幻燈片1：封面標(biāo)題：13.3.1.1三角形的內(nèi)角和副標(biāo)題：人教版初中數(shù)學(xué)（八年級上冊）制作人：[你的名字]日期：[具體日期]趣味提示：我們身邊的三角尺、屋頂框架、交通警示牌都藏著三角形，今天一起揭開三角形內(nèi)角和的秘密！幻燈片2：課程導(dǎo)入情境展示：呈現(xiàn)3組生活中的三角形實物圖：①學(xué)生常用的等腰直角三角尺（30°、60°、90°）；②屋頂?shù)牡妊切武摷?；③自行車車架的普通三角形結(jié)構(gòu)。提問引導(dǎo)：大家觀察三角尺，能說出它三個角的度數(shù)嗎？（引導(dǎo)學(xué)生回答30°+60°+90°=180°，45°+45°+90°=180°）那屋頂鋼架、自行車車架的三角形，三個角加起來也是180°

嗎？所有三角形的內(nèi)角和都相等嗎？帶著這些疑問，我們開啟今天的探究之旅。幻燈片3：認(rèn)識三角形的內(nèi)角概念解析：三角形的內(nèi)角：三角形相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內(nèi)角，一個三角形有3個內(nèi)角，通常用∠A、∠B、∠C表示（結(jié)合銳角三角形示意圖標(biāo)注）。三角形的內(nèi)角和：3個內(nèi)角的度數(shù)之和，即∠A+∠B+∠C。思考鋪墊：我們已經(jīng)知道特殊三角尺的內(nèi)角和是180°，普通三角形的內(nèi)角和是否也為180°？接下來通過實驗驗證。幻燈片4：實驗探究-驗證三角形內(nèi)角和（一）：剪拼法實驗?zāi)康模和ㄟ^剪拼三角形的內(nèi)角，直觀驗證內(nèi)角和是否為180°。實驗器材：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形紙片各1張（每人或每組1套）、剪刀、直尺。實驗步驟：取任意一個三角形紙片，標(biāo)記三個內(nèi)角為∠1、∠2、∠3；用剪刀分別剪下三個內(nèi)角；將三個內(nèi)角的頂點重合，把它們拼合在一起（提示：使三個角的一條邊在同一條直線上）；觀察結(jié)論：引導(dǎo)學(xué)生觀察拼合結(jié)果——三個內(nèi)角剛好能拼成一個平角（180°），無論銳角、直角還是鈍角三角形，均滿足此規(guī)律。展示圖片：呈現(xiàn)不同三角形剪拼后的平角示意圖，強化直觀認(rèn)知。幻燈片5：實驗探究-驗證三角形內(nèi)角和（二）：測量法實驗?zāi)康模和ㄟ^測量內(nèi)角的度數(shù)并求和，進(jìn)一步驗證三角形內(nèi)角和。實驗器材：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形紙片（與上一實驗一致）、量角器。實驗步驟：選擇任意一個三角形，用量角器分別測量三個內(nèi)角的度數(shù)（注意：量角器的中心與角的頂點重合，0°

刻度線與角的一條邊重合）；將三個內(nèi)角的度數(shù)記錄在表格中，并計算度數(shù)之和；更換其他類型的三角形，重復(fù)上述操作，記錄數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)記錄表格：|三角形類型|∠1的度數(shù)|∠2的度數(shù)|∠3的度數(shù)|內(nèi)角和（∠1+∠2+∠3）||----|----|----|----|----||銳角三角形||||||直角三角形||||||鈍角三角形|||||實驗結(jié)論：雖然測量存在微小誤差，但三組數(shù)據(jù)均接近180°，結(jié)合剪拼實驗可初步推斷：三角形的內(nèi)角和是180°?；脽羝?：理論證明-三角形內(nèi)角和定理過渡引導(dǎo)：實驗驗證具有直觀性，但數(shù)學(xué)結(jié)論需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撟C明。如何用已學(xué)的“平行線性質(zhì)”證明三角形內(nèi)角和為180°

呢？證明過程（結(jié)合示意圖講解）：已知：如圖，△ABC，求證：∠A+∠B+∠ACB=180°。輔助線作法：過點C作AB的平行線CD（輔助線用虛線表示，標(biāo)注“CD∥AB”）。證明推導(dǎo)：因為CD∥AB（已作），所以∠A=∠ACD（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）；因為CD∥AB（已作），所以∠B=∠DCE（兩直線平行，同位角相等）；因為∠ACD+∠ACB+∠DCE=180°（平角的定義）；所以∠A+∠ACB+∠B=180°（等量代換）。定理總結(jié)：經(jīng)過證明，我們得到三角形內(nèi)角和定理——三角形三個內(nèi)角的和等于180°?；脽羝?：例題講解-利用內(nèi)角和求角度例題1（基礎(chǔ)應(yīng)用）：已知在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，求∠C的度數(shù)。解題步驟：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠A+∠B+∠C=180°；代入已知條件：60°+40°+∠C=180°；計算得：∠C=180°-60°-40°=80°。答案：∠C的度數(shù)為80°。例題2（含直角三角形）：已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，求∠B的度數(shù)。解題步驟：直角三角形中，有一個角為90°（∠C=90°）；根據(jù)內(nèi)角和定理：∠A+∠B+90°=180°；代入得：35°+∠B=90°，所以∠B=90°-35°=55°。結(jié)論：直角三角形的兩個銳角互余（此結(jié)論可作為推論補充）?；脽羝?：課堂練習(xí)-鞏固應(yīng)用基礎(chǔ)題：在△ABC中，∠A=50°，∠B=∠C，求∠B的度數(shù)。已知一個三角形的三個內(nèi)角之比為1:2:3，求這個三角形三個內(nèi)角的度數(shù)（提示：設(shè)三個角分別為x、2x、3x）。提升題：3.在△ABC中，∠A=∠B+10°，∠C=∠A+20°，求△ABC三個內(nèi)角的度數(shù)。解題提示：第1題：利用∠B=∠C，設(shè)∠B=∠C=x，代入內(nèi)角和公式求解；第2題：根據(jù)比例設(shè)未知數(shù)，結(jié)合內(nèi)角和為180°

列方程；第3題：用∠B表示∠A和∠C，再代入定理列方程?；釉O(shè)計：請3名學(xué)生分別完成1道題，在黑板上書寫解題過程，師生共同訂正?；脽羝?：易錯點提醒測量誤差混淆：實驗測量時，因量角器精度或操作問題，結(jié)果可能略偏離180°，但不能因此否定內(nèi)角和定理（強調(diào)定理的理論嚴(yán)謹(jǐn)性）；輔助線作法：證明時輔助線需用虛線，并注明作法（如“過點C作CD∥AB”），避免遺漏關(guān)鍵步驟；直角三角形銳角互余：注意“互余”是指兩個角之和為90°，不可與“互補”（和為180°）混淆。幻燈片10：課堂小結(jié)核心知識回顧：三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和為180°；驗證方法：剪拼法（直觀）、測量法（初步驗證）、理論證明（嚴(yán)謹(jǐn)，借助平行線性質(zhì)）；應(yīng)用：已知兩個角求第三個角，直角三角形兩銳角互余；解題思路：通過設(shè)未知數(shù)、列方程，利用內(nèi)角和定理求解角度。幻燈片11：課后作業(yè)完成課本對應(yīng)練習(xí)題（如習(xí)題13.3第1、2題）；實踐任務(wù)：找一個生活中的三角形物體（如三角警示牌、三明治），測量其三個內(nèi)角的度數(shù)并求和，驗證內(nèi)角和定理；拓展思考：一個三角形中最多有幾個直角？最多有幾個鈍角？為什么？（結(jié)合內(nèi)角和定理分析）【2024新教材】2025-2026學(xué)年人教版數(shù)學(xué)

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13.3.1.1三角形的內(nèi)角和第十三章

三角形aiTujmiaNg復(fù)習(xí)1.三角形三邊的關(guān)系：2.三角形具有____________.3.已知一個三角形的最小邊為2cm，另兩邊分別為6cm和acm，a的取值范圍是什么？穩(wěn)定性4<a<8三角形兩邊的和大于第三邊，三角形兩邊的差小于第三邊.我的形狀最小，那我的內(nèi)角和最小.我的形狀最大，那我的內(nèi)角和最大.不對，我有一個鈍角，所以我的內(nèi)角和才是最大的.

一天，三類三角形通過對自身的特點，講出了自己對三角形內(nèi)角和的理解，請同學(xué)們作為小判官給它們評判一下吧.導(dǎo)入新知

我們在小學(xué)已經(jīng)知道，任意一個三角形的內(nèi)角和等于180°.與三角形的形狀、大小無關(guān).【思考】你有什么辦法可以驗證三角形的內(nèi)角和為180°呢?折疊還可以用拼接的方法，你知道怎樣操作嗎？探究新知知識點三角形的內(nèi)角和剪拼ABC21探究新知測量48°72°60°60°＋48°＋72°＝180°探究新知銳角三角形三角形的三個內(nèi)角拼到一起恰好構(gòu)成一個平角.觀測的結(jié)果不一定可靠，還需要通過數(shù)學(xué)知識來說明.從上面的操作過程，你能發(fā)現(xiàn)證明的思路嗎？三角形的內(nèi)角和定理的證明在紙上任意畫一個三角形，將它的內(nèi)角剪下拼合在一起.探究新知還有其他的拼接方法嗎？三角形三個內(nèi)角的和等于180°.求證：∠A+∠B+∠C=180°.已知：△ABC.證法1：過點A作l∥BC，

∴∠B=∠1.(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)

∠C=∠2.(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)∵∠2+∠1+∠BAC=180°，∴∠B+∠C+∠BAC=180°.12探究新知證法2：延長BC到D，過點C作CE∥BA，∴∠A=∠1.(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)

∠B=∠2.(兩直線平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，

∴∠A+∠B+∠ACB=180°.CBAED12探究新知CBAEDF證法3：過D作DE∥AC，作DF∥AB.∴∠C=∠EDB，∠B=∠FDC.(兩直線平行，同位角相等)∠A+∠AED=180°，∠AED+∠EDF=180°，(兩直線平行，同旁內(nèi)角相補)∴∠A=∠EDF.∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，

∴∠A+∠B+∠C=180°.探究新知同學(xué)們還有其他的方法嗎？【思考】

多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°的核心是什么？借助平行線的“移角”的功能，將三個角轉(zhuǎn)化成一個平角.探究新知12CBAED12CBAEDFC24AB3EQDFPGH1BGC24A3EDFH1同學(xué)們按照上圖中的輔助線，給出證明步驟.探究新知試一試

為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫作輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.思路總結(jié)

為了證明三個角的和為180°，通過作平行線，利用平行線的性質(zhì)，把所證問題轉(zhuǎn)化為一個平角或同旁內(nèi)角互補等，這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.作輔助線探究新知例1如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，

∠B=75°，

AD是△ABC的角平分線，求∠ADB的度數(shù).ABCD解：由∠BAC=40°，

AD是△ABC的角平分線，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°–∠B–∠BAD=180°–75°–20°=85°.利用三角形的內(nèi)角和定理求角的度數(shù)素養(yǎng)考點1探究新知如圖，CD是∠ACB的平分線，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度數(shù)．解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，∴∠ACB＝180°–∠A–∠B＝60°.∵CD是∠ACB的平分線，∴∠BCD＝∠ACB＝30°.∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°–∠B–∠BCD=80°.變式題探究新知如圖，一種滑翔傘的形狀是左右對稱的四邊形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°.求∠C的度數(shù).解：∠C＝180°×2–(40°＋40°＋150°)

＝130°.在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝80°，則∠A的度數(shù)為(

)A．30°

B．40°

C．50°

D．60°D鞏固練習(xí)如圖，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于點D，DE∥AB，交AC于點E，則∠ADE的大小是(

)A．45°B．54°C．40°D．50°C鞏固練習(xí)例2如圖，△ABC中，D在BC的延長線上，過D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°．∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°，∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°.又∵∠CFD＝∠AFE，∴∠CFD＝60°.∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°.探究新知

直線l1∥l2，一塊含45°角的直角三角尺如圖放置，∠1＝85°，則∠2＝________．40°鞏固練習(xí)l1l2基本圖形由三角形的內(nèi)角和定理易得

∠A+∠B=∠C+∠D.由三角形的內(nèi)角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4.歸納總結(jié)探究新知34例3

在△ABC

中，∠A

的度數(shù)是∠B

的度數(shù)的3倍，∠C

比∠B

大15°，求∠A，∠B，∠C的度數(shù).解:設(shè)∠B度數(shù)為x，則∠A度數(shù)為3x，∠C度數(shù)為(x＋

15)，從而有3x＋

x＋(x＋

15)＝

180.解得x＝

33.所以3x＝

99

，x＋

15

＝

48.答：∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別為99°，

33°，48°.素養(yǎng)考點2方程的思想與三角形內(nèi)角和定理的綜合應(yīng)用探究新知方法點撥：三角形中求角的度數(shù)問題，當(dāng)角之間存在數(shù)量關(guān)系時，一般根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，列方程求解.在△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD是△ABC的高，CE是∠ACB的平分線，求∠DCE的度數(shù)．分析：根據(jù)已知條件用∠A表示出∠B和∠ACB，利用三角形的內(nèi)角和求出∠A，再求出∠ACB，∠ACD，最后根據(jù)角平分線的定義求出∠ACE即可求得∠DCE的度數(shù)．比例關(guān)系可考慮用方程思想求角度.變式題探究新知解：∵∠A＝∠B＝∠ACB，設(shè)∠A＝x，∴∠B＝2x，∠ACB＝3x.∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，∴x＋2x＋3x＝180°，得x＝30°，∴∠A＝30°，∠ACB＝90°.∵CD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝180°–90°–30°＝60°.∵CE是∠ACB的平分線，∴∠ACE＝×90°＝45°，∴∠DCE＝∠ACD–∠ACE＝60°–45°＝15°.探究新知②在△ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3，則△ABC是

_________三角形.

①在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，則∠

C=.

③在△ABC中，∠A=∠B+10°，

∠C=∠A+10°，

則∠A=

，∠B=

，∠C=

.102°直角60°50°70°鞏固練習(xí)完成下列各題.解析：設(shè)∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由三角形的內(nèi)角和定理得：x+2x+3x=180°，解得x=30°，3x=90°.北.AD北.CB.東E例4

如圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向.從B島看A，C兩島的視角∠ABC是多少度？從C島看A、B兩島的視角∠ACB呢？利用三角形的內(nèi)角和定理解決實際問題(方位問題）素養(yǎng)考點3探究新知解：∠CAB=∠BAD–∠CAD=80°–50°=30°.由AD//BE，得∠BAD+∠ABE=180°.所以∠ABE=180°–

∠BAD=180°–80°=100°，∠ABC=

∠ABE–

∠EBC=100°–40°=60°.在△ABC中，∠ACB=180°–

∠ABC–

∠CAB=180°–60°–30°

=90°，答：從B島看A，C兩島的視角∠ABC是60°，從C島看A，B兩島的視角∠ACB是90°.北.AD北.CB.東E探究新知如圖，一艘漁船在B處測得燈塔A在北偏東60°的方向，另一艘貨輪在C處測得燈塔A在北偏東40°的方向，那么在燈塔A處觀看B和C處時的視角∠BAC是多少度？鞏固練習(xí)解：∵在B處測得燈塔A在北偏東60°的方向，∴∠ABD＝60°.又∵∠DBE＝90°，∴∠ABE＝90°–∠ABD＝90°–60°＝30°.∵在C處測得燈塔A在北偏東40°的方向，∴∠ACE＝90°–40°＝50°.∴∠BAC＝∠ACE–∠ABE＝50°–30°＝20°.即在燈塔A處觀看B和C處時的視角∠BAC是20°.鞏固練習(xí)（2024·四川涼山州中考）如圖，在△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是邊AB上的高，AE是∠CAB的平分線，則∠AEB的度數(shù)是______．解析：∵CD是邊AB上的高，

∴∠CDB=∠CDA=90°.

∵∠BCD=30°，∠ACB=80°，

∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=50°，∠CBD=90°-∠BCD=60°.

∴∠CAB=90°-∠ACD=40°.

∵AE是∠CAB的平分線?，∴∠EAB=∠CAB=20°.

∴∠AEB=180°-∠EAB-∠EBA=100°．100°鏈接中考1.求出下列各圖中的x值．x=70x=60x=30x=50課堂檢測基礎(chǔ)鞏固題3.如圖，則∠1+∠2+∠3+∠4=___________.BACD4132E40°（280°2.在△ABC中，若∠A=30°，∠B=50°，則∠C=

．100°課堂檢測1.如圖，四邊形ABCD中，點E在BC上，∠A+∠ADE=180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度數(shù)．解：∵∠A+∠ADE=180°，∴AB∥DE，

∴∠CED=∠B=78°．又∵∠C=60°，∴∠EDC=180°–（∠CED+∠