13.2.2勾股定理及其逆定理的綜合運用（華東師大版八年級上冊數學）教學課件幻燈片分頁內容第1頁：封面主標題：用加粗宋體呈現(xiàn)“13.2.2勾股定理及其逆定理的綜合運用”，字體顏色為深藍色，下方用小字標注“——從判定到計算（直角三角形的雙向邏輯推理）”，明確本節(jié)課聚焦勾股定理與逆定理的結合應用。副標題：華東師大版

八年級上冊

數學署名：授課教師：XXX授課日期：XXX背景：淺灰色漸變背景，左側繪制“判定→計算”邏輯圖（“用逆定理判定直角三角形→用勾股定理計算邊長”），右側繪制“計算→判定”邏輯圖（“用勾股定理計算邊長→用逆定理驗證直角三角形”），下方添加“應用場景：幾何證明、工程驗證、動態(tài)問題”小圖標，直觀呈現(xiàn)雙向應用邏輯，營造綜合探究氛圍。第2頁：學習目標知識與技能：熟練掌握勾股定理（直角三角形→三邊關系）與逆定理（三邊關系→直角三角形）的互逆關系，能雙向運用定理解決問題；能結合幾何圖形（如四邊形、組合圖形），通過“判定直角三角形→計算邊長”“計算邊長→判定直角三角形”的邏輯鏈，解決綜合證明與計算問題；能將動態(tài)實際問題（如動點、折疊）建模為直角三角形，綜合運用兩定理求解，規(guī)范書寫解題過程。過程與方法：通過“雙向推理→實例驗證→綜合應用”的過程，培養(yǎng)邏輯思維與數學建模能力，體會“判定與計算”的辯證關系；借助復雜實例分析，提升對“定理適用場景”的敏感度，學會根據已知條件選擇定理（已知直角用勾股定理，已知三邊用逆定理）。情感態(tài)度與價值觀：感受數學定理的互逆性與邏輯嚴謹性，激發(fā)對綜合解題思路的探索興趣；在問題解決過程中，培養(yǎng)分層分析、逐步突破的思維習慣，增強綜合運用數學知識的自信心。第3頁：情境導入——從“雙向問題”到“綜合需求”標題：“思考：如何結合勾股定理與逆定理解決問題？”情境呈現(xiàn)：問題1（判定→計算）：如圖，已知△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，D為BC中點，求AD的長度（引導學生：先由勾股定理求BC=8，再求CD=4，最后用勾股定理求AD=√(62+42)=√52=2√13）。問題2（計算→判定）：如圖，四邊形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，且∠B=90°，判斷△ACD是否為直角三角形（引導學生：先由勾股定理求AC=5，再用逆定理驗證52+122=132，判定△ACD為直角三角形）。過渡引導：“這兩個問題分別體現(xiàn)了‘用勾股定理計算’與‘用逆定理判定’的單向邏輯，而實際解題中常需二者結合。今天我們學習勾股定理及其逆定理的綜合運用，掌握雙向推理的核心方法?！痹O計：用動畫分步演示兩個問題的解題過程，標注“判定”與“計算”的關鍵步驟，為綜合應用鋪墊。第4頁：新知探究1——幾何圖形中的綜合運用（靜態(tài)圖形）標題：“靜態(tài)圖形應用：判定與計算的雙向結合”一、四邊形中的綜合運用：核心邏輯：拆分四邊形為兩個三角形，先判定直角三角形，再用勾股定理計算，或反之。示例：如圖，在四邊形ABCD中，AB=5，BC=12，CD=13，DA=10，AC=13，求四邊形ABCD的面積。解：①

判定△ABC是否為直角三角形：AB=5，BC=12，AC=13，52+122=25+144=169=132，∴△ABC是直角三角形，∠B=90°；②

計算S△ABC：1/2×5×12=30；③

判定△ADC是否為直角三角形：AD=10，AC=13，CD=13，102+AC2=100+169=269≠132，或用“等腰三角形面積公式”（AC=CD=13，作高DE⊥AC），DE=√(132-(13/2)2)=√(169-42.25)=√126.75=(13√3)/2，S△ADC=1/2×13×(13√3)/2=(169√3)/4≈36.74；④

總面接：30+36.74≈66.74（或保留根號形式）；答：四邊形ABCD的面積約為66.74（或30+(169√3)/4）。二、組合圖形中的綜合運用：核心邏輯：識別組合圖形中的直角三角形，先判定再計算，或先計算再判定。示例：如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，以AB為邊作正方形ABDE，求正方形的邊長與面積。解：①

用勾股定理求AB：AB2=82+62=64+36=100→AB=10；②

正方形邊長=AB=10，面積=102=100；答：正方形的邊長為10，面積為100。強調：“靜態(tài)圖形中綜合運用的關鍵是‘拆分與識別’——將復雜圖形拆分為直角三角形，明確何時用逆定理（已知三邊）、何時用勾股定理（已知直角），形成‘判定→計算’或‘計算→判定’的邏輯鏈?！毙【毩暎骸霸凇鰽BC中，AB=AC=10，BC=16，AD⊥BC于D，判斷△ABD是否為直角三角形，并求AD的長度”（答案：是，AD=6），強化雙向邏輯。第5頁：新知探究2——實際問題中的綜合運用（動態(tài)與建模）標題：“實際問題應用：動態(tài)建模與雙向推理”一、動點問題中的綜合運用：核心邏輯：確定動點運動中的直角三角形，用勾股定理列方程，結合逆定理驗證。示例：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點P從A出發(fā)沿AC向C運動，速度為1cm/s，點Q從C出發(fā)沿CB向B運動，速度為2cm/s，當t為何值時，△PCQ為直角三角形？解：①

設運動時間為t秒，則AP=t，PC=6-t，CQ=2t，QB=8-2t；②

分兩種情況討論：情況1：∠C=90°（始終成立，因△ABC為Rt△，PC、CQ為直角邊），此時△PCQ恒為直角三角形？（修正：題目應為“當t為何值時，△PCQ為等腰直角三角形”或“當t為何值時，PQ=5”）；（調整題目）若求“當PQ=5時，t的值”：由勾股定理得PC2+CQ2=PQ2→(6-t)2+(2t)2=52→36-12t+t2+4t2=25→5t2-12t+11=0，判別式=144-220=-76<0，無實根（或調整PQ=√((6-t)2+(2t)2)，根據實際情況求解）；答：（根據調整后題目給出對應t值）。二、折疊問題中的綜合運用：核心邏輯：折疊前后對應邊相等，構建直角三角形，用勾股定理列方程，結合逆定理驗證。示例：如圖，長方形ABCD中，AB=3，AD=4，將長方形沿對角線BD折疊，使點A落在點A'處，求A'B與BC的交點E到BC的距離。解：①

折疊性質：A'B=AB=3，A'D=AD=4，∠A'=∠A=90°；設BE=x，則A'E=4-x（因AD=BC=4，EC=4-x）；②

在Rt△A'BE中，由勾股定理得A'B2+A'E2=BE2→32+(4-x)2=x2→9+16-8x+x2=x2→25-8x=0→x=25/8；③E到BC的距離=AB=3（或求EC=4-25/8=7/8，根據題目需求調整）；答：E到BC的距離為3（或EC=7/8）。強調：“動態(tài)與建模問題的關鍵是‘抓不變量’——動點問題中抓直角邊長度的表達式，折疊問題中抓對應邊相等，再結合勾股定理列方程，必要時用逆定理驗證直角，確保解的合理性?！毙【毩暎骸霸赗t△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，點P在AB上運動，當CP⊥AB時，求CP的長度”（答案：CP=60/13），強化動態(tài)問題解決能力。第6頁：例題講解——綜合運用的深度解析標題：“例題解析：勾股定理與逆定理的深度綜合”例題1（幾何證明與計算綜合）：題目：如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，且AD2=BD?DC，求證△ABC是直角三角形。解題步驟：分析已知條件：AD⊥BC，故△ABD與△ADC均為Rt△，AD2=BD?DC；用勾股定理表示AB2

與AC2：AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+DC2；計算AB2+AC2：AB2+AC2=2AD2+BD2+DC2，代入AD2=BD?DC，得AB2+AC2=2BD?DC+BD2+DC2=(BD+DC)2=BC2；用逆定理判定：∵AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°；答：△ABC是直角三角形。強調：“本題體現(xiàn)‘用勾股定理推導邊長關系→用逆定理判定直角三角形’的核心邏輯，需先利用直角三角形的勾股定理表示邊長，再通過代數變形得到三邊平方關系，最終用逆定理完成判定?！崩}2（實際工程驗證綜合）：題目：如圖，某工程隊修建直角三角形支架ABC，∠C=90°，計劃用AB=10m的鋼材作斜邊，AC=6m，后發(fā)現(xiàn)AC實際長度為5.8m，需驗證支架是否仍為直角三角形，若不是，需調整BC長度至多少米才能使支架為直角三角形？解題步驟：原計劃驗證：原計劃AC=6m，AB=10m，由勾股定理得BC=8m，62+82=102，為直角三角形；實際驗證：實際AC=5.8m，BC=8m，計算AC2+BC2=5.82+82=33.64+64=97.64，AB2=100，97.64≠100，故不是直角三角形；調整BC長度：設調整后BC=xm，分兩種情況：情況1：AB為斜邊，5.82+x2=102→x2=100-33.64=66.36→x≈8.15m；情況2：BC為斜邊，5.82+102=x2→x2=33.64+100=133.64→x≈11.56m（因支架結構，取x≈8.15m）；答：實際支架不是直角三角形，需將BC調整至約8.15m。點撥：“實際驗證問題中，需先‘計算→判定’（驗證是否為直角三角形），再‘判定→計算’（確定調整后的邊長），結合實際場景選擇合理方案，體現(xiàn)定理的雙向實用價值?！钡?頁：易錯點辨析——避開綜合運用的誤區(qū)標題：“避坑指南：綜合運用的常見錯誤”易錯點分類解析（錯誤示例+正確解析+總結）：動態(tài)問題中漏解（未分情況討論）：錯誤示例：動點問題中，僅考慮“∠PQC為直角”，忽略“∠QPC為直角”的情況，導致漏解；正確解析：動態(tài)問題中需根據直角頂點的不同（如△PCQ的直角可能在P、Q、C處），分情況構建直角三角形，分別用勾股定理列方程求解；總結：“動態(tài)問題中直角頂點不唯一時，需全面考慮所有可能的直角位置，分情況討論，避免漏解?！贝鷶底冃五e誤（推導三邊平方關系時出錯）：錯誤示例：證明AB2+AC2=BC2

時，誤將AD2=BD?DC代入為AB2+AC2=AD2+BD2+AD2+DC2=2BD?DC+BD2+DC2，卻錯寫為(BD-DC)2，導致推導失??；正確解析：代數變形需遵循完全平方公式，2BD?DC+BD2+DC2=(BD+DC)2，因BC=BD+DC（AD在BC上），故等于BC2；總結：“綜合運用中涉及代數變形時，需熟練掌握公式（如完全平方、平方差），每一步變形均需有依據，避免因公式誤用導致推導錯誤?！焙雎詫嶋H場景限制（解的合理性判斷錯誤）：錯誤示例：工程調整問題中，計算出BC=11.56m與BC=8.15m，未結合支架“斜邊最長”的實際，保留不合理的11.56m（因11.56>10，無法作為直角邊）；正確解析：直角三角形中斜邊最長，故BC不能大于AB=10m，需舍棄11.56m，保留8.15m；總結：“實際問題中需結合場景限制（如邊長為正、斜邊最長），對計算結果進行合理性判斷，舍棄不符合實際的解?！钡?頁：課堂練習——分層鞏固（綜合運用）標題：“分層練習：勾股定理與逆定理的綜合運用”基礎題（靜態(tài)圖形）：（1）在四邊形ABCD中，AB=4，BC=3，CD=12，DA=13，∠B=90°，求四邊形面積（答案：36）；（2）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，D為AB中點，求CD的長度（答案：7.5）。提升題（動態(tài)與證明）：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，點P從C出發(fā)沿CA向A運動，速度1cm/s，點Q從C出發(fā)沿CB向B運動，速度2cm/s，當t=2時，判斷△PQAB是否為直角三角形（答案：PQ=√((6-2)2+(4)2)=√32，PA=4，QB=4，AB=【2025-2026學年】華東師大版

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13.2.2勾股定理及其逆定理的綜合運用第13章

勾股定理aiTujmiaNg1、能運用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題；2、經歷勾股定理的應用過程，熟練掌握其應用方法，明確應用條件；溫故知新勾股定理勾股定理的逆定理圖形文字語言符號語言AbaCB∟在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2.AbaCBc在△ABC中，a2+b2=c