第二十三章圖形的相似·培優(yōu)卷【華東師大版】參考答案與試題解析第Ⅰ卷一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（3分）（24-25八年級下·山東威?！て谀┤鐖D，在銳角三角形、矩形、正六邊形外加寬度一樣的外框，外框邊與原圖形對應(yīng)邊平行，則外框與原圖一定相似的是（

）A．正六邊形 B．矩形和正六邊形C．三角形和矩形 D．三角形和正六邊形【答案】D【分析】本題主要考查了相似圖形的定義，根據(jù)相似多邊形的判定定理對各個選項進(jìn)行分析，從而確定最后答案，解題的關(guān)鍵是正確理解邊數(shù)相同、各角對應(yīng)相等、各邊對應(yīng)成比例的兩個多邊形是相似多邊形．【詳解】解：矩形不相似，因為其對應(yīng)角的度數(shù)一定相同，但對應(yīng)邊的比值不一定相等，不符合相似的條件；銳角三角形的原圖與外框相似，因為其三個角均相等，三條邊均對應(yīng)成比例，符合相似的條件；正六邊形相似，因為它們的邊長都對應(yīng)成比例、對應(yīng)角都相等，符合相似的條件；故選：D．2．（3分）（24-25九年級上·甘肅蘭州·期中）下列四組線段中，是成比例線段的一組是（

）A．3，6，4，7 B．5，6，7，8 C．2，4，6，8 D．4，2，10，5【答案】D【分析】本題考查了成比例線段．根據(jù)成比例線段的定義，若四條線段滿足前兩條的比等于后兩條的比，則它們成比例，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：A．前兩條的比36=1B．前兩條的比56，后兩條的比7C．前兩條的比24=1D．前兩條的比42=2，后兩條的比故選：D．3．（3分）（2025·江蘇揚州·三模）大自然是美的設(shè)計師，即使是一片小小的樹葉，也蘊含著“黃金分割”，P為AB的黃金分割點AP>PB，如果AB的長度為10cm，那么PB的長度約為（

A．3.82 B．4.82 C．6.18 D．6.28【答案】A【分析】本題主要考查了黃金分割，根據(jù)黃金分割比例可得PA≈0.618AB，結(jié)合【詳解】解：∵P為AB的黃金分割點AP>∴PA≈0.618∴PB≈0.382故選：A．4．（3分）（24-25九年級上·遼寧沈陽·期末）野外考察隊根據(jù)當(dāng)?shù)氐匦萎嫵隽恕暗雀呔€示意圖”，如圖所示（注：若某地在等高線上，則其海拔就是其所在等高線的數(shù)值；若不在等高線上，則其海拔在相鄰兩條等高線的數(shù)值范圍內(nèi)），若A，B，C三點均在相應(yīng)的等高線上，且三點在同一直線上，則ABAC的值為（

A．12 B．23 C．35【答案】B【分析】本題考查平行線分線段成比例，推導(dǎo)AB與AC之比等于所對應(yīng)的海拔差之比是解題關(guān)鍵．畫出示意圖分別求得A與B、A與C的海拔差，求比值即可．【詳解】解：經(jīng)過線段AC且垂直海平面的平面截面圖如下，其中AF、BG、CH垂直海平面，BD垂直AF于點D，BE垂直則點A的海拔為AF=500m，點B的海拔為BG=300m，點∴DF=BG=300m，圖可知A與B的海拔差為AD=A與C的海拔差為AE=∵BD∥則ABAC故選：B．5．（3分）如圖，點A0,3，B1,0，將線段AB平移得到線段DC．若∠ABC=90°，A．7,2 B．7,5 C．5,6 D．6,5【答案】A【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變換—平移，相似三角形的判定和性質(zhì)，過點C作CH⊥x軸于點H，先證明△AOB∽△BHC【詳解】解：過點C作CH⊥x軸于點則∠BHC∵點A0,3，B∴OA=3∵∠AOB=90°，∴∠OAB+∠OBA∴∠OAB∵∠AOB∴△AOB∴BHAO∵BC=2∴BH=2OA=6∴點C坐標(biāo)為7,2，故選：A．6．（3分）（24-25八年級下·山東濰坊·期末）如圖是一塊含30°角的三角板，若內(nèi)外兩三角形斜邊長的比為1:3，則它們的面積比為（

）A．13 B．16 C．19【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)．相似三角形對應(yīng)邊成比例；相似三角形的面積比等于它們的相似比的平方．利用相似三角形的性質(zhì)得到兩個三角形的面積比等于邊長比的平方求解即可．【詳解】解：∵兩個三角形是含30°角的三角板，∴這兩個三角形相似，∵它們的斜邊之比為1:3，∴它們的面積之比為1:9，即它們的面積比為1故選：C．7．（3分）（2025·河北·中考真題）如圖，在五邊形ABCDE中，AE∥BC，延長BA，BC，分別交直線DE于點M，N．若添加下列一個條件后，仍無法判定△MAEA．∠B+∠4=180° B．CD∥AB C．【答案】D【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，平行線的性質(zhì)與判定，當(dāng)∠B+∠4=180°時，可證明CD∥BM，由平行線的性質(zhì)得到∠CDN=∠AME，∠AEM=∠CND，則可證明△MAE∽△DCN，據(jù)此可判斷A【詳解】解：A、∵∠B∴CD∥∴∠CDN∵AE∥∴∠AEM∴△MAE∽△DCNB、∵CD∥∴∠CDN∵AE∥∴∠AEM∴△MAE∽△DCNC、∵AE∥∴∠1+∠B∵∠1=∠4，∴∠B∴CD∥∴∠CDN∵AE∥∴∠AEM∴△MAE∽△DCND、根據(jù)∠2=∠3結(jié)合已知條件不能證明△MAE∽△DCN故選：D．8．（3分）（2025·四川遂寧·中考真題）在Rt△ABC中，∠C=90°,ABA．213 B．215 C．6 D【答案】A【分析】本題考查了角平分線和垂線的尺規(guī)作圖、角平分線的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)與判定是關(guān)鍵；先根據(jù)勾股定理求出AC，設(shè)BG,AC交于點M，作MN⊥AB于點N，如圖，利用角平分線的性質(zhì)可得CM=MN，利用等積法求出CM【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∴AC=由題意可得：BG平分∠ABC，即∠設(shè)BG,AC交于點M，作MN⊥則CM=設(shè)CM=∵S△∴12即5×12=5x解得：x=103則BM=由作圖痕跡可知：AQ⊥∴∠AQB∵∠CBG∴△ABQ∴AQCM=AB解得：AQ=2故選：A.9．（3分）（24-25九年級下·山東煙臺·期末）兩個直角三角形的三邊長分別為5,12,m和10,24,n，且這兩個直角三角形不相似，則m+A．26+2119 B．C．13+119或26+2119 D．13+2【答案】D【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)與勾股定理，分情況討論直角三角形的斜邊結(jié)合不相似是解決本題的關(guān)鍵．分情況討論直角三角形中直角邊和斜邊，再結(jié)合勾股定理求解m和n，由“不相似”這一條件再進(jìn)行取舍即可．【詳解】解：第一個直角三角形的三邊長為5,12,m當(dāng)5和12為直角邊，m為斜邊時，由勾股定理可得m=當(dāng)5和m為直角邊，12為斜邊時，由勾股定理可得m=第二個直角三角形的三邊長為10,24,n當(dāng)10和24為直角邊，n為斜邊時，由勾股定理可得n=當(dāng)10和n為直角邊，24為斜邊時，由勾股定理可得n=當(dāng)兩個直角三角形的三邊長分別為5,12,13和10,24,26時，由510當(dāng)兩個直角三角形的三邊長分別為5,119,12和由510經(jīng)檢驗，當(dāng)兩個直角三角形的三邊長分別為5,12,13和10,2119以及兩個直角三角形的三邊長分別為5,119,12和則m+n=13+2故選：D．10．（3分）如圖，正方形ABCD邊長為2，BM、DN分別是正方形的兩個外角的平分線，點P，Q分別是平分線BM、DN上的點，且滿足∠PAQ＝45°，連接PQ、PC、CQ．則下列結(jié)論：①BP?DQ＝3.6；②∠QAD＝∠APB；③∠PCQ＝135°；④BPA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】運用正方形的性質(zhì)；角平分線的定義；全等三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定和性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)綜合推理判斷．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=2，∠BAD=90°，∵∠PAQ＝45°，∴∠BAP+∠QAD=45°，∵BM是正方形的外角的平分線，∴∠MBC=135°，∴∠BAP+∠APB=45°，∴∠QAD＝∠APB，∴②正確；∵BM、DN分別是正方形的兩個外角的平分線，∴∠ABP=∠QDA=135°，∵∠QAD＝∠APB，∴△ABP∽△QDA，∴BP：DA=BA：DQ，∴BP?DQ＝BA∴①錯誤；∵△ABP∽△QDA，∴BP：DA=BA：DQ，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∴BP：BC=DC：DQ，∵BM、DN分別是正方形的兩個外角的平分線，∴∠PBC=∠QDC=45°，∴△BPC∽△DCQ，∴∠BCP=∠DQC，∴∠PCQ=360°-∠BCD-∠BCP-∠DCQ=270°-（∠DQC+∠DCQ）=270°-（180°-∠CDQ）=135°.∴③正確；如圖，將△AQD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，連接PF．則△ABF≌△ADQ．∴∠1=∠3，AF=AQ，BF=DQ，∠AFB=∠AQD．∴∠PAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠PAQ=45°．∴∠PAF=∠PAQ．又∵AP=AP，∴△APF≌△APQ．∴PF=PQ．∵∠PBF=（∠AFB+∠1）+45°=（∠AQD+∠3）+45°=90°．∴在Rt△BPF中，BP∴BP∴④正確；故選C．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)；角平分線的定義；全等三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的判定和性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)．熟練掌握上述性質(zhì)，靈活運用旋轉(zhuǎn)構(gòu)圖求解是解題的關(guān)鍵.二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（3分）（24-25九年級上·貴州六盤水·期末）已知a，b，c均不為0，且a+b+【答案】2【分析】此題考查了比例的性質(zhì)．設(shè)b+ca=c+ab=a+bc【詳解】解：設(shè)b∴b+c=ak三式相加得，k∵a∴k=2∴mn故答案為：212．（3分）（24-25八年級下·山東煙臺·期中）如圖，AD∥BE∥FC，AB：【答案】9【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，根據(jù)平行線分線段成比例定理可得DEEF=AB【詳解】解：∵AD∥∴DEEF∴EF=故答案為：9．13．（3分）（2025·北京石景山·一模）如圖，將△ABC沿BC邊向右平移2個單位長度得到△DEF．若BC=4，陰影部分的面積為6，則△【答案】24【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平移的性質(zhì)，設(shè)AC與DE交于點G，根據(jù)平移的性質(zhì)及相似三角形的判定與性質(zhì)計算△ABC【詳解】解：如圖，設(shè)AC與DE交于點G．∵將△ABC沿BC邊向右平移2個單位長度得到△DEF∴BE=2，∴CE=BC∴CECB∵S△GECS∴S故答案為：24．14．（3分）（24-25九年級上·廣東東莞·期中）如圖所示為農(nóng)村一古老的搗碎器，已知支撐柱中的高（點A到點B的距離）為0.3米，踏板長（點D到點E的距離）為1.6米，支撐點A到踏腳D的距離為0.5米，原來搗頭點E著地，現(xiàn)在踏腳點D著地，則搗頭點E上升了米．（E點下面部分的彎頭長度忽略不計）【答案】0.96【分析】設(shè)點E的著地點為F，根據(jù)題意，得AB∥EF，則本題考查了三角形相似的生活應(yīng)用，熟練掌握三角形相似的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)點E的著地點為F，根據(jù)題意，得AB∥∴△BAD∴BAEF∵BA=0.3,∴0.3EF解得EF=0.96故答案為：0.96．15．（3分）（2025·河北邯鄲·三模）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，圖中的點都在網(wǎng)格線的交點上．將點F,G,H,I分別與點D，E連接，得到△FED【答案】△【分析】本題主要考查相似三角形的判定，分別計算出每個三角形的邊長，依據(jù)三邊對應(yīng)成比例進(jìn)行判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：△ABC的三邊長分別為：AB=12+△DEF的三邊長分別為：DE=2，EF=∵BCED∴△ABC與△△DEG的三邊長分別為：DE=2，EG=∴BCDE∴△ABC△DEH的三邊長分別為：DE=2，EH=∴BCDE∴△ABC與△△DEI的三邊長分別為：DE=2，EI=∴BCDE∴△ABC與△故答案為：△GED16．（3分）如圖，點D是等邊△ABC邊BC上一點，將等邊△ABC折疊，使點A與點D重合，折痕為EF（點E在邊（1）當(dāng)點D為BC的中點時，AE:EB=（2）當(dāng)點D為BC的三等分點時，AE:EB=【答案】1:17:5或7:8【分析】（1）連接AD，根據(jù)三線合一和折疊得到∠DAB=30°,∠ADB=90°，進(jìn)而得到∠EDB（2）分兩種情況，DC:BD=1:2和DC:BD=2:1，用k表示DC和BD，然后利用相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的周長比等于相似比，即可求出【詳解】解：（1）如圖，連接AD，∵D為BC的中點，△ABC為等邊三角形，△AEF折得到△∴AD⊥∴∠EDB∴△BED∴AE=ED=故答案為：1:1；（2）當(dāng)DC:設(shè)CD=∴AB=∵△ABC∴∠EDF∴∠EDB∴∠∵∠B∴△BED∴BEDC∴BEk∴BE=∴AE:當(dāng)DC:設(shè)CD=2同上一種情況得：BEDC∴BE2∴BE=∴AE:故答案為：7:5或7:8．【點睛】本題考查了三角形與折疊問題，等邊三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理并靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．第Ⅱ卷三．解答題（共8小題，滿分72分）17．（6分）（24-25九年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）已知a、b、c是△ABC的三邊長，且a(1)4a(2)若△ABC的周長為24【答案】(1)11(2)a【分析】此題主要考查了比例的性質(zhì)，正確表示出各邊長是解題關(guān)鍵．（1）直接設(shè)a=3x，b=5（2）直接設(shè)a=3x，b=5【詳解】（1）解：∵a設(shè)a=3x，b=5∴4（2）解：設(shè)a=3x，b=5∵△ABC的周長為24可得3x解得x=2∴a=6,18．（6分）（24-25九年級上·河北滄州·期中）如圖，已知直線l1、l2、l3分別截直線l4于點A、B、C，截直線l5

(1)如果AB=4,BC=8,(2)如果DE:EF=2:3,【答案】(1)12(2)6【分析】本題考查的是平行線分線段成比例，掌握“兩條直線被一組平行線所截的對應(yīng)線段成比例”是解題的關(guān)鍵．（1）由l1∥l（2）由l1∥l2∥l3【詳解】（1）解：∵l∴AB∵AB=4，BC=8∴4∴EF（2）解：∵l∴AB∵DE∴AB∴AC∴AB19．（8分）（24-25九年級上·重慶南岸·開學(xué)考試）如圖，在?ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，∠CAB=∠ACB，過點B作BE⊥(1)求證：△ABO(2)若AB=10,AC=16【答案】(1)證明見詳解(2)OE的長為9【分析】本題主要考查菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握菱形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意可證平行四邊形ABCD是菱形，則AC⊥BD，由垂直的定義可得∠AOB（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AC⊥BD,OA=8，由勾股定理得到OB=6，由（【詳解】（1）證明：∵∠BAC∴BA=∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴平行四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥∴∠AOB∴∠OBE∵BE⊥∴∠OBE∴∠OBA∴△ABO（2）解：∵平行四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，在Rt△AOB中，由（1）可知△ABO∴AOBO∴86解得，EO=∴OE的長為9220．（8分）（24-25九年級上·貴州貴陽·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，點P是△ABC的邊(1)請判斷三人的對錯：小星______，小紅_______，小亮______．（填“對”“錯”）(2)選擇一種正確的方法求證：△ACP【答案】(1)小星和小紅對，小亮錯(2)見解析【分析】本題主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．（1）有兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，據(jù)此可得小星的結(jié)果；有兩邊對應(yīng)成比例，且它們的夾角相等的兩個三角形相似，據(jù)此可得小紅的結(jié)果；有兩邊對應(yīng)成比例，且一組角對應(yīng)相等（不是成比例的兩邊的夾角）的兩個三角形不一定相似，據(jù)此可得小亮的結(jié)果；（2）見解析（1）．【詳解】（1）解：小星和小紅對，小亮錯，證明如下：小星的證明：∵∠ACP∴△ACP小紅的證明：∵APAC∴△ACP小亮的證明：由ACCP=BC∴小星和小紅對，小亮錯；（2）證明：小星的證明：∵∠ACP∴△ACP小紅的證明：∵APAC∴△ACP21．（10分）（24-25八年級下·江蘇蘇州·期末）如圖，△ABC和△ADE的頂點A重合，∠BAD(1)若AB=3AD，BC=4(2)連接BD,CE，求證：【答案】(1)4(2)見解析【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)兩角相等證明△BAC（2）由△BAC∽△DAE，得到AB【詳解】（1）解：∵∠BAD∴∠BAC∵∠B∴△BAC∴DEBC∵AB=3AD，∴DE4∴DE=（2）證明：如圖，∵△BAC∴ABAD∴ABAC∵∠BAD∴△ABD22．（10分）（2025·浙江紹興·三模）如圖，△ABC中，BC=12，S△ABC=36，點D是邊AB上一點，過點D作DE∥BC交AC于點E，以DE為邊作矩形DEFG(1)當(dāng)AD=BD時，求矩形(2)當(dāng)DE經(jīng)過△ABC的重心時，求矩形DEFG【答案】(1)18(2)16【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形重心的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，是解題的關(guān)鍵；（1）過點A作AH⊥BC，得出△DBG∽△ABH，證明△ADE∽△（2）同（1）可得DG=13AH，【詳解】（1）解：如圖，過點A作AH⊥∵AD∴AD∵四邊形DEFG是矩形，∴DG∴AH∴△∴DG即DG∵DE∴△∴DE∴DE∴S∵S△∴矩形DEFG的面積為18（2）解：DE經(jīng)過△ABC∴ADAB同（1）可得DG=1∴S∵S△∴矩形DEFG的面積為1623．（12分）（24-25八年級下·江蘇蘇州·期末）綜合與實踐：打卡“圓融”雕塑．【了解】如圖①，金雞湖畔的“圓融”雕塑由兩個動態(tài)扭轉(zhuǎn)的圓緊密相疊而成，外圓內(nèi)方，兩種彼此矛盾的元素共存于一體，向世人昭示海納百川、兼容并蓄、和諧為本的獨特情懷．站在“圓融”雕塑正面取景，當(dāng)?shù)袼茼敳?、被拍攝者的頭頂和相機(jī)鏡頭在同一條直線上時，拍攝的照片視覺效果最佳．【測高】如圖②，小明在距離“圓融”雕塑底部A的20m的地面垂直放置一根標(biāo)桿EF，然后沿水平直線AE后退2m至點C處，調(diào)整高度使眼睛D恰好通過標(biāo)桿頂端F看到雕塑的頂部B．經(jīng)測量，小明的眼睛距離地面的高度CD=1m，標(biāo)桿EF=2【應(yīng)用】如圖③，小明在點G處為站在點M處的哥哥拍攝了一張視覺效果最佳的照片，已知哥哥身高M(jìn)N=1.7m，此時相機(jī)鏡頭距離地面的高度GH=1m．然后，他們互換位置，哥哥在點G處為站在點M處的小明也拍攝了一張視覺效果最佳的照片，已知小明身高M(jìn)P=1.6m，求此時相機(jī)鏡頭距離地面的高度【答案】[測高]雕塑頂部距離地面的高度AB為12m[應(yīng)用]此時相機(jī)鏡頭距離地面的高度GQ約為0.9m【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．[測高]如圖②，延長BD，AC交于M，由AB⊥AC，EF⊥AC，DC⊥[應(yīng)用]延長BH，AG交于T，由AB⊥AG，MN⊥AG，HG⊥AG，得到AB∥MN∥HG，推出△HGT∽△NMT∽△BAT，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到AT=22TG，設(shè)TG=xm，則【詳解】解：[測高]如圖②，延長BD，AC交于M，∵AB⊥AC，EF⊥∴AB∥∴△CDM∴CMAM=CD∴CM20+2+CM=∴AB=12答：雕塑頂部距離地面的高度AB為22m[應(yīng)用]延長BH，AG交于T，∵AB⊥AG，MN⊥∴AB∥∴△HGT∴MNAB=MT∴1.722=MT∴AT=22∴TM=1.7設(shè)TG=xm，則AT∴AG=21xm過Q作QS⊥AB于S交MN于則AS=RM=QG，∵PR∥∴△QPR∴PRBS∴1.6-QG∴QG≈0.9答：此時相機(jī)鏡頭距離地面的高度GQ約為0.9m24．（12分）（2025·吉林長春·一模）如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=6，AB=8，D為邊AC的中點．點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AB運動到點B停止；同時點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿折線BC-CD運動到點D停止，當(dāng)點Q(1