旋轉(zhuǎn)小結(jié)九年級上冊初中數(shù)學定義旋轉(zhuǎn)性質(zhì)三要素對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點O轉(zhuǎn)動一個角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角知識梳理旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角中心對稱中心對稱圖形中心對稱定義性質(zhì)把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而且被對稱中心所平分中心對稱的兩個圖形是全等圖形定義關于原點對稱的點的坐標把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形常見的中心對稱圖形兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反線段、平行四邊形、圓等區(qū)別聯(lián)系圖案設計軸對稱平移旋轉(zhuǎn)軸對稱圖形中心對稱中心對稱圖形圖形變換實際應用1下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是()A

B

C

DD重難剖析2.如圖，將三角形AOB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到三角形COD，若∠AOB=15°，則∠AOD的度數(shù)是()A.15° B.60°C.45° D.75°ABODCC解：關鍵找出旋轉(zhuǎn)角∠BOD=60°

，∴∠AOD=∠BOD－∠AOB=60°－15°=45°，故選C.利用旋轉(zhuǎn)變換求角度數(shù)的常用方法:(1)利用旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等求解;(2)利用旋轉(zhuǎn)角相等求解.3.如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，三角形MNP繞某點旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到三角形M1N1P1，其旋轉(zhuǎn)中心是()A.點A

B.點B

C.點C

D.點DB解：作線段NN1與PP1的垂直平分線，交點即是旋轉(zhuǎn)中心.N1M1DABPCNMP13.如圖，△DEF是△ABC經(jīng)過某種變換后得到的圖形，△ABC內(nèi)任意一點M的坐標為(x,y)，點

M經(jīng)過這種變換后得到點N，點

N的坐標是()A.(-y,-x) B.(

x,-y) C.(-x,y) D.(-x,-y).

D4.如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，每個正方形的頂點稱為格點.已知△AOB的頂點均在格點上，建立如圖所示的平面直角坐標系，點A，B的坐標分別是A(3，2)，B(1，3).(1)將△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1OB1，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形；xyOABA1B1解：(1)如圖所示.對于網(wǎng)格中的畫圖問題，要充分利用網(wǎng)格的特殊性找準對應點.

4.如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，每個正方形的頂點稱為格點.已知△AOB的頂點均在格點上，建立如圖所示的平面直角坐標系，點A，B的坐標分別是A(3，2)，B(1，3).(2)畫出△AOB關于原點O對稱的圖形△A2OB2，并寫出點A2，B2的坐標.xyOABA2B2解：(2)如圖所示，點A2的坐標為(-3，-2)，B2的坐標為(-1，-3).5.如圖，有一張不規(guī)則紙片，若連接EB，則紙片被分為矩形FABE和菱形EBCD，請你用無刻度的直尺畫一條直線把這張紙片分成面積相等的兩部分，并說明理由.ABCFED解：

矩形FABE是中心對稱圖形，矩形

BCDE也是中心對稱圖形，所以經(jīng)過它們中心的直線把圖形分成全等的兩部分，面積相等.如圖直線l既經(jīng)過矩形FABE的中心，又經(jīng)過菱形BCDE的中心，所以它把紙片分成面積相等的兩部分.l過中心對稱圖形的對稱中心的直線可以將圖形分成面積相等的兩部分.6.從前有一個財主，他有一塊平行四邊形的土地（如圖），地里有一個圓形池塘.財主立下遺囑：要把這塊土地平分給他的兩個兒子，中間池塘也平分.財主的兩個兒子不知怎么做，你能想個辦法嗎？解：先找到平行四邊形的兩條對角線的交點A，過A，B兩點作一條直線就可以了.AB7.下列說法不正確的是()A.任何一個具有對稱中心的四邊形都是平行四邊形B.平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形C.線段、平行四邊形、矩形、菱形、正方形都是中心對稱圖形D.正三角形、矩形、菱形、正方形都是軸對稱圖形，且對稱軸都不止一條B1.如圖，P是矩形ABCD下方一點，將△PCD繞P點順時針旋轉(zhuǎn)60°后恰好D點與A點重合，得到△PEA，連接EB，問△ABE是什么特殊三角形.請說明理由．解：△ABE是等邊三角形，理由如下：由旋轉(zhuǎn)，得

△PAE≌

△PDC，∴CD＝AE，PD＝PA，∠PDC

＝∠PAE，∵∠DPA＝60°，∴

△PAD是等邊三角形，∴∠PDA＝∠PAD＝60°.能力提升1.如圖，P是矩形ABCD下方一點，將△PCD繞P點順時針旋轉(zhuǎn)60°后恰好D點與A點重合，得到△PEA，連接EB，問△ABE是什么特殊三角形.請說明理由．解：又CD＝AB，∠CDA＝∠DAB＝90°，∴∠PDC＝∠PAB＝∠PAE＝30°，∴AE＝CD＝AB，∠EAB＝∠PAB＋∠PAE＝60°，∴

△ABE是等邊三角形．2．如圖，等腰三角形OBD中，OD＝BD，△OBD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△OAC，此時點B,D,C在同一直線上,且點D是BC的中點.(1)求△OBD旋轉(zhuǎn)的角度；(2)求證：四邊形ODAC是菱形．解：(1)由旋轉(zhuǎn)得△OAC≌

△OBD，∴OC＝OD.又CD＝BD＝OD，∴OC＝OD＝CD，∴

△OCD是等邊三角形，∴∠COD＝60°，∴△OBD旋轉(zhuǎn)的角度為60°.2．如圖，等腰三角形OBD中，OD＝BD，△OBD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△OAC，此時點B,D,C在同一直線上,且點D是BC的中點.(1)求△OBD旋轉(zhuǎn)的角度；(2)求證：四邊形ODAC是菱形．證明：(2)

∵△OAC≌△OBD，△OCD是等邊三角形，∴AC＝BD＝CD，∠OCA＝∠ODB＝180°－60°＝120°，∴∠ACD＝∠OCA－∠OCD＝60°，2．如圖，等腰三角形OBD中，OD＝BD，△OBD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△OAC，此時點B,D,C在同一直線上,且點D是BC的中點.(1)求△OBD旋轉(zhuǎn)的角度；(2)求證：四邊形ODAC是菱形．證明：(2)

∴△ACD是等邊三角形，∴OD＝OC＝AC＝AD，∴四邊形ODAC是菱形．3.如圖，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α得到△DBE，DE的延長線與AC相交于點F，連接DA,BF，∠ABC＝α＝60°，BF＝AF.(1)求證：DA∥BC.(2)猜想線段DF,AF的數(shù)量關系，并證明你的猜想．證明：(1)由旋轉(zhuǎn)得∠DBE＝∠ABC＝60°，BD＝AB，∴

△ABD是等邊三角形，∴∠DAB＝60°，

∴∠DAB＝∠ABC，∴DA∥BC.3.如圖，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α得到△DBE，DE的延長線與AC相交于點F，連接DA,BF，∠ABC＝α＝60°，BF＝AF.(1)求證：DA∥BC.(2)猜想線段DF,AF的數(shù)量關系，并證明你的猜想．解：(2)DF＝2AF，證明如下：在DF上截取DG＝AF，連接BG，則△DBG≌△ABF，∴BG＝BF，∠DBG＝∠ABF，G3.如圖，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α得到△DBE，DE的延長線與AC相交于點F，連接DA,BF，∠ABC＝α＝60°，BF＝AF.(1)求證：DA∥BC.(2)猜想線段DF,AF的數(shù)量關系，并證明你的猜想．解：(2)∴∠GBF＝∠DBE＝60°，∴△BGF是等邊三角形，∴GF＝BF＝AF，∴DF＝DG＋FG＝2AF．G1.把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點O轉(zhuǎn)動一個角度,叫做圖形的

,點O叫做

,轉(zhuǎn)動的角叫做

.如果圖形上的點P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄cP',那么這兩個點叫做這個旋轉(zhuǎn)的

.

2.鐘表的分針勻速旋轉(zhuǎn)一周需要60min,鐘表的軸心是它的

,經(jīng)過20min,分針的旋轉(zhuǎn)角為

度.

3.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì):(1)對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離

;

(2)對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于

;

(3)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形

.

旋轉(zhuǎn)

旋轉(zhuǎn)中心

旋轉(zhuǎn)角

對應點

120旋轉(zhuǎn)中心

相等

旋轉(zhuǎn)角

全等

4.如圖,以點O為旋轉(zhuǎn)中心,將∠1按順時針方向旋轉(zhuǎn)110°,得到∠2.若∠1=40°,則∠2=

,∠3=

.

40°70°旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【例】

如圖,△ABC是等邊三角形,D是BC邊上一點,△ABD經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后到達△ACE的位置.(1)旋轉(zhuǎn)中心是哪一點?(2)旋轉(zhuǎn)了多少度?(3)如果M是AB邊的中點,那么經(jīng)過上述旋轉(zhuǎn)后,點M轉(zhuǎn)到了什么位置?分析:確定這個圖形的旋轉(zhuǎn)中心是解決問題的關鍵.解：(1)旋轉(zhuǎn)中心是點A.(2)旋轉(zhuǎn)角∠BAC=60°.(3)點M轉(zhuǎn)到了AC的中點處.點撥:在旋轉(zhuǎn)過程中,不動的點與其本身是對應點,且該點即為旋轉(zhuǎn)中心.一對對應點與旋轉(zhuǎn)中心連線的夾角是旋轉(zhuǎn)角,對應線段的夾角也是旋轉(zhuǎn)角.67123451.下列幾種運動:①單擺上小球的轉(zhuǎn)動;②發(fā)電風車上扇葉的運動;③傳送帶上的物體;④筆直鐵軌上飛馳而過的火車.其中屬于旋轉(zhuǎn)的有(

)A.0種 B.1種 C.2種 D.3種答案答案關閉C67123452.有兩個直角三角形紙板,一個含45°角,另一個含30°角,如圖①所示疊放,先將含30°角的紙板固定不動,再將含45°角的紙板繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn),使BC∥DE,如圖②所示,則旋轉(zhuǎn)角∠BAD的度數(shù)為(

)

A.15° B.30° C.45° D.60°圖①

圖②

答案答案關閉B67123453.如圖的四個三角形中,不能由△ABC經(jīng)過旋轉(zhuǎn)或平移得到的是(

)答案答案關閉B67123454.如圖,在等邊三角形ABC中,D是AC上一點,連接BD,將△BCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△BAE,連接ED,若BC=5,BD=4,則下列結(jié)論錯誤的是(

)A.AE∥BCB.∠ADE=∠BDCC.△BDE是等邊三角形D.△ADE的周長是9答案解析解析關閉由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),可得△BCD≌△BAE,∴∠BAE=∠BCD=60°,∴AE∥BC,故選項A正確;不能說明∠ADE=∠BDC,故選項B不正確;