第四章向量組的線性相關(guān)性第3次課程教案2課時教學(xué)內(nèi)容向量組的秩教學(xué)目標理解向量組的秩和極大無關(guān)組的概念；理解等價向量組的定義和性質(zhì)；掌握求解向量組的秩和極大無關(guān)組的方法；4.會用向量組的秩判別向量之間的線性關(guān)系。重點難點理解向量組的秩和極大無關(guān)組的概念；掌握求解向量組的秩和極大無關(guān)組的方法教學(xué)條件環(huán)境多媒體教室；粉筆；ppt課件教學(xué)方式課堂講授；￡混合式教學(xué)；□講授；￡案例教學(xué)；￡分組教學(xué)；□實驗演示；□作業(yè)講評；□實踐教學(xué)；□其他活動教學(xué)過程設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)與時間分配教學(xué)內(nèi)容互動設(shè)計導(dǎo)入（5分）問題導(dǎo)入：設(shè)一組向量中的含有很多向量，有一部分向量之間是線性相關(guān)的，有一部分向量之間是線性相關(guān)的。那么這組向量中，線性無關(guān)的向量個數(shù)最大是多少？這組線性無關(guān)的向量如何表示剩余的向量？這就是本節(jié)所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。學(xué)生思考學(xué)生回答正文講授（75分）一、向量組的極大無關(guān)組引例設(shè)向量組：，由上一節(jié)推論2我們知道，向量組線性相關(guān)，它的部分組和都是線性無關(guān)的，如果再添加一個向量進去，部分組就變成線性相關(guān)了．說明向量組線性無關(guān)的部分組中最多含有兩個向量.為了確切地說明這一問題，我們引入極大線性無關(guān)組的概念．定義1設(shè)向量組：中有一部分向量組,滿足：（1）線性無關(guān)；（2）在向量組中任取一個向量，線性相關(guān)，則稱是向量組的一個極大線性無關(guān)組,簡稱為極大無關(guān)組.根據(jù)3.2節(jié)定理4知,定義1中第二個條件等價于:向量組中任意向量都可由線性表示.從定義1可看出，一個線性無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組就是這個向量組本身．顯然，只含零向量的向量組沒有極大無關(guān)組．任何非零向量組必存在極大無關(guān)組．引例中向量組的部分組和都是它的極大無關(guān)組，可見，向量組的極大無關(guān)組可能不是唯一的.但每一個極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)是惟一的,這反映了向量組本身的性質(zhì)．因此，我們引進如下概念：定義2向量組：的極大無關(guān)組中所含向量的個數(shù)，稱為該向量組的秩，記作或．我們規(guī)定：只含零向量的向量組的秩為0．維基本單位向量組是線性無關(guān)的，它的極大無關(guān)組就是它本身，因此，．為了更深入地討論向量組的極大無關(guān)組的性質(zhì)，我們先來介紹兩個向量組之間的關(guān)系．定義3設(shè)有兩個同維向量組：（Ⅰ）；（Ⅱ）,若向量組（Ⅱ）中每個都可以由線性表示,則稱向量組（Ⅱ）可由向量組（Ⅰ）線性表示.否則,則稱向量組（Ⅱ）不能由向量組（Ⅰ）線性表示.若向量組（Ⅰ）和（Ⅱ）可以互相線性表示,稱它們等價.記作（Ⅰ）（Ⅱ）.容易證明，等價向量組有如下性質(zhì)：（1）反身性:任一向量組與它自身等價;（2）對稱性:若向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)等價,則(Ⅱ)與(Ⅰ)也等價;（3）傳遞性:若向量組(Ⅰ)與(Ⅱ)等價,(Ⅱ)與(Ⅲ)等價,則(Ⅰ)與(Ⅲ)也等價.向量組之間的線性表示與向量組的線性相關(guān)性有如下聯(lián)系:定理1若向量組(Ⅰ)可以由向量組(Ⅱ)線性表示,且,則向量組線性相關(guān).定理1也可等價的敘述為:推論1若向量組線性無關(guān)且可由向量組線性表示，則.推論2若向量組(Ⅰ)和(Ⅱ)等價且都線性無關(guān),則.定理1表明:若一個向量組(Ⅰ)可用含較少個數(shù)的向量組線性表示,則向量組(Ⅰ)必線性相關(guān).推論2表明:兩個等價的線性無關(guān)的向量組所含向量的個數(shù)相同．由向量組等價的定義和上面的結(jié)論，可以得到極大線性無關(guān)組有以下性質(zhì)：（1）向量組與它自己的極大無關(guān)組是等價的．（2）向量組的任意兩個極大無關(guān)組等價．（3）向量組的任意兩個極大無關(guān)組所含向量的個數(shù)相同．極大無關(guān)組的意義在于：一個向量組可以用它的極大無關(guān)組來代表，掌握了極大無關(guān)組，就掌握了向量組的全體．特別，當向量組為無限向量組，就能用有限向量組來代表．凡是對有限向量組成立的結(jié)論，用極大無關(guān)組作過渡，立即可推廣到無限向量組的情形中去．二、矩陣的秩向量組的秩設(shè)矩陣，按行分塊，記為，其中，．矩陣也可按列分塊，記為，其中，.稱為矩陣A的行向量組，稱稱為矩陣A的列向量組.定義4矩陣A的行向量組的秩稱為矩陣A的行秩，而矩陣A的列向量組的秩稱為矩陣A的列秩．定理2任一矩陣的行秩與列秩相等，都等于該矩陣的秩．定理2建立了向量組(無論是行向量組還是列向量組)的秩與矩陣的秩之間的聯(lián)系．即向量組的秩可通過相應(yīng)的矩陣的秩求得，其常用的方法是：若是列向量組，將它們構(gòu)成矩陣，則矩陣A的秩r(A)就是列向量組的秩.同理，若是行向量組，將它們構(gòu)成矩陣，則矩陣A的秩r(A)就是行向量組的秩.用初等行變換把A化為階梯形矩陣，則階梯形矩陣非零行的行數(shù)即矩陣的秩.例1設(shè)向量組T：求向量組的秩r(T).解：因為r(A)=3，所以r(T)=3．三、向量組的極大無關(guān)組的求法求向量組的極大無關(guān)組的方法一般是先將向量組作為列向量構(gòu)成矩陣A，然后對A實行初等行變換，把A化為行最簡形矩陣，則由行最簡形矩陣中列向量之間的線性關(guān)系，就可以確定原向量組間的線性關(guān)系，從而確定其極大無關(guān)組．下面舉例進行說明.例2設(shè)向量組T：，，，，求向量組T的秩及一個極大無關(guān)組，并把其余向量用此極大無關(guān)組線性表示．解：以為列向量構(gòu)造矩陣，用初等行變換把化為簡化階梯形矩陣，因為，所以.在向量組中，=向量個數(shù)，則線性無關(guān)，所以是的一個極大無關(guān)組，且．那么，相應(yīng)地是向量組：的一個極大無關(guān)組，且．通過上面例題，可以知道，行最簡形矩陣中首非零元所在列對應(yīng)的向量構(gòu)成的向量組就是一個極大無關(guān)組.所以在以后解題中，可以將上面例題的解答過程稍微簡化.例3設(shè)向量組T：，求向量組T的秩及一個極大無關(guān)組，并把其余向量用此極大無關(guān)組線性表示．解：因為，所以.為向量組T的一個極大無關(guān)組，且，.說明：1.要用極大無關(guān)組表示向量，就是求線性方程組.通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，上面例題中線性表示的系數(shù)，取的是行最簡形矩陣的第三列中的前三個元素；表示向量的系數(shù)，取的是行最簡形矩陣的第五列中的前三個元素.為什么這樣取在學(xué)完第四章線性方程組后就能理解了.2.例3中的向量組T的極大無關(guān)組也可以取，因為在矩陣A中如果交換和的位置，最后行最簡形矩陣的首非零元對應(yīng)的向量就是.同理，向量組T的極大無關(guān)組也可以取或者.但是需要注意的是，當取的極大無關(guān)組變化后，線性表示的系數(shù)就不能直接用現(xiàn)有的行最簡形矩陣中的元素了.需要交換向量后重新計算.讀者可以自行檢驗.例4設(shè)向量組T：求向量組T的秩及一個極大無關(guān)組，并把其余向量用此極大無關(guān)組線性表示．解：因為，所以.為向量組T的一個極大無關(guān)組，且，.四、向量組的秩判別向量之間的線性關(guān)系向量組的秩也可以用來判別兩個向量組之間的關(guān)系，也可以判別一組向量的線性相關(guān)性，結(jié)論如下：定理3相互等價的向量組的秩相等．定理3的逆命題不成立，即兩個向量組的秩相等時，它們未必等價．定理4如果兩個向量組的秩相等且其中一個向量組可由另一個線性表出，則這兩個向量組等價．定理5向量組線性無關(guān)的充要條件是r(T)=n（n為向量個數(shù)），即它的秩等于它所含向量的個數(shù)．定理6向量組線性相關(guān)的充要條件是r(T)＜n（n為向量個數(shù)），即它的秩小于它所含向量的個數(shù)．定理7向量β能由向量組線性表示的充要條件是.且當r=n時，向量β由向量組A線性表示的表達式是唯一的；當r＜n時，向量β由向量組A線性表示的表達式不唯一.定理8向量β不能由向量組線性表示的充要條件是.定理5——定理8成立的原因，涉及到線性方程組的知識，在學(xué)習(xí)第四章后，會在4.4節(jié)中結(jié)合線性方程組的知識再進行闡述.討論向量組的線性相關(guān)性.解：因為r(T)=2＜3，所以向量組線性相關(guān).已知向量試問β能否由線性表示？若能，寫出具體表達式.解：得，所以β能由唯一的線性表示，且.已知向量，試問γ能否由α，β線性表示？若能，寫出具體