\)D.\(2\)答案：AB三、判斷題1.無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。（）答案：對(duì)2.三角形的外角和是\(360^{\circ}\)。（）答案：對(duì)3.一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形。（）答案：錯(cuò)4.若\(a\gtb\)，則\(ac^{2}\gtbc^{2}\)。（）答案：錯(cuò)5.圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。（）答案：對(duì)6.數(shù)據(jù)的方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大。（）答案：對(duì)7.二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)），當(dāng)\(b=0\)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸是\(y\)軸。（）答案：對(duì)8.兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。（）答案：錯(cuò)9.不等式組\(\begin{cases}x\gt2\\x\lt3\end{cases}\)的解集是\(2\ltx\lt3\)。（）答案：對(duì)10.分式方程\(\frac{1}{x-2}=1\)的解是\(x=3\)。（）答案：對(duì)四、簡(jiǎn)答題1.化簡(jiǎn)：\((\frac{x^{2}}{x-1}-\frac{1}{x-1})\div\frac{x+1}{x}\)答案：先對(duì)括號(hào)內(nèi)進(jìn)行計(jì)算，\(\frac{x^{2}}{x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{x^{2}-1}{x-1}=\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1\)。然后將除法轉(zhuǎn)化為乘法，\((x+1)\div\frac{x+1}{x}=(x+1)\times\frac{x}{x+1}=x\)。2.已知一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和是外角和的\(3\)倍，求這個(gè)正多邊形的邊數(shù)。答案：設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為\(n\)。多邊形外角和為\(360^{\circ}\)，內(nèi)角和公式為\((n-2)\times180^{\circ}\)。由內(nèi)角和是外角和的\(3\)倍，可得\((n-2)\times180=3\times360\)，展開(kāi)得\(180n-360=1080\)，移項(xiàng)得\(180n=1440\)，解得\(n=8\)，即邊數(shù)為\(8\)。3.已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)\((1,3)\)和\((-1,-1)\)，求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式。答案：把點(diǎn)\((1,3)\)和\((-1,-1)\)代入\(y=kx+b\)中，得到方程組\(\begin{cases}k+b=3\\-k+b=-1\end{cases}\)，將兩式相加，得\(2b=2\)，解得\(b=1\)，把\(b=1\)代入\(k+b=3\)，得\(k=2\)，所以一次函數(shù)表達(dá)式為\(y=2x+1\)。4.如圖，在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(\angleBAC=120^{\circ}\)，\(AD\perpBC\)于點(diǎn)\(D\)，求\(\angleBAD\)的度數(shù)和\(BD\)與\(AB\)的數(shù)量關(guān)系。答案：因?yàn)閈(AB=AC\)，\(AD\perpBC\)，所以\(AD\)平分\(\angleBAC\)。又因?yàn)閈(\angleBAC=120^{\circ}\)，所以\(\angleBAD=\frac{1}{2}\angleBAC=60^{\circ}\)。在\(Rt\triangleABD\)中，\(\angleB=30^{\circ}\)，根據(jù)\(30^{\circ}\)所對(duì)直角邊是斜邊的一半，可得\(BD=\frac{\sqrt{3}}{2}AB\)。五、討論題1.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)\(y=x^{2}-2x-3\)的圖象與\(x\)軸交于\(A\)、\(B\)兩點(diǎn)（點(diǎn)\(A\)在點(diǎn)\(B\)左側(cè)），與\(y\)軸交于點(diǎn)\(C\)。請(qǐng)討論如何求\(\triangleABC\)的面積。答案：首先求\(A\)、\(B\)、\(C\)三點(diǎn)坐標(biāo)。令\(y=0\)，即\(x^{2}-2x-3=0\)，分解因式得\((x-3)(x+1)=0\)，解得\(x_1=3\)，\(x_2=-1\)，所以\(A(-1,0)\)，\(B(3,0)\)。令\(x=0\)，得\(y=-3\)，即\(C(0,-3)\)。\(AB\)的長(zhǎng)度為\(3-(-1)=4\)，\(OC\)的長(zhǎng)度為\(3\)。根據(jù)三角形面積公式\(S=\frac{1}{2}\times底\times高\(yùn))，\(\triangleABC\)以\(AB\)為底，\(OC\)為高，所以面積為\(\frac{1}{2}\times4\times3=6\)。2.已知在\(\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=6\)，\(BC=8\)，點(diǎn)\(P\)從點(diǎn)\(A\)出發(fā)，沿\(AC\)邊向點(diǎn)\(C\)以\(1\)個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)\(Q\)從點(diǎn)\(C\)出發(fā)，沿\(CB\)邊向點(diǎn)\(B\)以\(2\)個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度移動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為\(t\)秒（\(0\ltt\lt4\)），討論何時(shí)\(\trianglePCQ\)的面積為\(5\)。答案：根據(jù)題意，\(AP=t\)，則\(PC=6-t\)，\(CQ=2t\)。因?yàn)閈(\trianglePCQ\)是直角三角形，其面積\(S=\frac{1}{2}PC\cdotCQ\)。當(dāng)\(S=5\)時(shí)，\(\frac{1}{2}(6-t)\times2t=5\)，展開(kāi)得\(6t-t^{2}=5\)，移項(xiàng)化為標(biāo)準(zhǔn)形式\(t^{2}-6t+5=0\)，分解因式得\((t-1)(t-5)=0\)，解得\(t_1=1\)，\(t_2=5\)，又因?yàn)閈(0\ltt\lt4\)，所以\(t=1\)時(shí)，\(\trianglePCQ\)的面積為\(5\)。3.討論如何證明三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。答案：已知\(\triangleABC\)中，\(D\)、\(E\)分別是\(AB\)、\(AC\)的中點(diǎn)。延長(zhǎng)\(DE\)到\(F\)，使\(EF=DE\)，連接\(CF\)。可證\(\triangleADE\cong\triangleCFE\)（\(SAS\)），則\(AD=CF\)，\(\angleADE=\angleF\)，所以\(AB\paral