人教版七年級(jí)上階段拔尖專訓(xùn)10巧妙設(shè)元方法歸納

直接設(shè)元法【高分秘籍】“直接設(shè)元”就是題目要求什么量，就設(shè)什么

量為未知數(shù)，或有幾個(gè)要求的量，而設(shè)其中的某一個(gè)量為未

知數(shù).“直接設(shè)元”是最常用的設(shè)元法.1.

[新考向·數(shù)學(xué)文化]《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著

作，是《算經(jīng)十書》之一，書中記載了這樣一個(gè)題目：今

有木，不知長(zhǎng)短，引繩度之，余繩五尺，屈繩量之，不足

一尺，問木長(zhǎng)幾何？其大意是：用一根繩子去量一根長(zhǎng)

木，繩子還剩余5尺；將繩子對(duì)折再量長(zhǎng)木，長(zhǎng)木還剩余1

尺，問長(zhǎng)木長(zhǎng)多少尺？設(shè)長(zhǎng)木長(zhǎng)

x

尺，則可列方程為

(

A

)A1234567A.

(

x

＋5)＝

x

－1B.

(

x

＋5)＝

x

＋1C.

(

x

＋1)＝

x

－5D.

(

x

－1)＝

x

＋512345672.

[新考向2025·揚(yáng)州廣陵區(qū)期末

傳統(tǒng)文化]元旦是世界多數(shù)

國(guó)家通稱的“新年”.元，謂“始”，凡數(shù)之始稱為

“元”；旦，謂“日”；“元旦”即“初始之日”的意

思.為迎接元旦，某班級(jí)安排了部分學(xué)生在教室打掃衛(wèi)

生，剩余學(xué)生全部到禮堂幫助匯演布置場(chǎng)地，已知該班級(jí)

男生有20人，女生人數(shù)比男生人數(shù)多20％.(1)該班級(jí)共有學(xué)生多少人？【解】20＋20×20％＋20＝44(人).答：該班級(jí)共有學(xué)生44人.1234567(2)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)該班級(jí)在禮堂的學(xué)生數(shù)是在教室學(xué)生數(shù)的2倍

少4人，求在禮堂的學(xué)生數(shù).【解】設(shè)在禮堂的學(xué)生數(shù)為

x

人，則在教室的學(xué)生數(shù)為

(44－

x

)人.由題意，得

x

＝2(44－

x

)－4，解得

x

＝28.答：在禮堂的學(xué)生數(shù)為28人.1234567

間接設(shè)元法【高分秘籍】為更容易找出題中的等量關(guān)系，適當(dāng)?shù)剡x擇設(shè)

與題目要求的未知數(shù)有關(guān)的某個(gè)量為未知數(shù)，從而列出方

程，即“間接設(shè)元”所設(shè)的不是所求的.3.

如圖是電腦屏幕上出現(xiàn)的一個(gè)長(zhǎng)方形色塊圖，它由6個(gè)不

同顏色的正方形組成，已知中間最小的正方形的邊長(zhǎng)為

1，那么這個(gè)長(zhǎng)方形色塊圖的周長(zhǎng)為(

B

)A.52B.48C.44D.501234567【點(diǎn)撥】如圖所示，1234567設(shè)正方形

A

的邊長(zhǎng)為

x

，則正方形

B

，

C

，

D

，

E

的

邊長(zhǎng)依次為

x

，

x

＋1，

x

＋2，

x

＋3，則

x

＋

x

＋

x

＋1＝

x

＋2＋

x

＋3，解得

x

＝4.所以這個(gè)長(zhǎng)方形色塊圖的周長(zhǎng)為2×(

x

＋

x

＋

x

＋1＋

x

＋1＋

x

＋2)＝2×(5

x

＋4)＝48.B【答案】12345674.

某人原計(jì)劃以4千米/時(shí)的速度在一定時(shí)間內(nèi)步行由甲地去

乙地，他先步行了全程的一半后，又搭上了行駛速度為20

千米/時(shí)的順路汽車，所以比原來(lái)計(jì)劃的時(shí)間少用了2小

時(shí)，則甲、乙兩地之間的距離是多少千米？1234567

解得

s

＝10.所以2

s

＝20.答：甲、乙兩地之間的距離是20千米.1234567

整體設(shè)元法【高分秘籍】有些應(yīng)用題未知量太多而已知關(guān)系又少，如果

在未知數(shù)的某一部分存在一個(gè)整體關(guān)系，可設(shè)這一部分為一

個(gè)未知數(shù)，這樣就減少了設(shè)元的個(gè)數(shù)，這種設(shè)元的方法叫作

整體設(shè)元法.5.

[母題教材P130習(xí)題T8]一個(gè)五位數(shù)，個(gè)位上的數(shù)為4，這

個(gè)五位數(shù)加上6

120后所得的新五位數(shù)的萬(wàn)位、千位、百

位、十位、個(gè)位上的數(shù)恰巧分別為原五位數(shù)的個(gè)位、萬(wàn)

位、千位、百位、十位上的數(shù)，試求原五位數(shù).【解】設(shè)原五位數(shù)去掉個(gè)位數(shù)后的四位數(shù)為

x

，則原五位

數(shù)可表示為10

x

＋4.根據(jù)題意，得(10

x

＋4)＋6

120＝4×10

000＋

x

，解得

x

＝3

764.所以10

x

＋4＝37

644.答：原五位數(shù)是37

644.1234567

輔助設(shè)元法【高分秘籍】一些較為復(fù)雜的問題之間的數(shù)量關(guān)系往往錯(cuò)綜

復(fù)雜，有些量與求解無(wú)直接聯(lián)系，但如果不指明這些量，則

很難求解，因而需把這些未知的量設(shè)為參數(shù)，作為橋梁幫助

思考，這就是輔助設(shè)元.在已知條件和所求結(jié)論之間架起一

座“橋梁”，從而理清各個(gè)數(shù)量間的關(guān)系，這種設(shè)元方法叫

作輔助設(shè)元法，也叫參數(shù)法或設(shè)而不求法.6.

植樹節(jié)時(shí)，某班平均每人植樹6棵，如果只由女同學(xué)完

成，每人應(yīng)植樹15棵；如果只由男同學(xué)完成，每人應(yīng)植樹

(

B

)A.9棵B.10棵C.12棵D.14棵【點(diǎn)撥】

B12345677.

一片草地上的草，處處長(zhǎng)得一樣密一樣快，且每頭牛每天

吃的草量相同.