幻燈片1：封面標題：1.1.2勾股定理的驗證學科：數(shù)學年級：八年級下冊版本：華東師大版副標題：多角度推導直角三角形三邊關系幻燈片2：復習回顧——勾股定理核心內(nèi)容回顧1：勾股定理的結(jié)論直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即對于Rt△ABC，∠C=90°，有\(zhòng)(a^2+b^2=c^2\)（a、b為直角邊，c為斜邊）回顧2：初步驗證方法上節(jié)課通過趙爽弦圖（面積法）初步驗證了勾股定理，本節(jié)課將探索更多經(jīng)典驗證思路提問：除了趙爽弦圖，還能通過哪些幾何圖形或方法證明勾股定理？不同驗證方法的核心邏輯有何共性？幻燈片3：驗證方法1——趙爽弦圖（深化推導）圖形結(jié)構：由4個全等的直角三角形（直角邊a、b，斜邊c）和1個邊長為c的小正方形，拼成邊長為(a+b)的大正方形（如圖，標注直角三角形的直角、斜邊及正方形邊長）詳細推導步驟：計算大正方形面積（方法一：整體法）大正方形邊長為(a+b)，根據(jù)正方形面積公式，面積\(S_{大}=(a+b)^2\)，展開得\(S_{大}=a^2+2ab+b^2\)。計算大正方形面積（方法二：分割法）大正方形由4個直角三角形和1個小正方形組成：單個直角三角形面積為\(\frac{1}{2}ab\)，4個直角三角形總面積為\(4×\frac{1}{2}ab=2ab\)；小正方形邊長為c，面積\(S_{小}=c^2\)；因此，大正方形面積\(S_{大}=2ab+c^2\)。建立等式驗證由于兩種方法計算的是同一個大正方形的面積，故\(a^2+2ab+b^2=2ab+c^2\)，兩邊同時減去2ab，得\(a^2+b^2=c^2\)，驗證成立。特點：中國古代經(jīng)典驗證方法，通過“整體面積=分割部分面積和”的核心邏輯，簡潔直觀?；脽羝?：驗證方法2——歐幾里得證明法（經(jīng)典幾何推導）圖形構造：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分別以AB、BC、AC為邊，向外作正方形ABDE、BCFG、ACHI（標注各正方形的頂點、邊與△ABC的對應關系）推導關鍵步驟：連接輔助線：連接CE、BF，觀察△ACE與△BCF的關系。證明三角形全等：在△ACE和△BCF中，AC=BC（正方形ACHI與BCFG的邊長），∠CAE=∠CBF（∠CAB+90°=∠CBA+90°），AE=BF（正方形ABDE的邊長），故△ACE≌△BCF（SAS）。面積關聯(lián)：△ACE的面積是正方形ACHI面積的一半（同底AC，等高，正方形面積=2×

三角形面積）；△BCF的面積是矩形BDFG面積的一半（同底BF，等高，矩形面積=2×

三角形面積）；因△ACE≌△BCF，故正方形ACHI的面積=矩形BDFG的面積。同理推導另一部分：連接AD、BK，同理可證正方形BCFG的面積=矩形AEDK的面積。匯總驗證：正方形ABDE的面積=矩形BDFG的面積+矩形AEDK的面積，即\(c^2=a^2+b^2\)，驗證成立。特點：古希臘經(jīng)典證明法，利用全等三角形和面積等量關系，邏輯嚴謹，體現(xiàn)幾何推理的嚴密性?；脽羝?：驗證方法3——美國總統(tǒng)伽菲爾德證明法（梯形面積法）圖形構造：由2個全等的直角三角形（直角邊a、b，斜邊c）和1個等腰直角三角形（直角邊c），拼成一個直角梯形（如圖，梯形的上底為a，下底為b，高為(a+b)，標注直角、邊長及三角形類型）推導步驟：計算梯形面積（方法一：梯形公式）梯形面積公式為\(S_{梯}=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高\)，代入得\(S_{梯}=\frac{1}{2}(a+b)(a+b)\)，展開得\(S_{梯}=\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)\)。計算梯形面積（方法二：分割法）梯形由2個全等直角三角形和1個等腰直角三角形組成：2個直角三角形總面積為\(2×\frac{1}{2}ab=ab\)；等腰直角三角形面積為\(\frac{1}{2}c^2\)；因此，梯形面積\(S_{梯}=ab+\frac{1}{2}c^2\)。建立等式驗證聯(lián)立兩種方法的面積表達式：\(\frac{1}{2}(a^2+2ab+b^2)=ab+\frac{1}{2}c^2\)，兩邊同時乘以2得\(a^2+2ab+b^2=2ab+c^2\)，化簡得\(a^2+b^2=c^2\)，驗證成立。特點：1876年美國第20任總統(tǒng)伽菲爾德提出，利用梯形面積公式，推導過程簡潔，融合了直角三角形和梯形的面積知識。幻燈片6：驗證方法4——割補法（動態(tài)演示）圖形變換：初始圖形：邊長為c的正方形（面積\(c^2\)），將其分割為4個全等直角三角形（直角邊a、b）和1個小正方形（如圖1）；變換后圖形：將4個直角三角形重新拼補，與小正方形共同組成一個由邊長為a的正方形和邊長為b的正方形組成的組合圖形（如圖2，標注兩個小正方形的邊長）。推導邏輯：初始圖形面積：正方形面積\(S_{初}=c^2\)，且\(S_{初}=4×\frac{1}{2}ab+S_{小正}\)（\(S_{小正}\)為分割出的小正方形面積）。變換后圖形面積：組合圖形由邊長為a的正方形（面積\(a^2\)）和邊長為b的正方形（面積\(b^2\)）組成，故\(S_{變}=a^2+b^2\)。面積不變性驗證：由于變換過程中僅改變圖形位置，未改變圖形面積，且\(S_{初}=S_{變}\)，同時\(4×\frac{1}{2}ab+S_{小正}\)在兩種圖形中保持一致，故\(c^2=a^2+b^2\)，驗證成立。特點：通過“圖形割補后面積不變”的原理，直觀展示直角三角形三邊平方與正方形面積的關聯(lián)，適合動態(tài)演示理解。幻燈片7：不同驗證方法的共性與差異共性分析：核心邏輯一致：均基于“面積等量關系”（整體面積=部分面積和、割補后面積不變等），通過代數(shù)運算推導得出\(a^2+b^2=c^2\)；依賴圖形構造：均通過構造特殊幾何圖形（正方形、梯形、全等三角形等），建立直角邊與斜邊的數(shù)量聯(lián)系。差異對比：驗證方法圖形結(jié)構推導特點適用場景趙爽弦圖大正方形+小正方形+直角三角形中國傳統(tǒng)方法，簡潔直觀初中入門驗證，易理解歐幾里得證明法多個正方形+全等三角形邏輯嚴密，幾何推理深入培養(yǎng)嚴謹推理能力伽菲爾德證明法直角梯形+直角三角形利用梯形面積，步驟簡潔融合梯形與三角形知識割補法正方形割補變換動態(tài)直觀，面積不變核心直觀理解圖形變換與面積幻燈片8：基礎題型——利用驗證思路解決問題例題1：如圖，用4個全等的直角三角形（直角邊a、b，斜邊c）拼成趙爽弦圖，已知小正方形面積為1，大正方形面積為25，求直角三角形的面積。分析：大正方形面積=(a+b)^2=25，小正方形面積=c^2=1；由趙爽弦圖推導，大正方形面積=4×

直角三角形面積+小正方形面積，即25=4S+1。解答：4S=25-1=24，故S=6，直角三角形面積為6。例題2：用歐幾里得證明法的思路，若Rt△ABC中，a=3，b=4，求以斜邊c為邊的正方形面積。分析：根據(jù)歐幾里得證明法，以斜邊為邊的正方形面積=以兩直角邊為邊的正方形面積和。解答：正方形面積\(c^2=a^2+b^2=3^2+4^2=25\)，故面積為25?；脽羝?：易錯點辨析——驗證過程中的常見誤區(qū)易錯點1：圖形邊長標注錯誤（如趙爽弦圖中，誤將小正方形邊長標為(a-b)而非c，導致面積計算錯誤，正確小正方形邊長為c，直角三角形直角邊差為(a-b)，需區(qū)分清楚）易錯點2：全等三角形判定錯誤（如歐幾里得證明法中，誤將“∠CAE=∠CBF”判定為“∠CAB=∠CBA”，忽略正方形的直角，正確需結(jié)合正方形的90°

角推導角相等）易錯點3：面積公式混淆（如伽菲爾德證明法中，誤將梯形面積公式記為“(上底+下底)×

高”，遺漏乘以\(\frac{1}{2}\)，導致推導結(jié)果錯誤）糾錯練習：判斷下列推導是否正確，若錯誤請改正趙爽弦圖中，大正方形面積=4×

直角三角形面積+小正方形面積，若a=3，b=4，小正方形面積=c^2=25，故大正方形面積=4×6+25=49（正確，4×\(\frac{1}{2}×3×4\)=12？修正：4×\(\frac{1}{2}×3×4\)=24，大正方形面積=24+25=49，正確）幻燈片10：數(shù)學文化——勾股定理驗證的歷史意義中外歷史貢獻：中國：除趙爽外，劉徽在《九章算術注》中用“出入相補原理”（割補法）驗證勾股定理，進一步完善了中國古代的勾股定理證明體系；國外：除歐幾里得、伽菲爾德外，印度數(shù)學家婆什迦羅用“無字證明”（僅通過圖形和標注，無需文字推導）直觀展示勾股定理，體現(xiàn)不同文明對數(shù)學的探索；意義：勾股定理的多種驗證方法，不僅證明了數(shù)學結(jié)論的嚴謹性，更體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”“轉(zhuǎn)化與化歸”的數(shù)學思想，是人類文明共同的智慧結(jié)晶?；脽羝?1：課堂小結(jié)（核心知識點）核心驗證方法：趙爽弦圖：大正方形面積=4個直角三角形面積+小正方形面積，推導\(a^2+b^2=c^2\)；歐幾里得證明法：利用全等三角形與正方形面積關聯(lián)，邏輯嚴密；伽菲爾德證明法：梯形面積=2個直角三角形面積+等腰直角三角形面積，步驟簡潔；割補法：圖形割補后面積不變，直觀展示三邊平方關系。思想方法：數(shù)形結(jié)合：將代數(shù)關系（\(a^2+b^2=c^2\)）轉(zhuǎn)化為幾何圖形的面積關系；轉(zhuǎn)化與化歸：將未知問題（驗證勾股定理）轉(zhuǎn)化為已知問題（正方形、梯形面積計算）。關鍵提醒：驗證過程中需準確標注圖形邊長、正確使用面積公式及全等判定，確保推導邏輯嚴謹。幻燈片12：課堂檢測（4道題）用趙爽弦圖驗證勾股定理時，若直角三角形直角邊a=5，b=12，則小正方形的面積為（

）A.144B.25C.169D.1伽菲爾德證明法中，直角梯形的上底為a，下底為b，高為(a+b)，則梯形面積為（

）A.(a+b)^2B.\(\frac{1}{2}(a+b)^2\)C.ab+\(\frac{1}{2}c^2\)D.a^2+b^2如圖，用4個全等直角三角形拼成的圖形中，大正方形邊長為(a+b)，小正方形邊長為c，若大正方形面積為36，直角三角形面積為6，求小正方形的面積（寫出步驟）用歐幾里得證明法的思路，若以Rt△ABC的直角邊a、b為邊的正方形面積分別為9和16，求以斜邊c為邊的正方形周長（寫出步驟）答案：C（c^2=5^2+12^2=169，小正方形面積為169）2.B（梯形面積公式\(\frac{1}{2}(上底+下底)×高\)）3.步驟：大正方形面積=4×

直角三角形面積+小正方形面積，36=4×6+S小，S小=36-24=124.步驟：c^2=9+16=25，c=5，正方形周長=4×5=20幻燈片13：課后思考問題1：嘗試用“無字證明”的方式（僅畫圖標注，不寫文字推導）驗證勾股定理，思考這種證明方式的優(yōu)勢與局限性；問題2：能否用矩形、菱形等其他圖形構造驗證勾股定理？嘗試設計一種新的驗證思路，并與同學交流?；脽羝?4：感謝語內(nèi)容：本次課程到此結(jié)束，謝謝大家！2024北師大版數(shù)學八年級上冊授課教師：

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時間：

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1.1.2勾股定理的驗證第一章

勾股定理aiTujmiaNg1.會用割補法驗證勾股定理，并能應用勾股定理解決一些實際問題.

2.經(jīng)歷勾股定理的驗證過程，體會數(shù)形結(jié)合思想和從特殊到一般的思想.問題

上節(jié)課我們已經(jīng)通過探索得到了勾股定理，請問勾股定理的內(nèi)容是什么？勾股定理的驗證方法有很多種，你有自己的方法嗎？直角三角形兩條直角邊長度的平方和等于斜邊長度的平方.問題

分別以直角三角形的三條邊（a＜b）為邊向外作正方形，你能利用這個圖說明勾股定理的正確性嗎?思考為了計算圖中大正方形的面積，小明對這個大正方形適當割補后，分別得到下面兩幅圖.(1)將所有三角形和正方形的面積用含a，b，c的式子表示出來.知識點1勾股定理的驗證思考為了計算圖中大正方形的面積，小明對這個大正方形適當割補后，分別得到下面兩幅圖.(1)將所有三角形和正方形的面積用含a，b，c的式子表示出來.知識點1勾股定理的驗證

a2b2c2(a+b)2

思考為了計算圖中大正方形的面積，小明對這個大正方形適當割補后，分別得到下面兩幅圖.(1)將所有三角形和正方形的面積用含a，b，c的式子表示出來.知識點1勾股定理的驗證

(b-a)2a2b2c2

知識點1勾股定理的驗證

(a+b)2c2(3)你能利用下圖驗證勾股定理嗎?知識點1勾股定理的驗證(3)能.圖中正方形ABCD

的面積不變，

即(a+b)2=2ab+c2，

所以a2+b2=c2.a2+b2+2ab

知識點1勾股定理的驗證

(b-a)2c2知識點1勾股定理的驗證(3)你能分別下圖驗證勾股定理嗎?a2+b2-2ab(3)能.圖中正方形ABCD

的面積不變，

即(b-a)2=c2-2ab，

所以a2+b2=c2.勾股定理在我國有著悠久的歷史.漢末三國初數(shù)學家、天文學家趙爽在給《周髀》作注時，給出了相對完整的表述：“勾、股各自乘，并之為弦實.開方除之，即弦.”他利用“勾股圓方圖”直觀地論證了勾股定理.后人通常把左圖稱為“趙爽弦圖”.知識點1勾股定理的驗證2002年國際數(shù)學家大會會標的主要圖案(如右圖)就取材于此圖.例1伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”：如圖，圖中的三個三角形都是直角三角形，求證：a2+b2=c2.知識點1勾股定理的驗證證明：

例2在一次軍事演習中，紅方偵察員王叔叔在距離一條東西向公路400m處偵察，發(fā)現(xiàn)一輛藍方汽車在這條公路上疾駛。他用紅外測距儀測得汽車與他相距400m;過了10s，測得汽車與他相距500m。你能幫王叔叔計算藍方汽車這10s的平均速度嗎?知識點2勾股定理的應用公路BCA400m500m解：根據(jù)題意畫圖，其中點A表示王叔叔所在位置，點C、點B表示兩個時刻藍方汽車的位置.由于王叔叔距離公路400m，因此∠C是直角.由勾股定理，得AB2=BC2+AC2，即5002=BC2+4002，所以BC=300.藍方汽車10s行駛了300m，那么它平均每秒行駛300÷10=30(m)，即藍方汽車這10s的平均速度為30m/s.知識點2勾股定理的應用公路BCA400m500m運用勾股定理解決實際問題的一般思路：知識點2勾股定理的應用實際問題確定所求線段在直角三角形中抽象出幾何圖形求得線段長數(shù)學建模確定直角邊和斜邊回歸利用勾股定理建立方程跟蹤訓練如圖是某沿江地區(qū)交通平面圖的一部分，為了加快經(jīng)濟發(fā)展，該地區(qū)擬修建一條連接M，O，Q三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建設成本是5000萬元/km，該沿江高速公路的建設成本預計是多少？解：因為OM2=MN2+NO2=302+402=502，OQ2=OP2+PQ2=502+1202=1302，所以OM=50km，OQ=130km，所以沿江高速公路的建設成本預計是5000×(50+130)=900000(萬元).MONPQ30km40km50km120km知識點2勾股定理的應用思考如果一個三角形是鈍角三角形或銳角三角形，那么它的三邊長仍然滿足“較長邊的平方等于另外兩邊的平方和”嗎?知識點2勾股定理的應用a2+b2<c2a2+b2>c2通過數(shù)格子發(fā)現(xiàn)不滿足.89295891.“趙爽弦圖”巧妙利用面積關系證明了勾股定理.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形.設直角三角形的兩條直角邊長分別為m，n(m>n).若小正方形面積為5，(m+n)2=21，則大正方形面積為(

)A.12B.13C.14D.15解析：由題意可知，中間小正方形的邊長為m-n，所以(m-n)2=5，即m2+n2-2mn=5，所以2mn=m2+n2-5.因為(m+n)2=21，所以m2+n2+2mn=21，所以2mn=21-(m2+n2)，所以m2+n2-5=21-(m2+n2)，即2(m2+n2)=26，因為大正方形的面積為直角三角形斜邊的平方，所以由勾股定理可知大正方形的面積為m2+n2=13.1.“趙爽弦圖”巧妙利用面積關系證明了勾股定理.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形.設直角三角形的兩條直角邊長分別為m，n(m>n).若小正方形的面積為5，(m+n)2=21，則大正方形面積為(

)A.12B.13C.14D.15B2.兩棵樹之間的距離為8m，兩棵樹的高度分別是8m，2m，一只小鳥從一棵樹的樹頂飛到另一棵樹的樹頂，這只小鳥至少要飛多少米？解：根據(jù)題意畫出示意圖，如圖所示，兩棵樹的高度分別為AB=8m，CD=2m，兩棵樹之間的距離BD=8m.過點C作CE⊥AB，垂足為E，連接AC.則BE=CD=2m，EC=BD=8m，AE=AB-BE=8