第一章集合與常用邏輯用語新（定義，文化）高觀點必刷必過題一、單選題1．已知集合，若，，則與集合間的關(guān)系正確的是（

）A．， B．，C．， D．，2．設(shè)為任一實數(shù)，表示不小于的最小整數(shù)，例如，，，那么“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件3．若整數(shù)集的子集滿足條件：對任何，，都有，就稱是封閉集．下列命題中錯誤的是A．若是封閉集且，則一定是無限集B．對任意整數(shù)，，是封閉集C．若是封閉集，則存在整數(shù)，使得中任何元素都是的整數(shù)倍D．存在非零整數(shù)，和封閉集，使得，，但，的最大公約數(shù)4．設(shè)U＝{1，2，3，4}，A與B是U的兩個子集，若A∩B＝{3，4}，則稱（A，B）為一個“理想配集”，那么符合此條件的“理想配集”（規(guī)定：（A，B）與（B，A）是兩個不同的“理想配集”）的個數(shù)是（

）A．7個 B．8個 C．9個 D．10個5．設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果任意的，有，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的.若、是Z的兩個沒有公共元素的非空子集，．若任意的，有，同時，任意的，有，則下列結(jié)論恒成立的是(

)A．、中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的B．、中至多有一個關(guān)于乘法是封閉的C．、中有且只有一個關(guān)于乘法是封閉的D．、中每一個關(guān)于乘法都是封閉的6．在整數(shù)集Z中，被4除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，，1，2，3．給出如下四個結(jié)論：①；②；③；④“整數(shù)a，b屬于同一‘類’”的充要條件是“”其中正確的結(jié)論有（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②③④7．當(dāng)一個非空數(shù)集滿足：如果，則，且時，時，我們稱就是一個數(shù)域，以下關(guān)于數(shù)域的說法：①是任何數(shù)域的元素；②若數(shù)域有非零元素，則；③集合是一個數(shù)域；④有理數(shù)集是一個數(shù)域；⑤任何一個有限數(shù)域的元素個數(shù)必為奇數(shù)，其中正確的選項是（

）A．①②④ B．②③④⑤ C．①④⑤ D．①②④⑤8．對于任意兩個數(shù)，定義某種運算“◎”如下：①當(dāng)或時，；②當(dāng)時，.則集合A＝的子集個數(shù)是（

）A．214個 B．213個 C．211個 D．27個9．對于集合、，定義集合運算且，給出下列三個結(jié)論：（1）；（2）；（3）若，則；則其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）10．設(shè)U是一個非空集合，F(xiàn)是U的子集構(gòu)成的集合，如果F同時滿足：①，②若，則且，那么稱F是U的一個環(huán)，下列說法錯誤的是（

）A．若，則是U的一個環(huán)B．若，則存在U的一個環(huán)F，F(xiàn)含有8個元素C．若，則存在U的一個環(huán)F，F(xiàn)含有4個元素且D．若，則存在U的一個環(huán)F，F(xiàn)含有7個元素且11．設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集，對于k∈A，如果且，那么稱k是集合A的一個“好元素”．給定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（

）A．2個 B．4個 C．6個 D．8個二、多選題12．非空集合關(guān)于運算滿足：對于任意的、，都有，則稱集合關(guān)于運算為“回歸集”．下列集合關(guān)于運算為“回歸集”的是（

）A．為，為自然數(shù)的減法B．為，為有理數(shù)的乘法C．為，為實數(shù)的加法D．已知全集，集合，為，為實數(shù)的乘法13．1872年德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱“戴德金分割”），并把實數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了無理數(shù)被認(rèn)為“無理”的時代，也結(jié)束了數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)．將有理數(shù)集劃分為兩個非空的子集與，且滿足，，中的每一個元素都小于中的每一個元素，則稱為戴德金分割．試判斷下列選項中，可能成立的是（

）A．，滿足戴德金分割B．沒有最大元素，有一個最小元素C．有一個最大元素，有一個最小元素D．沒有最大元素，也沒有最小元素14．在整數(shù)集中，被6除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，，1，2，3，4，5，則下列結(jié)論中正確的有（

）A．存在一個數(shù)，使得B．對于任意一個數(shù)，都能使成立C．“”是“整數(shù)，屬于同一‘類’”的充要條件D．“整數(shù)，滿足，”的必要條件是“”15．整數(shù)集Z中，被5除所得余數(shù)為k的所有整數(shù)組成一個“類”，記為[k]，即，其中．以下判斷正確的是（

）A． B．C． D．若，則整數(shù)a，b屬同一類16．在整數(shù)集中被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，????.則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．“整數(shù)?屬于同一類”的充要條件是“”17．在整數(shù)集中，被7除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個“類”，記為，即，，給出如下四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論為（

）A． B．C． D．若，則整數(shù)a，b屬于同一類18．對于集合M，N，我們把屬于集合M但不屬于集合N的元素組成的集合叫作集合M與N的“差集”，記作，即，且；把集合M與N中所有不屬于的元素組成的集合叫作集合M與N的“對稱差集”，記作，即，且.下列四個選項中，正確的有（

）A．若，則 B．若，則C． D．19．《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有圖形如圖所示，為線段上的點，且，，為的中點，以為直徑作半圓．過點作的垂線交半圓于，連接，，，過點作的垂線，垂足為．則該圖形可以完成的所有的無字證明為（

）A． B．C． D．20．當(dāng)一個非空數(shù)集滿足條件“若，，則，，，且當(dāng)時，”時，稱為一個數(shù)域，以下說法正確的是（

）A．是任何數(shù)域的元素B．若數(shù)域有非零元素，則C．集合為數(shù)域D．有理數(shù)集為數(shù)域21．設(shè)非空集合為實數(shù)集的子集，若滿足下列兩個條件：（1），；（2）對任意，都有，，，，則稱為一個數(shù)域．則下列命題中為真命題的是（

）A．有理數(shù)集是一個數(shù)域B．若為一個數(shù)域，則C．若，都是數(shù)域，那么也是一個數(shù)域D．若，都是數(shù)域，那么也是一個數(shù)域22．對任意A，，記，則稱為集合A，B的對稱差．例如，若，，則，下列命題中，為真命題的是（

）A．若A，且，則B．若A，且，則C．若A，且，則D．存在A，，使得23．若非空集合G和G上的二元運算“”滿足：①，；②，對，：③，使，，有；④，，則稱構(gòu)成一個群.下列選項對應(yīng)的構(gòu)成一個群的是（

）A．集合G為自然數(shù)集，“”為整數(shù)的加法運算B．集合G為正有理數(shù)集，“”為有理數(shù)的乘法運算C．集合(i為虛數(shù)單位)，“”為復(fù)數(shù)的乘法運算D．集合，“”為求兩整數(shù)之和被7除的余數(shù)三、填空題24．戴德金分割，是指將有理數(shù)集Q劃分為兩個非空子集A與B，且滿足Q，，A中的每一個元素都小于B中的每一個元素．請給出一組滿足A中無最大元素且B中無最小元素的戴德金分割______．25．設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則“”是“”的______條件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”）26．給定集合A，若對于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，則稱集合A為閉集合，給出如下四個結(jié)論：①集合A＝{0}為閉集合；②集合A＝{﹣4，﹣2，0，2，4}為閉集合；③集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}為閉集合；④若集合A1、A2為閉集合，則A1∪A2為閉集合．其中所有正確結(jié)論的序號是__．27．已知，記集合，例如，…．現(xiàn)有一款名稱為“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”網(wǎng)絡(luò)游戲，它的激活碼為集合A2的各元素之和，則該游戲的激活碼為________．28．已知表示不超過的最大整數(shù).例如，，，若，，是的充分不必要條件，則的取值范圍是______.29．設(shè)集合，對其子集引進(jìn)“勢”的概念；①空集的“勢”最小；②非空子集的元素越多，其“勢”越大；③若兩個子集的元素個數(shù)相同，則子集中最大的元素越大，子集的“勢”就越大.最大的元素相同，則第二大的元素越大，子集的“勢”就越大，以此類推.若將全部的子集按“勢”從小到大順序排列，則排在第位的子集是_________.30．由無理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì)直到1872年，德國數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來定義無理數(shù)（史稱戴德金分割），并把實數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無理數(shù)“無理”的時代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).所謂戴德金分割，是指將有理數(shù)集劃分為兩個非空子集與，且滿足，，中的每一個元素都小于中的每一個元素，則稱為戴德金分割.試判斷下列選項中，可能成立的是___________.①，是一個戴德金分割；②沒有最大元素，有一個最小元素；③有一個最大元素，有一個最小元素；④沒有最大元素，沒有最小元素；四、雙空題31．中國古代數(shù)學(xué)專著《孫子算經(jīng)》中有一問題“今有三