項目四

分析形體上基本元素的投影4.1分析形體上點的投影4.2分析形體上直線的投影圖4.3分析形體上平面的投影圖

4.1分析形體上點的投影

技能要求

點與形體

一、點的投影

二、點的投影規(guī)律

由點的兩面投影求第三面投影

三、兩點的相對位置

四、重影點及可見性

任務(wù)實施

課堂檢測

(一)分析點的投影

(二)判斷點的空間位置

技能要求：

1）理解并熟記點的投影規(guī)律。

2）會根據(jù)點的兩面投影繪制點的第三面投影。

3）能根據(jù)兩點的三面投影判斷其相對位置。

4）在形體的三面圖上，分析形體上點的三面同意。

5）根據(jù)形體上點的兩面投影，確定其第三面投影，并判斷其在形體上的位置。

點與形體

圖示為三棱錐、六棱錐、五棱錐，棱錐都由棱面組成，各棱面相交成棱線，各棱線匯交于頂點，如三棱錐上的A、B、C、S。顯然繪制棱錐的三面投影圖，實質(zhì)上就是畫出這些頂點的三面投影圖，然后依次連接而成。由此可見研究點、直線、平面的投影，對畫和讀形體的投影圖都具有重要的意義。

(一)投影的形成

在如圖示的V、H、W三面投影體系中，由空間點A分別向三個投影面V、H、W面引垂線，垂足a、a＇、a″即為點A的三面投影。按第三章所述的方法旋轉(zhuǎn)、展開并去掉邊框后，即得到圖b）、c)所示點A的三面投影圖。

規(guī)定空間點用大寫字母標記，如A、B、C、…等，H面投影用相應(yīng)的小寫字母標記，如a、b、c、…等，V面投影用相應(yīng)的小寫字母加一撇標記，如a'、b′、c′、…等。W面投影用相應(yīng)的小寫字母加兩撇標記，如a″、b″、c″、…等。

二、投影規(guī)律

按項目三所述的方法旋轉(zhuǎn)、展開并去掉邊框后，即得到圖b）、c)所示點A的三面投影圖。

點的V面投影和H面投影的連線垂直于OX軸；點的V面投影和W面投影的連線垂直于OZ軸。點的H面投影至OX軸的距離，等于其W面投影至OZ軸的距離（即寬相等）。

aa'⊥OXa'a"⊥OZaaX=a"aZ=Aa'

[例4-1]已知A點的水平投影a和正面投影a′，求作側(cè)面投影a″，如圖。

作圖步驟：

1）由a′作OZ軸的垂線a′az并延長，如圖4-19a）。

2）由a作OYH軸的垂線aaYH并延長，與過原點O的45度輔助線相交，然后向上作OYW軸的垂線與a′az的延長線相交，即為A點的側(cè)面投影a″。

三、兩點的相對位置

空間兩點的相對位置是以其中某一點為基準，判別另一點在該點的前后、左右和上下的位置，可以沿投影軸方向來判斷。

X軸指向左側(cè)，Y軸指向前方，Z軸指向上方。由此可見A點在B點之左、前、下方

四、重影點及可見性

空間屬于某一條投射線上的兩點，在該投射線所垂直的投影面的投影重合為一點?？臻g的這兩點稱為該投影面上的重影點。

如圖所示，A、B兩點位于垂直于H面的同一投射線上，A、B為H面的重影點。A點在B點的正上方，其水平投影重合為一點a(b)。

為區(qū)別起見，凡不可見的投影其字母寫在后面，并加上括號表示。

又如，B、C兩點位于垂直于V面的同一投射線上，B、C為V面的重影點。B點在C點的正前方，其正面投影重合為一點b'(c')，b'可見，c'不可見；B、D兩點位于垂直于W面的同一投射線上，B、D為W面的重影點。B點在D點的正左側(cè)，其W面投影重合為一點b"(d")，b"可見，d"點不可見。

任務(wù)實施：

由橋墩上點的兩面投影求第三面投影，并判斷它們的相對位置

已知橋墩上A、B、C三點的兩面投影，請同學們在投影圖上標出A、B、C三點的第三面投影。在立體示意圖上標出A、B、C三點的位置,并判斷A、B兩點的相對位置，即B點在A點之（

）、之（

）、之（

），（注意字母外加括號，表示該的點的投影不可見）。

在橋臺的投影圖中找出點的三面投影。

左圖a為拱橋橋臺的立體示意圖，圖b為其三面投影圖，請參照橋臺立體圖，在橋臺的三面投影圖中找出點A、B、C的三面投影。

可根據(jù)點A的在橋臺上的位置,先確定其正面投影a′，根據(jù)“長對正”的特性，可以確定其水平投影a；根據(jù)“高平齊”的特性，可以確定其側(cè)面投影a″。

(二)判斷其空間位置

已知橋臺上D、E兩點的兩面投影，請在立體示意圖上標出D、E的位置,并判斷D、E兩點的相對位置。項目四

分析形體上基本元素的投影4.1分析形體上點的投影4.2分析形體上直線的投影圖4.3分析形體上平面的投影圖

4.2分析形體上直線投影

技能要求

直線及其投影

4.2.1

投影面平行線

投影面平行線的情況

投影面平行線的投影

4.2.2投影面垂直線

投影面垂直線的情況

投影面垂直線的投影

4.2.3一般位置直線

任務(wù)實施1任務(wù)實施2

4.2.4

兩直線的相對位置

八字墻上直線的位置1.平行兩直線2.相交兩直線3.交錯兩直線

任務(wù)實施3

技能要求：通過分析形體上直線的投影，總結(jié)各種位置直線的投影特性。

1)理解并熟記投影面平行線的投影特性。

2)

理解并熟記投影面垂直線的投影特性。

3)

理解一般位置直線的投影特性。

4)

在形體的投影圖上，分析形體上直線的投影。

5)

根據(jù)兩直線的投影判斷其相對位置。

6)

分析形體上直線的投影，在三面投影圖中找出形體上棱線三面投影，指出直線的空間位置。

直線的投影：

連接直線段上兩端點的同面投影，即為直線的投影的投影

直線的投影一般仍為直線，特殊情況下，當直線垂直于投影面時，其投影積聚為一個點。

直線的類型：

根據(jù)直線相對位置于投影面的，直線可分為：

一般位置直線

投影面平行線

投影面垂直線

后兩種統(tǒng)稱為特殊位置直線。

4.2.1投影面平行線

在三面投影體系中，平行于一個投影面而傾斜于另外兩個投影面的直線稱為投影面平行線。

投影面平行線有三種情況：

正平線：平行于V面，傾斜于H、W面的直線，

如圖4-6所示八字翼墻上的直線AB。

水平線：

平行于H面，傾斜于V、W面的直線，如圖4-6所示八字翼墻上的直線DE。

側(cè)平線：平行于W面，傾斜于H、V面的直線，如圖4-6所示八字翼墻上的直線BC。

1.投影面平行線的投影特性（一斜兩平行）：

投影面平行線在所平行的投影面上的投影反映實長，且該投影與相應(yīng)投影軸所成之夾角，反映直線對其它兩投影面的傾角；其它兩投影平行于相應(yīng)的投影軸，且均小于實長。

2.讀圖要點（一斜兩平行，為平投影面平行線，那個投影傾斜，平行于那個投影面，傾斜投影反映實長）：1）直線的一個投影平行于投影軸，另一個投影與投影軸傾斜時，可判直線平行于傾斜投影所在的投影面，該投影反映實長。2）已知直線的兩個投影分別平行于兩個不同投影軸，則直線平行于第三投影面，第三投影反映實長。

4.2.2投影面垂直線

在三面投影體系中，與某一個投影面垂直的直線統(tǒng)稱為投影面垂直線，垂直于一個投影面，必平行于另外兩個投影面。

投影面垂直線的三種情況：

鉛垂線：垂直于H面的直線，如圖4-7所示橋臺上的直線AB。

正垂線：垂直于V面的直線，如圖4-7所示橋臺上的直線DE。

側(cè)垂線：垂直于W面的直線，如圖4-7所示橋臺上的直線CD。

1.投影面垂直線的投影特性（一點兩直線，兩直線反映實長）

投影面的垂直線在所垂直的投影面上的投影積聚成一點；其他兩投影與相應(yīng)的投影軸垂直，并都反映實長。

2.讀圖要點（一點兩直線，為垂直線，點在那個投影面，垂直于那個面）

1）一直線只要有一個投影積聚為一點，該直線必然垂直于積聚性投影所在的投影面。2）已知直線的兩個投影分別垂直于兩個不同投影軸，則直線垂直于第三投影面，第三投影一定積聚成點。

4.2.3一般位置直線

對三個投影面均不平行又不垂直的直線稱為一般位置直線。

如圖a），四棱錐的棱線AB為一般位置直線，由于一般位置直線兩個端點與三個投影面的距離都不相等，所以一般位置直線的三個投影都傾斜于各投影軸，并且均小于實長。

如果直線的兩面投影為傾斜的直線，就可判斷該直線為一般位置直線。通過判斷兩端點的空間位置可確定直線的空間位置。任務(wù)實施一：

判斷橋臺翼墻上直線的空間位置，并繪制其第三面投影

已知橋臺翼墻上的棱線的AB、CD、EF、GH的兩面投影，如圖，判斷這些棱線的空間位置，在立體圖上用粗實線標出這些棱線。并在投影圖上用粗實線繪出它們的第三面投影。任務(wù)實施二：

求圖示三棱錐表面6條棱線的W面投影，并指出其中的一般位置直線。

分析：三棱錐表面由4個頂點，6條棱線組成，畫出各棱線兩個端點的三面投影，將兩個端點的同面投影相連即得直線的投影。所以我們只要由4個頂點的V面、H面投影，求出它們的側(cè)面投影，然后兩兩相連即的6條直線的W面投影。

4.4.4兩直線的相對位置

八字墻上的直線

空間兩直線的相對位置有平行、相交、交叉三種情況，如圖4-10所示，涵洞洞口上的直線EF與GH平行、AB與AC相交、AC與BM交叉

4.4.4兩直線的相對位置

1．平行兩直線

兩直線互相平行時，該兩直線的同面投影，也必然平行，如圖4-11a)。

若GH∥EF則gh∥ef，g'h'∥e'f'，g"h"∥e"f"

GH:EF=gh:ef=g'h':e'f'=g"h":e"f"，如圖4-11b)。圖中兩直線的正面投影重合成一條直線，是平行的特殊情況。

若空間兩直線互相平行，則其同面投影互相平行且比值相等，反之，若兩直線的同面投影互相平行且比值相等，則此空間兩直線一定互相平行。

4.4.4兩直線的相對位置

2.相交兩直線

相交兩直線，其同面投影必相交，且交點符合點的投影規(guī)律（即投影交點的連線垂直于相應(yīng)的投影軸）。

如圖,AB和CD的延長線交于K點。K的正面投影k′與水平投影k的連線k′k垂直于X軸，k′k″也必然垂直于Z軸。

4.4.4兩直線的相對位置

3.交叉兩直線

空間兩直線既不相交也不平行，叫交叉兩直線（或異面直線）。

在投影圖中，交叉兩直線的同面投影可能相交，但交點的投影不符合點的投影規(guī)律，如圖4-13所示。

交叉兩直線可能有一對或兩對同面投影互相平行，但絕不可能三對同面投影都互相平行。

任務(wù)實施三

繪制橋臺翼墻上兩直線的第三面投影，并判兩直線的相互位置*。

已知橋臺翼墻上的棱線的AB與CD、EF與GH及MN與IL的兩面投影，在橋臺翼墻的投影圖上描出它們的第三面投影，并判斷它們的相互位置。項目四

分析形體上基本元素的投影4.1分析形體上點的投影4.2分析形體上直線的投影圖4.3分析形體上平面的投影圖

4.3分析形體上平面投影

技能要求

平面投影概述

4.3.1

投影面平行面

投影面平行面的情況

投影面平行面的投影

4.3.2

投影面垂直面

投影面垂直面的情況

投影面垂直面的投影

4.3.3一般面置平面

案例分析

任務(wù)實施

4.3.4

平面上的點和直線

一、平面上的直線

二、平面上的點

案例分析

技能要求：通過分析橋臺上平面的投影，總結(jié)各種位置平面的投影特性。

1)理解并熟記投影面平行面的投影特性。

2)理解并熟記投影面垂直面的投影特性。

3)理解一般位置平面的投影特性。

4)分析形體上平面的投影，在形體的三面投影圖中找出形體上各表面的三面投影，并指出其的空間位置

平面投影概述

平面圖形的投影一般仍為類似的平面圖形，特殊情況下，當平面圖形垂直于投影面時，其投影積聚為一條直線，如圖4-14。

本節(jié)所研究的平面，指平面的有限部分棗平面圖形。

工程結(jié)構(gòu)物的表面與投影面的相對位置有

投影面垂直面

投影面平行面

一般位置平面

4.3.1投影面平行面

在三面投影體系中，平行于某一投影面的平面，稱為投影面平行面，簡稱平行面。平行于某一投影面必然垂直于其它兩投影面。

平行面有三種情況：

水平面：平行于H面的平面。如圖所示橋臺上的P平面。

正平面：平行于V面的平面。如圖所示橋臺上的Q平面。

側(cè)平面：平行于W面的平面。如左圖所示橋臺上的R平面。

1.投影面平行面的共性（一框兩平行線）：

平面在所平行的投影面上的投影反映實形，其它兩投影都積聚成與相應(yīng)投影軸平行的直線。

2.讀圖要點（一框兩平行線，是平行面，框在那個面，平行于那個面）

一平面只要有一個投影積聚為一條平行于投影軸的直線，該平面就平行于于非積聚投影所在的投影面。非積聚的投影反映該平面的實形。

4.5.2投影面垂直面

在三面投影體系中，垂直于一個投影面，傾斜于其它投影面的平面稱為投影面垂直面，簡稱垂直面。

投影面垂直面有三種情況：

正垂面：垂直于V面，傾斜于H、W面的平面。如圖4-16橋臺上的平面P。

鉛垂面：垂直于H面，傾斜于V、W面的平面。如圖4-16橋墩上的平面Q

側(cè)垂面：垂直于W面，傾斜于H、V面的平面。如圖4-16橋上臺的平面R。

1.投影面垂直面的共性為（兩框一斜線）：

平面在所垂直的投影面上的投影積聚成一條直線，其它兩投影是類似圖形，并小于實形。

2.圖讀要點（兩框一斜線，是垂直面，斜線在那面，垂直于那個投影面）

讀圖時，一平面只要有一個投影積聚為一傾斜直線，它必然垂直于積聚性投影所在的投影面。

4.3.3一般位置平面

與三個投影面都傾斜的平面稱為一般位置平面，簡稱一般面，如圖4-17所示的三棱錐上的表面△SAB。

根據(jù)平面的投影特點可知，一般面