§8.6.3平面與平面垂直§8.6空間直線、平面的垂直面面垂直的判定定理012025-2026學(xué)年

高一數(shù)學(xué)情境引入

觀察①如圖，建筑工人在砌墻時(shí)，常用鉛錘來檢測(cè)所砌的墻面與地面是否垂直如果系有鉛錘的細(xì)線緊貼墻面，工人師傅就認(rèn)為墻面垂直于地面，否則他就認(rèn)為墻面不垂直于地面。這種方法說明了什么道理?觀察②如圖，教室的門在開關(guān)的過程中，門與地面是什么位置關(guān)系？無論在什么位置都是一樣的嗎？這種現(xiàn)象說明了什么道理？（注意：門軸與地面、門軸與門面、門面與底面）探究新知觀察前面兩幅圖可以發(fā)現(xiàn)：這種方法告訴我們，鉛垂線是一定垂直于地面的，如果墻面經(jīng)過地面的垂線，那么墻面與地面垂直；門無論轉(zhuǎn)到哪個(gè)位置都是垂直于地面的，而“不同位置的門面”它們的共同特點(diǎn)是都經(jīng)過了門軸所在直線，而門軸是地面的的一條垂線。猜想：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一面的垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直

學(xué)習(xí)新知圖形語言

簡(jiǎn)記口訣符號(hào)語言如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。面面垂直的判定定理

應(yīng)用新知---教材

應(yīng)用新知-教材

典例精析

歸納總結(jié)1.關(guān)鍵：

在利用線面垂直證明面面垂直時(shí),關(guān)鍵是確定“線”,即在其中一個(gè)平面內(nèi)找一條直線與另一個(gè)平面垂直.一方面要分析圖形中已有的垂直關(guān)系,另一方面要注意積累常見的線面垂直關(guān)系模型,能夠直觀進(jìn)行判斷選擇.2.步驟：面面垂直證明的步驟與關(guān)鍵平面與平面垂直的性質(zhì)定理02情境引入觀察①觀察黑板所在的平面和地面，它們是互相垂直的，那么黑板所在的平面里的任意一條直線是否就一定和地面垂直？觀察②

已知面面垂直，根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)，先研究先研究其中一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面具有什么位置關(guān)系探索新知

學(xué)習(xí)新知圖形語言

理解關(guān)鍵①線在平面內(nèi)；②線垂直于交線符號(hào)語言兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直。面面垂直的性質(zhì)定理

應(yīng)用新知-教材

導(dǎo)學(xué)大書98頁(yè)歸納總結(jié)應(yīng)用步驟:面面垂直

線面垂直應(yīng)用類型：①證明線面垂直、線線垂直②作線面角或作二面角的平面角3.注意：面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個(gè)重要依據(jù).我們要作一個(gè)平面的一條

垂線,通常是找這個(gè)平面的一個(gè)垂面,在這個(gè)垂面中,作交線的垂線即可應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理的策略性質(zhì)定理定義判定定理判定定理性質(zhì)定理復(fù)習(xí)整理證線線垂直的方法：1.勾股定理逆定理

（求三邊)2.等腰(邊)三角形的中線也是高，垂直于底邊；3.異面直線所成的角為90°；4.線面垂直的定義；5.三垂線定理及逆定理；深入思考

深入思考探究2：對(duì)于面面垂直的性質(zhì)，我們探究了一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面的

特殊位置關(guān)系．如果直線不在兩個(gè)平面內(nèi)，或者把直線換成平面，你

又能得到哪些結(jié)論？

結(jié)論1P163頁(yè)習(xí)題10法一：

深入思考法二：

如果兩個(gè)相交平面都垂直于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面的交線垂直于這個(gè)平面.結(jié)論2[P171-14]四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD是等邊三角形，面PAD⊥面ABCD，M為PD的中點(diǎn).(1)求證：AM⊥面PCD.證明：等邊△PAD中，∵M(jìn)為PD的中點(diǎn)，∴AM⊥PD.正方形ABCD中，CD⊥AD，又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴CD⊥平面PAD.∵AM?面PCD，∴CD⊥AM.∵CD∩PD=D，CD,PD?平面PCD，∴AM⊥平面PAD.教材例題(2)求側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值.4.面面垂直的性質(zhì)定理[P171-14]四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)面PAD是等邊三角形，面PAD⊥面ABCD，M為PD的中點(diǎn).(2)求側(cè)面PBC與底面ABCD所成二面角的余弦值.證明：取AD,BC的中點(diǎn)E,F，連接PE,PF,EF.則EF//CD，又正方形ABCD中，CD⊥BC，∴EF⊥BC；∵PE∩EF=E，PE,EF?平面PEF，∴BC⊥平面PEF.∵PF?面PEF，∴BC⊥PF.又∵EF⊥BC，∴∠PFE是面PBC與面ABCD所成二面角的平面角.等邊△PAD中，∵E為AD的中點(diǎn)，∴PE⊥AD.∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，∴PE⊥面ABCD.∵BC?面ABCD，∴PE⊥BC.24ABCDEFMNG4、如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.(1)求四棱錐S-ABCD的體積；(2)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.解：（1）直角梯形ABCD的面積是

M底面=

，

∴四棱錐S-ABCD的體積是

4、如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.(1)求四棱錐S-ABCD的體積；(2)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.(2)提示：

因所求二面角無“棱”，故先延長(zhǎng)BA、CD以確定棱SE，然后證明∠BSC為平面角.back4、如圖，在底面是直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.(1)求四棱錐S-ABCD的體積；(2)求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值.back（Ⅱ）延長(zhǎng)BA、CD相交于點(diǎn)E，連結(jié)SE，

則SE是所求二面角的棱，

∵AD∥BC，BC=2AD，

∴EA=AB=SA，

∴SE⊥SB，

∵SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交線，

又BC⊥EB，

∴BC⊥面SEB，故SE是SC在面SEB上的射影，

∴SC⊥SE，以∠BSC是所求二面角的平面角，

∵

，

∴

，

即所求二面角的正切值為

。

練在二面角α-l-β的一個(gè)平面α內(nèi)有一條直線AB，它與棱l所成的角為45°，與平面β所成的角為30°，則這個(gè)二面角的大小是________________.45°或135°歸納總結(jié)應(yīng)用步驟:面面垂直

線面垂直應(yīng)用類型：①證明線面垂直、線線垂直