13.3.1三角形的內(nèi)角第1課時三角形的內(nèi)角和13.3三角形的內(nèi)角與外角

已知：

是△ABC的三個內(nèi)角，

求證：

.通過推理的方法證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”.文字語言符號語言∠1，∠2，∠3∠1+∠2+∠3=180°合作探究問題2

你能從以上的操作過程中受到啟發(fā)，想出證明“三角形的內(nèi)角和等于180°”的方法嗎？

合作探究證明1：

過點A作BC的平行線l.∵l∥BC，∴∠4=∠2，∠5=∠3.(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∵∠1+∠4+∠5=180°，∴∠1+∠2+∠3=180°.已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三個內(nèi)角，求證：∠1+∠2+∠3=180°.合作探究證明2：

過點C作AB的平行線l，作射線BC.∵l∥AB，∴∠4=∠1，(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∠5=∠2.(兩直線平行，同位角相等)∵∠4+∠5+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=180°.(等量代換)已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三個內(nèi)角，求證：∠1+∠2+∠3=180°.合作探究證明3：

過點A作BC的平行線AD.∵AD∥BC，∴∠4=∠2，(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∠DAC+∠3=180°，(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補)∴∠1+∠4+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=180°.已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三個內(nèi)角，求證：∠1+∠2+∠3=180°.合作探究證明4：過點D作AC的平行線交AB于點E，過點D作AB的平行線交AC于點F.∵DF∥AB，∴∠4=∠2，∠1=∠DFC，(兩直線平行，同位角相等.)∵DE∥AC，∠5=∠3，(兩直線平行，同位角相等)∠6=∠DFC，(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∴∠6=∠1.∵∠6+∠4+∠5=180°，∴∠1+∠2+∠3=180°.已知：∠1，∠2，∠3是△ABC的三個內(nèi)角，求證：∠1+∠2+∠3=180°.合作探究【思考】

多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°的核心是什么？借助平行線的“移角”的功能，將三個角轉(zhuǎn)化成一個平角.探究新知12CBAED12CBAEDFC24AB3EQDFPGH1BGC24A3EDFH1同學(xué)們按照上圖中的輔助線，給出證明步驟.探究新知試一試

為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫作輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.思路總結(jié)

為了證明三個角的和為180°，通過作平行線，利用平行線的性質(zhì)，把所證問題轉(zhuǎn)化為一個平角或同旁內(nèi)角互補等，這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.作輔助線探究新知例2：下圖是

A，B，C三島的平面圖,C島在

A島的北偏東50°方向,B島在

A島的北偏東80°方向,C島在

B島的北偏西40°方向.從

B島看

A，C兩島的視角∠ABC是多少度？從

C島看

A，B兩島的視角∠ACB呢？北北CABDE80°40°？50°？分析：A，B，C三島的連線構(gòu)成△ABC，所求的∠ABC，∠ACB是△ABC的內(nèi)角.如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求∠ACB.北北CABDE80°40°？50°？北北CABDE80°40°50°解：∠CAB=∠BAD–∠CAD=80°–50°=30°由AD//

BE，得∠BAD+∠ABE=180°所以∠ABE=180°–∠BAD=180°–80°=100°∠ABC=∠ABE–∠EBC=100°–40°=60°在△ABC中，∠ACB=180°–∠ABC–∠CAB=180°–60°–30°=90°答：從

B島看

A，C兩島的視角∠ABC是60°，

從

C島看

A，B兩島的視角∠ACB是90°.所以∠ABC=180°–∠BAD–∠4=180°–80°–40°=60°由

AD//

BE，得

∠BAD+∠ABE

=180°答：從

B島看

A，C兩島的視角∠ABC是60°，

從

C島看

A，B兩島的視角∠ACB是90°.北北CABDE80°40°50°∴∠1=∠3，∠2

=∠4解：過點C作CF//AD，則CF//BE(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∴∠ACB=∠1+∠2=∠3+∠4=50°+40°=90°(等量代換)12F34

∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，

∴∠A＝48°，∠B＝72°，∠C＝60°.

B

C

D

B（第3題圖）

（第4題圖）

△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，則∠A=______，∠B=______，∠C=______.90°30°60°1.鞏固練習(xí)2.如圖，一種滑翔傘的形狀是左右對稱的四邊形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°.求∠C的度數(shù).2314解：∵∠1+∠2+∠B=180°，∠3+∠4+∠D=180°，∴∠l+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=180°+180°.∴(∠1+∠4)+(∠2+∠3)+∠B+∠D=360°.即∠BCD+∠BAD+40°+40°=360°.則∠BCD=360°－150°－80°=130°.【課本P13練習(xí)第2題】1本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些主要內(nèi)容？2為什么要用推理的方法證明“三角形的內(nèi)角和等于180”？3是如何找到三角形內(nèi)角和定理的證明思路的？課堂小結(jié)三角形內(nèi)角和定理三角形三個內(nèi)角的和等于180°命題證明步驟1.寫出已知求證（畫出圖形）2.寫出證明過程數(shù)學(xué)方法輔助線（虛線）數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化把未知轉(zhuǎn)化為已知把生疏問題轉(zhuǎn)化為熟悉問題把