幻燈片1：封面標(biāo)題：3.6.2角的比較和運(yùn)算學(xué)科：數(shù)學(xué)年級(jí)：七年級(jí)上冊(cè)版本：華東師大版副標(biāo)題：角的大小比較與和差、平分線運(yùn)算幻燈片2：復(fù)習(xí)回顧——角的基礎(chǔ)認(rèn)知回顧1：角的核心概念定義：兩條有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形（靜態(tài)），或射線繞端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成的圖形（動(dòng)態(tài)）度量單位：度（°）、分（′）、秒（″），60進(jìn)制（1°=60′，1′=60″）回顧2：角的分類銳角（0°<α<90°）、直角（α=90°）、鈍角（90°<α<180°）、平角（180°）、周角（360°）提問：如何精確比較兩個(gè)角的大小？當(dāng)已知兩個(gè)角的度數(shù)時(shí)，如何計(jì)算它們的和或差？角的“平分線”又有什么特殊性質(zhì)？幻燈片3：角的比較方法（鞏固與拓展）角的大小由“兩邊張開程度”決定，與邊的長(zhǎng)度無關(guān)，核心比較方法有2種：疊合法（直觀比較）操作步驟（以比較∠AOB和∠COD為例）：重合頂點(diǎn)：將∠AOB的頂點(diǎn)O與∠COD的頂點(diǎn)C重合重合一邊：將∠AOB的邊OA與∠COD的邊CD重合，且使兩邊方向一致（如均向右上方）觀察另一邊位置：若OB與CE重合（兩邊完全重疊）→∠AOB=∠COD若OB在∠COD內(nèi)部（OB位于CD與CE之間）→∠AOB<∠COD若OB在∠COD外部（CE位于CD與OB之間）→∠AOB>∠COD圖形演示：繪制三種位置關(guān)系示意圖，標(biāo)注頂點(diǎn)、邊的重合情況，直觀展示比較結(jié)果度量法（精確比較）操作步驟：用量角器分別測(cè)量?jī)蓚€(gè)角的度數(shù)（如∠1=45°，∠2=60°）比較度數(shù)大小：45°<60°→∠1<∠2；若度數(shù)相等，則角相等優(yōu)勢(shì)：可量化角的大小，不僅能判斷“大于/小于/等于”，還能計(jì)算度數(shù)差（如∠2-∠1=15°）示例對(duì)比：比較三角尺上60°

角和45°

角，疊合法可見60°

角的另一邊在45°

角外部，度量法得60°>45°，結(jié)論一致。幻燈片4：角的和差運(yùn)算（基礎(chǔ)規(guī)則）角的和差運(yùn)算本質(zhì)是“度數(shù)的和差”，需遵循60進(jìn)制換算規(guī)則：角的和運(yùn)算定義：兩個(gè)角的和是指將一個(gè)角的始邊與另一個(gè)角的終邊重合后，新形成的角（頂點(diǎn)不變）示例：∠AOB=30°，∠BOC=40°，且OB是∠AOC的公共邊（∠AOB與∠BOC有公共頂點(diǎn)O，且OC在∠AOB外部），則∠AOC=∠AOB+∠BOC=30°+40°=70°圖形表示：繪制∠AOB與∠BOC共頂點(diǎn)O、共邊OB的圖形，標(biāo)注∠AOC為和角，明確和角與兩個(gè)角的位置關(guān)系角的差運(yùn)算定義：兩個(gè)角的差是指從較大角中減去較小角后剩余的角示例：∠AOC=70°，∠AOB=30°（∠AOB在∠AOC內(nèi)部，共頂點(diǎn)O、共邊OA），則∠BOC=∠AOC-∠AOB=70°-30°=40°圖形表示：繪制∠AOC包含∠AOB的圖形，標(biāo)注∠BOC為差角，體現(xiàn)“從大角中截取小角”的過程運(yùn)算規(guī)則：?jiǎn)挝唤y(tǒng)一：若角的單位含度、分、秒，需從最低單位（秒）開始運(yùn)算，滿60進(jìn)1（或借1當(dāng)60）示例：計(jì)算35°40′+25°30′=61°10′（40′+30′=70′=1°10′，35°+25°+1°=61°）；計(jì)算50°10′-20°30′=29°40′（50°10′=49°70′，49°70′-20°30′=29°40′）幻燈片5：角的平分線（特殊運(yùn)算——平分角）1.角平分線的定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線，叫做這個(gè)角的平分線（如射線OC是∠AOB的平分線，則∠AOC=∠COB=\(\frac{1}{2}\)∠AOB）2.角平分線的性質(zhì)：平分線分成的兩個(gè)角相等，且都等于原角的一半若OC平分∠AOB，則：∠AOC=∠COB∠AOB=2∠AOC=2∠COB∠AOC=∠COB=\(\frac{1}{2}\)∠AOB3.角平分線的畫法（用直尺和圓規(guī)）：以角的頂點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA、OB于點(diǎn)M、N分別以M、N為圓心，大于\(\frac{1}{2}\)MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C連接OC并延長(zhǎng)，射線OC即為∠AOB的平分線圖形標(biāo)注：繪制角平分線示意圖，標(biāo)注∠AOC=∠COB，用等號(hào)或大括號(hào)強(qiáng)調(diào)相等關(guān)系幻燈片6：基礎(chǔ)題型1——角的和差運(yùn)算例題1：計(jì)算下列角的和或差（注意單位換算）：28°30′+52°45′2.90°-35°15′3.180°-（25°40′+65°20′）解答：28°30′+52°45′=（28°+52°）+（30′+45′）=80°+75′=81°15′（75′=1°15′）90°-35°15′=89°60′-35°15′=54°45′（借1°

當(dāng)60′）先算括號(hào)內(nèi)：25°40′+65°20′=91°，再算180°-91°=89°例題2：如圖，已知∠AOB=120°，∠AOC=50°，OC在∠AOB內(nèi)部，求∠BOC的度數(shù)。解答：分析：∠AOB是大角，包含∠AOC和∠BOC，故∠BOC=∠AOB-∠AOC計(jì)算：∠BOC=120°-50°=70°結(jié)論：∠BOC=70°幻燈片7：基礎(chǔ)題型2——角平分線的應(yīng)用例題3：已知OC是∠AOB的平分線，∠AOB=80°，求∠AOC和∠COB的度數(shù)。解答：由角平分線定義：∠AOC=∠COB=\(\frac{1}{2}\)∠AOB計(jì)算：\(\frac{1}{2}\)×80°=40°結(jié)論：∠AOC=40°，∠COB=40°例題4：如圖，OC平分∠AOB，OD平分∠AOC，已知∠AOB=100°，求∠AOD的度數(shù)。解答：先求∠AOC：OC平分∠AOB，故∠AOC=\(\frac{1}{2}\)∠AOB=\(\frac{1}{2}\)×100°=50°再求∠AOD：OD平分∠AOC，故∠AOD=\(\frac{1}{2}\)∠AOC=\(\frac{1}{2}\)×50°=25°結(jié)論：∠AOD=25°學(xué)生活動(dòng)：已知∠AOB=150°，OC是∠AOB的平分線，OD在∠BOC內(nèi)部，且∠BOD=20°，求∠COD的度數(shù)（答案：∠BOC=75°，∠COD=75°-20°=55°）幻燈片8：進(jìn)階題型——角的和差與平分線綜合運(yùn)算例題5：如圖，已知∠AOB=180°（平角），OC平分∠AOD，OE平分∠BOE，∠COD=30°，求∠DOE的度數(shù)。解答：求∠AOD：OC平分∠AOD，∠COD=30°，故∠AOD=2∠COD=60°求∠BOD：∠AOB是平角（180°），故∠BOD=∠AOB-∠AOD=180°-60°=120°求∠DOE：OE平分∠BOD，故∠DOE=\(\frac{1}{2}\)∠BOD=60°結(jié)論：∠DOE=60°例題6：時(shí)鐘在10點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是多少度？若經(jīng)過15分鐘，時(shí)針與分針的夾角變?yōu)槎嗌俣?？解答?0點(diǎn)整時(shí)：時(shí)鐘一圈360°，12個(gè)大格，每個(gè)大格30°；10點(diǎn)時(shí)，時(shí)針指向10，分針指向12，間隔2個(gè)大格，夾角=2×30°=60°經(jīng)過15分鐘（10點(diǎn)15分）：分針位置：15分鐘指向3，與12間隔3個(gè)大格，對(duì)應(yīng)3×30°=90°時(shí)針位置：10點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)10×30°=300°，15分鐘（\(\frac{1}{4}\)小時(shí)）時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)\(\frac{1}{4}\)×30°=7.5°，故時(shí)針總位置=300°+7.5°=307.5°夾角：|307.5°-90°|=217.5°，因時(shí)鐘夾角取小于180°

的角，故實(shí)際夾角=360°-217.5°=142.5°結(jié)論：10點(diǎn)整夾角60°，10點(diǎn)15分夾角142.5°幻燈片9：易錯(cuò)點(diǎn)辨析——角的運(yùn)算常見誤區(qū)易錯(cuò)點(diǎn)1：度分秒運(yùn)算忽略60進(jìn)制錯(cuò)誤示例：計(jì)算30°40′+20°30′=50°70′（未將70′換算為1°10′，正確應(yīng)為51°10′）正確：度分秒運(yùn)算需“滿60進(jìn)1，借1當(dāng)60”，確保結(jié)果單位規(guī)范（分、秒均小于60）易錯(cuò)點(diǎn)2：角的和差與位置關(guān)系混淆錯(cuò)誤示例：已知∠AOB=80°，∠AOC=30°，直接計(jì)算∠BOC=80°+30°=110°（未考慮OC可能在∠AOB內(nèi)部，此時(shí)∠BOC=50°）正確：計(jì)算角的和差前，需通過圖形明確角的位置關(guān)系（內(nèi)部或外部），避免漏解易錯(cuò)點(diǎn)3：角平分線定義理解錯(cuò)誤錯(cuò)誤示例：認(rèn)為“將角分成兩個(gè)角的射線就是角平分線”（忽略“相等”條件，需分成兩個(gè)相等的角）正確：角平分線必須滿足“分成的兩個(gè)角相等”，缺一不可易錯(cuò)點(diǎn)4：時(shí)鐘夾角計(jì)算忽略時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)錯(cuò)誤示例：計(jì)算10點(diǎn)15分夾角時(shí)，認(rèn)為時(shí)針仍指向10（實(shí)際時(shí)針隨分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)，15分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)7.5°）正確：時(shí)鐘夾角計(jì)算需考慮時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)0.5°（30°÷60），分針每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)6°（360°÷60）幻燈片10：實(shí)際應(yīng)用——角的運(yùn)算在生活中的場(chǎng)景應(yīng)用1：工程測(cè)量示例：建筑工人測(cè)量墻面夾角時(shí)，已知∠AOB=90°（直角），OC在墻面上，∠AOC=35°，通過∠BOC=90°-35°=55°，判斷OC是否符合設(shè)計(jì)角度應(yīng)用2：機(jī)械設(shè)計(jì)示例：齒輪傳動(dòng)中，兩個(gè)齒輪的夾角需為60°，已知其中一個(gè)齒輪與基準(zhǔn)線夾角為25°，則另一個(gè)齒輪與基準(zhǔn)線夾角=60°-25°=35°，確保傳動(dòng)順暢應(yīng)用3：導(dǎo)航定位示例：輪船從港口A出發(fā)，先向東北方向（北偏東45°）行駛，再調(diào)整方向至北偏東60°，兩次方向的夾角=60°-45°=15°，通過角的差確定轉(zhuǎn)向角度例題：某工廠要加工一個(gè)V型零件，要求V型角（∠AOB）為60°，OC是∠AOB的平分線，加工時(shí)需確?！螦OC的度數(shù)，求∠AOC的度數(shù)。解答：OC平分∠AOB，故∠AOC=\(\frac{1}{2}\)×60°=30°，需將∠AOC加工為30°幻燈片11：課堂小結(jié)（核心知識(shí)點(diǎn)）角的比較方法：疊合法：重合頂點(diǎn)與一邊，觀察另一邊位置，直觀判斷大小度量法：測(cè)量度數(shù)，比較數(shù)值，精確判斷大小并計(jì)算差值角的運(yùn)算：和差運(yùn)算：遵循60進(jìn)制，從低單位（秒）開始，滿60進(jìn)1或借1當(dāng)60角平分線：平分角為兩個(gè)相等的角，性質(zhì)：∠AOC=∠COB=\(\frac{1}{2}\)∠AOB關(guān)鍵應(yīng)用：結(jié)合圖形明確角的位置關(guān)系（內(nèi)部/外部），避免和差運(yùn)算漏解時(shí)鐘夾角、工程測(cè)量等實(shí)際場(chǎng)景需靈活運(yùn)用角的運(yùn)算規(guī)則易錯(cuò)提醒：度分秒換算注意60進(jìn)制，角平分線需滿足“相等”條件，時(shí)鐘夾角需考慮時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)幻燈片12：課堂檢測(cè)（4道題）計(jì)算25°18′+30°42′的結(jié)果是（

）A.55°60′B.56°C.55°D.56°60′已知OC是∠AOB的平分線，∠AOB=120°，則∠AOC的度數(shù)為（

）A.60°B.120°C.30°D.90°如圖，∠AOB=180°，OC平分∠AOD，∠BOD=50°，求∠AOC的度數(shù)（寫出步驟）計(jì)算時(shí)鐘在3點(diǎn)45分時(shí)，時(shí)針與分針的夾角度數(shù)（寫出步驟）答案：B（18′+42′=60′=1°，25°+30°+1°=56°）2.A（\(\frac{1}{2}\)×120°=60°）3.步驟2025-2026學(xué)年華東師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)授課教師：

.班級(jí)：

.

時(shí)間：

.

3.6.2角的比較和運(yùn)算第3章

圖形的初步認(rèn)識(shí)aiTujmiaNg1.會(huì)比較角的大小，會(huì)計(jì)算角的和、差.2.能用尺規(guī)畫一個(gè)角等于已知角.3.掌握角平分線的定義.比較兩條線段的長(zhǎng)短有哪些方法？1.度量法；2.疊合法：將其中一條線段“移”到另一條線段上，使其一端點(diǎn)與另一線段的一端點(diǎn)重合，然后觀察兩條線段另外兩個(gè)端點(diǎn)的位置作比較.類比比較兩條線段長(zhǎng)短的方法，你能比較兩個(gè)角的大小嗎？知識(shí)點(diǎn)1角的大小比較

觀察如圖所示的三個(gè)角，哪一個(gè)最大？OABDEFCGH∠AOB與∠CGH的大小關(guān)系不太明顯.那么如何比較，才能得到準(zhǔn)確的結(jié)果呢?如圖所示，把一個(gè)角放到另一個(gè)角上，使它們的頂點(diǎn)重合，其中的一邊也重合，并使兩個(gè)角的另一邊都重合在這一條邊的同側(cè).疊合法CGHOABG（O）H（B）∠CGH＞∠AOB或∠AOB＜∠CGH度量法60°OABDEFCGH36°65°∠CGH＞∠AOB＞∠DEF知識(shí)點(diǎn)2尺規(guī)作角

試一試如圖，∠AOB為已知角，試按下列步驟用圓規(guī)和直尺準(zhǔn)確地畫一個(gè)角等于∠AOB.AOBAOBCA′DO′C′D′B′第一步：畫射線O′A′；

第二步：以點(diǎn)O為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于

點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D；第三步：以點(diǎn)O′為圓心，以O(shè)C長(zhǎng)為半徑畫弧，交O′A′于點(diǎn)C′；第四步：以點(diǎn)C′為圓心，以CD長(zhǎng)為半徑畫弧，交前一條弧于點(diǎn)D′；第五步：過點(diǎn)D′畫射線O′B′；∠A′O′B′就是所要畫的角.知識(shí)點(diǎn)3角的和差

圖中有幾個(gè)角？它們之間有什么關(guān)系？∠AOC，∠AOB，∠COB∠AOC+∠COB=∠AOB

；∠AOB－∠AOC=∠COB；∠AOB－∠COB=∠AOC.BCOA可見，兩個(gè)角相加或相減，得到的和或差也是角．

例

計(jì)算：（1）77°42′+34°45′；

（2）108°18′-56°23′.解：（1）77°42′+34°45′=111°87′=112°27′.（2）108°18′-56°23′=107°78′-56°23′=51°55′.知識(shí)點(diǎn)4角的平分線

做一做如圖，在紙上畫∠AOB，然后沿點(diǎn)О對(duì)折，使邊OB和OA重合，那么折痕把角分成了大小相等的兩部分.AOBC

OC平分∠AOB從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出的一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線.AOBC∠AOC=∠BOC=∠AOB

知識(shí)點(diǎn)1

角的比較1.

在∠

AOB

的內(nèi)部任取一點(diǎn)

C

，作射線

OC

，那么有

(

D

)A.

∠

AOC

＝∠

BOC

B.

∠

AOC

＞∠

BOC

C.

∠

BOC

＞∠

AOB

D.

∠

AOB

＞∠

AOC

【點(diǎn)撥】如圖，可知∠

AOB

＞∠

AOC

，∠

AOB

＞∠

BOC

，

但∠

BOC

與∠

AOC

的大小關(guān)系確定不了，故選D.

D12345678910111213142.

若∠1＝40.4°，∠2＝40°4'，則∠1與∠2的關(guān)系是

(

B

)A.

∠1＝∠2B.

∠1＞∠2C.

∠1＜∠2D.

不能確定【點(diǎn)撥】因?yàn)?.4°＝24'，所以40.4°＝40°24'.所以∠1＞

∠2，故選B.

B1234567891011121314知識(shí)點(diǎn)2

角的和差3.

[母題教材P167復(fù)習(xí)題T7]按圖填空：(第3題)1234567891011121314(1)∠

AOB

＝∠

AOD

＋

＝

＋

∠

BOC

；