數(shù)列目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】“函數(shù)型”裂項(xiàng)求和：基礎(chǔ)型 5【題型二】“函數(shù)型”裂項(xiàng)求和：指數(shù)函數(shù)型 7【題型三】“函數(shù)型”裂項(xiàng)求和：等差裂和型 9【題型四】“函數(shù)型”裂項(xiàng)求和：指數(shù)型裂和 10【題型五】“函數(shù)型”裂項(xiàng)求和：同構(gòu)仿寫型 11【題型六】“函數(shù)型”裂項(xiàng)求和：三角函數(shù)裂項(xiàng)型 12【題型七】遞推公式：分式型不動(dòng)點(diǎn) 13【題型八】插入數(shù)型 14【題型九】數(shù)列跳項(xiàng)型 16【題型十】證明數(shù)列不等式 17【題型十一】新結(jié)構(gòu)第19題型：差分密碼型 18題型方法梳理求通項(xiàng)（1）an（2）an（3）Sn=fan（4）an（5）an（6）an（7）an（8）an（9）an（10）an（11）an（12）an（13）an（14）an（15）an二、隔項(xiàng)問(wèn)題在數(shù)列問(wèn)題中，若涉及到以下幾種情況，往往要分n為奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論：（1）通項(xiàng)公式（2）（3）（4）遞推式中含有結(jié)構(gòu)三、求和（1）分組求和法（2）絕對(duì)值求和（3）奇偶并項(xiàng)法（4）倒序相加法（5）裂項(xiàng)相消法（下節(jié)講解）錯(cuò)位相減法：S四、常規(guī)裂項(xiàng)（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）五、常見(jiàn)放縮

（1）括號(hào)內(nèi)放縮

①1n?②2n(（2）括號(hào)外放縮

①1

②1(2n?1③2(n+1④13（3）二項(xiàng)式定理

①由于2n?1=(1+1)n?1=(②2n>2n+1(n?3),（4）糖水不等式

若b>a>0,m>0,則a+mb+m>ab;若b>a>m>0解釋:b克不飽和糖水里含有a克糖,再往糖水里加入m克糖,則糖水變甜.

如：13【題型一】“函數(shù)型”裂項(xiàng)求和：基礎(chǔ)型基礎(chǔ)原理：，如：；基本題型：①；②；注意（避免掉坑）①分母分解因式：；②系數(shù)不相同就提系數(shù)：；③求和化簡(jiǎn)時(shí)，要寫到“前三后二”，并且一定要強(qiáng)調(diào)每項(xiàng)加括號(hào)，這樣容易觀察剩余的時(shí)首尾項(xiàng)（或正負(fù)項(xiàng)）對(duì)應(yīng).(1)；（2）；（3）；（4）；分式型分子裂差法形如型，如果，則可以分子裂差：1.（22·23·龍巖·二模）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差，前項(xiàng)和為，且為常數(shù)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，證明：．2.（22·23·秦皇島·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為等差數(shù)列，且公差，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和；(2)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.3.（2024下·福建·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和，求滿足的正整數(shù)n的集合．【題型二】“函數(shù)型”裂項(xiàng)求和：指數(shù)函數(shù)型指數(shù)裂項(xiàng)法形如型，如果，則可以分子裂差：1.（2023·廣西玉林·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．(1)證明：當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．2.（2023上·海南海口·高三?？茧A段練習(xí)）在數(shù)列和中，，且是和的等差中項(xiàng).(1)設(shè)，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若的前n項(xiàng)和為，求證：.3.（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【題型三】“函數(shù)型”裂項(xiàng)求和：等差裂和型正負(fù)型：等差裂和型形如型，如果，則可以分子裂差：1.（2023·河北唐山·三模）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.2.（2023·江蘇鎮(zhèn)江·二模）已知數(shù)列滿足：.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.3.（2023·湖南永州·三模）記正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積為，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【題型四】“函數(shù)型”裂項(xiàng)求和：指數(shù)型裂和正負(fù)型：指數(shù)裂和型形如型，如果，則可以分子裂和：1.（23·24上·湖北·期中）已知為等比數(shù)列，且，成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)為遞增數(shù)列時(shí)，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在，求的取值范圍.2.（23·24上·黔東南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，.(1)證明：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)令，求的前n項(xiàng)和.3.（22·23高二下·黑龍江哈爾濱·期中）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在，使，求的取值范圍.【題型五】“函數(shù)型”裂項(xiàng)求和：同構(gòu)仿寫型仿寫規(guī)律：①（可通分反解）；②（可通分反解）1.（23·24上·甘南·期中）在數(shù)列中，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，若的前項(xiàng)和為，證明：.2.（23·24上·合肥·階段練習(xí)）在數(shù)和之間插入個(gè)實(shí)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個(gè)數(shù)的乘積記作，令.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.3.（23·24上·昆明·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【題型六】“函數(shù)型”裂項(xiàng)求和：三角函數(shù)裂項(xiàng)型常見(jiàn)的三角函數(shù)裂項(xiàng)：1.正切型裂項(xiàng)：若（特殊角），則，；2.正余弦和與差公式應(yīng)用裂項(xiàng)型：1.（2023·山東威海·二模）已知2n＋2個(gè)數(shù)排列構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，其中第1個(gè)數(shù)為1，第2n＋2個(gè)數(shù)為8，設(shè)．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和．2.（22·23高三上·山東濟(jì)寧·期中）已知，拋物線與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，在點(diǎn)A處的切線在y軸上的截距為(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．3.（22·23上·蕪湖·期末）已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，．且(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，已知數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)的和【題型七】遞推公式：分式型不動(dòng)點(diǎn)已知分式一次型數(shù)列遞推關(guān)系求通項(xiàng)的問(wèn)題解法：法一，化歸法.當(dāng)時(shí)，遞推關(guān)系兩邊取倒數(shù)，再裂項(xiàng)構(gòu)造即可；當(dāng)時(shí)，為了保持取倒數(shù)后分母一致性，通?？梢粤?，可由解得的值，即可得到構(gòu)造方向，通過(guò)這樣的轉(zhuǎn)化將問(wèn)題又化歸為的情形再求解.法二，特征根法求解.先構(gòu)造特征方程，解方程得根，若，則為等比數(shù)列；若，則為等差數(shù)列.1.（22-23高三·河南·階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)證明：．2.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在數(shù)列中，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.3.（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對(duì)于且求的通項(xiàng)公式.【題型八】插入數(shù)型插入數(shù)型1.插入數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，可通過(guò)構(gòu)造新數(shù)列來(lái)求解個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，公差記為，所以：2.插入數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列在和之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，可通過(guò)構(gòu)造新數(shù)列來(lái)求解個(gè)數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，公差記為，所以：3.插入數(shù)混合型混合型插入數(shù)列，其突破口在于：在插入這些數(shù)中，數(shù)列提供了多少項(xiàng)，其余都是插入進(jìn)來(lái)的。1.（2024·全國(guó)·武鋼三中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，且數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，將中的項(xiàng)按原有順序依次插入到數(shù)列中，使與之間插入2項(xiàng)，形成新數(shù)列，求此新數(shù)列前面20項(xiàng)的和.2.（2023·上海虹口·華東師范大學(xué)第一附屬中學(xué)?？既＃┤魯?shù)列滿足（n為正整數(shù)，p為常數(shù)），則稱數(shù)列為等方差數(shù)列，p為公方差．(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式分別為判斷上述兩個(gè)數(shù)列是否為等方差數(shù)列，并說(shuō)明理由；(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公方差為2的等方差數(shù)列，數(shù)列滿足，且，求正整數(shù)m的值；(3)在（1）?（2）的條件下，若在與之間依次插入數(shù)列中的項(xiàng)構(gòu)成新數(shù)列，，求數(shù)列中前50項(xiàng)的和．3.（·江蘇南京南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？迹┰O(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為；數(shù)列滿足（，）．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）①試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；②在①結(jié)論下，若對(duì)每個(gè)正整數(shù)，在與之間插入個(gè)2，符到一個(gè)數(shù)列．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，試求滿足的所有正整數(shù)．【題型九】數(shù)列跳項(xiàng)型1.（湖北省黃岡中學(xué)第三次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列.已知，，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.2.（寧夏銀川一中2023屆高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)（文）試題）.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)選取數(shù)列的第項(xiàng)構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列，求的前項(xiàng)和．【題型十】證明數(shù)列不等式數(shù)列與不等式問(wèn)題要抓住一個(gè)中心——函數(shù)，兩個(gè)密切聯(lián)系：一是數(shù)列和函數(shù)之間的密切聯(lián)系，數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列問(wèn)題的核心，函數(shù)的解析式是研究函數(shù)問(wèn)題的基礎(chǔ)；二是方程、不等式與函數(shù)的聯(lián)系，利用它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行靈活的處理．?dāng)?shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題一般是利用函數(shù)作為背景，給出數(shù)列所滿足的條件，通常利用點(diǎn)在曲線上給出Sn的表達(dá)式，還有以曲線上的切點(diǎn)為背景的問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵在于利用數(shù)列與函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將條件進(jìn)行準(zhǔn)確的轉(zhuǎn)化．?dāng)?shù)列與不等式的綜合問(wèn)題一般以數(shù)列為載體，考查最值問(wèn)題，不等關(guān)系或恒成立問(wèn)題．解決數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題要注意以下幾點(diǎn)：(1)數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，函數(shù)定義域是正整數(shù)，在求數(shù)列最值或不等關(guān)系時(shí)要特別重視；(2)解題時(shí)準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)注意限制條件；(3)不等關(guān)系證明中進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s．1.（2024上·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校?shù)列的前n項(xiàng)和，已知，，k為常數(shù).(1)求常數(shù)k和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：2.（2023上·黑龍江大慶·高三?？茧A段練習(xí)）為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明.3.設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：，其中為正整數(shù).【題型十一】新結(jié)構(gòu)第19題型：差分密碼型關(guān)于新定義問(wèn)題的常見(jiàn)思路為：（1）理解新定義，明確新定義中的條件、原理、方法與結(jié)論等；（2）新定義問(wèn)題要與平時(shí)所學(xué)知識(shí)相結(jié)合運(yùn)用；（3）對(duì)于不等式恒成立問(wèn)題要結(jié)合均值不等式進(jìn)行求解最值，把握好分類討論的時(shí)機(jī).1.（2024·貴州·三模）差分密碼分析（DifferentialCryptanalysis）是一種密碼分析方法，旨在通過(guò)觀察密碼算法在不同輸入差分下產(chǎn)生的輸出差分，來(lái)推斷出密碼算法的密鑰信息.對(duì)于數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中；規(guī)定為的二階差分?jǐn)?shù)列，其中.如果的一階差分?jǐn)?shù)列滿足，則稱是“絕對(duì)差異數(shù)列”；如果的二階差分?jǐn)?shù)列滿足，則稱是“累差不變數(shù)列”.(1)設(shè)數(shù)列，判斷數(shù)列是否為“絕對(duì)差異數(shù)列”或“累差不變數(shù)列”，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別判斷是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列為“累差不變數(shù)列”，其前項(xiàng)和為，且對(duì)，都有，對(duì)滿足的任意正整數(shù)都有，且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.2.（2024·遼寧葫蘆島·一模）大數(shù)據(jù)環(huán)境下數(shù)據(jù)量積累巨大并且結(jié)構(gòu)復(fù)雜，要想分析出海量數(shù)據(jù)所蘊(yùn)含的價(jià)值，數(shù)據(jù)篩選在整個(gè)數(shù)據(jù)處理流程中處于至關(guān)重要的地位，合適的算法就會(huì)起到事半功倍的效果．現(xiàn)有一個(gè)“數(shù)據(jù)漏斗”軟件，其功能為；通過(guò)操作刪去一個(gè)無(wú)窮非減正整數(shù)數(shù)列中除以M余數(shù)為N的項(xiàng)，并將剩下的項(xiàng)按原來(lái)的位置排好形成一個(gè)新的無(wú)窮非減正整數(shù)數(shù)列．設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，，通過(guò)“數(shù)據(jù)漏斗”軟件對(duì)數(shù)列進(jìn)行操作后得到，設(shè)前n項(xiàng)和為．(1)求；(2)是否存在不同的實(shí)數(shù)，使得，，成等差數(shù)列？若存在，求出所有的；若不存在，說(shuō)明理由；(3)若，，對(duì)數(shù)列進(jìn)行操作得到，將數(shù)列中下標(biāo)除以4余數(shù)為0，1的項(xiàng)刪掉，剩下的項(xiàng)按從小到大排列后得到，再將的每一項(xiàng)都加上自身項(xiàng)數(shù)，最終得到，證明：每個(gè)