2023屆高三第一次大質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)2022.09本試卷共6頁，22小題，滿分150分。考試時間120分鐘。注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上。將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合M＝{x|eq\f(x＋4,x－3)≤0}，N＝{x|(eq\f(1,3))x≤3}，則M∩N＝A．[－4，－1]B．[－4，3)C．[－1，3)D．[－1，3]2．已知b＞0，則“a＞b＋1”是“EQ\R(,a)＞EQ\R(,b)＋1”的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．函數(shù)f(x)＝EQ\F(cos2x,2\S\UP6(－x)－2\S(x))的部分圖象大致為4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，c所對的邊分別為a，b，c，則下列條件能確定三角形有兩解的是A．a(chǎn)＝5，b＝4，A＝eq\f(π,6)B．a(chǎn)＝4，b＝5，A＝eq\f(π,4)C．a(chǎn)＝5，b＝4，A＝eq\f(5π,6)D．a(chǎn)＝4，b＝5，A＝eq\f(π,3)5．通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，古希臘數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用2sin18°表示，即eq\f(\r(,5)－1,2)＝2sin18°．記m＝2sin18°，則EQ\F(\R(,1＋cos36°),\b\bc\((\l(m\S(2)－2))·sin144°)＝A．－eq\r(,2)B．－2C．eq\r(,2)D．eq\r(,5)－16．已知過點A(a，0)作曲線y＝(1－x)ex的切線有且僅有1條，則a＝A．－3B．3C．－3或1D．3或17．設(shè)a＝eq\f(2,21)，b＝lneq\f(25,21)，c＝sineq\f(2,21)，則A．c＜b＜aB．a(chǎn)＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b8．如圖是一個近似扇形的湖面，其中OA＝OB＝r，弧AB的長為l(l＜r)．為了方便觀光，欲在A，B兩點之間修建一條筆直的走廊AB．若當(dāng)0＜x＜eq\f(1,2)時，sinx≈x－EQ\F(x\S(3),6)，扇形OAB的面積記為S，則eq\f(AB,S)的值約為A．eq\f(2,l)－EQ\F(r\S(2),12l\S(3))B．eq\f(2,r)－EQ\F(l\S(2),12r\S(3))C．eq\f(1,l)－EQ\F(r\S(2),24l\S(3))D．eq\f(1,r)－EQ\F(l\S(2),24r\S(3))二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。9．設(shè)a＞0，b＞0，a＋b＝1，則下列不等式中一定成立的是A．a(chǎn)b≤eq\f(1,4)B．EQ\R(,a)＋EQ\R(,b)≥eq\r(,2)C．2a＋2b≥2eq\r(,2)D．eq\f(b,a)＋\f(4,b)≥810．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2))的部分圖象如圖所示，則A．ω＝2B．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(2π,3)對稱C．f(x)＝2cos(2x－eq\f(π,6))D．f(x)在[－eq\f(5π,6)，－eq\f(π,3)]上的值域為[－2，1]11．對于定義域為[0，＋∞)的函數(shù)y＝f(x)，若同時滿足下列條件：①?x∈[0，＋∞)，f(x)≥0；②?x≥0，y≥0，f(x＋y)≥f(x)＋f(y)，則稱函數(shù)f(x)為“H函數(shù)”．下列結(jié)論正確的是A．若f(x)為“H函數(shù)”，則其圖象恒過定點(0，0)B．函數(shù)eqf(x)＝\B\lc\{(\a\al(1，x為有理數(shù)，,0，x為無理數(shù)))在[0，＋∞)上是“H函數(shù)”C．函數(shù)f(x)＝[x]在[0，＋∞)上是“H函數(shù)”([x]表示不大于x的最大整數(shù))D．若f(x)為“H函數(shù)”，則f(x)一定是[0，＋∞)上的增函數(shù)12．已知x1，x2分別是函數(shù)f(x)＝ex＋x－2和g(x)＝lnx＋x－2的零點，則A．x1＋x2＝2B．eeq\s\up6(x\s\do(1))＋lnx2＝2C．x1x2＞eq\f(\r(,e),2)D．x12＋x22＜3三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若sin(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(\r(,3),2)，則tanα＋eq\f(1,tanα)＝．14．已知△ABC的面積為2eq\r(,3)，AB＝2，AC＝4，則△ABC的中線AD長的一個值為．15．某容量為V萬立方米的小型湖，由于周邊商業(yè)過度開發(fā)，長期大量排放污染物，水質(zhì)變差，今年政府準備治理，用沒有污染的水進行沖洗．假設(shè)每天流進和流出的水均為r萬立方米，下雨和蒸發(fā)正好平衡．用函數(shù)g(t)表示經(jīng)過t天后的湖水污染質(zhì)量分數(shù)，已知g(t)＝g(0)eeq\s\up6(－\f(r,V)t)，其中g(shù)(0)表示初始湖水污染質(zhì)量分數(shù)．如果V＝200，r＝4，要使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的10%以下，至少需要經(jīng)過天．(參考數(shù)據(jù)：ln10≈2.303)16．已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f′(－x)＞2f(x)，且f(3)＝0，則不等式f(x)＞0的解集為．四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．(10分)已知數(shù)列{an}滿足a1＝eq\f(1,2)，a2＝1，2an＋2－an＝an＋1．(1)證明：數(shù)列{an＋1－an}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．18．(12分)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．(1)若C＝2A，a＝2，b＝3，求c；(2)若a2＋eq\f(1,5)b2＝c2，求證：3tanA＝2tanC．19．(12分)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C⊥底面ABC，側(cè)面AA1C1C是菱形，∠A1AC＝60°，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2．(1)若D為A1C的中點，求證：AD⊥A1B；(2)求二面角A－A1C－B1的正弦值．20．(12分)某校組織圍棋比賽，每場比賽采用五局三勝制(一方先勝三局即獲勝，比賽結(jié)束)，比賽采用積分制，積分規(guī)則如下：每場比賽中，如果四局及四局以內(nèi)結(jié)束比賽，取勝的一方積3分，負者積0分；五局結(jié)束比賽，取勝的一方積2分，負者積1分．已知甲、乙兩人比賽，甲每局獲勝的概率為eq\f(1,2)．(1)在一場比賽中，甲的積分為X，求X的概率分布列；(2)求甲在參加三場比賽后，積分之和為5分的概率．21．(12分)已知A′，A分別是橢圓C：EQ\F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的左、右頂點，B，F(xiàn)分別是C的上頂點和左焦點．點P在C上，滿足PF⊥A′A，AB∥OP，|FA′|＝2－eq\r(,2)．(1)求C的方程；(2)過點F作直線l(與x軸不重合)交C于M，N兩點，設(shè)直線AM，AN的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值．22．(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝xlnx，g(x)＝eq\f(x,x＋1)．(1)若直線y＝eq\f(1,2)x＋b是曲線f(x)的一條切線，求b的值；(2)證明：①當(dāng)0＜x＜1時，g(x)f(x)＞eq\f(1,2)x(x－1)；②?x＞0，g(x)－f(x)＜eq\f(2,e)．(e是自然對數(shù)的底數(shù)，e≈2.718)參考答案：1．C【分析】首先通過求解分式不等式化簡集合，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化簡集合，最后利用集合間的交運算即可求解.【詳解】∵∴由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，，從而，故.故選：C.2．B【解析】從充分性和必要性兩方面進行討論即可.【詳解】充分性：當(dāng)，時充分性不成立；必要性：由可得，即，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B【點睛】本題主要考查充要條件的判定，涉及到不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3．C【分析】結(jié)合已知條件，利用函數(shù)奇偶性可判斷B；通過判斷在上的符號可判斷D；通過判斷在上的零點個數(shù)可判斷AC.【詳解】由題意可知，的定義域為，因為，所以，故為奇函數(shù)，從而的圖像關(guān)于原點對稱，故B錯誤；當(dāng)時，且，此時，故D錯誤；因為在上有無數(shù)個零點，所以在上也有無數(shù)個零點，故A錯誤，C正確.故選：C.4．B【分析】結(jié)合已知條件和正弦定理即可求解.【詳解】對于A：由正弦定理可知，∵，∴，故三角形有一解；對于B：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有兩解；對于C：由正弦定理可知，∵為鈍角，∴B一定為銳角，故三角形有一解；對于D：由正弦定理可知，，故故三角形無解.故選：B.5．C【分析】將代入，根據(jù)恒等變換公式化簡，即可求得結(jié)果.【詳解】，故選:C.6．C【分析】設(shè)出切點，對函數(shù)求導(dǎo)得出切線的斜率，利用點斜式方程寫出切線，將點代入，并將切線有且僅有條，轉(zhuǎn)化為方程只有一個根，列方程求解即可．【詳解】設(shè)切點為，由已知得，則切線斜率，切線方程為直線過點，則，化簡得切線有且僅有條，即，化簡得，即，解得或故選：C7．C【分析】根據(jù)，判斷的大小，由，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可得到.【詳解】由不等式可得，即；，設(shè)，因為，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，所以，即.所以.故選：C8．B【分析】由題可得，再根據(jù)扇形面積公式可得，結(jié)合條件即得.【詳解】設(shè)扇形的圓心角為，則，在中，，又，∴，又，∴.故選：B.9．ACD【分析】利用基本不等式及其變形求最值即可判斷.【詳解】A選項：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故A正確；B選項：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故B錯；C選項：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故C正確；D選項：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，故D正確.故選：ACD.10．AC【分析】結(jié)合函數(shù)圖像求出的解析式，進而判斷AC；利用代入檢驗法可判斷B；利用換元法和三角函數(shù)性質(zhì)求出在上的值域可判斷D.【詳解】由圖像可知，，，故A正確；從而，又由，，因為，所以，從而，故C正確；因為，所以不是的對稱軸，故B錯誤；當(dāng)時，則，因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為，，所以，故，即，從而，即在上的值域為，故D錯誤.故選：AC.11．AC【分析】結(jié)合函數(shù)新定義的概念利用賦值法即可求解.【詳解】對于A：不妨令，則，因為，，所以，故，故A正確；對于B：不妨令，，則，，，即，這與，，矛盾，故B錯誤；對于C：由題意可知，，，不妨令，其中為整數(shù)部分，為小數(shù)部分，則；再令，其中為整數(shù)部分，為小數(shù)部分，則；若，則；若，則，從而，，成立，故C正確；對于D：由題意可知，常函數(shù)為“H函數(shù)”，但不是增函數(shù)，故D錯誤.故選：AC.12．ABD【分析】把函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化兩個函數(shù)圖像交點的橫坐標，再結(jié)合反函數(shù)圖像的特點得到點和關(guān)于點對稱，根據(jù)可判斷A、B選項；結(jié)合基本不等式可以判斷C選項；利用特殊值的思路得到的范圍即可判斷D選項.【詳解】因為，分別是函數(shù)，的零點，所以，，那么，可以看做函數(shù)和與函數(shù)圖像交點的橫坐標，如圖所示，點，，分別為函數(shù)，，的圖像與函數(shù)圖像的交點，所以，因為函數(shù)和互為反函數(shù)，所以函數(shù)圖像關(guān)于的圖像對稱，的圖像也關(guān)于的圖像對稱，所以點和關(guān)于點對稱，，，故AB正確；因為，，所以，而，故C錯；當(dāng)時，函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值為，函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值為，因為，所以，所以的范圍為，那么，而，所以，故D正確.故選：ABD.13．4【分析】根據(jù)展開可得，從而求得，再由，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，即所以，平方可得，所以，所以故答案為：14．或【分析】結(jié)合已知條件和三角形面積公式求，然后利用余弦定理即可求解.【詳解】因為的面積為，所以，故或；①當(dāng)時，，故，因為，所以，故；②當(dāng)時，，故，在中，由余弦定理可知，在中，由余弦定理可知，，故.綜上所述，的中線長為或.故答案為：或.15．116【分析】根據(jù)題意列不等式，再結(jié)合對數(shù)計算公式解不等式即可.【詳解】設(shè)至少需要經(jīng)過天，因為要使湖水的污染水平下降到開始時污染水平的10%以下，所以，又因為，所以，由題意知，，，所以，整理得，，解得，所以至少需要經(jīng)過116天.故答案為：116.16．【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到，再根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)在時的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性、奇偶性和解不等式即可.【詳解】因為為奇函數(shù)，定義域為，所以，，又因為時，，所以，構(gòu)造函數(shù)，所以，所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，又因為，所以，在上大于零，在上小于零，又因為，所以當(dāng)時，在上大于零，在上小于零，因為為奇函數(shù)，所以當(dāng)時，在上小于零，在上大于零，綜上所述：的解集為.故答案為：.【點睛】常見的函數(shù)構(gòu)造形式：①，；②，.17．(1)見解析(2)【分析】(1)結(jié)合遞推公式利用等比數(shù)列的定義證明即可；(2)結(jié)合(1)中結(jié)論，利用累加法和等比數(shù)列求和公式即可求解.（1）因為，所以，從而，因為，，所以，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.（2）由(1)可知，，故當(dāng)時，，，，，，由各式相加可知，，故，當(dāng)時，也滿足，故數(shù)列的通項公式為：.18．(1)(2)見解析【分析】（1）由三角形內(nèi)角和，可表示出角，根據(jù)三角恒等式，結(jié)合正弦定理，可得的值，根據(jù)二倍角式，進而可得，由余弦定理，可得答案；（2）由題意，結(jié)合余弦定理與正弦定理，根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系式，可得答案.（1），，則，，，，由正弦定理，可得：，則，可得，解得，則，由余弦定理，，故.（2），，，由余弦定理，①，②，①與②相除可得：，，兩邊同除以，可得.19．(1)見解析(2)【分析】(1)結(jié)合已知條件和平面幾何關(guān)系知，然后利用面面垂直性質(zhì)和線面垂直性質(zhì)可知，最后利用線面垂直判定和性質(zhì)即可證明；(2)取的中點，然后利用面面垂直性質(zhì)證明底面，再建立空間直角坐標系，分別求出平面和平面的法向量，最后利用二面角的向量公式即可求解.（1）∵側(cè)面是菱形，∴，∵為的中點，∴，∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，，底面，∴側(cè)面，∵側(cè)面，∴，∵，∴平面，∵平面，∴.（2）取中點，連接，從而，又由，則，∵側(cè)面底面，側(cè)面底面，∴底面，以為坐標原點，以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如下圖：由已知條件和上圖可知，，，，，由題意可知，為平面的一個法向量，不妨設(shè)平面的一個法向量，因為，，從而，令，則，，即，設(shè)二面角為，由圖可知為鈍角，從而，即，故二面角的正弦值為.20．(1)見解析(2)【分析】(1)結(jié)合已知條件，可能取值為，，，，然后分析每種積分對應(yīng)的輸贏情況，然后利用二項分布和獨立事件的概率乘法求解即可；(2)結(jié)合(1)中結(jié)論，分析積分之和為5時三場比賽的積分情況，然后利用獨立事件的概率乘法求解即可.（1）由題意可知，可能取值為，，，，當(dāng)時，則前三場比賽都輸或前三場比賽贏一場且第四場比賽輸，則，當(dāng)時，前四場比賽贏兩場且第五場比賽輸，則；當(dāng)時，前四場比賽贏兩場且第五場比賽贏，則，當(dāng)時，前三場比賽都贏或前三場比賽贏兩場且第四場比賽贏，則，故的概率分布列如下：0123（2）設(shè)甲在參加三場比賽后，積分之和為5分為事件，則甲的三場比賽積分分別為1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，故，故甲在參加三場比賽后，積分之和為5分為.21．(1)(2)證明見解析，定值為【分