數(shù)列的概念與簡單表示法備考策略考情分析:從題型和題量上看,高考對本章的考查多為“一大一小”的形式,有時也只考一道解答題.從內(nèi)容上看,小題主要考查等差、等比數(shù)列基本量的運算,等差、等比數(shù)列的性質(zhì)以及數(shù)列的遞推關(guān)系等.解答題主要考查數(shù)列通項公式的求解、等差(等比)數(shù)列的判斷與證明、數(shù)列求和等綜合問題.復習策略:1.熟記公式.要熟練記憶等差、等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式、性質(zhì)等.2.重視提高運算正確率.本單元中數(shù)學運算素養(yǎng)無處不在,需要加強訓練,如乘公比錯位相減法求和等,要掌握方法,規(guī)避易錯點,不但要會做,還要做對.3.關(guān)注數(shù)學文化背景的數(shù)列試題.數(shù)列非常適宜與數(shù)學文化結(jié)合命題,尤其是中國古代數(shù)學名著中涉及的一些常見數(shù)列題,解決此類問題的關(guān)鍵是理解題意,轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列等模型.課標解讀1.掌握數(shù)列的有關(guān)概念和表示方法.2.能利用an與Sn的關(guān)系以及遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式.3.理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù),能利用數(shù)列的周期性、單調(diào)性解決簡單的問題.知識梳理1.數(shù)列的有關(guān)概念

概念含義數(shù)列按照

排列的一列數(shù)

數(shù)列的項數(shù)列中的

數(shù)列的通項公式如果數(shù)列{an}的第n項an與序號n之間的對應關(guān)系可以用一個式子來表示,這個式子叫做數(shù)列的通項公式前n項和數(shù)列{an}中,Sn=a1+a2+…+an叫做數(shù)列{an}的前n項和確定的順序每一個數(shù)[教材知識深化]1.從函數(shù)觀點看,數(shù)列{an}可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)an=f(n),當自變量按照從小到大的順序依次取值時,所對應的一列函數(shù)值.2.對于一個數(shù)列,如果只知道它的前幾項,而沒有指出它的變化規(guī)律,是不能確定這個數(shù)列的.微思考數(shù)列的通項公式an=3n+5,n∈N*與函數(shù)y=3x+5有何區(qū)別與聯(lián)系?提示

數(shù)列的通項公式an=3n+5,n∈N*是特殊的函數(shù),其定義域為N*,而函數(shù)y=3x+5的定義域是R,an=3n+5,n∈N*的圖象是離散的點,且排列在y=3x+5的圖象上.2.數(shù)列的表示方法

列表法列表格表示n與an的對應關(guān)系圖象法把點(n,an)畫在平面直角坐標系中

數(shù)列的圖象是坐標系中的一些孤立的點公式法通項公式把數(shù)列的通項用公式表示給出了數(shù)列相鄰兩項或多項之間的關(guān)系遞推公式使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a2和an+1=f(an,an-1)等表示數(shù)列的方法[教材知識深化]通項公式和遞推公式的異同點:公式不同點相同點通項公式可根據(jù)某項的序號n的值,直接代入求出an都可確定一個數(shù)列,也都可求出數(shù)列的任意一項遞推公式可通過賦值,逐項求出數(shù)列的項,也可通過變形轉(zhuǎn)化,直接求出an

S1Sn-Sn-14.數(shù)列的分類

分類標準類型滿足條件項數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限項與項間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an+1>ann∈N*遞減數(shù)列an+1<an常數(shù)列an+1=an擺動數(shù)列從第二項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項微思考數(shù)列的單調(diào)性與對應函數(shù)的單調(diào)性相同嗎?

自主診斷一、基礎(chǔ)自測1.思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)(1)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個.(

)(2)1,1,1,1,…,不能構(gòu)成一個數(shù)列.(

)(3)相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列.(

)(4)如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則對?n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.(

)√××√

ABC

3

4.(人教B版選擇性必修第三冊5.2.2節(jié)練習B第4題)寫出數(shù)列2,0,2,0,…的一個通項公式為

.

B

考點一由an與Sn的關(guān)系求通項公式

C

(2)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=3n2+2n,則數(shù)列{an}的通項公式an=

.6n-1解析

由題知Sn=3n2+2n,則Sn-1=3(n-1)2+2(n-1)=3n2-4n+1(n≥2),所以an=Sn-Sn-1=6n-1(n≥2).又a1=S1=5,符合上式,所以an=6n-1(n∈N*).變式探究本例(2)中將“Sn=3n2+2n”改為“Sn=3n2+2n+1”,其余不變,則{an}的通項公式an=

.

B

考點二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式例2(1)(2024·河北唐山二模)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+a1+2n,a10=130,則a1=(

)

A.1 B.2

C.3

D.4D

D

[對點訓練2](1)(2024·福建廈門模擬)南宋數(shù)學家在《解析九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,高階等差數(shù)列中前后兩項之差并不相等,但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.現(xiàn)有高階等差數(shù)列,其前7項分別為1,2,4,7,11,16,22,則該數(shù)列的第50項為(

)A.1224 B.1225 C.1226 D.1227C

C

考點三數(shù)列的性質(zhì)(多考向探究預測)考向1

數(shù)列的周期性例3

斐波那契數(shù)列{an}可以用如下方法定義:an+2=an+1+an,且a1=a2=1,若此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成一個新數(shù)列{bn},則數(shù)列{bn}的前2025項和為(

)A.2703 B.2702 C.2700 D.2701C解析

∵an=an-1+an-2(n≥3,n∈N*),a1=a2=1,∴數(shù)列{an}為1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,此數(shù)列各項除以4的余數(shù)依次構(gòu)成的數(shù)列{bn}為1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…,又2

025=6×337+3,∴數(shù)列{bn}是以6為周期的周期數(shù)列,∴S2

025=337×(1+1+2+3+1+0)+