§4.7正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例1.解斜三角形的常見類型及解法在三角形的6個元素中要已知三個(除三角外)才能求解，常見類型及其解法如表所示.已知條件應(yīng)用定理一般解法一邊和兩角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b與c.在有解時只有一解兩邊和夾角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三邊c；由正弦定理求出小邊所對的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角.在有解時只有一解三邊(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C.在有解時只有一解兩邊和其中一邊的對角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c.可有兩解，一解或無解2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等.3.實際問題中的常用角(1)仰角和俯角與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖①).(2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等；(3)方位角指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②).(4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù).1.在某次測量中，在A處測得同一半平面方向的B點的仰角是60°，C點的俯角是70°，則∠BAC＝________.2.(2011·上海)在相距2千米的A，B兩點處測量目標(biāo)C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，則A，C兩點之間的距離是__________千米.3.江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距________4.如圖，某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為45°，沿傾斜角為30°的斜坡前進(jìn)1000m后到達(dá)D處得山頂?shù)难鼋菫?0°，則山的高度BC為________m.5.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的 ()A.北偏東10° B.北偏西10°C.南偏東10° D.南偏西10°題型一測量距離問題例1(2010·陜西)如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船到達(dá)D點需要多長時間？探究提高這類實際應(yīng)用題，實質(zhì)就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解.注意：①基線的選取要恰當(dāng)準(zhǔn)確；②選取的三角形及正、余弦定理要恰當(dāng).解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟為：第一步：分析——理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖；第二步：建?！鶕?jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型；第三步：求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；第四步：檢驗——檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解.批閱筆記(1)由實際出發(fā)，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的基本思路.如果涉及三角形問題，我們可以把它抽象為解三角形問題，進(jìn)行解答，之后再還原成實際問題，即利用上述模板答題.(2)本題的易錯點是，不能將已知和待求量轉(zhuǎn)化到同一個三角形中，無法運用正、余弦定理求解.方法與技巧1.合理應(yīng)用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函數(shù)模型.2.把生活中的問題化為二維空間解決，即在一個平面上利用三角函數(shù)求值.3.合理運用換元法、代入法解決實際問題.失誤與防范在解實際問題時，應(yīng)正確理解如下角的含義.1.方向角——從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角.2.方位角——從正北方向線順時針到目標(biāo)方向線的水平角.3.坡度——坡面與水平面的二面角的度數(shù).4.仰角與俯角——與目標(biāo)視線在同一鉛直平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時稱為仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時稱為俯角.

§4.7正弦定理、余弦定理應(yīng)用舉例(時間：60分鐘)A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練題組一、選擇題1.如果在測量中，某渠道斜坡的坡度為eq\f(3,4)，設(shè)α為坡角，那么cosα等于 ()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,5) C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,3)2.有一長為1的斜坡，它的傾斜角為20°，現(xiàn)高不變，將傾斜角改為10°，則斜坡長為()A.1 B.2sin10°C.2cos10° D.cos20°3.如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A所在的同側(cè)河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后可以計算出A、B兩點的距離為 ()A.50eq\r(2)m B.50eq\r(3)mC.25eq\r(2)m D.eq\f(25\r(2),2)m二、填空題4.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD.已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿著DC走到C用了3分鐘.若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑為________米.5.一船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60°方向，行駛4h后，船到B處，看到這個燈塔在北偏東15°方向，這時船與燈塔的距離為________6.如圖，在四邊形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，則BC的長為________.三、解答題7.(2010·陜西)如圖，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC邊上的一點，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的長.8.如圖，甲船以每小時30eq\r(2)海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行.當(dāng)甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距10eq\r(2)海里.問：乙船每小時航行多少海里？B組專項能力提升題組一、選擇題1.在△ABC中，已知∠A＝45°，AB＝eq\r(2)，BC＝2，則∠C等于 ()A.30° B.60°C.120° D.30°或150°2.某人向正東方向走xkm后，向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好是eq\r(3)km，那么x的值為 ()A.eq\r(3) B.2eq\r(3)C.eq\r(3)或2eq\r(3) D.33.如圖所示，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線CB前往B處救援，則cosθ等于 ()A.eq\f(\r(21),7) B.eq\f(\r(21),14)C.eq\f(3\r(21),14) D.eq\f(\r(21),28)二、填空題4.(2011·安徽)已知△ABC的一個內(nèi)角為120°，并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則△ABC的面積為________.5.(2011·課標(biāo)全國)在△ABC中，B＝60°，AC＝eq\r(3)，則AB＋2BC的最大值為________.6.在△ABC中，D為邊BC上一點，BD＝eq\f(1,2)DC，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面積為3－eq\r(3)，則∠BAC＝________.三、解答題7.如圖所示，海中小島A周圍38海里內(nèi)有暗礁，船向正南航行，在B處測得小島A在船的南偏東30°方向，航行30海里后，在C小島A在船的南偏東45°方向，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無觸礁的危險？8.如圖，A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂.測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°、30°，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°，AC＝0.1km.試探究圖中B、間距離相等，然后求B、D的距離(計算結(jié)果精確到0.01km，eq\r(2)≈1.414，eq\r(6)≈2.449).

答案基礎(chǔ)自測1.130°2.eq\r(6)3.10eq\r(3)4.500(eq\r(3)＋1)5.B題型分類·深度剖析例1解由題意知AB＝5(3＋eq\r(3))海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△ABD中，由正弦定理，得eq\f(DB,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，∴DB＝eq\f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin105°)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin45°cos60°＋cos45°sin60°)＝eq\f(5\r(3)\r(3)＋1,\f(\r(3)＋1,2))＝10eq\r(3)(海里).又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20eq\r(3)(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10eq\r(3)×20eq\r(3)×eq\f(1,2)＝900，∴CD＝30(海里)，∴需要的時間t＝eq\f(30,30)＝1(小時).故救援船到達(dá)D點需要1小時.變式訓(xùn)練1A、B之間的距離為eq\r(5)km例2解如圖所示，某人在C處，AB為塔高，他沿CD前進(jìn)，CD＝40，此時∠DBF＝45°，過點B作BE⊥CD于E，則∠AEB＝30°，在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理，得eq\f(CD,sin∠DBC)＝eq\f(BD,sin∠BCD)，∴BD＝eq\f(40sin30°,sin135°)＝20eq\r(2).∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.在Rt△BED中，BE＝DBsin15°＝20eq\r(2)×eq\f(\r(6)－\r(2),4)＝10(eq\r(3)－1).在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，∴AB＝BEtan30°＝eq\f(10,3)(3－eq\r(3))(米).故所求的塔高為eq\f(10,3)(3－eq\r(3))米.變式訓(xùn)練2解(1)依題意知，在△DBC中，∠BCD＝30°，∠DBC＝180°－45°＝135°，CD＝6000×eq\f(1,60)＝100(米)，∠D＝180°－135°－30°＝15°，由正弦定理得eq\f(CD,sin∠DBC)＝eq\f(BC,sin∠D)，∴BC＝eq\f(CD·sin∠D,sin∠DBC)＝eq\f(100×sin15°,sin135°)＝eq\f(100×\f(\r(6)－\r(2),4),\f(\r(2),2))＝eq\f(50\r(6)－\r(2),\r(2))＝50(eq\r(3)－1)(米).在Rt△ABE中，tanα＝eq\f(AB,BE).∵AB為定長，∴當(dāng)BE的長最小時，α取最大值60°，這時BE⊥CD.當(dāng)BE⊥CD時，在Rt△BEC中，EC＝BC·cos∠BCE＝50(eq\r(3)－1)·eq\f(\r(3),2)＝25(3－eq\r(3))(米).設(shè)該人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大時，走了t分鐘.則t＝eq\f(EC,6000)×60＝eq\f(253－\r(3),6000)×60＝eq\f(3－\r(3),4)(分鐘).(2)由(1)知當(dāng)α取得最大值60°時，BE⊥CD，在Rt△BEC中，BE＝BC·sin∠BCD，∴AB＝BE·tan60°＝BC·sin∠BCD·tan60°＝50(eq\r(3)－1)·eq\f(1,2)·eq\r(3)＝25(3－eq\r(3))(米).即所求塔高AB為25(3－eq\r(3))米.例3解在△ABC中，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°.由正弦定理，得eq\f(AB,sin∠BCA)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，sin∠ABC＝eq\f(AC·sin∠BCA,AB)＝eq\f(9sin30°,5)＝eq\f(9,10).∵AD∥BC，∴∠BAD＝180°－∠ABC，于是sin∠BAD＝sin∠ABC＝eq\f(9,10).同理，在△ABD中，AB＝5，sin∠BAD＝eq\f(9,10)，∠ADB＝45°，由正弦定理：eq\f(AB,sin∠BDA)＝eq\f(BD,sin∠BAD)，解得BD＝eq\f(9\r(2),2).故BD的長為eq\f(9\r(2),2).變式訓(xùn)練3(1)eq\f(\r(6)＋\r(2),4)(2)eq\r(6)－eq\r(2)課時規(guī)范訓(xùn)練A組1.B2.C3.A4.50eq\r(7)5.30eq\r(2)6.8eq\r(2)7.解在△ADC中，AD＝10，AC＝14，DC＝6，由余弦定理得cos∠ADC＝eq\f(AD2＋DC2－AC2,2AD·DC)＝eq\f(100＋36－196,2×10×6)＝－eq\f(1,2)，∴∠ADC＝120°，∴∠ADB＝60°.在△ABD中，AD＝10，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(AD,sinB)，∴AB＝eq\f(AD·sin∠ADB,sinB)＝eq\f(10sin60°,sin45°)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝5eq\r(6).8.解如圖所示，連接A1B2，由已知A2B2＝10eq\r(2)，A1A2＝30eq\r(2)×eq\f(20,60)＝10eq\r(2)，∴A1A2＝A2B2又∠A1A2B2∴△A1A2B2是等邊三角形，∴A1B2＝A1A2＝10eq\r(2).由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2在△A1B2B1中，由余弦定理得B1Beq\o\al(2,2)＝A1Beq\o\al(2,1)＋A1Beq\o\al(2,2)－2A1B1·A1B2·cos45°＝202＋(10eq\r