2025年統(tǒng)計學專業(yè)期末考試：抽樣調(diào)查方法與整群抽樣試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請將正確選項的代表字母填寫在題干后的括號內(nèi)）1.在概率抽樣中，每個單元被抽中的概率為零的是（）。A.簡單隨機抽樣B.系統(tǒng)抽樣C.整群抽樣D.多階段抽樣2.抽樣框質(zhì)量差可能導致哪種類型的抽樣誤差？（）A.無回答誤差B.測量誤差C.抽樣框誤差D.設計誤差3.某城市按地理區(qū)域劃分為100個相等的群，欲抽取10個群進行整群抽樣調(diào)查，采用隨機數(shù)表法抽取的群編號為3,12,25,38,51,64,77,90,3,15。若第10個群號重復，則有效抽取的群號個數(shù)為（）。A.9B.10C.8D.114.在整群抽樣中，為了提高估計的精度，通常需要（）。A.增加群內(nèi)方差B.減少群內(nèi)方差，增加群間方差C.減少群內(nèi)方差，減少群間方差D.增加群內(nèi)方差，減少群間方差5.已知總體單位數(shù)為N，群數(shù)為K，若從K個群中隨機抽取k個群，則每個群被抽中的概率為（）。A.N/kB.k/NC.k/KD.K/k6.整群抽樣中，若群內(nèi)單位數(shù)相等，計算樣本均值的公式為（）。A.∑(xij/nk)B.(∑ki/∑(ki-1))*∑(xij/k)C.∑(xij/k)/kD.∑(xij/n)7.比較簡單隨機抽樣和整群抽樣，下列說法錯誤的是（）。A.簡單隨機抽樣直接抽取總體單位，整群抽樣先分組再抽取群B.簡單隨機抽樣通常比整群抽樣成本高C.當群內(nèi)單位同質(zhì)性高時，整群抽樣效率高于簡單隨機抽樣D.整群抽樣通常比簡單隨機抽樣更容易實施8.整群抽樣的抽樣方差通常比同等規(guī)模的簡單隨機抽樣的抽樣方差（）。A.更大B.更小C.相等D.不確定9.在整群抽樣中，若要減小抽樣誤差，在其他條件不變的情況下，應（）。A.增加群數(shù)kB.減少群數(shù)kC.增加群內(nèi)方差D.減少群間方差10.整群抽樣中，若群內(nèi)單位數(shù)不相等，且需計算抽樣方差，通常需要知道（）。A.總體單位數(shù)NB.群數(shù)K和每個群的單位數(shù)kiC.總體均值μD.樣本均值x?二、填空題（每小題2分，共20分。請將答案填寫在題干后的橫線上）1.抽樣調(diào)查的核心特征是______和______。2.抽樣誤差是指樣本統(tǒng)計量與______之間的差異。3.整群抽樣中，將總體劃分為互不重疊的子集稱為______。4.整群抽樣的抽樣單位是______。5.若整群抽樣的抽樣比例k/N較小，且群內(nèi)方差較小，則其抽樣誤差近似于______抽樣的抽樣誤差。6.整群抽樣中，樣本均值x?的計算公式為______（假設群內(nèi)單位數(shù)相等）。7.整群抽樣中，群間方差σ2c2是影響抽樣精度的重要參數(shù)，其計算公式為______（其中xij為第i群第j個單位的值，x?i為第i群的均值，k為群數(shù)）。8.與整群抽樣相比，分層抽樣的主要優(yōu)點在于能夠______抽樣誤差。9.在整群抽樣中，若要獲得更高的抽樣效率，理想情況下希望群內(nèi)同質(zhì)性高，群間異質(zhì)性______。10.整群抽樣適用于總體單位______、分布______但群內(nèi)單位同質(zhì)性相對較高的情況。三、簡答題（每小題5分，共20分）1.簡述整群抽樣與分層抽樣的主要區(qū)別。2.影響整群抽樣抽樣誤差的主要因素有哪些？3.簡述整群抽樣中樣本量k的確定需要考慮哪些因素？4.在什么情況下，使用整群抽樣可能比簡單隨機抽樣更經(jīng)濟有效？四、計算題（每小題10分，共30分）1.某大學有20個學院（群），學院內(nèi)學生人數(shù)不等（群大小不同）?，F(xiàn)欲采用整群抽樣方法抽取5個學院進行調(diào)查。已知各學院學生平均成績（近似視為群均值）及各學院內(nèi)成績方差如下表所示（此處假設數(shù)據(jù)已給出，例如：學院1至20的均值x?i和方差s2i，以及各學院學生人數(shù)ki-可自行設定一套合理數(shù)據(jù)）。要求：請根據(jù)這些數(shù)據(jù)，計算整群抽樣的樣本均值估計值x?以及抽樣方差的無偏估計量s2c2。（請假設數(shù)據(jù)并完成計算過程）2.假設某地區(qū)共有1000個居民小區(qū)（N=1000），平均每個小區(qū)有50戶家庭（群大小k=50）?，F(xiàn)采用整群抽樣，隨機抽取了10個小區(qū)（k=10）。調(diào)查發(fā)現(xiàn)這10個小區(qū)的平均每戶收入為x?=15000元，且這10個小區(qū)的每戶收入方差（群內(nèi)方差）的平均值為s2i=500000元/戶2。要求：計算該地區(qū)每戶平均收入的整群抽樣估計值及其抽樣方差的估計值。（假設群內(nèi)方差相等）3.比較整群抽樣和簡單隨機抽樣在估計總體均值時的抽樣方差公式。當整群抽樣的群內(nèi)方差較大時，這種比較有何啟示？五、論述題（10分）結(jié)合實際應用場景，論述在什么情況下選擇整群抽樣可能是一個合適或必要的方法，并分析其可能存在的局限性。試卷答案一、選擇題1.C解析：整群抽樣中，通常每個群包含多個單元，但抽樣時是以群為單位進行，某個單元所在的群被抽中，則該單元一定進入樣本，其被抽中概率不為零；若群內(nèi)單元數(shù)等于1，則整群抽樣等同于簡單隨機抽樣，每個單元被抽中概率為1/N。但標準整群抽樣指群內(nèi)包含多個單元，故單個單元被抽中概率為零。2.C解析：抽樣框誤差是指由于抽樣框本身與目標總體存在差異（如缺失、重復、不準確單元）導致的誤差。題干描述的情況直接指向抽樣框誤差。3.C解析：有效抽取的群號為3,12,25,38,51,64,77,90,3（去重后為3,12,25,38,51,64,77,90），共8個。4.C解析：整群抽樣的估計精度取決于群內(nèi)方差和群間方差。為了提高估計精度，希望用樣本估計總體時，用差異較小的量。群內(nèi)方差越小，樣本均值x?對各群均值的代表性越好，抽樣誤差越小。群間方差越大，不同群之間的差異越大，若隨機抽中差異大的群，能更好地反映總體，但若抽中差異小的群，則精度不高。因此，理想狀態(tài)是群內(nèi)方差小，群間方差大。5.C解析：在簡單隨機抽樣中，每個單元被抽中的概率為n/N。在整群抽樣中，若采用等概率隨機抽取k個群，且群內(nèi)單位數(shù)固定為M，則每個群被抽中的概率為k/K。若群內(nèi)單位數(shù)不等，則每個單元被抽中的概率一般不等，但每個群作為一個整體被抽中的概率仍為k/K。6.C解析：整群抽樣中，若群內(nèi)單位數(shù)相等（設為M），則先計算每個群的樣本均值x?i，再計算所有抽中群均值x?i的均值作為總體均值μ的估計，即x?=(∑x?i)/k。7.C解析：當群內(nèi)同質(zhì)性高時，群內(nèi)方差小，抽中一個群，其內(nèi)部單位值差異小，不能很好地代表總體，導致抽樣誤差增大。此時整群抽樣的效率低于簡單隨機抽樣。選項C的說法錯誤。8.A解析：根據(jù)整群抽樣方差公式σ2x?_c≈(1-k/N)*σ2c2，其中σ2c2是群間方差。通常k/N較小（即抽樣比例不大），(1-k/N)接近1。由于群內(nèi)方差σ2i的存在，σ2c2一般不為零。因此，整群抽樣方差σ2x?_c=(1-k/N)*σ2c2通常大于簡單隨機抽樣方差σ2x?_s≈σ2/n（假設群內(nèi)單位數(shù)M足夠大，使得群內(nèi)方差在求和時近似可加）。所以通常整群抽樣方差更大。9.A解析：根據(jù)整群抽樣方差公式σ2x?_c≈(1-k/N)*σ2c2。要減小抽樣誤差（即減小σ2x?_c），在其他條件不變時（如N,σ2c2不變），需要增大抽樣比例k。k增大，(1-k/N)減小，從而σ2x?_c減小。10.B解析：計算整群抽樣方差需要知道群間方差σ2c2的估計。σ2c2=(∑(x?i-x?)2)/k，其中x?i是第i群的均值，x?是樣本總均值。要計算x?，需要知道所有抽中群的每個單元的值xij。要計算群均值x?i，需要知道第i群的所有單元的值xij及其單位數(shù)ki（若ki不等）。因此，需要知道群數(shù)K和每個群的單位數(shù)ki。二、填空題1.隨機性；代表性解析：抽樣調(diào)查必須基于隨機原則抽取樣本，以保證樣本的代表性，從而能夠用樣本信息推斷總體特征。2.總體參數(shù)解析：抽樣誤差是樣本統(tǒng)計量（如樣本均值、樣本比例）與總體真實參數(shù)（總體均值μ、總體比例P）之間的差距。3.群；群單元解析：將總體劃分成的互不重疊的子集稱為群，群中的基本調(diào)查單位稱為群單元。4.群單元解析：整群抽樣的抽樣單位是構(gòu)成每個群的那些基本單元（如家庭、學生、地塊等）。5.簡單隨機抽樣解析：當整群抽樣的抽樣比例k/N很小，且群內(nèi)方差σ2i相對較小或接近0時，群內(nèi)差異可以忽略，整群抽樣對總體的估計效果接近于簡單隨機抽樣，其抽樣誤差也近似于簡單隨機抽樣。6.(∑xij)/n解析：在等群且群內(nèi)單位數(shù)相等時，樣本均值x?是所有抽中群的所有單元值的總和除以總樣本量n。7.s2c2=(∑(x?i-x?)2)/k解析：這是群間方差（或稱為組間方差）的常用無偏估計公式，其中x?i是第i群的均值，x?是樣本總均值，k是抽中的群數(shù)。8.減小解析：分層抽樣的核心思想是將總體先分層，然后在層內(nèi)進行隨機抽樣。由于層內(nèi)同質(zhì)性高，層內(nèi)方差小，這能有效減小抽樣誤差。同時，分層還能確保樣本結(jié)構(gòu)能更好地代表總體結(jié)構(gòu)。9.高解析：整群抽樣的效率取決于群間方差。若群間異質(zhì)性高（群間方差大），抽中一個群就能獲得較多的關于總體的信息，從而可以用較小的樣本量達到較高的精度。反之，若群間同質(zhì)性高（群間方差?。?，抽中一個群的信息量有限，需要抽更多群才能獲得足夠信息，效率較低。10.眾多；集中解析：整群抽樣適用于總體單位數(shù)量龐大、分布廣泛（眾多、分散），且可以按一定規(guī)則（如地理區(qū)域、行政單位）劃分為群，而群內(nèi)單位相對集中便于抽取和調(diào)查的情況。三、簡答題1.答：主要區(qū)別在于：*抽樣單位不同：整群抽樣以群為單位進行抽樣，先分組再抽群；分層抽樣先分組（層），再在層內(nèi)隨機抽樣。*抽樣誤差來源不同：整群抽樣主要誤差來源是群間差異（群間方差）；分層抽樣主要誤差來源是層內(nèi)差異（層內(nèi)方差）。*抽樣目的不同：整群抽樣旨在降低成本、方便管理，有時基于地理或行政劃分；分層抽樣旨在提高估計精度、保證代表性、滿足特定分析需要。*估計方法不同：整群抽樣估計值是抽中群均值的平均；分層抽樣估計值是層內(nèi)均值加權平均。2.答：影響整群抽樣抽樣誤差的主要因素有：*抽樣比例k/N：比例越大，抽樣誤差通常越小。*群間方差σ2c2：這是影響整群抽樣誤差最關鍵的因素。σ2c2越大，群間差異越大，抽樣誤差通常越大。*群內(nèi)方差σ2i：雖然整群抽樣主要依賴群間差異，但群內(nèi)方差也不能太大，否則群內(nèi)單位差異大，即使抽中，代表性也差，會間接增加抽樣誤差。*群的大?。╧i）：若群內(nèi)單位數(shù)ki不等，對抽樣誤差的計算有影響，通常要求ki相對穩(wěn)定。3.答：確定整群抽樣樣本量k需要考慮：*總體規(guī)模N：總體單位數(shù)。*預期達到的估計精度（通常用抽樣誤差界限M或方差σ2x?_c表示）。*群間方差σ2c2的估計值：需要通過預調(diào)查或經(jīng)驗估計。*可用的經(jīng)費和時間資源：成本限制了可抽取的群數(shù)。*抽樣方法：是等概率抽樣還是不等概率抽樣。*理論上可通過公式σ2x?_c≤M2*(N/k)*(1/k)*σ2c2來反推k，但σ2c2常未知，需估計。4.答：在以下情況下，使用整群抽樣可能比簡單隨機抽樣更經(jīng)濟有效：*總體單位分布廣泛、地理上分散，進行簡單隨機抽樣需要大量旅行成本和時間成本時。*總體單位按自然或行政區(qū)域已劃分為群，便于分組和抽取，且群內(nèi)單位集中，調(diào)查便利時。*抽樣框僅包含群列表，而缺乏包含所有單元的詳細抽樣框，或編制詳細抽樣框成本過高時。*對群內(nèi)同質(zhì)性有一定了解，認為群間差異相對較大，或能接受稍高一些的抽樣誤差，以換取顯著的成本節(jié)約時。四、計算題1.解：假設數(shù)據(jù)如下：群數(shù)K=20，抽中群k=5。設各學院（群）學生人數(shù)ki近似相等，設ki=M。設學院（群）內(nèi)學生平均成績（群均值）x?i及方差s2i如下表（示例）：|學院i|x?i|s2i|ki||------|------|--------|------||1|78|100|M||2|82|150|M||3|80|120|M||4|85|180|M||5|79|110|M||...|...|...|...||20|83|130|M|（1）計算樣本均值估計值x?：x?=(∑x?i)/k=(78+82+80+85+79)/5=404/5=80.8（2）計算抽樣方差的無偏估計量s2c2：首先計算樣本總均值x?：x?=(∑xij)/(nk)=(∑(x?i*ki))/(k*ki)=(∑x?i)/k=80.8(已計算)然后計算群間方差s2c2的估計值s2?c2：s2?c2=(∑(x?i-x?)2)/k=[(78-80.8)2+(82-80.8)2+(80-80.8)2+(85-80.8)2+(79-80.8)2+...+(83-80.8)2]/5=[(-2.8)2+(1.2)2+(-0.8)2+(4.2)2+(-1.8)2+...+(2.2)2]/5=[7.84+1.44+0.64+17.64+3.24+...+4.84]/5=[44.8]/5=8.96（注意：此處的s2?c2是基于群均值的簡化估計。若群內(nèi)單位數(shù)ki不等，計算會更復雜，需用到加權平均等。題目未給出ki，假設ki=M，故簡化計算。）2.解：已知N=1000,M=50,k=10,x?=15000,平均群內(nèi)方差s2i=500000。（1）計算整群抽樣估計值x?：x?=(∑xij)/(nk)=(k*M*x?)/nk=x?=15000（2）計算抽樣方差的無偏估計量s2c2：方法一：使用群間方差估計需要估計群間方差s2c2。通常用樣本群內(nèi)方差的平均作為估計：s2?i=(∑s2i)/k=500000/10=50000s2?c2≈s2?i=50000（此處假設所有群內(nèi)方差相同）抽樣方差估計值：s2x?_c≈(1-k/N)*s2?c2=(1-10/1000)*50000=(1-0.01)*50000=0.99*50000=49500方法二：使用樣本群均值的方差（若已知或可計算）如果已知或計算出樣本群均值的方差s2x?_k，則s2x?_c≈s2x?_k*(N/kM)。本題未直接給出s2x?_k，故采用方法一。3.解：整群抽樣和簡單隨機抽樣在估計總體均值時的抽樣方差公式分別為：整群抽樣方差：σ2x?_c≈(1-k/N)*σ2c2簡單隨機抽樣方差：σ2x?_s=σ2/n其中，σ2是總體方差，σ2c2是群間方差，k是群數(shù)，N是總體單位數(shù)，n是樣本單位數(shù)（n=kM，M為群內(nèi)單位數(shù)）。比較：整群抽樣方差包含了(1-k/N)項，該項小于等于1（除非k=N）；而簡單隨機抽樣方差為σ2/n。整群抽樣通常需要較大的k（相對于N）才能獲得較好的精度，這意味著(1-k/N)可能顯著小于1。同時，整群抽樣還依賴于σ2c2。當整群抽樣的群內(nèi)方差σ2i較大，群間方差σ2c2相對較小時，(1-k/N)*σ2c2可能接近于σ2/n，此時兩種方法精度接近。但當群內(nèi)方差σ2i較小，群間方差σ2c2較大時，(1-k/N)*σ2c2通常會顯著大于σ2/n，即整群抽樣方差大于簡單隨機抽樣方差。啟示：當群間差異（σ2c2）較大時，整群抽樣可能比簡單隨機抽樣效率低；當群間差異較小時，兩者效率可能相近，但整群抽樣成本優(yōu)勢可能顯現(xiàn)。選擇哪種方法取決于具體情境，特別是成本、群間/群內(nèi)差異以及所需精度。若群間差異大，即使成本高，簡單隨機抽樣可能更優(yōu)；若群間差異小，成本是主要考慮因素，整群抽樣可能更合適。五、論述題答：選擇整群抽樣可能是一個合適或必要的方法的情況主要包括：1.