2025年江西省成人高等學校招生考試[數(shù)學(文)]練習題及答案一、選擇題1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)答案：B解析：根據(jù)交集的定義，\(A\capB\)是由既屬于集合\(A\)又屬于集合\(B\)的所有元素組成的集合。集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，共同的元素是\(2\)和\(3\)，所以\(A\capB=\{2,3\}\)。2.函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是（）A.\((-\infty,1]\)B.\((-\infty,1)\)C.\([1,+\infty)\)D.\((1,+\infty)\)答案：C解析：要使根式有意義，則根號下的數(shù)必須大于等于\(0\)，即\(x-1\geq0\)，解得\(x\geq1\)，所以函數(shù)\(y=\sqrt{x-1}\)的定義域是\([1,+\infty)\)。3.若\(\log_{3}x=2\)，則\(x\)的值為（）A.\(3\)B.\(6\)C.\(9\)D.\(27\)答案：C解析：根據(jù)對數(shù)的定義，如果\(\log_{a}N=b\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)，\(N\gt0\)），那么\(N=a^\)。已知\(\log_{3}x=2\)，則\(x=3^{2}=9\)。4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-2,3)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\)（）A.\(4\)B.\(2\)C.\(-4\)D.\(-2\)答案：B解析：根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算公式，若\(\overrightarrow{a}=(x_{1},y_{1})\)，\(\overrightarrow=(x_{2},y_{2})\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\)。已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-2,3)\)，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\times(-2)+2\times3=-2+6=2\)。5.不等式\(\vertx-1\vert\lt2\)的解集是（）A.\((-1,3)\)B.\((-3,1)\)C.\((-\infty,-1)\cup(3,+\infty)\)D.\((-\infty,-3)\cup(1,+\infty)\)答案：A解析：由\(\vertx-1\vert\lt2\)可得\(-2\ltx-1\lt2\)。不等式同時加\(1\)，得到\(-2+1\ltx-1+1\lt2+1\)，即\(-1\ltx\lt3\)，所以不等式\(\vertx-1\vert\lt2\)的解集是\((-1,3)\)。6.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)答案：C解析：根據(jù)正弦函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\vert\omega\vert}\)，對于函數(shù)\(y=\sinx\)，\(\omega=1\)，所以最小正周期\(T=\frac{2\pi}{1}=2\pi\)。7.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{3}=5\)，則公差\(d=\)（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)答案：B解析：在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)，已知\(a_{1}=1\)，\(a_{3}=5\)，則\(a_{3}=a_{1}+2d\)，即\(5=1+2d\)，移項可得\(2d=5-1=4\)，解得\(d=2\)。8.直線\(2x-y+1=0\)的斜率為（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)答案：A解析：將直線方程\(2x-y+1=0\)轉化為斜截式\(y=kx+b\)的形式（其中\(zhòng)(k\)為斜率，\(b\)為直線在\(y\)軸上的截距），移項可得\(y=2x+1\)，所以直線的斜率\(k=2\)。9.已知圓的方程為\((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4\)，則圓心坐標為（）A.\((2,-3)\)B.\((-2,3)\)C.\((2,3)\)D.\((-2,-3)\)答案：A解析：圓的標準方程為\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)，其中\(zhòng)((a,b)\)為圓心坐標，\(r\)為半徑。已知圓的方程為\((x-2)^{2}+(y+3)^{2}=4\)，即\((x-2)^{2}+[y-(-3)]^{2}=2^{2}\)，所以圓心坐標為\((2,-3)\)。10.函數(shù)\(y=2^{x}\)的圖象經(jīng)過的定點坐標是（）A.\((0,1)\)B.\((1,0)\)C.\((0,0)\)D.\((1,1)\)答案：A解析：對于指數(shù)函數(shù)\(y=a^{x}\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)），當\(x=0\)時，\(y=a^{0}=1\)，所以函數(shù)\(y=2^{x}\)的圖象經(jīng)過定點\((0,1)\)。二、填空題1.函數(shù)\(y=x^{2}-2x+3\)的對稱軸方程是______。答案：\(x=1\)解析：對于二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)），其對稱軸方程為\(x=-\frac{2a}\)。在函數(shù)\(y=x^{2}-2x+3\)中，\(a=1\)，\(b=-2\)，所以對稱軸方程為\(x=-\frac{-2}{2\times1}=1\)。2.已知\(\tan\alpha=2\)，則\(\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}=\)______。答案：\(\frac{2}{3}\)解析：分子分母同時除以\(\cos\alpha\)（因為\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\)，\(\cos\alpha\neq0\)），則\(\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\tan\alpha}{\tan\alpha+1}\)。把\(\tan\alpha=2\)代入可得\(\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}\)。3.已知點\(P(2,-3)\)到直線\(3x-4y+5=0\)的距離為______。答案：\(5\)解析：點\((x_{0},y_{0})\)到直線\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同時為\(0\)）的距離公式為\(d=\frac{\vertAx_{0}+By_{0}+C\vert}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)。已知點\(P(2,-3)\)，直線\(3x-4y+5=0\)，則\(A=3\)，\(B=-4\)，\(C=5\)，\(x_{0}=2\)，\(y_{0}=-3\)，代入距離公式可得\(d=\frac{\vert3\times2-4\times(-3)+5\vert}{\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}}}=\frac{\vert6+12+5\vert}{\sqrt{9+16}}=\frac{\vert23\vert}{5}=5\)。4.若等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{2}=2\)，\(a_{4}=8\)，則\(a_{3}=\)______。答案：\(\pm4\)解析：在等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{3}^{2}=a_{2}a_{4}\)。已知\(a_{2}=2\)，\(a_{4}=8\)，則\(a_{3}^{2}=2\times8=16\)，所以\(a_{3}=\pm4\)。三、解答題1.已知函數(shù)\(f(x)=x^{2}+2x-3\)。（1）求函數(shù)\(f(x)\)的零點；（2）若\(f(x)\lt0\)，求\(x\)的取值范圍。解：（1）令\(f(x)=0\)，即\(x^{2}+2x-3=0\)。對于一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），這里\(a=1\)，\(b=2\)，\(c=-3\)，根據(jù)求根公式\(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)，先計算\(\Delta=b^{2}-4ac=2^{2}-4\times1\times(-3)=4+12=16\)。則\(x=\frac{-2\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{-2\pm4}{2}\)，\(x_{1}=\frac{-2+4}{2}=1\)，\(x_{2}=\frac{-2-4}{2}=-3\)。所以函數(shù)\(f(x)\)的零點為\(-3\)和\(1\)。（2）由\(f(x)\lt0\)，即\(x^{2}+2x-3\lt0\)。因式分解得\((x+3)(x-1)\lt0\)。令\((x+3)(x-1)=0\)，其根為\(x=-3\)和\(x=1\)。根據(jù)二次函數(shù)\(y=(x+3)(x-1)=x^{2}+2x-3\)的圖象開口向上（因為\(a=1\gt0\)），所以不等式\((x+3)(x-1)\lt0\)的解集為\(-3\ltx\lt1\)，即\(x\)的取值范圍是\((-3,1)\)。2.在\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=4\)，\(\angleC=60^{\circ}\)。（1）求\(c\)的值；（2）求\(\sinA\)的值。解：（1）根據(jù)余弦定理\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cosC\)。已知\(a=3\)，\(b=4\)，\(\angleC=60^{\circ}\)，\(\cosC=\frac{1}{2}\)。則\(c^{2}=3^{2}+4^{2}-2\times3\times4\times\frac{1}{2}=9+16-12=13\)，所以\(c=\sqrt{13}\)。（2）由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}\)。已知\(a=3\)，\(c=\sqrt{13}\)，\(\sinC=\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)。則\(\sinA=\frac{a\sinC}{c}=\frac{3\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{39}}{26}\)。3.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和\(S_{n}=n^{2}+2n\)。（1）求數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的通項公式；（2）設\(b_{n}=\frac{1}{a_{n}a_{n+1}}\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{b_{n}\}\)的前\(n\)項和\(T_{n}\)。解：（1）當\(n=1\)時，\(a_{1}=S_{1}=1^{2}+2\times1=3\)。當\(n\geq2\)時，\(a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=(n^{2}+2n)-[(n-1)^{2}+2(n-1)]\)\(=n^{2}+2n-(n^{2}-2n+1+2n-2)=n^{2}+2n-n^{2}+2n-1-2n+2=2n+1\)。當\(n=1\)時，\(a_{1}=2\times1+1=3\)，上式也成立。所以數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的通項公式為\(a_{n}=2n+1\)。（2）因為\(b_{n}=\frac{1}{a_{n}a_{n+1}}=\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3})\)。則\(T_{n}=b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}\)\(=\frac{1}{2}[(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{7})+\cdots+(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3})]\)\(=\frac{1}{2}(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}