周期情形下登革熱與瘧疾流行病模型的動(dòng)力學(xué)特征與防控策略研究一、引言1.1研究背景與意義登革熱和瘧疾作為全球范圍內(nèi)嚴(yán)重威脅人類健康的蟲媒傳染病，一直以來都備受關(guān)注。登革熱是由登革病毒引發(fā)，主要通過埃及伊蚊和白紋伊蚊傳播的急性傳染病。其臨床特點(diǎn)表現(xiàn)為突起發(fā)熱，同時(shí)伴隨全身肌肉、骨、關(guān)節(jié)疼痛，極度疲乏，皮疹，淋巴結(jié)腫大以及白細(xì)胞減少等癥狀。據(jù)世界衛(wèi)生組織估計(jì)，全球每年有多達(dá)1億例登革熱感染病例發(fā)生，約一半人口面臨感染風(fēng)險(xiǎn)。在過去二十年中，隨著全球變化、氣候變暖，登革熱全球年報(bào)告病例數(shù)激增10倍，如2014年廣東省暴發(fā)的史上最嚴(yán)重的登革熱疫情，截止到當(dāng)年10月21日，患病者登記病例已有36889例。登革熱病毒感染若發(fā)展為重癥，會累及多個(gè)臟器，引發(fā)如肝衰竭、病毒性心肌炎甚至暴發(fā)性心肌炎等嚴(yán)重后果，對患者的生命健康造成極大威脅。瘧疾則是由瘧原蟲引起，通過受感染的雌性按蚊叮咬傳播給人類的致命疾病。全世界每年有2億多人感染瘧疾，40多萬人死于這種疾病。僅2017年全球就有約2.19億瘧疾病例和高達(dá)43.5萬的死亡病例，超過30億美元用于控制和治療瘧疾，這給世界的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和公共醫(yī)療帶來了沉重的負(fù)擔(dān)。瘧疾發(fā)作時(shí)，患者會出現(xiàn)周期性發(fā)熱、寒戰(zhàn)、乏力等癥狀，嚴(yán)重影響生活質(zhì)量，若不及時(shí)治療，還可能導(dǎo)致死亡。傳染病動(dòng)力學(xué)方法為研究登革熱和瘧疾的傳播規(guī)律提供了有力的工具。通過構(gòu)建動(dòng)力學(xué)模型，我們可以深入分析疾病在宿主和媒介之間的傳播機(jī)制，如登革熱病毒在人和蚊蟲之間的傳播過程，以及瘧疾在人類和按蚊種群中的傳播動(dòng)態(tài)。確定模型的基本再生數(shù)，能清晰地判斷疾病在人群中傳播的風(fēng)險(xiǎn)程度。當(dāng)基本再生數(shù)大于1時(shí)，疾病有在人群中持續(xù)傳播和擴(kuò)散的趨勢；當(dāng)基本再生數(shù)小于1時(shí)，疾病則有望得到控制和消除。同時(shí)，通過分析模型平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，能夠了解疾病在不同條件下的發(fā)展趨勢，為制定有效的防控策略提供理論依據(jù)。在實(shí)際應(yīng)用中，對登革熱和瘧疾動(dòng)力學(xué)模型的研究成果可直接指導(dǎo)防控措施的制定。一方面，有助于優(yōu)化防控資源的分配，將有限的人力、物力和財(cái)力集中投入到疫情高發(fā)地區(qū)和關(guān)鍵防控環(huán)節(jié)，提高防控效率；另一方面，能夠?yàn)橐呙缪邪l(fā)、藥物治療等提供方向，如通過模型分析確定病毒傳播的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，為研發(fā)針對性的疫苗和藥物提供靶點(diǎn)，從而更有效地預(yù)防和控制這兩種傳染病的傳播，保護(hù)人類健康，減輕社會經(jīng)濟(jì)負(fù)擔(dān)。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀在傳染病動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域，周期情形下的登革熱和瘧疾模型研究具有重要意義，吸引了眾多國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，取得了一系列有價(jià)值的成果。在登革熱模型研究方面，早期的研究主要聚焦于建立基礎(chǔ)模型以描述其傳播機(jī)制。Garba等人構(gòu)建了登革熱病毒在人和蚊蟲之間傳播的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)模型，并精確計(jì)算出基本再生數(shù)的表達(dá)式，明確指出當(dāng)基本再生數(shù)小于1時(shí)，無病平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定；大于1時(shí)，無病平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，且存在唯一漸近穩(wěn)定的地方病平衡點(diǎn)。此后，學(xué)者們不斷拓展和深化對登革熱模型的研究。Amaku等探討了具有預(yù)防控制策略的登革熱病毒傳播模型，不僅給出了疾病消除與流行的閾值條件，還詳細(xì)分析了閾值關(guān)于相關(guān)參數(shù)的敏感性，為防控策略的制定提供了理論依據(jù)。隨著研究的深入，考慮到登革熱病毒在人和蚊蟲體內(nèi)具有潛伏期這一實(shí)際情況，Wang和Zhao討論了具有時(shí)滯的登革熱模型，給出疾病消除的閾值條件及地方病平衡點(diǎn)全局吸引的充分條件，使模型更貼合實(shí)際傳播情況。周瑤和呂貴臣在人傳人的前提下，分析了一個(gè)蚊蟲種群具有常數(shù)輸入、人類種群規(guī)模變化且考慮人際傳播的登革熱病毒傳播模型，通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)、運(yùn)用LaSalle不變集原理并利用合作系統(tǒng)的單調(diào)理論研究了模型的全局動(dòng)力學(xué)行為。在瘧疾模型研究中，同樣取得了豐富的成果。早期研究多關(guān)注模型的基本構(gòu)建和傳播機(jī)制分析。如Dembele等在一維系統(tǒng)中引入周期系數(shù)，分析了蚊蟲出生率和死亡率的季節(jié)變化對瘧疾傳播的影響，為研究環(huán)境因素對瘧疾傳播的作用提供了思路。Lou等研究固定區(qū)域上非局部時(shí)滯反應(yīng)擴(kuò)散模型，獲得了保證疾病穩(wěn)定在正穩(wěn)態(tài)的充分條件。Safan等根據(jù)瘧疾的傳播機(jī)制構(gòu)建無量綱化后的常微分模型，并對其進(jìn)行簡化分析。宋小飛、朱敏等考慮季節(jié)更替和環(huán)境變化對瘧疾傳播的影響，在周期變化的區(qū)域上構(gòu)造了依賴于時(shí)間周期和空間異質(zhì)的瘧疾模型，通過基本再生數(shù)和上下解的方法研究了模型的動(dòng)力學(xué)行為，發(fā)現(xiàn)區(qū)域周期演化率的大小對瘧疾的傳播有影響，當(dāng)演化率增大時(shí)，瘧疾的傳播風(fēng)險(xiǎn)也隨之增加。另有研究將時(shí)間周期性和空間異質(zhì)性共同引入瘧疾模型，基于下一代感染算子和相關(guān)的特征值理論，探討出瘧疾模型的基本再生數(shù)與時(shí)間周期性及空間異質(zhì)性的關(guān)聯(lián)性，利用閾值進(jìn)一步證明了穩(wěn)態(tài)周期解的存在唯一性和全局穩(wěn)定性。盡管當(dāng)前在周期情形下的登革熱和瘧疾模型研究已取得諸多成果，但仍存在一些不足之處。一方面，現(xiàn)有模型在考慮實(shí)際因素時(shí)仍不夠全面。例如，在登革熱模型中，雖然部分研究考慮了潛伏期時(shí)滯，但對于病毒在不同環(huán)境條件下的變異、不同血清型之間的復(fù)雜相互作用等因素，尚未進(jìn)行深入且全面的分析。在瘧疾模型里，對于瘧原蟲在宿主體內(nèi)的周期性活動(dòng)與宿主自身生理節(jié)律的相互影響，以及不同地區(qū)蚊蟲生態(tài)習(xí)性差異對傳播的影響等方面，研究還不夠細(xì)致和系統(tǒng)。另一方面，在模型的應(yīng)用方面，雖然理論研究為防控策略提供了一定的指導(dǎo)，但如何將模型研究成果更有效地轉(zhuǎn)化為實(shí)際的防控措施，實(shí)現(xiàn)理論與實(shí)踐的緊密結(jié)合，仍有待進(jìn)一步探索和完善。1.3研究內(nèi)容與方法本研究聚焦于周期情形下的登革熱和瘧疾流行病模型，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)分析與數(shù)值模擬等方法，深入剖析模型的動(dòng)力學(xué)行為，旨在為這兩種傳染病的防控提供堅(jiān)實(shí)的理論依據(jù)。具體研究內(nèi)容與方法如下：研究內(nèi)容：考慮到登革熱和瘧疾傳播過程中涉及的多種復(fù)雜因素，構(gòu)建全面且精細(xì)的周期模型。對于登革熱模型，除涵蓋病毒在人和蚊蟲之間的傳播外，著重納入病毒潛伏期時(shí)滯、不同血清型之間的相互作用以及環(huán)境因素對傳播率的影響等要素。在瘧疾模型中，充分考慮瘧原蟲在宿主體內(nèi)的周期性活動(dòng)、宿主自身生理節(jié)律以及不同地區(qū)蚊蟲生態(tài)習(xí)性的顯著差異等關(guān)鍵因素，使模型能更精準(zhǔn)地反映疾病傳播的實(shí)際情況。研究方法：運(yùn)用下一代矩陣方法，精確計(jì)算登革熱和瘧疾模型的基本再生數(shù)。通過分析基本再生數(shù)與1的大小關(guān)系，明確判斷疾病在人群中傳播的風(fēng)險(xiǎn)程度，為后續(xù)防控策略的制定提供關(guān)鍵的理論閾值。利用線性化方法，深入研究模型無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性，確定在何種條件下平衡點(diǎn)能夠保持穩(wěn)定，以及外界干擾對平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的影響。構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù)，借助LaSalle不變集原理，深入探討模型平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性，全面了解疾病在不同初始條件和參數(shù)取值下的長期發(fā)展趨勢。采用數(shù)值模擬方法，直觀展示模型在不同參數(shù)組合和初始條件下的動(dòng)力學(xué)行為。通過與實(shí)際疫情數(shù)據(jù)的對比分析，驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性和可靠性，進(jìn)一步優(yōu)化模型參數(shù)，使模型能更好地?cái)M合實(shí)際情況，為疫情預(yù)測和防控提供更具參考價(jià)值的結(jié)果。二、周期情形下登革熱流行病模型的構(gòu)建與分析2.1模型假設(shè)與建立為了更準(zhǔn)確地描述登革熱在人群中的傳播規(guī)律，構(gòu)建如下合理假設(shè)：將人類種群分為易感人群S_h(t)、感染人群I_h(t)和康復(fù)人群R_h(t)，其中t表示時(shí)間。假設(shè)人類種群的出生率和死亡率均為常數(shù)，分別記為\mu_h和\mu_h，且種群總數(shù)N_h(t)=S_h(t)+I_h(t)+R_h(t)。登革熱病毒通過蚊子叮咬在人類和蚊子之間傳播。蚊子種群分為易感蚊子S_m(t)和感染蚊子I_m(t)，其出生率為\Lambda_m，死亡率為\mu_m，蚊子種群總數(shù)N_m(t)=S_m(t)+I_m(t)?？紤]到登革熱病毒在人和蚊子體內(nèi)存在潛伏期，分別設(shè)病毒在人體內(nèi)的潛伏期為\tau_h，在蚊子體內(nèi)的潛伏期為\tau_m。假設(shè)感染登革熱病毒的人在康復(fù)后會獲得長期免疫，康復(fù)率為\gamma_h，同時(shí)感染登革熱病毒會導(dǎo)致人的因病死亡率為\alpha_h。蚊子對人的平均叮咬率為a，染病蚊將疾病傳播給人的傳播率為\beta_{mh}，染病人將疾病傳播給蚊蟲的傳播率為\beta_{hm}，且這些參數(shù)均隨時(shí)間t呈周期性變化，以反映季節(jié)、環(huán)境等因素對傳播過程的影響?；谝陨霞僭O(shè)，建立如下周期系數(shù)的登革熱模型：\begin{cases}\frac{dS_h(t)}{dt}=\mu_hN_h(t)-a\beta_{mh}(t)S_h(t)I_m(t)-\mu_hS_h(t)\\\frac{dI_h(t)}{dt}=a\beta_{mh}(t)S_h(t)I_m(t)-(\mu_h+\alpha_h+\gamma_h)I_h(t)\\\frac{dR_h(t)}{dt}=\gamma_hI_h(t)-\mu_hR_h(t)\\\frac{dS_m(t)}{dt}=\Lambda_m-a\beta_{hm}(t)S_m(t)I_h(t-\tau_h)-\mu_mS_m(t)\\\frac{dI_m(t)}{dt}=a\beta_{hm}(t)S_m(t)I_h(t-\tau_h)-\mu_mI_m(t)\end{cases}其中，各參數(shù)的含義如下：\Lambda_m：蚊子的補(bǔ)充率；\mu_h：人的死亡率；\mu_m：蚊子的死亡率；\beta_{mh}(t)：t時(shí)刻染病蚊將疾病傳播給人的傳播率；\beta_{hm}(t)：t時(shí)刻染病人將疾病傳播給蚊蟲的傳播率；\alpha_h：人的因病死亡率；\gamma_h：人的康復(fù)率；a：蚊蟲對人的平均叮咬率；\tau_h：病毒在人體內(nèi)的潛伏期；\tau_m：病毒在蚊子體內(nèi)的潛伏期。2.2平衡點(diǎn)的存在性與穩(wěn)定性分析平衡點(diǎn)的計(jì)算：對于上述登革熱模型，無病平衡點(diǎn)E_0=(S_{h0},I_{h0},R_{h0},S_{m0},I_{m0})，滿足\frac{dS_h(t)}{dt}=\frac{dI_h(t)}{dt}=\frac{dR_h(t)}{dt}=\frac{dS_m(t)}{dt}=\frac{dI_m(t)}{dt}=0。在無病平衡點(diǎn)處，I_h(t)=0，I_m(t)=0，則由\frac{dS_h(t)}{dt}=\mu_hN_h(t)-\mu_hS_h(t)=0，因?yàn)镹_h(t)=S_h(t)+I_h(t)+R_h(t)，此時(shí)I_h(t)=0，R_h(t)=0，可得S_{h0}=\frac{\Lambda_h}{\mu_h}；由\frac{dS_m(t)}{dt}=\Lambda_m-\mu_mS_m(t)=0，可得S_{m0}=\frac{\Lambda_m}{\mu_m}，所以無病平衡點(diǎn)E_0=(\frac{\Lambda_h}{\mu_h},0,0,\frac{\Lambda_m}{\mu_m},0)。當(dāng)模型存在地方病平衡點(diǎn)E^*=(S_h^*,I_h^*,R_h^*,S_m^*,I_m^*)時(shí)，由\frac{dS_h(t)}{dt}=0可得：\mu_hN_h(t)-a\beta_{mh}(t)S_h(t)I_m(t)-\mu_hS_h(t)=0（式1）由\frac{dI_h(t)}{dt}=0可得：a\beta_{mh}(t)S_h(t)I_m(t)-(\mu_h+\alpha_h+\gamma_h)I_h(t)=0（式2）由\frac{dR_h(t)}{dt}=0可得：\gamma_hI_h(t)-\mu_hR_h(t)=0（式3）由\frac{dS_m(t)}{dt}=0可得：\Lambda_m-a\beta_{hm}(t)S_m(t)I_h(t-\tau_h)-\mu_mS_m(t)=0（式4）由\frac{dI_m(t)}{dt}=0可得：a\beta_{hm}(t)S_m(t)I_h(t-\tau_h)-\mu_mI_m(t)=0（式5）聯(lián)立（式1）-（式5），由于參數(shù)的周期性，求解過程較為復(fù)雜，可通過數(shù)值方法求解地方病平衡點(diǎn)。例如，將I_h(t)從（式2）中解出I_h(t)=\frac{a\beta_{mh}(t)S_h(t)I_m(t)}{\mu_h+\alpha_h+\gamma_h}，代入（式4）和（式5），再結(jié)合（式1）和（式3），利用迭代算法等數(shù)值方法逐步逼近地方病平衡點(diǎn)的數(shù)值解。平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析：無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性：利用線性化方法分析無病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性。將登革熱模型在無病平衡點(diǎn)E_0處線性化，得到雅可比矩陣J。模型的向量形式為\frac{d\mathbf{X}(t)}{dt}=\mathbf{F}(\mathbf{X}(t))，其中\(zhòng)mathbf{X}(t)=(S_h(t),I_h(t),R_h(t),S_m(t),I_m(t))^T，\mathbf{F}(\mathbf{X}(t))是模型右邊的函數(shù)向量。雅可比矩陣J的元素J_{ij}=\frac{\partialF_i}{\partialX_j}\big|_{E_0}，i,j=1,2,\cdots,5。\frac{\partialF_1}{\partialS_h}=\mu_h-a\beta_{mh}(t)I_m(t)-\mu_h\big|_{E_0}=0，\frac{\partialF_1}{\partialI_h}=-a\beta_{mh}(t)S_h(t)\big|_{E_0}=-a\beta_{mh}(t)\frac{\Lambda_h}{\mu_h}，\frac{\partialF_1}{\partialR_h}=0，\frac{\partialF_1}{\partialS_m}=0，\frac{\partialF_1}{\partialI_m}=-a\beta_{mh}(t)S_h(t)\big|_{E_0}=-a\beta_{mh}(t)\frac{\Lambda_h}{\mu_h}；\frac{\partialF_2}{\partialS_h}=a\beta_{mh}(t)I_m(t)\big|_{E_0}=0，\frac{\partialF_2}{\partialI_h}=a\beta_{mh}(t)S_h(t)-(\mu_h+\alpha_h+\gamma_h)\big|_{E_0}=a\beta_{mh}(t)\frac{\Lambda_h}{\mu_h}-(\mu_h+\alpha_h+\gamma_h)，\frac{\partialF_2}{\partialR_h}=0，\frac{\partialF_2}{\partialS_m}=0，\frac{\partialF_2}{\partialI_m}=a\beta_{mh}(t)S_h(t)\big|_{E_0}=a\beta_{mh}(t)\frac{\Lambda_h}{\mu_h}；\frac{\partialF_3}{\partialS_h}=0，\frac{\partialF_3}{\partialI_h}=\gamma_h，\frac{\partialF_3}{\partialR_h}=-\mu_h，\frac{\partialF_3}{\partialS_m}=0，\frac{\partialF_3}{\partialI_m}=0；\frac{\partialF_4}{\partialS_h}=-a\beta_{hm}(t)S_m(t)\big|_{E_0}=-a\beta_{hm}(t)\frac{\Lambda_m}{\mu_m}，\frac{\partialF_4}{\partialI_h}=-a\beta_{hm}(t)S_m(t)\big|_{E_0}=-a\beta_{hm}(t)\frac{\Lambda_m}{\mu_m}，\frac{\partialF_4}{\partialR_h}=0，\frac{\partialF_4}{\partialS_m}=\Lambda_m-\mu_m\big|_{E_0}=0，\frac{\partialF_4}{\partialI_m}=0；\frac{\partialF_5}{\partialS_h}=0，\frac{\partialF_5}{\partialI_h}=a\beta_{hm}(t)S_m(t)\big|_{E_0}=a\beta_{hm}(t)\frac{\Lambda_m}{\mu_m}，\frac{\partialF_5}{\partialR_h}=0，\frac{\partialF_5}{\partialS_m}=-\mu_m，\frac{\partialF_5}{\partialI_m}=a\beta_{hm}(t)S_m(t)\big|_{E_0}=a\beta_{hm}(t)\frac{\Lambda_m}{\mu_m}。得到雅可比矩陣J為：J=\begin{pmatrix}0&-a\beta_{mh}(t)\frac{\Lambda_h}{\mu_h}&0&0&-a\beta_{mh}(t)\frac{\Lambda_h}{\mu_h}\\0&a\beta_{mh}(t)\frac{\Lambda_h}{\mu_h}-(\mu_h+\alpha_h+\gamma_h)&0&0&a\beta_{mh}(t)\frac{\Lambda_h}{\mu_h}\\0&\gamma_h&-\mu_h&0&0\\-a\beta_{hm}(t)\frac{\Lambda_m}{\mu_m}&-a\beta_{hm}(t)\frac{\Lambda_m}{\mu_m}&0&0&0\\0&a\beta_{hm}(t)\frac{\Lambda_m}{\mu_m}&0&-\mu_m&a\beta_{hm}(t)\frac{\Lambda_m}{\mu_m}\end{pmatrix}計(jì)算J的特征值，根據(jù)特征值的實(shí)部判斷無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。若所有特征值的實(shí)部均小于0，則無病平衡點(diǎn)E_0是局部漸近穩(wěn)定的；若存在實(shí)部大于0的特征值，則E_0不穩(wěn)定。對于周期系數(shù)的雅可比矩陣J，可利用Floquet理論。設(shè)\Phi(t)是線性化系統(tǒng)\frac{d\mathbf{Y}(t)}{dt}=J(t)\mathbf{Y}(t)的一個(gè)基本解矩陣，\Phi(t)滿足\frac{d\Phi(t)}{dt}=J(t)\Phi(t)且\det(\Phi(0))=1。根據(jù)Floquet理論，存在一個(gè)非奇異矩陣P(t)和一個(gè)常數(shù)矩陣B，使得\Phi(t)=P(t)e^{Bt}，其中P(t+T)=P(t)，T是周期。矩陣B的特征值\lambda_i（i=1,2,\cdots,5）稱為Floquet指數(shù)，\rho_i=e^{\lambda_i}稱為Floquet乘子。若所有Floquet乘子的模均小于1，則無病平衡點(diǎn)E_0是局部漸近穩(wěn)定的；若存在模大于1的Floquet乘子，則E_0不穩(wěn)定。地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性：同樣在地方病平衡點(diǎn)E^*處對模型進(jìn)行線性化，得到雅可比矩陣J^*，其元素J_{ij}^*=\frac{\partialF_i}{\partialX_j}\big|_{E^*}，i,j=1,2,\cdots,5。計(jì)算過程與無病平衡點(diǎn)處類似，但由于地方病平衡點(diǎn)的表達(dá)式較為復(fù)雜，其雅可比矩陣的具體形式也更為復(fù)雜。然后通過分析J^*的特征值或利用Floquet理論分析Floquet指數(shù)和Floquet乘子來判斷地方病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性。此外，為了研究地方病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性，構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù)V(\mathbf{X}(t))。考慮函數(shù)V(S_h,I_h,R_h,S_m,I_m)=V_1(S_h)+V_2(I_h)+V_3(R_h)+V_4(S_m)+V_5(I_m)，例如V_1(S_h)=\frac{1}{2}(S_h-S_h^*)^2，V_2(I_h)=\frac{1}{2}(I_h-I_h^*)^2，V_3(R_h)=\frac{1}{2}(R_h-R_h^*)^2，V_4(S_m)=\frac{1}{2}(S_m-S_m^*)^2，V_5(I_m)=\frac{1}{2}(I_m-I_m^*)^2（這只是一種可能的構(gòu)造形式，實(shí)際構(gòu)造需根據(jù)模型特點(diǎn)調(diào)整）。計(jì)算V(\mathbf{X}(t))沿著模型解的導(dǎo)數(shù)\frac{dV}{dt}：\frac{dV}{dt}=\sum_{i=1}^{5}\frac{\partialV}{\partialX_i}\frac{dX_i}{dt}將模型中\(zhòng)frac{dX_i}{dt}（i=1,2,\cdots,5）的表達(dá)式代入上式，化簡得到\frac{dV}{dt}的表達(dá)式。若能證明在一定條件下\frac{dV}{dt}\leq0，且\frac{dV}{dt}=0的集合不包含除地方病平衡點(diǎn)E^*以外的整條正半軌線，則根據(jù)LaSalle不變集原理，地方病平衡點(diǎn)E^*是全局漸近穩(wěn)定的。例如，通過對\frac{dV}{dt}的表達(dá)式進(jìn)行分析，利用參數(shù)的取值范圍和模型的性質(zhì)，判斷其正負(fù)性。若存在某些參數(shù)范圍使得\frac{dV}{dt}在全局范圍內(nèi)非正，且僅在E^*處為0，則可得出地方病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定的結(jié)論。2.3基本再生數(shù)的推導(dǎo)與意義基本再生數(shù)的推導(dǎo)：采用下一代矩陣方法來推導(dǎo)登革熱模型的基本再生數(shù)。首先，將模型中的新生感染項(xiàng)和轉(zhuǎn)移項(xiàng)進(jìn)行分離。設(shè)\mathbf{X}=(I_h,I_m)^T為感染類變量。新生感染項(xiàng)\mathbf{F}為：\mathbf{F}=\begin{pmatrix}a\beta_{mh}(t)S_h(t)I_m(t)\\a\beta_{hm}(t)S_m(t)I_h(t-\tau_h)\end{pmatrix}轉(zhuǎn)移項(xiàng)\mathbf{V}為：\mathbf{V}=\begin{pmatrix}(\mu_h+\alpha_h+\gamma_h)I_h(t)\\\mu_mI_m(t)\end{pmatrix}在無病平衡點(diǎn)E_0=(\frac{\Lambda_h}{\mu_h},0,0,\frac{\Lambda_m}{\mu_m},0)處，對\mathbf{F}和\mathbf{V}關(guān)于\mathbf{X}求偏導(dǎo)數(shù)，得到F矩陣和V矩陣。F_{11}=\frac{\partialF_1}{\partialI_h}\big|_{E_0}=0，F(xiàn)_{12}=\frac{\partialF_1}{\partialI_m}\big|_{E_0}=a\beta_{mh}(t)\frac{\Lambda_h}{\mu_h}；F_{21}=\frac{\partialF_2}{\partialI_h}\big|_{E_0}=a\beta_{hm}(t)\frac{\Lambda_m}{\mu_m}，F(xiàn)_{22}=\frac{\partialF_2}{\partialI_m}\big|_{E_0}=0。所以F矩陣為：F=\begin{pmatrix}0&a\beta_{mh}(t)\frac{\Lambda_h}{\mu_h}\\a\beta_{hm}(t)\frac{\Lambda_m}{\mu_m}&0\end{pmatrix}V_{11}=\frac{\partialV_1}{\partialI_h}\big|_{E_0}=\mu_h+\alpha_h+\gamma_h，V_{12}=\frac{\partialV_1}{\partialI_m}\big|_{E_0}=0；V_{21}=\frac{\partialV_2}{\partialI_h}\big|_{E_0}=0，V_{22}=\frac{\partialV_2}{\partialI_m}\big|_{E_0}=\mu_m。所以V矩陣為：V=\begin{pmatrix}\mu_h+\alpha_h+\gamma_h&0\\0&\mu_m\end{pmatrix}則下一代矩陣K=FV^{-1}，V^{-1}為V的逆矩陣，V^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\mu_h+\alpha_h+\gamma_h}&0\\0&\frac{1}{\mu_m}\end{pmatrix}。K=FV^{-1}=\begin{pmatrix}0&a\beta_{mh}(t)\frac{\Lambda_h}{\mu_h(\mu_m)}\\a\beta_{hm}(t)\frac{\Lambda_m}{\mu_m(\mu_h+\alpha_h+\gamma_h)}&0\end{pmatrix}基本再生數(shù)R_0為下一代矩陣K的譜半徑，即R_0=\rho(K)。對于2\times2矩陣K，其特征方程為\lambda^2-\text{tr}(K)\lambda+\det(K)=0，其中\(zhòng)text{tr}(K)為矩陣K的跡，\det(K)為矩陣K的行列式。\text{tr}(K)=0，\det(K)=\frac{a^2\beta_{mh}(t)\beta_{hm}(t)\Lambda_h\Lambda_m}{\mu_h\mu_m(\mu_h+\alpha_h+\gamma_h)}。解得\lambda=\pm\sqrt{\frac{a^2\beta_{mh}(t)\beta_{hm}(t)\Lambda_h\Lambda_m}{\mu_h\mu_m(\mu_h+\alpha_h+\gamma_h)}}，則基本再生數(shù)R_0=\sqrt{\frac{a^2\beta_{mh}(t)\beta_{hm}(t)\Lambda_h\Lambda_m}{\mu_h\mu_m(\mu_h+\alpha_h+\gamma_h)}}。由于參數(shù)的周期性，可對一個(gè)周期內(nèi)的R_0進(jìn)行積分平均，得到更準(zhǔn)確反映疾病傳播能力的基本再生數(shù)。設(shè)周期為T，則平均后的基本再生數(shù)\overline{R_0}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}\sqrt{\frac{a^2\beta_{mh}(t)\beta_{hm}(t)\Lambda_h\Lambda_m}{\mu_h\mu_m(\mu_h+\alpha_h+\gamma_h)}}dt?；驹偕鷶?shù)的意義：基本再生數(shù)\overline{R_0}在登革熱傳播風(fēng)險(xiǎn)評估中具有核心意義，是判斷疾病傳播態(tài)勢的關(guān)鍵指標(biāo)。當(dāng)\overline{R_0}>1時(shí)，表明在疾病傳播初期，平均每個(gè)感染者在一個(gè)周期內(nèi)能夠感染超過1個(gè)新的易感個(gè)體，這意味著疾病有在人群和蚊群中持續(xù)傳播和擴(kuò)散的趨勢。例如，在某些登革熱高發(fā)地區(qū)，若當(dāng)?shù)氐奈米臃敝陈矢撸╘Lambda_m較大），且蚊子對人的叮咬頻繁（a較大），同時(shí)病毒傳播率（\beta_{mh}(t)和\beta_{hm}(t)）也較高，就可能導(dǎo)致\overline{R_0}>1，疾病會迅速傳播，感染人數(shù)不斷增加，疫情有擴(kuò)大的風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)\overline{R_0}<1時(shí)，平均每個(gè)感染者在一個(gè)周期內(nèi)感染的新易感個(gè)體數(shù)小于1，疾病傳播的力量逐漸減弱，有望得到控制和消除。此時(shí)，即使有少量感染者存在，隨著時(shí)間推移，感染人數(shù)也會逐漸減少，疫情會逐漸平息。這為防控策略的制定提供了重要依據(jù)，當(dāng)監(jiān)測到基本再生數(shù)接近或小于1時(shí)，可以適當(dāng)調(diào)整防控力度，合理分配資源。通過對基本再生數(shù)的分析，還可以評估不同防控措施對疾病傳播的影響。如采取滅蚊措施降低蚊子的補(bǔ)充率\Lambda_m，或加強(qiáng)個(gè)人防護(hù)降低蚊子對人的叮咬率a，這些措施都會使基本再生數(shù)減小，從而降低疾病傳播風(fēng)險(xiǎn)。因此，準(zhǔn)確計(jì)算和分析基本再生數(shù)，對于登革熱的防控決策具有重要的指導(dǎo)作用，能夠幫助公共衛(wèi)生部門提前制定有效的防控策略，減少疾病的傳播和擴(kuò)散。2.4數(shù)值模擬與結(jié)果討論為了更直觀地展示登革熱在周期情形下的傳播過程，深入分析參數(shù)變化對傳播的影響，利用數(shù)值模擬方法對上述登革熱模型進(jìn)行研究。選取一組具有代表性的參數(shù)值，如表1所示：參數(shù)取值含義\Lambda_m100蚊子的補(bǔ)充率\mu_h0.0001人的死亡率\mu_m0.05蚊子的死亡率\beta_{mh}(t)0.2+0.1sin(2πt/365)t時(shí)刻染病蚊將疾病傳播給人的傳播率\beta_{hm}(t)0.15+0.05sin(2πt/365)t時(shí)刻染病人將疾病傳播給蚊蟲的傳播率\alpha_h0.01人的因病死亡率\gamma_h0.1人的康復(fù)率a0.3蚊蟲對人的平均叮咬率\tau_h5病毒在人體內(nèi)的潛伏期（天）\tau_m7病毒在蚊子體內(nèi)的潛伏期（天）假設(shè)初始時(shí)刻，人類種群中易感人群S_h(0)=900，感染人群I_h(0)=100，康復(fù)人群R_h(0)=0；蚊子種群中易感蚊子S_m(0)=80，感染蚊子I_m(0)=20。利用四階龍格-庫塔法對模型進(jìn)行數(shù)值求解，模擬時(shí)間設(shè)定為一年（t=0到t=365天）。通過數(shù)值模擬，得到登革熱在周期情形下人類和蚊子種群中感染人數(shù)和感染蚊子數(shù)隨時(shí)間的變化曲線，如圖1所示。從圖中可以清晰地看到，人類感染人數(shù)和感染蚊子數(shù)均呈現(xiàn)出周期性的波動(dòng)變化。在一年中，隨著季節(jié)的更替，環(huán)境因素（如溫度、濕度等）發(fā)生變化，導(dǎo)致病毒傳播率\beta_{mh}(t)和\beta_{hm}(t)也隨之改變，進(jìn)而使得感染人數(shù)和感染蚊子數(shù)在不同時(shí)間段內(nèi)有不同的增長和衰減趨勢。例如，在夏季和雨季，環(huán)境條件適宜蚊子繁殖和病毒傳播，感染人數(shù)和感染蚊子數(shù)會迅速上升；而在冬季，由于氣溫降低，蚊子活動(dòng)減少，病毒傳播率下降，感染人數(shù)和感染蚊子數(shù)則逐漸減少。接下來，分析參數(shù)變化對登革熱傳播的影響。首先考慮蚊子補(bǔ)充率\Lambda_m的變化。當(dāng)\Lambda_m分別取值為80、100、120時(shí)，得到感染人數(shù)隨時(shí)間的變化曲線，如圖2所示。可以發(fā)現(xiàn)，隨著\Lambda_m的增大，感染人數(shù)明顯增加。這是因?yàn)槲米友a(bǔ)充率的提高意味著蚊子種群數(shù)量增多，人與感染蚊子接觸的機(jī)會增加，從而導(dǎo)致更多人感染登革熱病毒，傳播風(fēng)險(xiǎn)增大。再分析蚊蟲對人的平均叮咬率a的影響。當(dāng)a分別取值為0.2、0.3、0.4時(shí)，感染人數(shù)隨時(shí)間的變化曲線如圖3所示。結(jié)果表明，隨著a的增大，感染人數(shù)顯著上升。這是因?yàn)槎Ｒ实脑黾邮沟貌《驹谌撕臀米又g的傳播更加頻繁，更多的易感人群會被感染，加速了登革熱的傳播速度。最后研究人的康復(fù)率\gamma_h的變化對傳播的影響。當(dāng)\gamma_h分別取值為0.05、0.1、0.15時(shí)，感染人數(shù)隨時(shí)間的變化曲線如圖4所示?？梢钥闯?，隨著\gamma_h的增大，感染人數(shù)逐漸減少。這是因?yàn)榭祻?fù)率的提高意味著感染者能夠更快地恢復(fù)健康，減少了病毒在人群中的傳播源，從而降低了登革熱的傳播風(fēng)險(xiǎn)。通過上述數(shù)值模擬與結(jié)果討論，直觀地展示了登革熱在周期情形下的傳播特征，以及關(guān)鍵參數(shù)變化對傳播過程的影響。這為制定針對性的登革熱防控策略提供了重要的參考依據(jù)，例如可以通過降低蚊子補(bǔ)充率、減少蚊蟲對人的叮咬率以及提高人的康復(fù)率等措施，有效控制登革熱的傳播。三、周期情形下瘧疾流行病模型的構(gòu)建與分析3.1模型假設(shè)與建立瘧疾作為一種嚴(yán)重危害人類健康的寄生蟲病，其傳播過程受到多種復(fù)雜因素的影響。為了更深入地探究瘧疾的傳播機(jī)制，構(gòu)建一個(gè)準(zhǔn)確反映其傳播規(guī)律的數(shù)學(xué)模型至關(guān)重要?；诏懠驳膶?shí)際傳播特點(diǎn)，做出以下假設(shè)：種群劃分：將人類種群細(xì)致地分為易感人群S_h(t)、潛伏人群E_h(t)、感染人群I_h(t)和康復(fù)人群R_h(t)，其中t表示時(shí)間。假設(shè)人類種群的出生率和死亡率均為常數(shù)，分別記為\mu_h和\mu_h，且種群總數(shù)N_h(t)=S_h(t)+E_h(t)+I_h(t)+R_h(t)。傳播媒介：瘧疾主要通過受感染的雌性按蚊叮咬傳播給人類。按蚊種群分為易感按蚊S_m(t)和感染按蚊I_m(t)，其出生率為\Lambda_m，死亡率為\mu_m，按蚊種群總數(shù)N_m(t)=S_m(t)+I_m(t)。潛伏期因素：考慮到瘧原蟲在人和按蚊體內(nèi)存在潛伏期，分別設(shè)瘧原蟲在人體內(nèi)的潛伏期為\tau_h，在按蚊體內(nèi)的潛伏期為\tau_m。這意味著從感染瘧原蟲到出現(xiàn)明顯癥狀需要經(jīng)過一段時(shí)間，潛伏期的存在對瘧疾的傳播動(dòng)態(tài)有著重要影響。免疫與死亡：假設(shè)感染瘧疾的人在康復(fù)后會獲得一定的免疫力，但免疫力會隨著時(shí)間逐漸減弱?？祻?fù)率為\gamma_h，同時(shí)感染瘧疾會導(dǎo)致人的因病死亡率為\alpha_h。此外，還考慮了自然死亡率，使得模型更符合實(shí)際情況。傳播率變化：按蚊對人的平均叮咬率為a，染病蚊將疾病傳播給人的傳播率為\beta_{mh}(t)，染病人將疾病傳播給按蚊的傳播率為\beta_{hm}(t)，且這些參數(shù)均隨時(shí)間t呈周期性變化，以反映季節(jié)、環(huán)境等因素對傳播過程的影響。例如，在夏季，氣溫升高，按蚊活動(dòng)頻繁，叮咬率和傳播率可能會相應(yīng)增加；而在冬季，這些參數(shù)則可能降低?；谝陨霞僭O(shè)，建立如下周期系數(shù)的瘧疾模型：\begin{cases}\frac{dS_h(t)}{dt}=\mu_hN_h(t)-a\beta_{mh}(t)S_h(t)I_m(t)-\mu_hS_h(t)\\\frac{dE_h(t)}{dt}=a\beta_{mh}(t)S_h(t)I_m(t)-(\mu_h+\sigma_h)E_h(t)\\\frac{dI_h(t)}{dt}=\sigma_hE_h(t-\tau_h)-(\mu_h+\alpha_h+\gamma_h)I_h(t)\\\frac{dR_h(t)}{dt}=\gamma_hI_h(t)-\mu_hR_h(t)\\\frac{dS_m(t)}{dt}=\Lambda_m-a\beta_{hm}(t)S_m(t)I_h(t-\tau_h)-\mu_mS_m(t)\\\frac{dI_m(t)}{dt}=a\beta_{hm}(t)S_m(t)I_h(t-\tau_h)-\mu_mI_m(t)\end{cases}其中，各參數(shù)的含義如下：\Lambda_m：按蚊的補(bǔ)充率，它反映了按蚊種群的自然增長情況，受到環(huán)境、食物資源等多種因素的影響。例如，在適宜的環(huán)境中，按蚊的繁殖速度加快，補(bǔ)充率會相應(yīng)提高。\mu_h：人的死亡率，包括自然死亡率和由于其他疾病等原因?qū)е碌乃劳雎剩且粋€(gè)綜合反映人類生存狀況的參數(shù)。\mu_m：按蚊的死亡率，受到氣候、天敵、殺蟲劑使用等多種因素的制約。在使用殺蟲劑的地區(qū)，按蚊死亡率會明顯上升。\beta_{mh}(t)：t時(shí)刻染病蚊將疾病傳播給人的傳播率，它會隨著季節(jié)、按蚊密度、人類防護(hù)措施等因素的變化而改變。在瘧疾高發(fā)季節(jié)，該傳播率通常較高。\beta_{hm}(t)：t時(shí)刻染病人將疾病傳播給按蚊的傳播率，同樣受到多種因素的影響，如病人的瘧原蟲血癥水平、按蚊的叮咬習(xí)性等。\alpha_h：人的因病死亡率，體現(xiàn)了瘧疾對人類健康的嚴(yán)重危害程度，不同地區(qū)和人群的因病死亡率可能存在差異。\gamma_h：人的康復(fù)率，與醫(yī)療條件、患者自身免疫力等因素密切相關(guān)。在醫(yī)療資源豐富、患者免疫力較強(qiáng)的情況下，康復(fù)率會相對較高。a：按蚊對人的平均叮咬率，受到按蚊的活動(dòng)習(xí)性、人類的戶外活動(dòng)頻率等因素的影響。在戶外活動(dòng)較多的人群中，被按蚊叮咬的概率會增加。\tau_h：瘧原蟲在人體內(nèi)的潛伏期，不同瘧原蟲種類和個(gè)體差異可能導(dǎo)致潛伏期有所不同，一般在數(shù)天到數(shù)周之間。\tau_m：瘧原蟲在按蚊體內(nèi)的潛伏期，同樣受到多種因素的影響，按蚊的生理狀態(tài)和環(huán)境溫度對潛伏期有較大影響。\sigma_h：潛伏人群轉(zhuǎn)化為感染人群的轉(zhuǎn)化率，反映了瘧原蟲在人體內(nèi)的發(fā)育速度和感染進(jìn)程。3.2平衡點(diǎn)分析與穩(wěn)定性研究平衡點(diǎn)的計(jì)算：無病平衡點(diǎn)：對于瘧疾模型，無病平衡點(diǎn)E_0=(S_{h0},E_{h0},I_{h0},R_{h0},S_{m0},I_{m0})滿足\frac{dS_h(t)}{dt}=\frac{dE_h(t)}{dt}=\frac{dI_h(t)}{dt}=\frac{dR_h(t)}{dt}=\frac{dS_m(t)}{dt}=\frac{dI_m(t)}{dt}=0。在無病狀態(tài)下，I_h(t)=0，I_m(t)=0，由\frac{dS_h(t)}{dt}=\mu_hN_h(t)-\mu_hS_h(t)=0，因?yàn)镹_h(t)=S_h(t)+E_h(t)+I_h(t)+R_h(t)，此時(shí)I_h(t)=0，E_h(t)=0，R_h(t)=0，可得S_{h0}=\frac{\Lambda_h}{\mu_h}；由\frac{dS_m(t)}{dt}=\Lambda_m-\mu_mS_m(t)=0，可得S_{m0}=\frac{\Lambda_m}{\mu_m}，所以無病平衡點(diǎn)E_0=(\frac{\Lambda_h}{\mu_h},0,0,0,\frac{\Lambda_m}{\mu_m},0)。地方病平衡點(diǎn)：當(dāng)模型存在地方病平衡點(diǎn)E^*=(S_h^*,E_h^*,I_h^*,R_h^*,S_m^*,I_m^*)時(shí)，由\frac{dS_h(t)}{dt}=0可得：\mu_hN_h(t)-a\beta_{mh}(t)S_h(t)I_m(t)-\mu_hS_h(t)=0（式6）由\frac{dE_h(t)}{dt}=0可得：a\beta_{mh}(t)S_h(t)I_m(t)-(\mu_h+\sigma_h)E_h(t)=0（式7）由\frac{dI_h(t)}{dt}=0可得：\sigma_hE_h(t-\tau_h)-(\mu_h+\alpha_h+\gamma_h)I_h(t)=0（式8）由\frac{dR_h(t)}{dt}=0可得：\gamma_hI_h(t)-\mu_hR_h(t)=0（式9）由\frac{dS_m(t)}{dt}=0可得：\Lambda_m-a\beta_{hm}(t)S_m(t)I_h(t-\tau_h)-\mu_mS_m(t)=0（式10）由\frac{dI_m(t)}{dt}=0可得：a\beta_{hm}(t)S_m(t)I_h(t-\tau_h)-\mu_mI_m(t)=0（式11）聯(lián)立（式6）-（式11）求解地方病平衡點(diǎn)。由于參數(shù)的周期性以及方程的復(fù)雜性，解析求解較為困難，通常采用數(shù)值方法。例如，將（式7）變形為E_h(t)=\frac{a\beta_{mh}(t)S_h(t)I_m(t)}{\mu_h+\sigma_h}，將（式11）變形為I_m(t)=\frac{a\beta_{hm}(t)S_m(t)I_h(t-\tau_h)}{\mu_m}，然后代入其他方程，利用迭代算法，如牛頓迭代法等，逐步逼近地方病平衡點(diǎn)的數(shù)值解。在迭代過程中，需要合理選擇初始值，以確保迭代能夠收斂到正確的地方病平衡點(diǎn)。平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析：無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性：利用線性化方法對無病平衡點(diǎn)E_0進(jìn)行局部漸近穩(wěn)定性分析。將瘧疾模型在無病平衡點(diǎn)E_0處線性化，得到雅可比矩陣J。設(shè)模型的向量形式為\frac{d\mathbf{X}(t)}{dt}=\mathbf{F}(\mathbf{X}(t))，其中\(zhòng)mathbf{X}(t)=(S_h(t),E_h(t),I_h(t),R_h(t),S_m(t),I_m(t))^T，\mathbf{F}(\mathbf{X}(t))是模型右邊的函數(shù)向量。雅可比矩陣J的元素J_{ij}=\frac{\partialF_i}{\partialX_j}\big|_{E_0}，i,j=1,2,\cdots,6。\frac{\partialF_1}{\partialS_h}=\mu_h-a\beta_{mh}(t)I_m(t)-\mu_h\big|_{E_0}=0，\frac{\partialF_1}{\partialE_h}=0，\frac{\partialF_1}{\partialI_h}=-a\beta_{mh}(t)S_h(t)\big|_{E_0}=-a\beta_{mh}(t)\frac{\Lambda_h}{\mu_h}，\frac{\partialF_1}{\partialR_h}=0，\frac{\partialF_1}{\partialS_m}=0，\frac{\partialF_1}{\partialI_m}=-a\beta_{mh}(t)S_h(t)\big|_{E_0}=-a\beta_{mh}(t)\frac{\Lambda_h}{\mu_h}；\frac{\partialF_2}{\partialS_h}=a\beta_{mh}(t)I_m(t)\big|_{E_0}=0，\frac{\partialF_2}{\partialE_h}=-(\mu_h+\sigma_h)，\frac{\partialF_2}{\partialI_h}=a\beta_{mh}(t)S_h(t)\big|_{E_0}=a\beta_{mh}(t)\frac{\Lambda_h}{\mu_h}，\frac{\partialF_2}{\partialR_h}=0，\frac{\partialF_2}{\partialS_m}=0，\frac{\partialF_2}{\partialI_m}=a\beta_{mh}(t)S_h(t)\big|_{E_0}=a\beta_{mh}(t)\frac{\Lambda_h}{\mu_h}；\frac{\partialF_3}{\partialS_h}=0，\frac{\partialF_3}{\partialE_h}=\sigma_h，\frac{\partialF_3}{\partialI_h}=-(\mu_h+\alpha_h+\gamma_h)，\frac{\partialF_3}{\partialR_h}=0，\frac{\partialF_3}{\partialS_m}=0，\frac{\partialF_3}{\partialI_m}=0；\frac{\partialF_4}{\partialS_h}=0，\frac{\partialF_4}{\partialE_h}=0，\frac{\partialF_4}{\partialI_h}=\gamma_h，\frac{\partialF_4}{\partialR_h}=-\mu_h，\frac{\partialF_4}{\partialS_m}=0，\frac{\partialF_4}{\partialI_m}=0；\frac{\partialF_5}{\partialS_h}=-a\beta_{hm}(t)S_m(t)\big|_{E_0}=-a\beta_{hm}(t)\frac{\Lambda_m}{\mu_m}，\frac{\partialF_5}{\partialE_h}=0，\frac{\partialF_5}{\partialI_h}=-a\beta_{hm}(t)S_m(t)\big|_{E_0}=-a\beta_{hm}(t)\frac{\Lambda_m}{\mu_m}，\frac{\partialF_5}{\partialR_h}=0，\frac{\partialF_5}{\partialS_m}=\Lambda_m-\mu_m\big|_{E_0}=0，\frac{\partialF_5}{\partialI_m}=0；\frac{\partialF_6}{\partialS_h}=0，\frac{\partialF_6}{\partialE_h}=0，\frac{\partialF_6}{\partialI_h}=a\beta_{hm}(t)S_m(t)\big|_{E_0}=a\beta_{hm}(t)\frac{\Lambda_m}{\mu_m}，\frac{\partialF_6}{\partialR_h}=0，\frac{\partialF_6}{\partialS_m}=-\mu_m，\frac{\partialF_6}{\partialI_m}=a\beta_{hm}(t)S_m(t)\big|_{E_0}=a\beta_{hm}(t)\frac{\Lambda_m}{\mu_m}。得到雅可比矩陣J為：J=\begin{pmatrix}0&0&-a\beta_{mh}(t)\frac{\Lambda_h}{\mu_h}&0&0&-a\beta_{mh}(t)\frac{\Lambda_h}{\mu_h}\\0&-(\mu_h+\sigma_h)&a\beta_{mh}(t)\frac{\Lambda_h}{\mu_h}&0&0&a\beta_{mh}(t)\frac{\Lambda_h}{\mu_h}\\0&\sigma_h&-(\mu_h+\alpha_h+\gamma_h)&0&0&0\\0&0&\gamma_h&-\mu_h&0&0\\-a\beta_{hm}(t)\frac{\Lambda_m}{\mu_m}&0&-a\beta_{hm}(t)\frac{\Lambda_m}{\mu_m}&0&0&0\\0&0&a\beta_{hm}(t)\frac{\Lambda_m}{\mu_m}&0&-\mu_m&a\beta_{hm}(t)\frac{\Lambda_m}{\mu_m}\end{pmatrix}計(jì)算J的特征值，根據(jù)特征值的實(shí)部判斷無病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。由于模型中存在周期系數(shù)，可利用Floquet理論。設(shè)\Phi(t)是線性化系統(tǒng)\frac{d\mathbf{Y}(t)}{dt}=J(t)\mathbf{Y}(t)的一個(gè)基本解矩陣，\Phi(t)滿足\frac{d\Phi(t)}{dt}=J(t)\Phi(t)且\det(\Phi(0))=1。根據(jù)Floquet理論，存在一個(gè)非奇異矩陣P(t)和一個(gè)常數(shù)矩陣B，使得\Phi(t)=P(t)e^{Bt}，其中P(t+T)=P(t)，T是周期。矩陣B的特征值\lambda_i（i=1,2,\cdots,6）稱為Floquet指數(shù)，\rho_i=e^{\lambda_i}稱為Floquet乘子。若所有Floquet乘子的模均小于1，則無病平衡點(diǎn)E_0是局部漸近穩(wěn)定的；若存在模大于1的Floquet乘子，則E_0不穩(wěn)定。地方病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性：在地方病平衡點(diǎn)E^*處對模型進(jìn)行線性化，得到雅可比矩陣J^*，其元素J_{ij}^*=\frac{\partialF_i}{\partialX_j}\big|_{E^*}，i,j=1,2,\cdots,6。計(jì)算過程與無病平衡點(diǎn)處類似，但由于地方病平衡點(diǎn)的表達(dá)式復(fù)雜，其雅可比矩陣J^*的具體形式也更為復(fù)雜。通過分析J^*的特征值或利用Floquet理論分析Floquet指數(shù)和Floquet乘子來判斷地方病平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性。為了研究地方病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性，構(gòu)造合適的李雅普諾夫函數(shù)V(\mathbf{X}(t))?？紤]函數(shù)V(S_h,E_h,I_h,R_h,S_m,I_m)=V_1(S_h)+V_2(E_h)+V_3(I_h)+V_4(R_h)+V_5(S_m)+V_6(I_m)，例如V_1(S_h)=\frac{1}{2}(S_h-S_h^*)^2，V_2(E_h)=\frac{1}{2}(E_h-E_h^*)^2，V_3(I_h)=\frac{1}{2}(I_h-I_h^*)^2，V_4(R_h)=\frac{1}{2}(R_h-R_h^*)^2，V_5(S_m)=\frac{1}{2}(S_m-S_m^*)^2，V_6(I_m)=\frac{1}{2}(I_m-I_m^*)^2（實(shí)際構(gòu)造需根據(jù)模型特點(diǎn)調(diào)整）。計(jì)算V(\mathbf{X}(t))沿著模型解的導(dǎo)數(shù)\frac{dV}{dt}：\frac{dV}{dt}=\sum_{i=1}^{6}\frac{\partialV}{\partialX_i}\frac{dX_i}{dt}將模型中\(zhòng)frac{dX_i}{dt}（i=1,2,\cdots,6）的表達(dá)式代入上式，化簡得到\frac{dV}{dt}的表達(dá)式。若能證明在一定條件下\frac{dV}{dt}\leq0，且\frac{dV}{dt}=0的集合不包含除地方病平衡點(diǎn)E^*以外的整條正半軌線，則根據(jù)LaSalle不變集原理，地方病平衡點(diǎn)E^*是全局漸近穩(wěn)定的。例如，通過對\frac{dV}{dt}的表達(dá)式進(jìn)行分析，利用參數(shù)的取值范圍和模型的性質(zhì)，判斷其正負(fù)性。若存在某些參數(shù)范圍使得\frac{dV}{dt}在全局范圍內(nèi)非正，且僅在E^*處為0，則可得出地方病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定的結(jié)論。3.3閾值動(dòng)力學(xué)與傳播特征閾值動(dòng)力學(xué)分析：采用下一代矩陣方法來推導(dǎo)瘧疾模型的基本再生數(shù)，這是研究瘧疾傳播閾值動(dòng)力學(xué)的關(guān)鍵步驟。設(shè)\mathbf{X}=(E_h,I_h,I_m)^T為感染類變量。新生感染項(xiàng)\mathbf{F}為：\mathbf{F}=\begin{pmatrix}a\beta_{mh}(t)S_h(t)I_m(t)\\0\\a\beta_{hm}(t)S_m(t)I_h(t-\tau_h)\end{pmatrix}轉(zhuǎn)移項(xiàng)\mathbf{V}為：\mathbf{V}=\begin{pmatrix}(\mu_h+\sigma_h)E_h(t)\\-\sigma_hE_h(t-\tau_h)+(\mu_h+\alpha_h+\gamma_h)I_h(t)\\\mu_mI_m(t)\end{pmatrix}在無病平衡點(diǎn)E_0=(\frac{\Lambda_h}{\mu_h},0,0,0,\frac{\Lambda_m}{\mu_m},0)處，對\mathbf{F}和\mathbf{V}關(guān)于\mathbf{X}求偏導(dǎo)數(shù)，得到F矩陣和V矩陣。F_{11}=\frac{\partialF_1}{\partialE_h}\big|_{E_0}=0，F(xiàn)_{12}=\frac{\partialF_1}{\partialI_h}\big|_{E_0}=0，F(xiàn)_{13}=\frac{\partialF_1}{\partialI_m}\big|_{E_0}=a\beta_{mh}(t)\frac{\Lambda_h}{\mu_h}；F_{21}=\frac{\partialF_2}{\partialE_h}\big|_{E_0}=0，F(xiàn)_{22}=\frac{\partialF_2}{\partialI_h}\big|_{E_0}=0，F(xiàn)_{23}=\frac{\partialF_2}{\partialI_m}\big|_{E_0}=0；F_{31}=\frac{\partialF_3}{\partialE_h}\big|_{E_0}=0，F(xiàn)_{32}=\frac{\partialF_3}{\partialI_h}\big|_{E_0}=a\beta_{hm}(t)\frac{\Lambda_m}{\mu_m}，F(xiàn)_{33}=\frac{\partialF_3}{\partialI_m}\big|_{E_0}=0。所以F矩陣為：F=\begin{pmatrix}0&0&a\beta_{mh}(t)\frac{\Lambda_h}{\mu_h}\\0&0&0\\0&a\beta_{hm}(t)\frac{\Lambda_m}{\mu_m}&0\end{pmatrix}V_{11}=\frac{\partialV_1}{\partialE_h}\big|_{E_0}=\mu_h+\sigma_h，V_{12}=\frac{\partialV_1}{\partialI_h}\big|_{E_0}=0，V_{13}=\frac{\partialV_1}{\partialI_m}\big|_{E_0}=0；V_{21}=\frac{\partialV_2}{\partialE_h}\big|_{E_0}=-\sigma_h，V_{22}=\frac{\partialV_2}{\partialI_h}\big|_{E_0}=\mu_h+\alpha_h+\gamma_h，V_{23}=\frac{\partialV_2}{\partialI_m}\big|_{E_0}=0；V_{31}=\frac{\partialV_3}{\partialE_h}\big|_{E_0}=0，V_{32}=\frac{\partialV_3}{\partialI_h}\big|_{E_0}=0，V_{33}=\frac{\partialV_3}{\partialI_m}\big|_{E_0}=\mu_m。所以V矩陣為：V=\begin{pmatrix}\mu_h+\sigma_h&0&0\\-\sigma_h&\mu_h+\alpha_h+\gamma_h&0\\0&0&\mu_m\end{pmatrix}則下一代矩陣K=FV^{-1}，先求V^{-1}：V^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\mu_h+\sigma_h}&0&0\\\frac{\sigma_h}{(\mu_h+\sigma_h)(\mu_h+\alpha_h+\gamma_h)}&\frac{1}{\mu_h+\alpha_h+\gamma_h}&0\\0&0&\frac{1}{\mu_m}\end{pmatrix}K=FV^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{a\beta_{mh}(t)\sigma_h\Lambda_h}{\mu_h(\mu_h+\sigma_h)(\mu_h+\alpha_h+\gamma_h)}&\frac{a\beta_{mh}(t)\Lambda_h}{\mu_h(\mu_h+\alpha_h+\gamma_h)}&\frac{a\beta_{mh}(t)\Lambda_h}{\mu_h\mu_m}\\0&0&0\\\frac{a\beta_{hm}(t)\sigma_h\Lambda_m}{\mu_m(\mu_h+\sigma_h)(\mu_h+\alpha_h+\gamma_h)}&\frac{a\beta_{hm}(t)\Lambda_m}{\mu_m(\mu_h+\alpha_h+\gamma_h)}&0\end{pmatrix}基本再生數(shù)R_0為下一代矩陣K的譜半徑，即R_0=\rho(K)。通過計(jì)算K的特征值來確定譜半徑，對于三階矩陣K，其特征方程為\lambda^3-\text{tr}(K)\lambda^2+\text{tr}(\text{adj}(K))\lambda-\det(K)=0，其中\(zhòng)text{tr}(K)為矩陣K的跡，\text{tr}(\text{adj}(K))為伴隨矩陣的跡，\det(K)為矩陣K的行列式。由于計(jì)算較為復(fù)雜，可利用數(shù)值方法求解特征值，進(jìn)而得到基本再生數(shù)R_0。同樣，由于參數(shù)的周期性，可對一個(gè)周期內(nèi)的R_0進(jìn)行積分平均，設(shè)周期為T，得到平均后的基本再生數(shù)\overline{R_0}=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}R_0(t)dt。當(dāng)\overline{R_0}<1時(shí)，根據(jù)動(dòng)力學(xué)理論，無病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的。這意味著在這種情況下，瘧疾在人群和按蚊種群中無法持續(xù)傳播，疾病會逐漸消亡。從實(shí)際意義上講，當(dāng)基本再生數(shù)小于1時(shí)，每個(gè)感染者平均傳播的新感染人數(shù)小于1，隨著時(shí)間的推移，感染源逐漸減少，疾病傳播的鏈條會被逐漸切斷。例如，在采取了有效的防控措施后，如大規(guī)模使用殺蟲劑降低按蚊密度（使\Lambda_m減小），或者提高人群的防護(hù)意識減少按蚊叮咬率a，都可能導(dǎo)致\overline{R_0}<1，從而使瘧疾疫情得到有效控制。當(dāng)\overline{R_0}>1時(shí)，存在唯一的地方病平衡點(diǎn)且是全局漸近穩(wěn)定的。此時(shí)，瘧疾會在人群和按蚊種群中持續(xù)傳播，形成地方病流行態(tài)勢。在這種情況下，每個(gè)感染者平均能夠傳播超過1個(gè)新的感染個(gè)體，疾病會在人群中不斷擴(kuò)散。例如，在一些瘧疾流行的熱帶地區(qū)，由于氣候條件適宜按蚊繁殖（\Lambda_m較大），且當(dāng)?shù)匦l(wèi)生條件有限，人們防護(hù)意識不足（a較大），導(dǎo)致基本再生數(shù)大于1，瘧疾常年在當(dāng)?shù)亓餍?，給居民的健康和生活帶來嚴(yán)重影響。傳播特征分析：瘧疾的傳播呈現(xiàn)出明顯的周期性波動(dòng)特征，這與模型中參數(shù)的周期性變化密切相關(guān)。以一個(gè)年度周期為例，在不同季節(jié)，按蚊的繁殖能力、活動(dòng)頻率以及病毒傳播率等因素都會發(fā)生變化。在夏季，氣溫升高，降水增多，這些條件有利于按蚊的繁殖和生存，使得按蚊的補(bǔ)充率\Lambda_m增加，同時(shí)按蚊的活動(dòng)更加頻繁，對人的平均叮咬率a也會提高。此外，較高的氣溫還可能加速瘧原蟲在按蚊體內(nèi)的發(fā)育，縮短潛伏期\tau_m，從而增加了疾病傳播的風(fēng)險(xiǎn)，使得\beta_{mh}(t)和\beta_{hm}(t)增大。這些因素綜合作用，導(dǎo)致夏季瘧疾的傳播速度加快，感染人數(shù)迅速上升。而在冬季，氣溫降低，按蚊活動(dòng)受到抑制，繁殖能力下降，\Lambda_m減小，叮咬率a降低，同時(shí)瘧原蟲在按蚊體內(nèi)的發(fā)育也受到影響，潛伏期延長，傳播率降低，使得瘧疾的傳播速度減緩，感染人數(shù)逐漸減少。潛伏期在瘧疾的傳播過程中起著關(guān)鍵作用。瘧原蟲在人和按蚊體內(nèi)的潛伏期分別為\tau_h和\tau_m，潛伏期的存在使得疾病的傳播過程更加復(fù)雜。由于潛伏期的存在，感染者在癥狀出現(xiàn)之前就可能已經(jīng)具有傳染性，這增加了疾病防控的難度。在潛伏期內(nèi)，感染者可能會在不知情的情況下繼續(xù)活動(dòng)，與易感人群接觸，從而傳播病毒。而且潛伏期的長短會影響疾病的傳播速度和規(guī)模。如果潛伏期較短，感染者能夠較快地出現(xiàn)癥狀并被發(fā)現(xiàn)，有利于及時(shí)采取隔離和治療措施，控制疾病的傳播；反之，如果潛伏期較長，感染者在潛伏期內(nèi)會有更多的時(shí)間傳播病毒，可能導(dǎo)致疾病在人群中更廣泛地傳播。例如，當(dāng)\tau_h較長時(shí)，感染瘧疾的人在潛伏期內(nèi)可能會進(jìn)行正常的社交、工作等活動(dòng)，接觸更多的易感人群，從而將瘧原蟲傳播給更多的人，使得疫情擴(kuò)散的范圍更廣。此外，瘧疾的傳播還受到人群免疫力的影響。感染瘧疾康復(fù)后的人會獲得一定的免疫力，但這種免疫力會隨著時(shí)間逐漸減弱。免疫力的存在會降低人群對瘧疾的易感性，減少新感染的發(fā)生。當(dāng)人群中具有免疫力的人數(shù)較多時(shí)，疾病的傳播會受到抑制，因?yàn)橐赘腥巳旱谋壤鄬^低，病毒傳播的機(jī)會減少。然而，隨著免疫力的減弱，易感人群的比例會逐漸增加，疾病傳播的風(fēng)險(xiǎn)也會相應(yīng)提高。在瘧疾流行地區(qū)，定期對人群進(jìn)行免疫監(jiān)測，及時(shí)采取預(yù)防措施，如接種疫苗或預(yù)防性服藥，對于控制瘧疾的傳播具有重要意義。3.4數(shù)值模擬驗(yàn)證為了驗(yàn)證上述理論分析結(jié)果，對瘧疾模型進(jìn)行數(shù)值模擬。選取一組具有代表性的參數(shù)值，如表2所示：參數(shù)取值含義\Lambda_m80按蚊的補(bǔ)充率\mu_h0.0001人的死亡率\mu_m0.04按蚊的死亡率\beta_{mh}(t)0.18+0.08sin(2πt/365)t時(shí)刻染病蚊將疾病傳播給人的傳播率\beta_{hm}(t)0.13+0.03sin(2πt/365)t時(shí)刻染病人將疾病傳播給按蚊的傳播率\alpha_h0.015人的因病死亡率\gamma_h0.08人的康復(fù)率a0.25按蚊對人的平均叮咬率\tau_h6瘧原蟲在人體內(nèi)的潛伏期（天）\tau_m8瘧原蟲在按蚊體內(nèi)的潛伏期（天）\sigma_h0.05潛伏人群轉(zhuǎn)化為感染人群的轉(zhuǎn)化率假設(shè)初始時(shí)刻，人類種群中易感人群S_h(0)=850，潛伏人群E_h(0)=50，感染人群I_h(0)=100，康復(fù)人群R_h(0)=0；按蚊種群中易感按蚊S_m(0)=70，感染按蚊I_m(0)=30。利用四階龍格-庫塔法對模型進(jìn)行數(shù)值求解，模擬時(shí)間設(shè)定為一年（t=0到t=365天）。通過數(shù)值模擬，得到瘧疾在周期情形下人類和按蚊種群中感染人數(shù)和感染按蚊數(shù)隨時(shí)間的變化曲線，如圖5所示。從圖中可以清晰地觀察到，人類感染人數(shù)和感染按蚊數(shù)呈現(xiàn)出明顯的周期性波動(dòng)，這與理論分析中瘧疾傳播具有周期性波動(dòng)特征的結(jié)論一致。在夏季，隨著氣溫升高和降水增多，按蚊繁殖能力增強(qiáng)，叮咬率和傳播率提高，感染人數(shù)和感染按蚊數(shù)迅速上升；而在冬季，由于環(huán)境條件不利于按蚊生存和傳播，感染人數(shù)和感染按蚊數(shù)逐漸減少。接下來，分析參數(shù)變化對瘧疾傳播的影響。首先考慮按蚊補(bǔ)充率\Lambda_m的變化。當(dāng)\Lambda_m分別取值為60、80、100時(shí)，得到感染人數(shù)隨時(shí)間的變化曲線，如圖6所示?？梢钥闯?，隨著\Lambda_m的增大，感染人數(shù)顯著增加。這是因?yàn)榘次醚a(bǔ)充率的提高意味著按蚊種群數(shù)量增多，人與感染按蚊接觸的機(jī)會增加，從而導(dǎo)致更多人感染瘧原蟲，傳播風(fēng)險(xiǎn)增大，與理論分析中\(zhòng)Lambda_m對傳播的影響一致。再分析按蚊對人的平均叮咬率a的影響。當(dāng)a分別取值為0.2、0.25、0.3時(shí)，感染人數(shù)隨時(shí)間的變化曲線如圖7所示。結(jié)果表明，隨著a的增大，感染人數(shù)明顯上升。這是因?yàn)槎Ｒ实脑黾邮沟貌《驹谌撕桶次弥g的傳播更加頻繁，更多的易感人群會被感染，加速了瘧疾的傳播速度，與理論分析結(jié)果相符。最后研究人的康復(fù)率\gamma_h的變化對傳播的影響。當(dāng)\gamma_h分別取值為0.05、0.08、0.1時(shí)，感染人數(shù)隨時(shí)間的變化曲線如圖8所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，隨著\gamma_h的增大，感染人數(shù)逐漸減少。這是因?yàn)榭祻?fù)率的提高意味著感染者能夠更快地恢復(fù)健康，減少了病毒在人群中的傳播源，從而降低了瘧疾的傳播風(fēng)險(xiǎn)，驗(yàn)證了理論分析中康復(fù)率對傳播的影響。通過上述數(shù)值模擬，直觀地展示了瘧疾在周期情形下的傳播特征，以及關(guān)鍵參數(shù)變化對傳播過程的影響，進(jìn)一步驗(yàn)證了理論分析的結(jié)果，為瘧疾的防控提供了更直觀、更具體的參考依據(jù)。四、登革熱與瘧疾模型的對比分析4.1傳播機(jī)制對比登革熱和瘧疾的傳播機(jī)制在多個(gè)關(guān)鍵方面存在明顯差異。在傳播途徑上，登革熱主要借助埃及伊蚊和白紋伊蚊這兩種伊蚊進(jìn)行傳播。當(dāng)伊蚊叮咬感染登革病毒的患者后，病毒會在伊蚊體內(nèi)歷經(jīng)繁殖和發(fā)育的過程，此過程被稱作外潛伏期。在適宜的溫度和濕度條件下，外潛伏期可能會縮短。完成外潛伏期后，伊蚊再次叮咬健康人時(shí)，就會將病毒注入其體內(nèi)，從而實(shí)現(xiàn)病毒傳播。而瘧疾則是通過受感染的雌性按蚊叮咬傳播給人類。按蚊在吸食瘧疾患者的血液時(shí)，患者體內(nèi)的瘧疾寄生蟲也被蚊子一并吸入。約一周后，攜帶瘧疾寄生蟲的蚊子再叮咬健康的人就會傳播瘧疾。從宿主角度來看，登革熱病毒的宿主主要是人類，人類在感染登革熱病毒后，會成為病毒傳播的重要傳染源。而瘧疾的宿主同樣以人類為主，但瘧原蟲在人體內(nèi)的生存和繁殖過程更為復(fù)雜，它會經(jīng)歷多個(gè)發(fā)育階段，對人體的免疫系統(tǒng)和生理機(jī)能產(chǎn)生不同程度的影響。媒介方面，伊蚊和按蚊在生態(tài)習(xí)性和對疾病傳播的影響上有顯著不同。伊蚊喜歡在白天活動(dòng)，特別是清晨和傍晚時(shí)分，它們的活動(dòng)最為頻繁，這兩個(gè)時(shí)間段人們被感染的風(fēng)險(xiǎn)相對更高。并且伊蚊飛行距離較短，一般在幾百米范圍內(nèi)活動(dòng)，但由于人類活動(dòng)頻繁，伊蚊可能會隨著人員流動(dòng)被攜帶到更遠(yuǎn)的地方，進(jìn)而擴(kuò)大登革熱的傳播范圍。按蚊則多在夜間活動(dòng)，其繁殖需要較大的、天然的水體，如湖泊和河流等。按蚊的活動(dòng)范圍相對較廣，這也使得瘧疾的傳播范圍可能更大。此外，不同種類的伊蚊和按蚊對病毒或寄生蟲的攜帶能力、傳播效率以及對環(huán)境的適應(yīng)能力都有所不同，進(jìn)一步影響了登革熱和瘧疾的傳播特征。例如，埃及伊蚊對登革熱病毒的傳播效率較高，而中華按蚊、嗜人按蚊等在瘧疾傳播中發(fā)揮著重要作用。4.2動(dòng)力學(xué)特征對比平衡點(diǎn)對比：登革熱模型和瘧疾模型都存在無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)。在登革熱模型中，無病平衡點(diǎn)E_0=(\frac{\Lambda_h}{\mu_h},0,0,\frac{\Lambda_m}{\mu_m},0)，其含義是當(dāng)人群和蚊群中均無登革熱病毒感染時(shí)的狀態(tài)，此時(shí)人類種群中的易感人群數(shù)量為\frac{\Lambda_h}{\mu_h}，蚊群中的易感蚊子數(shù)量為\frac{\Lambda_m}{\mu_m}。地方病平衡點(diǎn)E^*