全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽2025年本科組賽題分析試卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______試題一某城市交通管理部門希望優(yōu)化城市核心區(qū)域的一條主要干道的信號燈配時(shí)方案，以緩解交通擁堵，提高通行效率。該干道包含兩個(gè)主要交叉口，且信號燈配時(shí)存在關(guān)聯(lián)性。管理部門收集了近期該干道在平峰時(shí)段和高峰時(shí)段的交通流量數(shù)據(jù)（車輛數(shù)量/小時(shí)），并考慮了行人和非機(jī)動車的通行需求以及特殊時(shí)段（如學(xué)校上下課、大型活動）的影響。請研究該干道的交通信號燈配時(shí)優(yōu)化問題。1.根據(jù)提供的（假設(shè)的）交通流量數(shù)據(jù)特征，建立能夠描述兩個(gè)交叉口信號燈配時(shí)關(guān)系的數(shù)學(xué)模型?？紤]信號燈周期、綠燈時(shí)間、黃燈時(shí)間、相位差等關(guān)鍵參數(shù)。2.設(shè)定優(yōu)化目標(biāo)，例如最小化平均車輛等待時(shí)間、最小化總延誤、最大化通行能力或平衡兩個(gè)交叉口的通行效率等。說明所選目標(biāo)的合理性與潛在矛盾。3.在所選優(yōu)化目標(biāo)下，推導(dǎo)或建立數(shù)學(xué)優(yōu)化模型。若涉及非線性、多目標(biāo)或約束條件復(fù)雜等問題，提出可行的求解思路或簡化方法。4.討論模型中關(guān)鍵參數(shù)（如信號周期、綠信比、相位差）的確定方法，以及如何根據(jù)實(shí)時(shí)交通流變化調(diào)整信號配時(shí)（即自適應(yīng)控制策略）。分析模型的有效性和局限性。試題二隨著互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的普及和共享經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，在線學(xué)習(xí)平臺和資源日益豐富。某教育機(jī)構(gòu)希望評估其在線課程平臺的用戶活躍度及其影響因素，并以此為基礎(chǔ)制定提升用戶粘性的策略。該機(jī)構(gòu)收集了平臺用戶的注冊數(shù)據(jù)、學(xué)習(xí)行為數(shù)據(jù)（如課程訪問次數(shù)、學(xué)習(xí)時(shí)長、完成率、互動次數(shù)）以及用戶屬性數(shù)據(jù)（如年齡、地域、職業(yè)、學(xué)習(xí)目標(biāo)等）。平臺運(yùn)營者關(guān)注如何通過優(yōu)化課程推薦、改進(jìn)互動機(jī)制、提供個(gè)性化服務(wù)等手段提高用戶的長期活躍度和學(xué)習(xí)效果。1.分析用戶活躍度的內(nèi)涵，并提出合適的量化指標(biāo)。利用（假設(shè)的）用戶行為數(shù)據(jù)，描述當(dāng)前平臺用戶活躍度的總體狀況和可能存在的群體差異。2.建立數(shù)學(xué)模型，分析影響用戶活躍度的關(guān)鍵因素?？梢圆捎媒y(tǒng)計(jì)模型、機(jī)器學(xué)習(xí)模型或其他合適的方法，識別重要的影響變量及其作用機(jī)制。例如，分析不同類型課程、互動頻率、用戶激勵(lì)機(jī)制對活躍度的影響。3.基于模型分析結(jié)果，設(shè)計(jì)至少兩種具體的策略來提升用戶活躍度。每種策略需明確其理論依據(jù)（與模型分析的聯(lián)系）、預(yù)期效果以及可量化的評估指標(biāo)。4.討論在模型構(gòu)建和策略設(shè)計(jì)中可能遇到的數(shù)據(jù)隱私、模型解釋性、技術(shù)實(shí)現(xiàn)成本等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)，并提出相應(yīng)的應(yīng)對思路。試題三全球氣候變化對農(nóng)業(yè)生產(chǎn)帶來顯著影響，極端天氣事件頻發(fā)增加了糧食生產(chǎn)的不穩(wěn)定性。某研究機(jī)構(gòu)關(guān)注某地區(qū)主要糧食作物的產(chǎn)量波動問題，并希望探索基于氣候數(shù)據(jù)和模型預(yù)測的產(chǎn)量風(fēng)險(xiǎn)評估與預(yù)測方法，為農(nóng)業(yè)規(guī)劃和政策制定提供支持。該機(jī)構(gòu)收集了該地區(qū)多年的歷史氣象數(shù)據(jù)（如溫度、降水、光照、極端天氣事件記錄）和對應(yīng)年份的糧食作物產(chǎn)量數(shù)據(jù)。同時(shí)，氣象部門提供了未來一段時(shí)間的氣候預(yù)測信息。1.分析歷史氣象數(shù)據(jù)與糧食作物產(chǎn)量之間的關(guān)系，識別影響產(chǎn)量的關(guān)鍵氣候因素及其作用模式?？紤]季節(jié)性、周期性以及極端事件的沖擊效應(yīng)。2.建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)測未來一段時(shí)間內(nèi)該地區(qū)糧食作物的潛在產(chǎn)量。模型可以基于統(tǒng)計(jì)方法、時(shí)間序列分析、農(nóng)學(xué)機(jī)理模型或機(jī)器學(xué)習(xí)等。說明模型選擇的理由和主要假設(shè)。3.在模型預(yù)測基礎(chǔ)上，評估未來產(chǎn)量可能面臨的風(fēng)險(xiǎn)，例如產(chǎn)量低于安全閾值的概率、產(chǎn)量波動的幅度等?？梢詷?gòu)建風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)或情景分析。4.結(jié)合預(yù)測結(jié)果和風(fēng)險(xiǎn)評估，提出一項(xiàng)具體的農(nóng)業(yè)建議或政策建議，以增強(qiáng)該地區(qū)糧食生產(chǎn)系統(tǒng)的韌性，降低氣候變化帶來的風(fēng)險(xiǎn)。闡述建議的依據(jù)和潛在效益。---試卷答案試題一1.模型建立：可采用交通信號控制中的相量模型（PhaseVectorModel）或元胞自動機(jī)模型（CellularAutomataModel）。相量模型通過定義信號燈周期（C）、綠燈時(shí)間（G）、黃燈時(shí)間（Y）、全紅時(shí)間（R）以及各相位對應(yīng)的時(shí)長和相位差（Δ）來描述信號配時(shí)。對于兩交叉口，建立模型需考慮它們的相位協(xié)調(diào)關(guān)系，如采用綠波帶（GreenWave）策略，通過設(shè)定相鄰交叉口的相位差，使車輛通過交叉口時(shí)能遇到更多的綠燈。數(shù)學(xué)上可以表示為：`C=Σ(Gi+Yi+Ri)`（其中i為相位序號，總相位數(shù)k滿足`k<=C`），以及相鄰交叉口間的相位差`Δij`（表示交叉口i的第j相位結(jié)束時(shí)刻與交叉口j的第j+1相位開始時(shí)刻的差）。2.優(yōu)化目標(biāo)與合理性：可選用最小化總車輛延誤（TotalVehicleDelay）或最小化平均等待時(shí)間（AverageWaitingTime）作為目標(biāo)。合理性在于延誤和等待時(shí)間是衡量交通效率的核心指標(biāo)，直接關(guān)系到出行體驗(yàn)和道路資源利用率。然而，最小化總延誤可能與最小化平均延誤目標(biāo)存在矛盾，且需平衡不同交叉口的延誤、行人和非機(jī)動車通行需求。3.優(yōu)化模型構(gòu)建與求解：以最小化總延誤為例，可建立線性規(guī)劃（LinearProgramming,LP）或整數(shù)規(guī)劃（IntegerProgramming,IP）模型。決策變量為各相位的綠燈時(shí)間（Gi）和信號周期（C）。目標(biāo)函數(shù)為所有車輛延誤之和（可基于BPR延誤函數(shù)`Delay=V/C*(1+α(V/C)^4)`計(jì)算）。約束條件包括：各相位綠燈時(shí)間非負(fù)且和小于周期；信號周期滿足最小/最大值要求；相鄰交叉口相位差滿足協(xié)調(diào)要求（如`Δij`在合理范圍內(nèi)）；可能存在的行人綠燈時(shí)間、特殊時(shí)段配時(shí)等硬性約束。求解可采用LP/IP求解器。若模型復(fù)雜，可考慮簡化方法，如啟發(fā)式算法（如遺傳算法、模擬退火）或基于規(guī)則的經(jīng)驗(yàn)配時(shí)法。4.參數(shù)確定與自適應(yīng)控制：信號周期通常根據(jù)干道總交通量（或關(guān)鍵交叉口流量）估算，可采用固定周期或可變周期。綠信比可基于最大通行能力公式（如飽和流率）和實(shí)際流量計(jì)算。相位差可通過協(xié)調(diào)兩交叉口的關(guān)鍵車輛（如跟隨車隊(duì)）到達(dá)時(shí)刻來確定。自適應(yīng)控制策略的核心是實(shí)時(shí)監(jiān)測交通流（如通過感應(yīng)線圈、攝像頭），動態(tài)調(diào)整綠燈時(shí)間和相位差，常見算法有自適應(yīng)控制系統(tǒng)（如SCOOT、SCATS），通過優(yōu)化算法實(shí)時(shí)計(jì)算最優(yōu)配時(shí)方案。模型局限性在于：基礎(chǔ)數(shù)據(jù)（流量、飽和度）的準(zhǔn)確性；模型未能完全捕捉所有隨機(jī)性（如走走停停）；計(jì)算復(fù)雜度可能導(dǎo)致實(shí)時(shí)響應(yīng)延遲。試題二1.活躍度指標(biāo)與描述：用戶活躍度可量化為月活躍用戶數(shù)（MAU）/總注冊用戶數(shù)（TAU）（用戶參與度）、人均日/周登錄次數(shù)（訪問頻率）、人均學(xué)習(xí)時(shí)長（投入深度）、課程完成率（學(xué)習(xí)效果）。通過（假設(shè)的）數(shù)據(jù)分析，描述發(fā)現(xiàn)如：高完成率用戶通常登錄頻繁且學(xué)習(xí)時(shí)長較長；不同用戶群體（如按地域、職業(yè)）活躍度存在差異；特定類型課程（如技能類）更能吸引高頻活躍用戶。2.模型分析與因素識別：可采用邏輯回歸/決策樹分析用戶屬性與活躍度（分類：活躍/非活躍）的關(guān)系，采用線性回歸/嶺回歸分析行為特征與活躍度指標(biāo)（連續(xù)值）的關(guān)系。模型可能揭示關(guān)鍵因素：如用戶學(xué)習(xí)目標(biāo)明確性與活躍度正相關(guān)；課程內(nèi)容質(zhì)量（評價(jià)、反饋）是重要驅(qū)動因素；社交互動功能（討論區(qū)活躍度、組隊(duì)學(xué)習(xí)）能顯著提升粘性；個(gè)性化推薦準(zhǔn)確度影響用戶發(fā)現(xiàn)優(yōu)質(zhì)內(nèi)容的能力。3.提升策略設(shè)計(jì)：*策略一：個(gè)性化內(nèi)容推薦優(yōu)化。依據(jù)用戶歷史行為（學(xué)習(xí)記錄、評價(jià)、興趣標(biāo)簽）和模型分析結(jié)果，利用協(xié)同過濾、內(nèi)容推薦算法，為用戶精準(zhǔn)推送可能感興趣的課程、文章或?qū)W習(xí)路徑。預(yù)期效果：提高用戶學(xué)習(xí)效率和滿意度，增加訪問頻率和時(shí)長。評估指標(biāo)：推薦點(diǎn)擊率、用戶后續(xù)學(xué)習(xí)行為轉(zhuǎn)化率、滿意度調(diào)研得分。*策略二：增強(qiáng)社區(qū)互動與引導(dǎo)。建立或優(yōu)化在線學(xué)習(xí)社區(qū)，增加討論主題引導(dǎo)、專家/高活躍度用戶分享、學(xué)習(xí)小組匹配、積分獎(jiǎng)勵(lì)互動機(jī)制。預(yù)期效果：提升用戶歸屬感和參與感，延長使用時(shí)長，形成良好學(xué)習(xí)氛圍。評估指標(biāo)：社區(qū)發(fā)帖/互動量、用戶參與度、NPS（凈推薦值）得分。4.現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)與應(yīng)對：挑戰(zhàn)包括：用戶行為數(shù)據(jù)的隱私保護(hù)（應(yīng)對：采用數(shù)據(jù)脫敏、匿名化處理技術(shù)，遵守相關(guān)法規(guī)）；推薦模型的“過濾氣泡”風(fēng)險(xiǎn)和可解釋性不足（應(yīng)對：引入多樣性推薦機(jī)制，向用戶解釋推薦邏輯）；互動功能增加可能帶來的維護(hù)成本和信息過載（應(yīng)對：設(shè)計(jì)簡潔易用的界面，智能篩選/分類信息）；技術(shù)實(shí)現(xiàn)需投入資源（應(yīng)對：分階段實(shí)施，優(yōu)先投入高回報(bào)項(xiàng)目）。需平衡技術(shù)創(chuàng)新與實(shí)際應(yīng)用成本。試題三1.關(guān)系分析與關(guān)鍵因素：通過散點(diǎn)圖、相關(guān)性分析、時(shí)間序列分析等方法，識別溫度、降水（尤其是極端降水/干旱）、積溫、日照時(shí)數(shù)等氣候因素與作物產(chǎn)量（如單位面積公斤數(shù)）的關(guān)聯(lián)。關(guān)鍵因素可能因作物種類和生長階段而異，例如，高溫干旱對夏季作物的減產(chǎn)影響顯著；適宜降水和溫度窗口期的積溫累積對總產(chǎn)量至關(guān)重要；極端天氣事件（如冰雹、洪澇）可能造成毀滅性打擊。需考慮滯后效應(yīng)（如干旱發(fā)生在開花期對產(chǎn)量的影響）和交互效應(yīng)（如高溫疊加干旱的疊加效應(yīng)）。2.產(chǎn)量預(yù)測模型構(gòu)建：可選用支持向量回歸（SVR）處理非線性關(guān)系；隨機(jī)森林（RandomForest）處理高維數(shù)據(jù)和交互效應(yīng)；或基于作物生長模型（如Penman-Monteith蒸散量模型、作物產(chǎn)量響應(yīng)函數(shù)模型）結(jié)合氣象預(yù)測數(shù)據(jù)。模型選擇需考慮數(shù)據(jù)量、變量復(fù)雜性、預(yù)測精度要求和計(jì)算資源。主要假設(shè)包括：歷史氣象條件能代表未來氣候趨勢（或預(yù)測數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性）；作物品種、種植技術(shù)、管理水平相對穩(wěn)定；氣候因素是產(chǎn)量的主要驅(qū)動因素。3.風(fēng)險(xiǎn)評估：在模型預(yù)測基礎(chǔ)上，可計(jì)算未來幾年產(chǎn)量低于特定閾值（如歷史平均產(chǎn)量、安全庫存需求量）的概率（若模型輸出概率分布）；或計(jì)算產(chǎn)量的預(yù)期波動范圍（如均值±2倍標(biāo)準(zhǔn)差）。也可進(jìn)行情景分析，比較不同氣候預(yù)測情景（如RCPs）下的產(chǎn)量變化范圍和風(fēng)險(xiǎn)水平。風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)可以是產(chǎn)量變異系數(shù)、絕對減產(chǎn)概率等