導(dǎo)數(shù)在解高考題中的應(yīng)用案例分析1.1函數(shù)極值的充分條件解高考題（2018全國卷Ⅲ理21）設(shè)函數(shù),(Ⅰ)若,證明當(dāng)時,;當(dāng)時，.(Ⅱ)若是的極大值點(diǎn),求的值.證明：（Ⅰ）略(Ⅱ)方法一：（1）若,由(Ⅰ)得，當(dāng)時，,這與是的極大值點(diǎn)矛盾.（2）若,設(shè)函數(shù).因為當(dāng)，，故與同號，且,故是的極大值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)是的極大值點(diǎn)..①若,則當(dāng)且時,,故不是的極大值點(diǎn).②若,則存在根,故當(dāng)且時，,故不是的極大值點(diǎn).③若,則.當(dāng)時,當(dāng)時,.因此是的極大值點(diǎn),即是的極大值點(diǎn).所以，.方法二：對求導(dǎo)得,,;,;,;,.因為是的極大值點(diǎn),故,則,從而.下證當(dāng)時,是的極大值點(diǎn).此時故在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減.當(dāng)時,;當(dāng)時,.故在單調(diào)遞增,單調(diào)遞減.所以是的極大值點(diǎn).因此，當(dāng)是的極大值點(diǎn)時,.根據(jù)以上結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)已知是的極限，求解參數(shù)的值時，兩種方法明顯的差距。方法一采用了分類討論的思想，這種方法好處在于可以保證不重不漏地找到參數(shù)的值，缺點(diǎn)在于做起來比較費(fèi)時費(fèi)力，且對于討論的參數(shù)界定值不容易確定；方法二利用了判斷函數(shù)極值的充分條件，優(yōu)點(diǎn)在于求解方便簡單，只需對函數(shù)逐階求導(dǎo)，利用條件判斷即可，大大提高了解題效率。1.2洛必達(dá)法則解高考題（2017年全國卷Ⅱ文20）設(shè)函數(shù).(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性.(Ⅱ)當(dāng)時,.求的取值范圍.解：(Ⅰ)略(Ⅱ)解法一：由題意得，.①當(dāng),令,則.所以在區(qū)間上單調(diào)遞減,且,從而.則.②當(dāng)時,令,則.所以在區(qū)間單調(diào)遞增,且,從而.因此,當(dāng)時,.又因為取,則且=0.所以.③當(dāng)時，取,則,且.綜上所述,.解法二：當(dāng)時,,有令,,對求導(dǎo)得當(dāng)時,,即,從而在上為減函數(shù).由洛必達(dá)法則得,所以，根據(jù)以上結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在討論的取值范圍時，兩種方法同樣也存在明顯的差距。方法一對的取值進(jìn)行分類討論，過程中構(gòu)造了不少新的函數(shù)，用新函數(shù)的性質(zhì)來反映參數(shù)取值的情況，這種方法計算比較麻煩且容易出錯。方法二一開始便采用了分離變量法，但出現(xiàn)了我們不愿看到的情況--分離出的函數(shù)當(dāng)自變量趨于某一個要研究的定值時為型不定式極限。因此采用洛必達(dá)法則求解此極限得到參數(shù)取值范圍的邊界值更簡單直接，效率更高。1.3拉格朗日定理解高考題（2007全國Ⅰ卷理20）設(shè)函數(shù)，（Ⅰ）證明：的導(dǎo)數(shù).（Ⅱ）證明：若對所有，都有，則的取值范圍.證明：（Ⅰ）略（Ⅱ）解法一：令，則.①當(dāng)，時，.則在區(qū)間上為增函數(shù).所以當(dāng),,即.②當(dāng)，時，取正根.若，則，在此區(qū)間單調(diào)遞減.故，即,與題意不符合.所以的取值范圍為.解法二：當(dāng)時，，從而.令，由拉格朗日定理知，在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)（）使得，所以.將代入原函數(shù)并求導(dǎo)得：.因為，，所以,故在區(qū)間上單調(diào)增.讓趨近于0得,.所以的取值范圍是.對比分析：解法一是比較常規(guī)求參數(shù)取值范圍的方法（構(gòu)造一個人含所求參數(shù)的新函數(shù)），優(yōu)點(diǎn)在于簡單易懂，學(xué)生可以按部就班地一一對參數(shù)的取值范圍進(jìn)行討論，但是做起來比較麻煩，學(xué)生有時候也容易出現(xiàn)忘記討論參數(shù)某一種情況的時候。解法二首先將所求參數(shù)分離出來，再構(gòu)造新函數(shù)，利用拉格朗日中值定理求參數(shù)的取值范圍，優(yōu)點(diǎn)是借助中值定理這個工具，計算更簡單快捷，