2025年全國(guó)成人高校招生考試[數(shù)學(xué)(理)]復(fù)習(xí)題庫(kù)及答案集合與簡(jiǎn)易邏輯題目1已知集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{x|ax-2=0\}\)，若\(A\capB=B\)，求實(shí)數(shù)\(a\)的值。答案1.首先求解集合\(A\)：-對(duì)于方程\(x^2-3x+2=0\)，因式分解得\((x-1)(x-2)=0\)。-則\(x-1=0\)或\(x-2=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。2.因?yàn)閈(A\capB=B\)，所以\(B\subseteqA\)，分三種情況討論：-當(dāng)\(B=\varnothing\)時(shí)：-方程\(ax-2=0\)無(wú)解，此時(shí)\(a=0\)。-當(dāng)\(B=\{1\}\)時(shí)：-把\(x=1\)代入方程\(ax-2=0\)，得\(a\times1-2=0\)，解得\(a=2\)。-當(dāng)\(B=\{2\}\)時(shí)：-把\(x=2\)代入方程\(ax-2=0\)，得\(a\times2-2=0\)，解得\(a=1\)。綜上，實(shí)數(shù)\(a\)的值為\(0\)或\(1\)或\(2\)。題目2已知命題\(p\)：\(x^2-8x-20\leqslant0\)，命題\(q\)：\(x^2-2x+1-m^2\leqslant0(m\gt0)\)，若\(\negp\)是\(\negq\)的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)\(m\)的取值范圍。答案1.先求解命題\(p\)：-解不等式\(x^2-8x-20\leqslant0\)，因式分解得\((x-10)(x+2)\leqslant0\)。-則\(-2\leqslantx\leqslant10\)，所以命題\(p\)對(duì)應(yīng)的集合\(A=\{x|-2\leqslantx\leqslant10\}\)。2.再求解命題\(q\)：-對(duì)于不等式\(x^2-2x+1-m^2\leqslant0(m\gt0)\)，變形為\((x-1)^2-m^2\leqslant0\)，即\((x-1-m)(x-1+m)\leqslant0\)。-解得\(1-m\leqslantx\leqslant1+m\)，所以命題\(q\)對(duì)應(yīng)的集合\(B=\{x|1-m\leqslantx\leqslant1+m,m\gt0\}\)。3.因?yàn)閈(\negp\)是\(\negq\)的必要不充分條件，根據(jù)逆否命題等價(jià)性可知\(q\)是\(p\)的必要不充分條件，即\(p\Rightarrowq\)，\(q\nRightarrowp\)，所以\(A\subsetneqqB\)。-則\(\begin{cases}1-m\leqslant-2\\1+m\geqslant10\end{cases}\)。-解第一個(gè)不等式\(1-m\leqslant-2\)，移項(xiàng)得\(m\geqslant1+2\)，即\(m\geqslant3\)。-解第二個(gè)不等式\(1+m\geqslant10\)，移項(xiàng)得\(m\geqslant10-1\)，即\(m\geqslant9\)。綜上，實(shí)數(shù)\(m\)的取值范圍是\([9,+\infty)\)。函數(shù)題目3已知函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x+1}\)，\(g(x)=x^2+2\)，求\(f[g(x)]\)和\(g[f(x)]\)的表達(dá)式。答案1.求\(f[g(x)]\)：-因?yàn)閈(f(x)=\frac{1}{x+1}\)，\(g(x)=x^2+2\)，把\(g(x)\)代入\(f(x)\)中。-則\(f[g(x)]=\frac{1}{g(x)+1}=\frac{1}{x^2+2+1}=\frac{1}{x^2+3}\)。2.求\(g[f(x)]\)：-把\(f(x)\)代入\(g(x)\)中，\(g[f(x)]=[f(x)]^2+2\)。-因?yàn)閈(f(x)=\frac{1}{x+1}\)，所以\(g[f(x)]=(\frac{1}{x+1})^2+2=\frac{1}{(x+1)^2}+2=\frac{1+2(x+1)^2}{(x+1)^2}=\frac{1+2(x^{2}+2x+1)}{(x+1)^2}=\frac{2x^{2}+4x+3}{(x+1)^2},x\neq-1\)。題目4已知函數(shù)\(y=f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當(dāng)\(x\geqslant0\)時(shí)，\(f(x)=x(1+x)\)，求\(f(x)\)的表達(dá)式。答案1.設(shè)\(x\lt0\)，則\(-x\gt0\)：-因?yàn)楫?dāng)\(x\geqslant0\)時(shí)，\(f(x)=x(1+x)\)，所以\(f(-x)=-x(1-x)\)。2.又因?yàn)閈(y=f(x)\)是奇函數(shù)，所以\(f(-x)=-f(x)\)：-即\(-f(x)=-x(1-x)\)，那么\(f(x)=x(1-x)\)。3.當(dāng)\(x=0\)時(shí)：-因?yàn)閈(f(x)\)是奇函數(shù)，所以\(f(0)=0\)，滿足\(f(x)=x(1+x)\)（當(dāng)\(x=0\)時(shí)）。綜上，\(f(x)=\begin{cases}x(1+x),x\geqslant0\\x(1-x),x\lt0\end{cases}\)。數(shù)列題目5已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，求\(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式。答案1.設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公差為\(d\)：-根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，則\(a_3=a_1+2d\)，\(a_7=a_1+6d\)。-已知\(a_3=5\)，\(a_7=13\)，可得方程組\(\begin{cases}a_1+2d=5\\a_1+6d=13\end{cases}\)。2.用第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程消去\(a_1\)：-\((a_1+6d)-(a_1+2d)=13-5\)。-即\(4d=8\)，解得\(d=2\)。3.把\(d=2\)代入\(a_1+2d=5\)求\(a_1\)：-\(a_1+2\times2=5\)，則\(a_1=1\)。4.所以\(\{a_n\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_n=a_1+(n-1)d=1+(n-1)\times2=2n-1\)。題目6已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2=2\)，\(a_5=16\)，求\(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_n\)。答案1.設(shè)等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的公比為\(q\)：-根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)，則\(a_2=a_1q\)，\(a_5=a_1q^{4}\)。-已知\(a_2=2\)，\(a_5=16\)，可得\(\frac{a_5}{a_2}=\frac{a_1q^{4}}{a_1q}=q^{3}\)。-即\(q^{3}=\frac{16}{2}=8\)，解得\(q=2\)。2.把\(q=2\)代入\(a_2=a_1q=2\)求\(a_1\)：-\(a_1\times2=2\)，則\(a_1=1\)。3.根據(jù)等比數(shù)列前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_n=\begin{cases}na_1(q=1)\\\frac{a_1(1-q^{n})}{1-q}(q\neq1)\end{cases}\)：-因?yàn)閈(q=2\neq1\)，\(a_1=1\)，所以\(S_n=\frac{1\times(1-2^{n})}{1-2}=2^{n}-1\)。三角函數(shù)題目7已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\cos\alpha\)，\(\tan\alpha\)的值。答案1.根據(jù)三角函數(shù)平方關(guān)系\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)：-可得\(\cos^{2}\alpha=1-\sin^{2}\alpha\)。-已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，則\(\cos^{2}\alpha=1-(\frac{3}{5})^{2}=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\)。2.因?yàn)閈(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，在第二象限，\(\cos\alpha\lt0\)：-所以\(\cos\alpha=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}\)。3.根據(jù)三角函數(shù)商數(shù)關(guān)系\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)：-把\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\cos\alpha=-\frac{4}{5}\)代入得\(\tan\alpha=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}\)。題目8求函數(shù)\(y=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期、單調(diào)遞增區(qū)間。答案1.求最小正周期：-對(duì)于函數(shù)\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)，其最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)。-在函數(shù)\(y=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)中，\(\omega=2\)，所以\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。2.求單調(diào)遞增區(qū)間：-令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant2x+\frac{\pi}{3}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)。-先解不等式\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant2x+\frac{\pi}{3}\)：-移項(xiàng)得\(2x\geqslant2k\pi-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=2k\pi-\frac{5\pi}{6}\)，即\(x\geqslantk\pi-\frac{5\pi}{12}\)。-再解不等式\(2x+\frac{\pi}{3}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2}\)：-移項(xiàng)得\(2x\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{3}=2k\pi+\frac{\pi}{6}\)，即\(x\leqslantk\pi+\frac{\pi}{12}\)。所以函數(shù)\(y=2\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期為\(\pi\)，單調(diào)遞增區(qū)間為\([k\pi-\frac{5\pi}{12},k\pi+\frac{\pi}{12}],k\inZ\)。平面向量題目9已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-3,4)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)以及\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)夾角的余弦值。答案1.計(jì)算\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow\)：-根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2\)（其中\(zhòng)(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow=(x_2,y_2)\)）。-已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(-3,4)\)，則\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\times(-3)+2\times4=-3+8=5\)。2.求\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)夾角的余弦值：-先求\(\vert\overrightarrow{a}\vert\)和\(\vert\overrightarrow\vert\)，\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{x_1^{2}+y_1^{2}}=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}\)，\(\vert\overrightarrow\vert=\sqrt{x_2^{2}+y_2^{2}}=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=5\)。-根據(jù)向量夾角余弦公式\(\cos\langle\overrightarrow{a},\overrightarrow\rangle=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow}{\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow\vert}\)。-把\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=5\)，\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{5}\)，\(\vert\overrightarrow\vert=5\)代入得\(\cos\langle\overrightarrow{a},\overrightarrow\rangle=\frac{5}{\sqrt{5}\times5}=\frac{\sqrt{5}}{5}\)。題目10已知\(\overrightarrow{AB}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{AC}=(1,k)\)，若\(\triangleABC\)為直角三角形，求\(k\)的值。答案1.當(dāng)\(A=90^{\circ}\)時(shí)：-則\(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\)，根據(jù)向量垂直性質(zhì)\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)。-因?yàn)閈(\overrightarrow{AB}=(2,3)\)，\(\overrightarrow{AC}=(1,k)\)，所以\(2\times1+3