試題試題銜接點(diǎn)03因式分解初中階段高中階段1、熟練掌握提公因式法和公式法2、能靈活應(yīng)用十字相乘法3、了解分組分解法能熟練運(yùn)用十字相乘法，包括不含參數(shù)的二次三項(xiàng)式，含參數(shù)的二次三項(xiàng)式，首項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)或者非常數(shù)“1”銜接指引初中階段考查形式：選擇題，解答題信息題。高中階段考查形式：作為基本工具融入在代數(shù)運(yùn)算中。1、初中知識(shí)再現(xiàn)1、因式分解定義把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種運(yùn)算叫做因式分解.2、提公因式法（1）如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式,那么就可以把這個(gè)公因式提出來,從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式。這種分解因式的方法叫做提公因式法。如:（2）概念內(nèi)涵:①因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”；②公因式可能是單項(xiàng)式,也可能是多項(xiàng)式；③提公因式法的理論依據(jù)是乘法對(duì)加法的分配律,即:3、公式法：3.1公式法——平方差公式兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即：特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的多項(xiàng)式分解因式.（2）平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的平方，且符號(hào)相反，右邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的和與這兩個(gè)數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時(shí)要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.3.2公式法——完全平方公式兩個(gè)數(shù)的平方和加上（減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的三項(xiàng)式分解因式；（2）完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個(gè)，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時(shí)要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.4、十字相乘法4.1十字相乘法利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.對(duì)于二次三項(xiàng)式，若存在，則特別說明：（1）在對(duì)分解因式時(shí)，要先從常數(shù)項(xiàng)的正、負(fù)入手，若，則,同號(hào)(若，則,異號(hào))，然后依據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)再確定,的符號(hào)（2）若中的,為整數(shù)時(shí)，要先將分解成兩個(gè)整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看這兩個(gè)整數(shù)之和能否等于，直到湊對(duì)為止.4.2首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法在二次三項(xiàng)式中，如果二次項(xiàng)系數(shù)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，常數(shù)項(xiàng)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，把排列如下：按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，即，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式與之積，即.特別說明：（1）分解思路為“看兩端，湊中間”（2）二次項(xiàng)系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上.5、分組分解法對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式的整體，若不能直接運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，可考慮分步處理的方法，即把這個(gè)多項(xiàng)式分成幾組，先對(duì)各組分別分解因式，然后再對(duì)整體作因式分解——分組分解法.即先對(duì)題目進(jìn)行分組，然后再分解因式.6、求根公式法對(duì)于一元二次方程，當(dāng)時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，記為：.此時(shí)對(duì)應(yīng)的二次三項(xiàng)式可分解為：.2、高中相關(guān)知識(shí)1、乘法公式中的立方和、立方差公式：①②2、因式分解中的立方和、立方差公式①②對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)一：提公因式法因式分解典型例題例題1．（2025九年級(jí)下·全國(guó)·學(xué)業(yè)考試）分解因式：．例題2．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）把下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)．例題3．（24-25八年級(jí)上·廣東汕頭·期末）（1）化簡(jiǎn)：；（2）因式分解：．精練1．（24-25七年級(jí)上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）若，則的值為．2．（21-22八年級(jí)上·河南洛陽·期中）把下列多項(xiàng)式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．3．（重慶市忠縣2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）完成下列各題：(1)化簡(jiǎn)：；(2)分解因式：．對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)二：運(yùn)用公式法分解因式典型例題例題1．（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末）因式分解：(1)；(2)；例題2．（24-25八年級(jí)上·河南開封·期末）下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過程．解：設(shè)，原式…………（第一步）……（第二步）…………（第三步）…（第四步）(1)該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的______；(2)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底______（填“徹底”或“不徹底”）；若不徹底，請(qǐng)直接寫出因式分解的最后結(jié)果：____________(3)請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)下列多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．①；②．例題3．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．例題4．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）把下列各式分解因式：(1)；(2)．精練1．（24-25八年級(jí)上·河北秦皇島·期末）因式分解(1)；(2)．2．（24-25八年級(jí)上·山東淄博·期末）分解因式：(1)，(2)．3．（24-25八年級(jí)上·湖南衡陽·期末）下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過程：解：設(shè)原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）．回答下列問題：(1)該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了______．A．提取公因式

B．平方差公式

C．完全平方公式(2)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？______（填“徹底”或“不徹底”），若不徹底，則該因式分解的最終結(jié)果為______．(3)請(qǐng)你模仿上述方法，對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．4．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）分解因式：(1)；(2)；(3)．對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)三：首項(xiàng)系數(shù)為“1”的二次三項(xiàng)式因式分解典型例題例題1．（24-25八年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）將分解因式，正確的結(jié)果是（

）A． B． C． D．例題2．（24-25八年級(jí)上·甘肅定西·期末）閱讀理解題：我們知道因式分解與整式乘法是互逆的關(guān)系，那么逆用乘法公式，即是否可以分解因式呢？當(dāng)然可以，而且也很簡(jiǎn)單．如；．請(qǐng)你仿照上述方法，把下列多項(xiàng)式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．例題3．（24-25八年級(jí)上·福建泉州·期中）閱讀下列材料：將分解因式，我們可以按下面的方法解答：解：步驟：①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：，．②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：．③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海覀儗⑦@種用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．試用上述方法分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．精練1．（24-25七年級(jí)上·上海松江·階段練習(xí)）分解因式：．2．（24-25八年級(jí)上·貴州遵義·期末）睿睿自學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第121頁的“閱讀與思考”內(nèi)容介紹，在因式分解中有一類形如二次三項(xiàng)式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：將二次三項(xiàng)式因式分解，這個(gè)式子的二次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，則，如圖所示，仿照上述解決下列問題：

(1)因式分解：；睿睿做了如下分析：一次項(xiàng)為：，則常數(shù)項(xiàng)為：；則________；________；∴（____）（____）(2)因式分解：；3．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）閱讀材料：方程我們可以按下面的方法解答．分解因式：．①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：，．②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：．③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海鶕?jù)乘法原理：若，則，或．所以方程可以這樣求解：方程左邊因式分解得．所以原方程的解為，．試用上述方法和原理解下列方程：(1)；(2)；(3)．對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)四：首項(xiàng)系數(shù)“不為1”的二次三項(xiàng)式因式分解典型例題例題1．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知方程的兩根是，，那么二次三項(xiàng)式分解因式得（

）A． B．C． D．例題2．（24-25七年級(jí)上·上?！て谥校┮蚴椒纸猓海}3．（23-24八年級(jí)下·內(nèi)蒙古呼和浩特·開學(xué)考試）閱讀：用“十字相乘法”分解因式的方法．（1）二次項(xiàng)系數(shù)．（2）常數(shù)項(xiàng)，驗(yàn)算：“交叉相乘之和”．

．（3）發(fā)現(xiàn)第③個(gè)“交叉相乘之和”的結(jié)果，等于一次項(xiàng)系數(shù)．即，則．像這樣，通過十字交叉線幫助，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：(1)(2)(3)例題4．（23-24八年級(jí)上·湖北襄陽·期末）分解因式：(1)；(2)．精練1．（24-25八年級(jí)上·上海松江·期末）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：．2．（24-25八年級(jí)上·福建泉州·期中）因式分解：(1)(2)3．（24-25七年級(jí)上·上海楊浦·階段練習(xí)）分解因式：4．（24-25九年級(jí)上·山東淄博·階段練習(xí)）分解因式：(1)；(2)．對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)五：含參數(shù)的十字相乘法典型例題例題1．（23-24九年級(jí)下·云南昆明·開學(xué)考試）分解因式．例題2．（23-24七年級(jí)上·上海松江·期末）分解因式：=．例題3．（23-24七年級(jí)上·上海浦東新·期末）分解因式：．精練1．（2023·浙江衢州·一模）分解因式：2．（24-25七年級(jí)上·上海青浦·期末）因式分解：3．（24-25七年級(jí)上·上海寶山·期末）因式分解：．對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)六：十字相乘法的綜合應(yīng)用典型例題例題1．（24-25七年級(jí)上·上海松江·期末）因式分解：．例題2．（23-24七年級(jí)上·上海寶山·期末）因式分解：例題3．（24-25七年級(jí)上·上?！て谥校┮蚴椒纸猓海?．（24-25七年級(jí)上·上?！て谥校┮蚴椒纸猓海?．（23-24七年級(jí)上·上?！卧獪y(cè)試）因式分解：．3．（23-24七年級(jí)下·浙江金華·期中）因式分解(1)(2)對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)七：求十字相乘法中系數(shù)典型例題例題1．（24-25八年級(jí)下·甘肅武威·開學(xué)考試）若因式分解得：，則、的值為（）A．， B．，C．， D．，例題2．（23-24八年級(jí)下·四川成都·期中）已知關(guān)于的二次三項(xiàng)式可分解為，則的值為．例題3．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）（1）若關(guān)于x的二次三項(xiàng)式因式分解為，則的值為．（2）若，，．精練1．（24-25八年級(jí)上·山東東營(yíng)·期中）若把多項(xiàng)式分解因式后含有因式，則的值為（

）A．6 B． C． D．82．（24-25九年級(jí)上·山東德州·開學(xué)考試）用因式分解法解方程，若將左邊因式分解后有一個(gè)因式是，則m的值是（

）A．0 B．1 C． D．23．（24-25七年級(jí)上·上海楊浦·階段練習(xí)）已知，其中k、q均為整數(shù)，則．對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)八：分組分解法（四項(xiàng)式，五項(xiàng)式，六項(xiàng)式等）典型例題例題1．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）下列式子中，屬于的因式的是（）A． B． C． D．例題2．（24-25七年級(jí)上·上海松江·階段練習(xí)）分解因式：．例題3．（24-25八年級(jí)上·浙江溫州·期末）分解因式．例題4．（24-25九年級(jí)上·黑龍江大慶·期中）分解因式：．精練1．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·周測(cè)）請(qǐng)靈活運(yùn)用分組分解的方法對(duì)下列多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：(1)；(2)．2．（24-25七年級(jí)上·上海嘉定·期末）分解因式：．3．（24-25七年級(jí)上·上海楊浦·階段練習(xí)）分解因式：4．（24-25七年級(jí)上·上海·階段練習(xí)）分解因式：．對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)九：因式分解的應(yīng)用典型例題例題1．（24-25八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末）小南是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊(cè)中有這樣一條信息：分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字：學(xué)，愛，我，趣，味，數(shù)，現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（

）A．我愛學(xué) B．愛數(shù)學(xué) C．趣味數(shù)學(xué) D．我愛數(shù)學(xué)例題2．（24-25八年級(jí)上·貴州遵義·期末）現(xiàn)在生活人們已經(jīng)離不開密碼，如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶．原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式．因式分解的結(jié)果是，若取，時(shí)，則各個(gè)因式的值是：，，，把這些值從小到大排列得到，于是就可以把“016128”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼，對(duì)于多項(xiàng)式，取，時(shí)，請(qǐng)你寫出用上述方法產(chǎn)生的密碼．例題3．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別為．若該長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為14，面積為5，求的值．例題4．（24-25八年級(jí)上·河南周口·期中）有3個(gè)整式：：，：，：．(1)若，請(qǐng)化簡(jiǎn)整式；(2)若“”可以因式分解為，求□內(nèi)實(shí)數(shù)的值．例題5．（24-25八年級(jí)上·四川樂山·期末）設(shè)是關(guān)于x的多項(xiàng)式，若方程有一個(gè)根為，則．所以多項(xiàng)式必有一個(gè)一次因式．例如，多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)，，則必有一個(gè)一次因式，那么，，而，所以，，．這種因式分解的方法叫做“試根法”．解決下列問題：(1)請(qǐng)你用“試根法”分解因式：①；②；(2)若多項(xiàng)式（m為常數(shù)）有一個(gè)因式為，求m的值并將此多項(xiàng)式因式分解．精練1．（24-25八年級(jí)上·江西上饒·階段練習(xí)）利用因式分解計(jì)算等于（

）A．1 B． C．2024 D．20252．（24-25九年級(jí)上·福建泉州·期中）已知，，則的值為．3．（24-25八年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·開學(xué)考試）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?，所?是“完美數(shù)”．利用上面提到的數(shù)學(xué)思想方法解決下列問題：【應(yīng)用】（1）數(shù)61__________“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；【探究】（2）已知，則__________；（3）已知（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的k值；【拓展】（4）已知x、y滿足，求代數(shù)式的最小值．4．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·期末）浙教版數(shù)學(xué)教材七下第4章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中這樣寫到：“我們把多項(xiàng)式及叫作完全平方式”．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫作配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式的最大值、最小值等．例如：分解因式：原式；求代數(shù)式的最小值：，可知當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是．根據(jù)閱讀材料，用配方法解決下列問題：(1)分解因式：________________________．(2)求代數(shù)式的最大值．(3)當(dāng)，為何值時(shí)，多項(xiàng)式有最小值？并求出這個(gè)最小值．5．（24-25八年級(jí)上·廣東汕頭·期末）先閱讀，再解決問題：將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式分解的方法叫分組分解法．例如：．(1)分解因式：；(2)若，求m和n的值．第03講因式分解(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（24-25八年級(jí)上·山西朔州·期末）在下列多項(xiàng)式中，能用平方差公式分解因式的是（

）A． B． C． D．2．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）用分組分解法分解多項(xiàng)式時(shí)，下列分組方法正確的是（

）A． B．C． D．3．（24-25八年級(jí)上·湖北武漢·期末）下列變形是因式分解的是（

）A． B．C． D．4．（24-25八年級(jí)上·廣東珠?！て谀┫铝幸蚴椒纸庹_的是（

）A． B．C． D．5．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知因式分解后，其中有一個(gè)因式為，則k的值為（

）A．6 B． C．10 D．6．（24-25八年級(jí)上·陜西渭南·期末）下列各式變形中，從左到右是因式分解的是（

）A． B．C． D．7．（24-25八年級(jí)上·天津南開·期末）對(duì)于任何整數(shù)m．多項(xiàng)式一定能（

）A．被8整除 B．被x整除C．被9整除 D．被整除8．（24-25八年級(jí)上·河北承德·期末）若k為任意整數(shù)，則的值總能（

）A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除二、多選題9．（23-24八年級(jí)上·山東泰安·期中）下列代數(shù)式變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．10．（2021七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）下列因式分解不正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題11．（24-25八年級(jí)上·陜西西安·期末）若多項(xiàng)式能用完全平方公式進(jìn)行因式分解，則的值為．12．（24-25八年級(jí)上·河南開封·期末），，則．四、解答題13．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）用指定的方法把下列各式分解因式：(1)（拆常數(shù)項(xiàng)）；(2)（拆一次項(xiàng)）；(3)（逆用乘法法則）．14．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）把下列各式分解因式：(1)；(2)．15．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）把下列各式分解因式：(1)；(2)．16．（24-25八年級(jí)上·山西朔州·期末）（1）分解因式：；（2）分解因式：；（3）利用因式分解計(jì)算：．B能力提升一、單選題1．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）若，則的值為（

）A． B． C． D．62．（24-25八年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）三個(gè)超市出售同一種商品，其標(biāo)價(jià)相同，年底各超市分別對(duì)該商品進(jìn)行降價(jià)銷售：甲超市第一次降價(jià)，第二次降價(jià)；乙超市第一、二次降價(jià)均為；丙超市一次性降價(jià)．其中a，b為不相等的正數(shù)，則降價(jià)后該商品賣的最貴的超市為（

）A．甲超市 B．乙超市 C．丙超市 D．一樣多3．（24-25八年級(jí)上·陜西商洛·階段練習(xí)）若，則的值為（

）A．12 B．6 C．3 D．0二、填空題4．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·期末）如圖，標(biāo)號(hào)為①，②，③，④的長(zhǎng)方形不重疊地圍成長(zhǎng)方形．已知①和②能夠重合，③和④能夠重合，這四個(gè)長(zhǎng)方形的面積都是．，，且．（1）的長(zhǎng)是；（2）若代數(shù)式，則的值是．5．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）寫出公因式：（1）中分子、分母的公因式是；（2）中分子、分母的公因式是；（3）中分子、分母的公因式是．6．（24-25八年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期末）將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解得到，則的值為．三、解答題7．（24-25八年級(jí)上·河南安陽·期末）如圖1，有正方形紙片A，B和長(zhǎng)方形紙片C各若干張，小王用1張A紙片，2張B紙片，3張C紙片拼出了如圖2所示的一個(gè)大長(zhǎng)方形．在拼圖過程中他發(fā)現(xiàn)，圖2所示大長(zhǎng)方形的面積可以用“拼圖時(shí)用到的6張紙片的面積和”表示，也可以“按長(zhǎng)方形面積公式長(zhǎng)×寬”計(jì)算得出，由此他得到了一個(gè)用紙片拼圖分解因式的方法．(1)結(jié)合圖1、圖2試著分解因式：；(2)類比上述用紙片拼圖分解因式的方法：①請(qǐng)你利用圖1中A，B，C三種紙片拼出面積為的一個(gè)長(zhǎng)方形，在圖3的方框中畫出拼好后的圖形；②你的拼圖共用了張A紙片，張B紙片，張C紙片；③結(jié)合你的拼圖過程，分解因式．8．（24-25八年級(jí)上·山東臨沂·期末）發(fā)現(xiàn)與探索：(1)根據(jù)小明的解答將下列各式因式分解．小明的解答：①；②．(2)根據(jù)小麗的思考解決下列問題：小麗的思考：代數(shù)式無論取何值，都大于等于0，再加上4，則代數(shù)式大于等于4，則有最小值為4．①說明：代數(shù)式的最小值為；②請(qǐng)仿照小麗的思考解釋代數(shù)式的最大值為8，并求代數(shù)式的最大值．9．（24-25八年級(jí)上·山東日照·期末）我們把多項(xiàng)式及叫做完全平方式．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)項(xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)常數(shù)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)二次三項(xiàng)式分解因式，還能解決一些求代數(shù)式最大值、最小值的問題等．先閱讀下面兩個(gè)例子，再解決問題．例1

分解因式：解：例2

求代數(shù)式的最小值．解：∵，∴，即代數(shù)式的最小值是．根據(jù)閱讀材料用配方法解決下列問題：(1)分解因式：______．(2)多項(xiàng)式有最大值還是最小值？并求出這個(gè)最大值或最小值．(3)已知等腰的兩邊長(zhǎng)分別為，，且滿足，求的周長(zhǎng)．10．（24-25八年級(jí)上·貴州遵義·期末）【閱讀材料】教材中把形如的式子叫做完全平方式．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．利用配方法不僅可以將多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，還能解決求一些多項(xiàng)式最大值或最小值等問題．例如：①分解因式：．②求多項(xiàng)式的最小值：，，當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是．【解決問題】(1)按照上述方法分解因式：；(2)多項(xiàng)式的最小值為4，請(qǐng)求出的值；(3)若實(shí)數(shù)，滿足，請(qǐng)求多項(xiàng)式的最值．銜接點(diǎn)03因式分解初中階段高中階段1、熟練掌握提公因式法和公式法2、能靈活應(yīng)用十字相乘法3、了解分組分解法能熟練運(yùn)用十字相乘法，包括不含參數(shù)的二次三項(xiàng)式，含參數(shù)的二次三項(xiàng)式，首項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)或者非常數(shù)“1”銜接指引初中階段考查形式：選擇題，解答題信息題。高中階段考查形式：作為基本工具融入在代數(shù)運(yùn)算中。1、初中知識(shí)再現(xiàn)1、因式分解定義把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種運(yùn)算叫做因式分解.2、提公因式法（1）如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式,那么就可以把這個(gè)公因式提出來,從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式。這種分解因式的方法叫做提公因式法。如:（2）概念內(nèi)涵:①因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”；②公因式可能是單項(xiàng)式,也可能是多項(xiàng)式；③提公因式法的理論依據(jù)是乘法對(duì)加法的分配律,即:3、公式法：3.1公式法——平方差公式兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即：特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的多項(xiàng)式分解因式.（2）平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的平方，且符號(hào)相反，右邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的和與這兩個(gè)數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時(shí)要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.3.2公式法——完全平方公式兩個(gè)數(shù)的平方和加上（減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特別說明：（1）逆用乘法公式將特殊的三項(xiàng)式分解因式；（2）完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個(gè)，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時(shí)要注意字母和的廣泛意義，、可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.4、十字相乘法4.1十字相乘法利用十字交叉線來分解系數(shù)，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法叫做十字相乘法.對(duì)于二次三項(xiàng)式，若存在，則特別說明：（1）在對(duì)分解因式時(shí)，要先從常數(shù)項(xiàng)的正、負(fù)入手，若，則,同號(hào)(若，則,異號(hào))，然后依據(jù)一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)再確定,的符號(hào)（2）若中的,為整數(shù)時(shí)，要先將分解成兩個(gè)整數(shù)的積(要考慮到分解的各種可能)，然后看這兩個(gè)整數(shù)之和能否等于，直到湊對(duì)為止.4.2首項(xiàng)系數(shù)不為1的十字相乘法在二次三項(xiàng)式中，如果二次項(xiàng)系數(shù)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，常數(shù)項(xiàng)可以分解成兩個(gè)因數(shù)之積，即，把排列如下：按斜線交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三項(xiàng)式的一次項(xiàng)系數(shù)，即，那么二次三項(xiàng)式就可以分解為兩個(gè)因式與之積，即.特別說明：（1）分解思路為“看兩端，湊中間”（2）二次項(xiàng)系數(shù)一般都化為正數(shù)，如果是負(fù)數(shù)，則提出負(fù)號(hào)，分解括號(hào)里面的二次三項(xiàng)式，最后結(jié)果不要忘記把提出的負(fù)號(hào)添上.5、分組分解法對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式的整體，若不能直接運(yùn)用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，可考慮分步處理的方法，即把這個(gè)多項(xiàng)式分成幾組，先對(duì)各組分別分解因式，然后再對(duì)整體作因式分解——分組分解法.即先對(duì)題目進(jìn)行分組，然后再分解因式.6、求根公式法對(duì)于一元二次方程，當(dāng)時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，記為：.此時(shí)對(duì)應(yīng)的二次三項(xiàng)式可分解為：.2、高中相關(guān)知識(shí)1、乘法公式中的立方和、立方差公式：①②2、因式分解中的立方和、立方差公式①②對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)一：提公因式法因式分解典型例題例題1．（2025九年級(jí)下·全國(guó)·學(xué)業(yè)考試）分解因式：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】分組分解法、十字相乘法、提公因式法分解因式【分析】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．本題利用分組分解法，十字相乘法和提公因式法進(jìn)行因式分解即可．【詳解】原式．故答案為：．例題2．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）把下列各式分解因式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】提公因式法分解因式【分析】本題考查的是提公因式分解因式，確定公因式是解本題的關(guān)鍵．（1）直接利用提公因式法分解因式即可；（2）直接利用提公因式法分解因式即可；（3）將變形為，再直接提公因式進(jìn)行求解，即可解題．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．（3）解：原式．例題3．（24-25八年級(jí)上·廣東汕頭·期末）（1）化簡(jiǎn)：；（2）因式分解：．【答案】（1）；（2）【知識(shí)點(diǎn)】提公因式法分解因式、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題考查了整式的運(yùn)算、因式分解，熟練掌握乘法公式和因式分解的常用方法（提取公因式法、十字相乘法、公式法、換元法等）是解題關(guān)鍵．（1）先計(jì)算完全平方公式與平方差公式，再計(jì)算整式的加減法即可得；（2）提取公因式分解因式即可得．【詳解】解：（1）．（2）．精練1．（24-25七年級(jí)上·內(nèi)蒙古赤峰·期末）若，則的值為．【答案】6【知識(shí)點(diǎn)】已知式子的值，求代數(shù)式的值、運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、提公因式法分解因式【分析】此題考查了整式的混合運(yùn)算、提公因式法因式分解、代數(shù)式的求值．把原式變形為，再整體代入即可．【詳解】解：∵，∴故答案為：62．（21-22八年級(jí)上·河南洛陽·期中）把下列多項(xiàng)式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式分解因式、分組分解法、十字相乘法、提公因式法分解因式【分析】本題考查因式分解．（1）運(yùn)用提公因式法分解即可；（2）先展開，再分成兩組分別分解，最后利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可；（3）利用十字相乘法進(jìn)行因式分解即可；（4）先分成兩組分別分解，再提取公因式，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式；（4）解：原式．3．（重慶市忠縣2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題）完成下列各題：(1)化簡(jiǎn)：；(2)分解因式：．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】提公因式法分解因式、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題考查了乘法公式、因式分解，熟練掌握利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算和提公因式法分解因式是解題的關(guān)鍵．（1）先利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和完全平方公式計(jì)算，再合并同類項(xiàng)即可；（2）利用提公因式法進(jìn)行因式分解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)二：運(yùn)用公式法分解因式典型例題例題1．（24-25八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末）因式分解：(1)；(2)；【答案】(1)；(2)．【知識(shí)點(diǎn)】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式、綜合提公因式和公式法分解因式【分析】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．（1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；（2）先提取公因式a，然后利用完全平方公式分解因式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．例題2．（24-25八年級(jí)上·河南開封·期末）下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過程．解：設(shè)，原式…………（第一步）……（第二步）…………（第三步）…（第四步）(1)該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的______；(2)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底______（填“徹底”或“不徹底”）；若不徹底，請(qǐng)直接寫出因式分解的最后結(jié)果：____________(3)請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)下列多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．①；②．【答案】(1)公式法(2)不徹底；(3)①；②【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式分解因式、綜合運(yùn)用公式法分解因式【分析】本題考查了用完全平方公式和平方差公式分解因式，靈活運(yùn)用完全平方公式分解因式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)完全平方公式，即可解答；（2）中的還可以運(yùn)用完全平方公式分解因式，即可得到答案；（3）①設(shè)，原式可化為，根據(jù)完全平方公式可得，所以可化為，進(jìn)一步運(yùn)用完全平方公式即得到答案．②，原式可化為，根據(jù)完全平方公式可得，所以可化為，進(jìn)一步運(yùn)用平方差公式即得到答案．【詳解】（1）解：該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的公式法；（2）解：該同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，因?yàn)?，所以分解的最后結(jié)果為；（3）解：①設(shè)，則．②設(shè)則．例題3．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】綜合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，平方差公式．（1）符號(hào)變化后，可提取公因式，從而簡(jiǎn)便計(jì)算出結(jié)果；（2）先利用平方差公式分解因式，合并同類項(xiàng)后計(jì)算單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．例題4．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）把下列各式分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．（1）原式先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行因式分解，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行因式分解即可；（2）原式先根據(jù)進(jìn)行平方差公式因式分解，再根據(jù)完全平方公式進(jìn)行因式分解即可．【詳解】（1）解：．（2）解：．精練1．（24-25八年級(jí)上·河北秦皇島·期末）因式分解(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式、提公因式法分解因式【分析】（）先添括號(hào)，再利用完全平方公式分解即可；（）先提取公因式，再根據(jù)平方差公式進(jìn)行二次分解即可；本題考查了本題考查了提公因式法和公式法分解因式，熟練掌握提公因式法及公式法因式分解是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：；（2）解：．2．（24-25八年級(jí)上·山東淄博·期末）分解因式：(1)，(2)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式【分析】（）利用平方差公式因式分解即可；（）利用完全平方公式因式分解即可；本題考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．3．（24-25八年級(jí)上·湖南衡陽·期末）下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過程：解：設(shè)原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）．回答下列問題：(1)該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了______．A．提取公因式

B．平方差公式

C．完全平方公式(2)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底？______（填“徹底”或“不徹底”），若不徹底，則該因式分解的最終結(jié)果為______．(3)請(qǐng)你模仿上述方法，對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．【答案】(1)C(2)不徹底：(3)【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式【分析】本題考查的是因式分解，掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)使用的公式可得答案；（2）根據(jù)含有的因式還可以繼續(xù)分解可得分解不徹底，再利用完全平方公式分解因式即可；（3）設(shè)，再進(jìn)一步仿照題干提供的方法分解因式即可．【詳解】（1）解：該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了完全平方公式；故選：C．（2）解：該同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，解：設(shè)，原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）．；故答案為：不徹底：．（3）解：設(shè)，原式．4．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）分解因式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】綜合提公因式和公式法分解因式、分組分解法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式【分析】此題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．（）先分組，再利用提公因式進(jìn)行因式分解即可；（）先分組，再利用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行因式分解即可；（）先分組，再利用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行因式分解即可；【詳解】（1）解：．（2）解：；（3）解：．對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)三：首項(xiàng)系數(shù)為“1”的二次三項(xiàng)式因式分解典型例題例題1．（24-25八年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）將分解因式，正確的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法【分析】本題考查因式分解，利用十字相乘法求解即可．【詳解】解：故選：D．例題2．（24-25八年級(jí)上·甘肅定西·期末）閱讀理解題：我們知道因式分解與整式乘法是互逆的關(guān)系，那么逆用乘法公式，即是否可以分解因式呢？當(dāng)然可以，而且也很簡(jiǎn)單．如；．請(qǐng)你仿照上述方法，把下列多項(xiàng)式分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法【分析】本題考查因式分解—十字相乘法，（1）把分成，是一次項(xiàng)系數(shù)，由此類比分解得出答案即可；（2）把分成，是一次項(xiàng)系數(shù)，由此類比分解得出答案即可；（3）把分成，是一次項(xiàng)系數(shù)，由此類比分解得出答案即可；（4）把分成，是一次項(xiàng)系數(shù)，由此類比分解得出答案即可；弄清閱讀材料中的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．例題3．（24-25八年級(jí)上·福建泉州·期中）閱讀下列材料：將分解因式，我們可以按下面的方法解答：解：步驟：①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：，．②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：．③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海覀儗⑦@種用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法．試用上述方法分解因式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法【分析】該題主要考查了十字相乘法分解因式，解題的關(guān)鍵是理解題意．（1）根據(jù)題干方法解答即可；（2）根據(jù)題干方法解答即可；（3）根據(jù)題干方法解答即可；（4）根據(jù)題干方法解答即可；【詳解】（1）解：，①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：，，②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：，③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海?）解：，①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：，，②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：，③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海?）解：，①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：，，②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：，③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海?）解：，①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：，，②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：，③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海?．（24-25七年級(jí)上·上海松江·階段練習(xí)）分解因式：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法【分析】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的常用方法（提取公因式法、公式法、十字相乘法、換元法等）是解題關(guān)鍵．利用十字相乘法分解因式即可得．【詳解】解：，故答案為：．2．（24-25八年級(jí)上·貴州遵義·期末）睿睿自學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第121頁的“閱讀與思考”內(nèi)容介紹，在因式分解中有一類形如二次三項(xiàng)式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：將二次三項(xiàng)式因式分解，這個(gè)式子的二次項(xiàng)系數(shù)是1，常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，則，如圖所示，仿照上述解決下列問題：

(1)因式分解：；睿睿做了如下分析：一次項(xiàng)為：，則常數(shù)項(xiàng)為：；則________；________；∴（____）（____）(2)因式分解：；【答案】(1)2，4，2，4(2)【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，靈活運(yùn)用十字相乘法進(jìn)行因式分解成為解題的關(guān)鍵．（1）利用十字相乘法分解因式即可；（2）利用十字相乘法分解分解可得．【詳解】（1）解：一次項(xiàng)為：，則常數(shù)項(xiàng)為，則；；所以．故答案為：2，4，2，4．（2）解：一次項(xiàng)為：，則常數(shù)項(xiàng)為，則．3．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）閱讀材料：方程我們可以按下面的方法解答．分解因式：．①豎分二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)：，．②交叉相乘，驗(yàn)中項(xiàng)：．③橫向?qū)懗鰞梢蚴剑海鶕?jù)乘法原理：若，則，或．所以方程可以這樣求解：方程左邊因式分解得．所以原方程的解為，．試用上述方法和原理解下列方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)，；(2)，；(3)，．【知識(shí)點(diǎn)】因式分解法解一元二次方程、十字相乘法【分析】（）仿照例題的方法，利用因式分解法求解即可；（）仿照例題的方法，利用因式分解法求解即可；（）仿照例題的方法，利用因式分解法求解即可；本題考查了解一元二次方程——因式分解法，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：方程左邊因式分解，得．于是得或．所以原方程的解為，；（2）解：方程左邊因式分解，得．于是得或．所以原方程的解為，；（3）解：方程左邊因式分解，得．于是得或．所以原方程的解為，．對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)四：首項(xiàng)系數(shù)“不為1”的二次三項(xiàng)式因式分解典型例題例題1．（23-24八年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知方程的兩根是，，那么二次三項(xiàng)式分解因式得（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、十字相乘法【分析】本題主要考查解一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系及因式分解，根據(jù)方程的兩根是，，可得，求得，再將因式分解即可．【詳解】解：方程的兩根為，，，，，，，故選：D例題2．（24-25七年級(jí)上·上?！て谥校┮蚴椒纸猓海敬鸢浮俊局R(shí)點(diǎn)】十字相乘法、提公因式法分解因式【分析】本題考查的是提取公因式法和十字相乘法進(jìn)行因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．先提取公因式，再根據(jù)十字相乘法進(jìn)行因式分解即可得出答案．【詳解】解：，．故答案為：．例題3．（23-24八年級(jí)下·內(nèi)蒙古呼和浩特·開學(xué)考試）閱讀：用“十字相乘法”分解因式的方法．（1）二次項(xiàng)系數(shù)．（2）常數(shù)項(xiàng)，驗(yàn)算：“交叉相乘之和”．

．（3）發(fā)現(xiàn)第③個(gè)“交叉相乘之和”的結(jié)果，等于一次項(xiàng)系數(shù)．即，則．像這樣，通過十字交叉線幫助，把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法【分析】本題考查的是利用十字乘法分解因式；（1）直接利用十字乘法分解因式即可；（2）直接利用十字乘法分解因式即可；（3）把看整體，再利用十字乘法分解因式即可；【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：例題4．（23-24八年級(jí)上·湖北襄陽·期末）分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法、提公因式法分解因式【分析】此題考查了因式分解-十字相乘法和提公因式法，熟練掌握十字相乘的方法是解本題的關(guān)鍵．（1）原式利用十字相乘法分解即可；（2）原式提取，再利用十字相乘法分解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．精練1．（24-25八年級(jí)上·上海松江·期末）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法【分析】本題考查了因式分解；利用十字相乘法求解即可．【詳解】故答案為：．2．（24-25八年級(jí)上·福建泉州·期中）因式分解：(1)(2)【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】提公因式法分解因式、十字相乘法、平方差公式分解因式【分析】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)平方差公式因式分解即可；（2）先提取公因數(shù)2，然后根據(jù)十字相乘法因式分解即可．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．3．（24-25七年級(jí)上·上海楊浦·階段練習(xí)）分解因式：【答案】【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法【分析】本題考查了利用了十字相乘法進(jìn)行因式分解，利用了十字相乘法分解的分解原則是關(guān)鍵．將4化為，化為，用十字相乘法分解因式即可．【詳解】解：4．（24-25九年級(jí)上·山東淄博·階段練習(xí)）分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法【分析】本題主要考查了分解因式，直接根據(jù)十字相乘法分解因式即可．【詳解】（1）解：（2）解：．對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)五：含參數(shù)的十字相乘法典型例題例題1．（23-24九年級(jí)下·云南昆明·開學(xué)考試）分解因式．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法【分析】本題考查因式分解，利用十字相乘法因式分解即可．【詳解】解：，故答案為：．例題2．（23-24七年級(jí)上·上海松江·期末）分解因式：=．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法【分析】本題考查了因式分解，掌握及十字相乘法的分解方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式，故答案：．例題3．（23-24七年級(jí)上·上海浦東新·期末）分解因式：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法【分析】此題考查了因式分解的方法，利用十字相乘法分解因式即可；解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．【詳解】．故答案為：．精練1．（2023·浙江衢州·一模）分解因式：【答案】【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法、提公因式法分解因式【分析】先提取公因式3，再對(duì)余下的多項(xiàng)式利用十字相乘法繼續(xù)分解．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了用提公因式法和十字相乘法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．2．（24-25七年級(jí)上·上海青浦·期末）因式分解：【答案】【知識(shí)點(diǎn)】提公因式法分解因式、十字相乘法【分析】本題考查了因式分解，先提取負(fù)號(hào)，然后根據(jù)十字相乘法因式分解即可．【詳解】解∶原式故答案為∶．3．（24-25七年級(jí)上·上海寶山·期末）因式分解：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法【分析】本題考查的是因式分解，利用十字乘法分解因式即可．【詳解】解：；對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)六：十字相乘法的綜合應(yīng)用典型例題例題1．（24-25七年級(jí)上·上海松江·期末）因式分解：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法【分析】本題考查的是因式分解，先計(jì)算整式的乘法，再合并同類項(xiàng)，最后利用十字乘法分解因式即可．【詳解】解：．例題2．（23-24七年級(jí)上·上海寶山·期末）因式分解：【答案】【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法【分析】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．連續(xù)利用十字相乘法分解因式即可．【詳解】．例題3．（24-25七年級(jí)上·上?！て谥校┮蚴椒纸猓海敬鸢浮俊局R(shí)點(diǎn)】十字相乘法【分析】本題主要考查了分解因式，先把看做一個(gè)整體利用十字相乘法分解因式，再繼續(xù)利用十字相乘法分解因式即可．【詳解】解：．精練1．（24-25七年級(jí)上·上海·期中）因式分解：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法【分析】本題主要考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法，是解題的關(guān)鍵．令，將原式變?yōu)?，然后將代入再分解因式即可．【詳解】解：令則原式變?yōu)椋?，∴原式?．（23-24七年級(jí)上·上?！卧獪y(cè)試）因式分解：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法【分析】本題主要考查十字相乘因式分解．熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．將原式化為，從而因式分解為兩個(gè)多項(xiàng)式相乘的形式．【詳解】解：，，，．3．（23-24七年級(jí)下·浙江金華·期中）因式分解(1)(2)【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式【分析】此題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．（1）利用完全平方公式因式分解即可．（2）先利用十字相乘法分解因式，然后利用平方差公式分解因式．【詳解】（1）；（2）．對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)七：求十字相乘法中系數(shù)典型例題例題1．（24-25八年級(jí)下·甘肅武威·開學(xué)考試）若因式分解得：，則、的值為（）A．， B．，C．， D．，【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】（x+p）（x+q）型多項(xiàng)式乘法、十字相乘法【分析】本題考查了因式分解和多項(xiàng)式的乘法，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，即可得到答案．【詳解】解：，故選：A例題2．（23-24八年級(jí)下·四川成都·期中）已知關(guān)于的二次三項(xiàng)式可分解為，則的值為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法【分析】本題考查了因式分解，能熟記是解此題的關(guān)鍵，根據(jù)公式得出，，求出、，再求出答案即可．【詳解】解：關(guān)于的二次三項(xiàng)式可分解為，∴，，即，，∴．故答案為：．例題3．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）（1）若關(guān)于x的二次三項(xiàng)式因式分解為，則的值為．（2）若，，．【答案】4【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、十字相乘法【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握多項(xiàng)式乘法法則以及多項(xiàng)式相等的定義是解題關(guān)鍵．（1）首先計(jì)算，然后根據(jù)因式分解為求解即可；（2）根據(jù)已知得出，得到，，求出即可．【詳解】解：（1）∵因式分解為∴，∴．故答案為：；（2）∵∴，∴，．故答案為：4，．精練1．（24-25八年級(jí)上·山東東營(yíng)·期中）若把多項(xiàng)式分解因式后含有因式，則的值為（

）A．6 B． C． D．8【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法【分析】本題考查了因式分解的意義，熟練掌握十字相乘的方法分解因式是解本題的關(guān)鍵．直接利用十字相乘解題即可．【詳解】解：∵把多項(xiàng)式分解因式后含有因式，∴，∴，故選：D．2．（24-25九年級(jí)上·山東德州·開學(xué)考試）用因式分解法解方程，若將左邊因式分解后有一個(gè)因式是，則m的值是（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】已知因式分解的結(jié)果求參數(shù)、十字相乘法【分析】利用十字相乘法分解可得答案．本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵用因式分解法解方程，若將左邊因式分解后有一個(gè)因式是，∴，則，，故選：B3．（24-25七年級(jí)上·上海楊浦·階段練習(xí)）已知，其中k、q均為整數(shù)，則．【答案】或15【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法【分析】把等式右邊展開，由對(duì)應(yīng)相等得出，，再由k，q均為整數(shù)，求出k和q的值，即可求出答案．本題考查因式分解—十字相乘法等，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，，∴當(dāng)時(shí)，則，∴；當(dāng)時(shí)，則，∴；故答案為或15對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)八：分組分解法（四項(xiàng)式，五項(xiàng)式，六項(xiàng)式等）典型例題例題1．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）下列式子中，屬于的因式的是（）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】提公因式法分解因式、分組分解法【分析】本題考查多項(xiàng)式的因式分解及因式的概念，解題的關(guān)鍵是判斷每個(gè)選項(xiàng)能否整除給定的多項(xiàng)式．通過對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行分組分解因式，再判斷各選項(xiàng)是否為其因式．【詳解】由此可知是的因式，而都不是它的因式．故選：C．例題2．（24-25七年級(jí)上·上海松江·階段練習(xí)）分解因式：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】分組分解法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式【分析】本題考查了分組分解法分解因式．首先將前三項(xiàng)分組進(jìn)而利用完全平方公式和平方差公式分解因式得出即可．【詳解】解：故答案為：．例題3．（24-25八年級(jí)上·浙江溫州·期末）分解因式．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法、分組分解法【分析】本題考查了用分組分解和十字相乘法因式分解，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握十字相乘法．先將因式分組分解，再通過十字相乘法，即可得出結(jié)果．【詳解】解：原式．故答案為：．例題4．（24-25九年級(jí)上·黑龍江大慶·期中）分解因式：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】分組分解法、平方差公式分解因式【分析】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．利用分組分解法，先對(duì)因式分解得，再利用平方差公式因式分解．【詳解】解：，故答案為：．精練1．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·周測(cè)）請(qǐng)靈活運(yùn)用分組分解的方法對(duì)下列多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】提公因式法分解因式、分組分解法【分析】本題考查了分組分解法，提公因式分解因式．（1）先提取公因式，再分組分解，后利用提公因式即可求解；（2）先分組，再提取公因式，再次分組分解，即可求解．【詳解】（1）解：．（2）解：2．（24-25七年級(jí)上·上海嘉定·期末）分解因式：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】分組分解法【分析】將前兩項(xiàng)分組后兩項(xiàng)分組，進(jìn)而提取公因式再利用平方差公式分解因式．此題主要考查了分組分解法因式分解，正確進(jìn)行分組是解題關(guān)鍵．【詳解】解：3．（24-25七年級(jí)上·上海楊浦·階段練習(xí)）分解因式：【答案】【知識(shí)點(diǎn)】十字相乘法、分組分解法【分析】先把二次三項(xiàng)式利用十字相乘法進(jìn)行因式分解，再利用十字相乘法繼續(xù)分解即可．本題考查的是利用分組分解法進(jìn)行因式分解，把多項(xiàng)式進(jìn)行正確的分組、靈活運(yùn)用十字相乘法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：．4．（24-25七年級(jí)上·上?！るA段練習(xí)）分解因式：．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】綜合提公因式和公式法分解因式、分組分解法【分析】本題主要考查了分組分解法，綜合提公因式和公式法分解因式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握分解因式的方法是解題的關(guān)鍵．先對(duì)原式使用分組分解法分解因式，得到，然后提取公因式，再對(duì)剩余部分使用平方差公式分解因式即可．【詳解】解：．對(duì)點(diǎn)集訓(xùn)九：因式分解的應(yīng)用典型例題例題1．（24-25八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末）小南是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊(cè)中有這樣一條信息：分別對(duì)應(yīng)下列六個(gè)字：學(xué)，愛，我，趣，味，數(shù)，現(xiàn)將因式分解，結(jié)果呈現(xiàn)的密碼信息可能是（

）A．我愛學(xué) B．愛數(shù)學(xué) C．趣味數(shù)學(xué) D．我愛數(shù)學(xué)【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用【分析】本題考查因式分解的應(yīng)用，將進(jìn)行因式分解，然后根據(jù)整式對(duì)應(yīng)的字，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，∵對(duì)應(yīng)的字為：學(xué)，愛，我，數(shù)，故呈現(xiàn)的密碼信息可能是我愛數(shù)學(xué)；故選D．例題2．（24-25八年級(jí)上·貴州遵義·期末）現(xiàn)在生活人們已經(jīng)離不開密碼，如取款、上網(wǎng)等都需要密碼，有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶．原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式．因式分解的結(jié)果是，若取，時(shí)，則各個(gè)因式的值是：，，，把這些值從小到大排列得到，于是就可以把“016128”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼，對(duì)于多項(xiàng)式，取，時(shí)，請(qǐng)你寫出用上述方法產(chǎn)生的密碼．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】綜合提公因式和公式法分解因式、因式分解的應(yīng)用【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用、代數(shù)式求值等知識(shí)點(diǎn)，正確進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．把所求的代數(shù)式分解因式后整理成條件中所給出的代數(shù)式的形式，然后整體代入即可解答．【詳解】解：，當(dāng)，時(shí)，，所以把它們從小到大排列得到．用上述方法產(chǎn)生的密碼是：．故答案為：．例題3．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別為．若該長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為14，面積為5，求的值．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，涉及完全平方和公式，利用長(zhǎng)方形面積公式得到，由長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式得到，將原式因式分解得出，將與代入求值即可得到答案．熟記公式結(jié)構(gòu)，正確將原式分解因式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別為．若該長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為14，面積為5，∴，，∴將，代入可知，原式．例題4．（24-25八年級(jí)上·河南周口·期中）有3個(gè)整式：：，：，：．(1)若，請(qǐng)化簡(jiǎn)整式；(2)若“”可以因式分解為，求□內(nèi)實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用、計(jì)算單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及求值【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，因式分解的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）直接把,，代入進(jìn)行計(jì)算，即可作答．（2）設(shè)，，因?yàn)椋?，，即可作答．【詳解】?）解：∵,，，且，∴；（2）解：設(shè)，，∵，∴，∴，，解得，即□內(nèi)實(shí)數(shù)的值為．例題5．（24-25八年級(jí)上·四川樂山·期末）設(shè)是關(guān)于x的多項(xiàng)式，若方程有一個(gè)根為，則．所以多項(xiàng)式必有一個(gè)一次因式．例如，多項(xiàng)式，當(dāng)時(shí)，，則必有一個(gè)一次因式，那么，，而，所以，，．這種因式分解的方法叫做“試根法”．解決下列問題：(1)請(qǐng)你用“試根法”分解因式：①；②；(2)若多項(xiàng)式（m為常數(shù)）有一個(gè)因式為，求m的值并將此多項(xiàng)式因式分解．【答案】(1)①；②(2)，【知識(shí)點(diǎn)】計(jì)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、因式分解的應(yīng)用【分析】本題考查因式分解，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，理解“試根法”的原理是解題的關(guān)鍵．（1）①時(shí)，，令，參照題干，即可求解；②當(dāng)時(shí)，，令，參照題干，即可求解；（2）令，參照題干，即可求解．【詳解】（1）解：①當(dāng)時(shí)，，則必有一個(gè)一次因式，令，而，，，．②當(dāng)時(shí)，，則必有一個(gè)一次因式，令，而，，，，，，，．同理，可得，；（2）解：多項(xiàng)式（m為常數(shù)）有一個(gè)因式為，令，而，，，，，解得，，，，，同理，可得，．精練1．（24-25八年級(jí)上·江西上饒·階段練習(xí)）利用因式分解計(jì)算等于（

）A．1 B． C．2024 D．2025【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用、提公因式法分解因式【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，根據(jù)提公因式法計(jì)算即可得解，熟練掌握提公因式法是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，故選：C．2．（24-25九年級(jí)上·福建泉州·期中）已知，，則的值為．【答案】24【知識(shí)點(diǎn)】已知式子的值，求代數(shù)式的值、因式分解的應(yīng)用【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，由題意可得，再將所求式子進(jìn)行因式分解，整體代入進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．3．（24-25八年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·開學(xué)考試）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?，所?是“完美數(shù)”．利用上面提到的數(shù)學(xué)思想方法解決下列問題：【應(yīng)用】（1）數(shù)61__________“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；【探究】（2）已知，則__________；（3）已知（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的k值；【拓展】（4）已知x、y滿足，求代數(shù)式的最小值．【答案】（1）是；（2）1；（3）9；（4）【知識(shí)點(diǎn)】通過對(duì)完全平方公式變形求值、因式分解的應(yīng)用、運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用，掌握完全平方公式的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)新定義求解；（2）先把等式的左邊進(jìn)行配方，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出、的值，再求；（3）先根據(jù)的前四項(xiàng)進(jìn)行配方，再根據(jù)相等的條件求解；（4）根據(jù)條件求出的值，再進(jìn)行配方求解．【詳解】（1）解：，是“完美數(shù)”，故答案為：是；（2）解：，，，，故答案為：1；（3）解：，為“完美數(shù)”，，；（4）解：，，，，當(dāng)時(shí)，的最小值為．4．（24-25七年級(jí)下·全國(guó)·期末）浙教版數(shù)學(xué)教材七下第4章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中這樣寫到：“我們把多項(xiàng)式及叫作完全平方式”．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫作配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題或求代數(shù)式的最大值、最小值等．例如：分解因式：原式；求代數(shù)式的最小值：，可知當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值是．根據(jù)閱讀材料，用配方法解決下列問題：(1)分解因式：________________________．(2)求代數(shù)式的最大值．(3)當(dāng)，為何值時(shí)，多項(xiàng)式有最小值？并求出這個(gè)最小值．【答案】(1)(2)17(3)當(dāng)，時(shí)，該多項(xiàng)式有最小值，這個(gè)最小值為【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用、構(gòu)造二元一次方程組求解【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，將多項(xiàng)式配方，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．（1）利用題干提供的方法，先配方，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解，即可解答；（2）先配方，然后根據(jù)完全平方式的非負(fù)性求最大值即可；（3）先配方，把原式化成兩個(gè)完全平方式和一個(gè)常數(shù)之和的形式，然后根據(jù)完全平方式的非負(fù)性求最小值即可．【詳解】（1）解：；（2）解：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，的值最大，最大值是17.（3），取等號(hào)時(shí)，有，解得，所以當(dāng)，時(shí)，該多項(xiàng)式有最小值，這個(gè)最小值為．5．（24-25八年級(jí)上·廣東汕頭·期末）先閱讀，再解決問題：將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式分解的方法叫分組分解法．例如：．(1)分解因式：；(2)若，求m和n的值．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】分組分解法、因式分解的應(yīng)用【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用、分組法因式分解等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用分組法進(jìn)行因式分解成為解題的關(guān)鍵．（1）先將原式分組后進(jìn)行因式分解即可；（2）先將原式分組后進(jìn)行因式分解，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列二元一次方程組求解即可．【詳解】（1）解：．（2）解：∵，∴，∴，∴，解得：．第03講因式分解(分層精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（24-25八年級(jí)上·山西朔州·期末）在下列多項(xiàng)式中，能用平方差公式分解因式的是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式分解因式【分析】本題考查了利用平方差公式分解因式．根據(jù)平方差公式的特征，即可求解．【詳解】解：A、，不能用平方差公式分解因式，本選項(xiàng)不符合題意；B、，不能用平方差公式分解因式，本選項(xiàng)不符合題意；C、，不能用平方差公式分解因式，本選項(xiàng)不符合題意；D、，能用平方差公式分解因式，本選項(xiàng)符合題意；故選：D．2．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）用分組分解法分解多項(xiàng)式時(shí)，下列分組方法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式【分析】此題主要考查分組分解法分解因式，分組后都可運(yùn)用公式，熟練掌握分組分解法分解因式是解答本題的關(guān)鍵．將分為一組，再觀察剩下的式子，即．【詳解】解：，，，，故選：C．3．（24-25八年級(jí)上·湖北武漢·期末）下列變形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】判斷是否是因式分解【分析】此題考查因式分解，分解因式就是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式．因此，要確定從左到右的變形中是否為分解因式，只需根據(jù)定義來確定．【詳解】解：A、是多項(xiàng)式乘法，不是因式分解，錯(cuò)誤；B、有分式，不是因式分解，錯(cuò)誤；C、是因式分解，正確；D、右邊不是積的形式，錯(cuò)誤；故選：C．4．（24-25八年級(jí)上·廣東珠?！て谀┫铝幸蚴椒纸庹_的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、判斷是否是因式分解【分析】本題考查了因式分解．因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)因式的積的形式，叫做把一個(gè)多項(xiàng)式分解因式，根據(jù)完全平方公式、因式分解的定義判斷即可．【詳解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，本選項(xiàng)不符合題意；B、等式的右邊不是整式積的形式，不是因式分解，本選項(xiàng)不符合題意；C、，原分解錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不符合題意；D、，本選項(xiàng)符合題意；故選：D．5．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）已知因式分解后，其中有一個(gè)因式為，則k的值為（

）A．6 B． C．10 D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用【分析】本題主要考查因式分解，根據(jù)題意，令，當(dāng)時(shí)，代入求解即可．【詳解】解：令當(dāng)時(shí)，∴故選：B．6．（24-25八年級(jí)上·陜西渭南·期末）下列各式變形中，從左到右是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】判斷是否是因式分解【分析】本題主要考查了因式分解的定義，把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式的變形叫因式分解，等號(hào)的左邊是一個(gè)多項(xiàng)式，右邊是幾個(gè)整式的積．根據(jù)因式分解的定義判斷即可．【詳解】解：A、，右邊不是幾個(gè)整式的積的形式，本選項(xiàng)不符合題意；B、，是整式的乘法，不是因式分解，本選項(xiàng)不符合題意；C、，是整式的乘法，不是因式分解，本選項(xiàng)不符合題意；D、，是因式分解，本選項(xiàng)符合題意．故選：D．7．（24-25八年級(jí)上·天津南開·期末）對(duì)于任何整數(shù)m．多項(xiàng)式一定能（

）A．被8整除 B．被x整除C．被9整除 D．被整除【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用、平方差公式分解因式【分析】本題考查了因式分解的應(yīng)用，掌握因式分解的方法是正確解答的關(guān)鍵．綜合提公因式法和公式法將原式化為即可．【詳解】解：，∴多項(xiàng)式一定能8整除，故選：A．8．（24-25八年級(jí)上·河北承德·期末）若k為任意整數(shù)，則的值總能（

）A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用、平方差公式分解因式【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，利用平方差公式把因式分解為，據(jù)此可得答案．【詳解】解：；∵k為任意整數(shù)，∴為整數(shù)，∴一定能被4整除，∴的值總能被4整除，故選：A．二、多選題9．（23-24八年級(jí)上·山東泰安·期中）下列代數(shù)式變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【知識(shí)點(diǎn)】綜合提公因式和公式法分解因式、判斷是否是因式分解【分析】本題考查了因式分解的定義，把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫分解因式，根據(jù)因式分解的定義分析求解即可?！驹斀狻拷猓篈、，不符合因式分解的定義，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，符合因式分解的定義，故本選項(xiàng)符合題意；C、)，符合因式分解的定義，故本選項(xiàng)符合題意；D、，左邊不等于右邊，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：BC．10．（2021七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）下列因式分解不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【知識(shí)點(diǎn)】提公因式法分解因式、十字相乘法、平方差公式分解因式【分析】利用提公因式法、公式法以及十字相乘法對(duì)各項(xiàng)分解因式得到結(jié)果，判斷即可．【詳解】解：A、原式＝x（x﹣2），故A選項(xiàng)符合題意；B、原式＝（a﹣3）（a+2），故B選項(xiàng)符合題意；C、原式不能分解，故C選項(xiàng)符合題意；D、原式＝（2x+y）（2x﹣y），故D選項(xiàng)不符合題意，故選：ABC．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解﹣十字相乘法以及提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．三、填空題11．（24-25八年級(jí)上·陜西西安·期末）若多項(xiàng)式能用完全平方公式進(jìn)行因式分解，則的值為．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式分解因式【分析】本題考查因式分解—公式法，利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出m的值．解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式：．【詳解】解：∵多項(xiàng)式能用完全平方公式進(jìn)行因式分解，∴，解得：或，∴的值為或．故答案為：或．12．（24-25八年級(jí)上·河南開封·期末），，則．【答案】18【知識(shí)點(diǎn)】通過對(duì)完全平方公式變形求值、提公因式法分解因式、因式分解的應(yīng)用【分析】本題考查了運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，因式分解的應(yīng)用，此題較簡(jiǎn)單，解題時(shí)要熟練掌握公式結(jié)構(gòu)是求解的關(guān)鍵．根據(jù)，，得出，然后利用完全平方公式把進(jìn)行變形，然后代入數(shù)據(jù)求解即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故答案是：．四、解答題13．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）用指定的方法把下列各式分解因式：(1)（拆常數(shù)項(xiàng)）；(2)（拆一次項(xiàng)）；(3)（逆用乘法法則）．【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】綜合提公因式和公式法分解因式、十字相乘法、平方差公式分解因式【分析】本題考查了分解因式，熟練掌握分解因式的方法是解答本題的關(guān)鍵．（1）用拆常數(shù)項(xiàng)的方法解答即可；（2）用拆一次項(xiàng)的方法解答即可；（3）逆用乘法法則的方法解答即可．【詳解】（1）解：原式，，，；（2）解：原式，，；（3）解：原式，．14．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）把下列各式分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】提公因式法分解因式【分析】本題考查了分解因式，熟練掌握分解因式的方法是解題的關(guān)鍵.（1）用提公因式法分解因式即可；（2）用提公因式法分解因式即可.【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．15．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）把下列各式分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】平方差公式分解因式【分析】此題考查了因式分解．（1）利用平方差公式分解因式即可；（2）利用平方差公式分解因式即可．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．16．（24-25八年級(jí)上·山西朔州·期末）（1）分解因式：；（2）分解因式：；（3）利用因式分解計(jì)算：．【答案】（1）；（2）；（3）【知識(shí)點(diǎn)】綜合提公因式和公式法分解因式【分析】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．（1）先提公因式，再用完全平方公式分解；（2）先提公因式，再用平方差公式分解；（3）運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行分解計(jì)算．【詳解】解：（1）；（2）；（3）．B能力提升一、單選題1．（2025七年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）若，則的值為（

）A． B． C． D．6【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算、平方差公式分解因式【分析】此題考查了因式分解和整式混合運(yùn)算，根據(jù)題意求出，，即可求出的值．【詳解】解∶∵，∴，∵，∴，∴解得，∴．即∵∴解得故選：C．2．（24-25八年級(jí)上·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）三個(gè)超市出售同一種商品，其標(biāo)價(jià)相同，年底各超市分別對(duì)該商品進(jìn)行降價(jià)銷售：甲超市第一次降價(jià)，第二次降價(jià)；乙超市第一、二次降價(jià)