第一章

勾股定理1.2一定是直角三角形嗎八年級(jí)上│BS1.經(jīng)歷勾股定理的逆定理的探索過程，進(jìn)一步發(fā)展推理能力.2.掌握勾股定理的逆定理，并能進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用.重點(diǎn)難點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方條件：在Rt△ABC

中，∠C=90°.結(jié)論：a2+b2=c2.ABCcab思考

如果一個(gè)三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形嗎？？我們畫幾個(gè)滿足條件的三角形一起來探究一下吧！復(fù)習(xí)回顧勾股定理的前提條件是什么？探究1

下面每組數(shù)分別是一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25.問題1分別以每組數(shù)為三邊的長(zhǎng)度畫出三角形，它們是直角三角形嗎？它們都是直角三角形.以數(shù)9，40，41為三邊長(zhǎng)畫出三角形，還是直角三角形嗎？自己畫一畫.問題2每組數(shù)在數(shù)量關(guān)系上有什么相同點(diǎn)？3，4，5滿足32+42=525，12，13滿足52+122=1328，15，17滿足82+152=1727，24，25滿足72+242=252都滿足

a2+b2=c2.思考1從上述問題中，你有什么猜想？猜想：如果三角形的三邊長(zhǎng)

a，b，c滿足

a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.我覺的這個(gè)猜想不準(zhǔn)確，因?yàn)槲覀兊臏y(cè)量結(jié)果存在誤差.

你覺得這個(gè)發(fā)現(xiàn)正確嗎？你能給出一個(gè)更有說服力的理由嗎？C1MN簡(jiǎn)要說明：作一個(gè)直角∠MC1N，在C1N上截取C1A1=b=CA,在C1M上截取C1B1=a=CB,連接A1B1.證明：在Rt△A1C1B1中，由勾股定理,得A1B12=a2+b2=AB2.因?yàn)锳1B1=AB，所以△ABC≌△A1B1C1(SSS).所以∠C=∠C1=90°，所以△ABC是直角三角形.acbACBbaB1A1已知：如圖，△ABC的三邊長(zhǎng)a,b,c，滿足a2+b2=c2．求證：△ABC是直角三角形．勾股逆定理：如果三角形的三邊的長(zhǎng)度a，b，c

滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.ACBabc歸納總結(jié)注意：滿足a2+b2=c2

的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，最長(zhǎng)邊所對(duì)的角為直角.例1下列各組數(shù)中，能作為直角三角形三邊的是__________，是勾股數(shù)的是______.①6，8，10②0.3，0.4，0.5③10，24，25

④6，5，4⑤，，①③①②③⑤探究21.如果將直角三角形的三條邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大一個(gè)相同的倍數(shù)，那么得到的三角形還是直角三角形嗎?得到的三角形還是直角三角形.2.下表中第一列每組數(shù)都是勾股數(shù)，補(bǔ)全下表，這些勾股數(shù)的2倍、3倍、4倍、10倍還是勾股數(shù)嗎?任意倍呢?說說你的理由.2倍3倍4倍10倍3，4，55，12，138，15，177，24，259，12，1512，16，2030，40，5010，24，2620，48，5250，120，13016，30，3424，45，5180，150，17014，48，5021，72，7528，96，100如果一個(gè)勾股數(shù)乘以任意正整數(shù)k，仍然滿足勾股定理，即(ka)2+(kb)2=(kc)2，所以勾股數(shù)擴(kuò)大任意倍數(shù)還是勾股數(shù).6，8，1015，36，3932，60，6870，240，250歸納總結(jié)判定一個(gè)三角形是直角三角形的方法：判定1：有一個(gè)角為90°的三角形是直角三角形.判定2：若a2+b2=c2

的平方，則以a、b、c

為邊的三角形是以c

為斜邊的直角三角形(勾股定理的逆定理).判定3：兩個(gè)銳角互余的三角形是直角三角形.例2一個(gè)零件的形狀如圖1所示，按規(guī)定這個(gè)零件中∠A和∠DBC都應(yīng)為直角.工人師傅量得這個(gè)零件各邊尺寸如圖2所示(單位：cm)，這個(gè)零件符合要求嗎？解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角.在△BCD

中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.因此，這個(gè)零件符合要求.圖1圖2思考2

回顧勾股定理的學(xué)習(xí)過程，你積累了哪些研究問題的經(jīng)驗(yàn)和方法？研究一個(gè)定理的過程：觀察現(xiàn)象→提出猜想→實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證→嚴(yán)格證明→推廣應(yīng)用解決問題的關(guān)鍵方法：①數(shù)形結(jié)合：勾股定理的證明（如趙爽弦圖、歐幾里得證法）通過圖形面積與代數(shù)公式的互譯揭示本質(zhì).②逆向思維：勾股定理的逆定理(若a2+b2=c2，則三角形為直角三角形)可用于判斷直角.探究21.如果將直角三角形的三條邊長(zhǎng)同時(shí)擴(kuò)大一個(gè)相同的倍數(shù)，那么得到的三角形還是直角三角形嗎?得到的三角形還是直角三角形.

B2.如圖，在△ABC

中，AD⊥BC

于D，BD=9，AD=12，AC=20，則△ABC

是().A.等腰三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.直角三角形D課堂練習(xí)：3.(2025揚(yáng)州)清代揚(yáng)州數(shù)學(xué)家羅士琳癡迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股數(shù)的“羅士琳法則”.法則的提出，不僅簡(jiǎn)化了勾股數(shù)的生成過程，也體現(xiàn)了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在數(shù)論領(lǐng)域的貢獻(xiàn).由此法則寫出了下列幾組勾股數(shù):①3，4，5;②5，12，13;③7，24，25;④9，40，41;…根據(jù)上述規(guī)律，寫出第⑤組勾股數(shù)為_______________.11，60，614.已知等腰三角形ABC的底邊

BC=20cm，D

是腰

AB

上一點(diǎn)，且CD=16cm，BD=12cm.(1)求證:CD⊥AB;證明：因?yàn)锽C=20cm，CD=16cm，BD=12cm，所以滿足BD2+CD2=BC2，所以根據(jù)勾股定理逆定理可知，∠BDC=90°，即CD⊥AB；4.已知等腰三角形ABC的底邊

BC=20cm，D

是腰

AB

上一點(diǎn)，且CD=16cm，BD=12cm.(2)求△ABC

的腰長(zhǎng).解：設(shè)腰長(zhǎng)為x,則AD=x-12，由（1）可知∠ADC=90°，由勾股定理可知，AD2+CD2=AC2，即：(x-12)2+162=x2，解得所以△ABC的腰長(zhǎng)為5.一艘在海上朝正北方向航行的輪船，在航行240海里時(shí)方位儀壞了，憑經(jīng)驗(yàn)，船長(zhǎng)指揮船左轉(zhuǎn)90°，繼續(xù)航行70海里，則距出發(fā)地250海里，你能判斷船轉(zhuǎn)彎后，是否沿正西方向行駛？ABC北解：船轉(zhuǎn)彎后，是沿正西方向航行的.理由如下：由題意畫出相應(yīng)的圖形，依題意可知：AB=240海里，BC=70海里，AC=250海里.在△ABC

中，AC2-AB2=2502-2402

=4900=702=BC2即，AB2+BC2=AC2，所以