第八節(jié)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求

1.

了解直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷方法.2.

掌握直線被圓錐曲線所截的弦長(zhǎng)公式.3.

能利用方程及數(shù)形結(jié)合思想解決焦點(diǎn)弦、中點(diǎn)弦問(wèn)題.目錄CONTENTS知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)01.考點(diǎn)·分類(lèi)突破02.課時(shí)·跟蹤檢測(cè)03.PART01知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)必備知識(shí)|課前自修

1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系位置關(guān)系相離相切相交橢

圓方程觀點(diǎn)Δ

?0Δ

?0Δ

?0幾何觀點(diǎn)沒(méi)有交點(diǎn)有一個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)交點(diǎn)雙

曲

線方程觀點(diǎn)二次方程Δ

?0Δ

?0Δ

?0一次方程方程無(wú)解方程有解幾何觀點(diǎn)沒(méi)有交點(diǎn)有一個(gè)交點(diǎn)，且

直線與雙曲線的

漸近線不平行有兩個(gè)交點(diǎn)，或直線與雙曲線的漸近線平行＜

＝

＞

＜

＝

＞

位置關(guān)系相離相切相交拋物

線方程觀點(diǎn)二次方程Δ

?0Δ

?0Δ

?0一次方程方程有解幾何觀點(diǎn)沒(méi)有交點(diǎn)有一個(gè)交點(diǎn)，且

直線與拋物線的

對(duì)稱(chēng)軸不平行

（重合）有兩個(gè)交點(diǎn)，

或直線與拋物

線的對(duì)稱(chēng)軸平

行（重合）＜

＝

＞

2.

直線與圓錐曲線相交弦已知A（x1，y1），B（x2，y2），直線AB的斜率為k（k≠0）.

＝

?.

（2）直線與圓錐曲線相交的中點(diǎn)弦問(wèn)題包括的類(lèi)型①已知圓錐曲線內(nèi)一點(diǎn)P，求過(guò)定點(diǎn)P且以P為中點(diǎn)的弦所在直線的方

程；②利用已知條件求弦的中點(diǎn)；③求線段的垂直平分線方程；④對(duì)

稱(chēng)問(wèn)題.

1.

判斷正誤.（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）

（2）直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則該直線與拋物線相切.

（

×

）（3）與雙曲線漸近線平行的直線一定與雙曲線有公共點(diǎn).

（

√

）（4）圓錐曲線的通徑是所有的焦點(diǎn)弦中最短的弦.

（

√

）√×√√

√3.

（人A選一P136練習(xí)3題改編）已知直線l：y＝x－1與拋物線y2＝4x交

于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)是（

）A.2B.4C.8D.16

√

√

PART02考點(diǎn)·分類(lèi)突破精選考點(diǎn)|課堂演練

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（師生共研過(guò)關(guān)）

（1）已知拋物線方程為y2＝4x，過(guò)點(diǎn)P（0，2）的直線與拋物線只

有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線有（

D

）A.0條B.1條C.2條D.3條D

解題技法1.

直線與圓錐曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)的判定：通常的方法是直線與圓錐

曲線方程聯(lián)立消元后得到一元二次方程，其中Δ＞0；另一方面就是數(shù)形結(jié)

合，如直線與雙曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，可通過(guò)判定直線的斜率與雙曲

線漸近線的斜率的大小得到.2.

直線與圓錐曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，若直線與橢圓（圓）必相切；若直線

與雙曲線（拋物線）有兩種可能情況（相切或相交）.

A.

（1，4]B.

[1，4）C.

[1，4）∪（4，＋∞）D.

（4，＋∞）√

2.

若曲線y2＝｜x｜＋1與直線y＝kx＋b沒(méi)有公共點(diǎn)，則k，b分別應(yīng)滿(mǎn)

足的條件是

?.

k＝0，｜b｜＜1法二如圖所示，當(dāng)x≥0時(shí)，曲線為y2＝x＋1；當(dāng)x＜0時(shí)，曲線為y2＝－x

＋1.當(dāng)k＝0時(shí)，y＝b，－1＜b＜1時(shí)無(wú)公共點(diǎn)；當(dāng)k≠0時(shí)，有公共

點(diǎn).∴k＝0，｜b｜＜1.弦長(zhǎng)問(wèn)題（師生共研過(guò)關(guān)）

（2025·寶雞模擬）已知點(diǎn)B是圓C：（x－1）2＋y2＝16上的任意一

點(diǎn)，點(diǎn)F（－1，0），線段BF的垂直平分線交BC于點(diǎn)P.

（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；

解題技法1.

弦長(zhǎng)的求解方法（1）當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解；

2.

注意兩種特殊情況：（1）直線與橢圓的對(duì)稱(chēng)軸平行或垂直；（2）直線

過(guò)橢圓的焦點(diǎn).

3

中點(diǎn)弦問(wèn)題（師生共研過(guò)關(guān)）

解：設(shè)直線2x－y＋9＝0與橢圓相交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，

弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是M（－4，1），則x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，

解題技法中點(diǎn)弦問(wèn)題常用的求解方法

（2）根與系數(shù)的關(guān)系：即聯(lián)立直線與橢圓的方程得到方程組，化為一元

二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解.

y＝4x－72.

已知m∈R，在拋物線y2＝4x上存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線y＝x＋m

對(duì)稱(chēng)，則m的取值范圍是

?.

（－∞，－3）PART03課時(shí)·跟蹤檢測(cè)關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

12345678910111213141516171819202022232425

A.

相交B.

相切C.

相離D.

不確定

√2.

直線l過(guò)拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，

若使｜AB｜＝2的直線l有且僅有1條，則p＝（

）C.1D.2

√

A.

－2B.

－1C.1D.2

√4.

已知點(diǎn)F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0），直線l：y＝x＋2.若以F1，F(xiàn)2為

焦點(diǎn)的橢圓C與直線l有公共點(diǎn)，則橢圓C的離心率的最大值為（

）

√

C.1D.2√

B.

｜AB｜的最小值為2a√√√

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

A.1C.2√

A.

b＜a＋1C.

b