北京市東城區(qū)2026屆數學九上期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有實根，則m的值可能是（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣12．如圖，正方形中，點、分別在邊，上，與交于點.若，，則的長為（）A． B． C． D．3．在同一坐標系內，一次函數與二次函數的圖象可能是A． B． C． D．4．下列說法正確的是（）A．任意擲一枚質地均勻的硬幣10次，一定有5次正面向上B．通過拋擲一枚均勻的硬幣確定誰先發(fā)球的比賽規(guī)則是不公平的C．“367人中至少有2人生日相同”是必然事件D．四張分別畫有等邊三角形、平行四邊形、菱形、圓的卡片，從中隨機抽取一張，恰好抽到中心對稱圖形的概率是．5．在Rt△ABC中，，如果∠A=，，那么線段AC的長可表示為（）．A．； B．； C．； D．．6．如圖，BD是菱形ABCD的對角線，CE⊥AB交于點E，交BD于點F，且點E是AB中點，則tan∠BFE的值是（）A． B．2 C． D．7．直徑為1個單位長度的圓上有一點A與數軸上表示1的點重合，圓沿著數軸向左滾動一周，點A與數軸上的點B重合，則B表示的實數是（）A． B． C． D．8．若關于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+2x﹣1＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（）A．k≥0 B．k＞0且k≠1 C．k≤0且k≠﹣1 D．k＞09．下列說法不正確的是（）A．所有矩形都是相似的B．若線段a＝5cm，b＝2cm，則a：b＝5：2C．若線段AB＝cm，C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，則AC＝cmD．四條長度依次為lcm，2cm，2cm，4cm的線段是成比例線段10．如圖，所示的計算程序中，y與x之間的函數關系對應的圖象所在的象限是（）A．第一象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第一、四象限11．三角形的一條中位線將這個三角形分成的一個小三角形與原三角形的面積之比等于（）A．1： B．1：2 C．1：4 D．1：1.612．小華同學某體育項目7次測試成績如下（單位：分）：9，7，1，8，1，9，1．這組數據的中位數和眾數分別為（）A．8，1 B．1，9 C．8，9 D．9，1二、填空題（每題4分，共24分）13．記函數的圖像為圖形，函數的圖像為圖形，若N與沒有公共點，則的取值范圍是___________.14．數據2，3，5，5，4的眾數是____．15．已知二次函數y＝ax2＋bx＋c中，自變量x與函數y的部分對應值如下表：x…－2023…y…8003…當x＝－1時，y＝__________．16．已知方程的兩實數根的平方和為，則k的值為____．17．如圖，正方形ABCD中，P為AD上一點，BP⊥PE交BC的延長線于點E，若AB=6，AP=4，則CE的長為_____．18．如圖，⊙O是正方形ABCD的外接圓，點P在⊙O上，則∠APB等于．三、解答題（共78分）19．（8分）為了“創(chuàng)建文明城市，建設美麗臺州”，我市某社區(qū)將轄區(qū)內一塊不超過1000平方米的區(qū)域進行美化．經調查，美化面積為100平方米時，每平方米的費用為300元．每增加1平方米，每平方米的費用下降0.2元。設美化面積增加x平方米，美化所需總費用為y元．（1）求y與x的函數關系式；（2）當美化面積增加100平方米時，美化的總費用為多少元；（3）當美化面積增加多少平方米時，美化所需費用最高?最高費用是多少元?20．（8分）如圖所示，每個小方格都是邊長為1的正方形，以點為坐標原點建立平面直角坐標系四邊形的頂點的坐標為，頂點的坐標為，頂點的坐標為，請在圖中畫出四邊形關于原點.對稱的四邊形．21．（8分）解下列方程：（1）；（2）．22．（10分）如圖，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點P從點C出發(fā)以每秒1個單位長度的速度沿著CD在C點到D點間運動（當達D點后則停止運動），同時點Q從點D出發(fā)以每秒2個單位長度的速度沿著DA在D點到A點間運動（當達到A點后則停止運動）．設運動時間為t秒，則按下列要求解決有關的時間t．（1）△PQD的面積為5時，求出相應的時間t；（2）△PQD與△ABC可否相似，如能相似求出相應的時間t，如不能說明理由；（3）△PQD的面積可否為10，說明理由．23．（10分）如圖，學校操場旁立著一桿路燈（線段OP）．小明拿著一根長2m的竹竿去測量路燈的高度，他走到路燈旁的一個地點A豎起竹竿（線段AE），這時他量了一下竹竿的影長AC正好是1m，他沿著影子的方向走了4m到達點B，又豎起竹竿（線段BF），這時竹竿的影長BD正好是2m，請利用上述條件求出路燈的高度．24．（10分）為滿足社區(qū)居民健身的需要，市政府準備采購若干套健身器材免費提供給社區(qū)，經考察，勁松公司有A，B兩種型號的健身器材可供選擇．（1）勁松公司2015年每套A型健身器材的售價為2.5萬元，經過連續(xù)兩年降價，2017年每套售價為1.6萬元，求每套A型健身器材年平均下降率n；（2）2017年市政府經過招標，決定年內采購并安裝勁松公司A，B兩種型號的健身器材共80套，采購專項經費總計不超過112萬元，采購合同規(guī)定：每套A型健身器材售價為1.6萬元，每套B型健身器材售價為1.5（1﹣n）萬元．①A型健身器材最多可購買多少套？②安裝完成后，若每套A型和B型健身器材一年的養(yǎng)護費分別是購買價的5%和15%，市政府計劃支出10萬元進行養(yǎng)護，問該計劃支出能否滿足一年的養(yǎng)護需要？25．（12分）解方程：2x2+x﹣6＝1．26．如圖，直徑為AB的⊙O交的兩條直角邊BC，CD于點E，F，且，連接BF．（1）求證CD為⊙O的切線；（2）當CF=1且∠D=30°時，求⊙O的半徑．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【分析】根據題意可得，≥0，即可得出答案.【詳解】解：∵關于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有實根，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m）≥0，解得：m≥﹣1．故選D．本題考查的是一元二次方程的根的判別式，當時，有兩個不等實根；當時，有兩個相等實根；當時，沒有實數根.2、A【分析】根據正方形的性質以及勾股定理求得，證明，根據全等三角形的性質可得，繼而根據，可求得CG的長，進而根據即可求得答案.【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，，∴，，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，，∴，故選A.本題考查了正方形的性質，勾股定理，全等三角形的判定與性質，三角函數等知識，綜合性較強，熟練掌握和靈活運用相關知識是解題的關鍵.注意數形結合思想的運用.3、C【分析】x=0，求出兩個函數圖象在y軸上相交于同一點，再根據拋物線開口方向向上確定出a＞0，然后確定出一次函數圖象經過第一三象限，從而得解．【詳解】x=0時，兩個函數的函數值y=b，

所以，兩個函數圖象與y軸相交于同一點，故B、D選項錯誤；

由A、C選項可知，拋物線開口方向向上，

所以，a＞0，

所以，一次函數y=ax+b經過第一三象限，

所以，A選項錯誤，C選項正確．

故選C．4、C【分析】利用隨機事件和必然事件的定義對A、C進行判斷；利用比較兩事件的概率的大小判斷游戲的公平性對B進行判斷；利用中心對稱的性質和概率公式對D進行判斷．【詳解】A、任意擲一枚質地均勻的硬幣10次，可能有5次正面向上，所以A選項錯誤；B、通過拋擲一枚均勻的硬幣確定誰先發(fā)球的比賽規(guī)則是公平的，所以B選項錯誤；C、“367人中至少有2人生日相同”是必然事件，所以C選項正確；D、四張分別畫有等邊三角形、平行四邊形、菱形、圓的卡片，從中隨機抽取一張，恰好抽到中心對稱圖形的概率是，所以D選項錯誤．故選：C．本題考查了隨機事件以及概率公式和游戲公平性：判斷游戲公平性需要先計算每個事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．5、B【分析】根據余弦函數是鄰邊比斜邊，可得答案．【詳解】解：由題意，得，，故選：．本題考查了銳角三角函數的定義，利用余弦函數的定義是解題關鍵．6、D【分析】首先利用菱形的性質得出AB=BC，即可得出∠ABC=60°，再利用三角函數得出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵CE⊥AB，點E是AB中點，∴∠ABC=60°，∴∠EBF=30°，∴∠BFE=60°，

∴tan∠BFE=．故選：D此題考查菱形的性質，關鍵是根據含30°的直角三角形的性質和三角函數解答．7、C【分析】因為圓沿數軸向左滾動一周的長度是，再根據數軸的特點及的值即可解答．【詳解】解：直徑為1個單位長度的圓從原點沿數軸向左滾動一周，數軸上表示1的點與點B之間的距離為圓的周長，點B在數軸上表示1的點的左邊．點B對應的數是．故選：C．本題比較簡單，考查的是數軸的特點及圓的周長公式．圓的周長公式是：．8、B【解析】根據一元二次方程定義，首先要求的二次項系數不為零,再根據已知條件,方程有兩個不相等的實數根,令根的判別式大于零即可.【詳解】解:由題意得,解得,;且,即,解得.綜上所述,且.本題主要考查一元二次方程的定義和根的判別式,理解掌握定義,熟練運用根的判別式是解答關鍵.9、A【解析】根據相似多邊形的性質，矩形的性質，成比例線段，黃金分割判斷即可．【詳解】解：A.所有矩形對應邊的比不一定相等，所以不一定都是相似的，A不正確，符合題意；B.若線段a＝5cm，b＝2cm，則a：b＝5：2，B正確，不符合題意；C.若線段AB＝cm，C是線段AB的黃金分割點，且AC＞BC，則AC＝cm，C正確，不符合題意；D.∵1：2=2：4，∴四條長度依次為lcm，2cm，2cm，4cm的線段是成比例線段，D正確，不符合題意；故選：A．本題考查的是相似多邊形的性質，矩形的性質，成比例線段，黃金分割，掌握它們的概念和性質是解題的關鍵．10、C【分析】根據輸入程序，求得y與x之間的函數關系是y=-，由其性質判斷所在的象限．【詳解】解：x的倒數乘以-5為-，即y=-，則函數過第二、四象限，故選C．對于反比例函數y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函數圖象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函數圖象在第二、四象限內．11、C【分析】中位線將這個三角形分成的一個小三角形與原三角形相似，根據中位線定理，可得兩三角形的相似比，進而求得面積比．【詳解】根據三角形中位線性質可得，小三角形與原三角形相似比為1：2，則其面積比為：1：4，故選C．本題考查了三角形中位線的性質，比較簡單，關鍵是知道面積比等于相似比的平方．12、D【解析】試題分析：把這組數據從小到大排列：7，8，9，9，1，1，1，最中間的數是9，則中位數是9；1出現了3次，出現的次數最多，則眾數是1；故選D．考點：眾數；中位數．二、填空題（每題4分，共24分）13、或【分析】分兩種情況討論：①M在N的上方，因為拋物線開口向上，故只要函數與函數組成的方程組無解即可.②M在N的下方，因為拋物線開口向上，對稱軸為直線x=3，故只需考慮當x=-2和6時在直線的下方即可.【詳解】①M在N的上方，因為拋物線開口向上，故只要函數與函數組成的方程組無解即可.可得：整理得：∴②M在N的下方，因為拋物線開口向上，對稱軸為直線x=3，故只需考慮當x=-2和6時在直線的下方即可.當x=-2時，4+12-5a+3＜6，解得：當x=6時，36-36-5a+3＜-2，解得：a＞1故綜上所述：或本題考查的是二次函數與一次函數是交點問題，本題的關鍵在于二次函數的取值范圍，需考慮二次函數的開口方向.14、1【分析】由于眾數是一組數據中出現次數最多的數據，注意眾數可以不止一個，由此即可確定這組數據的眾數．【詳解】解：∵1是這組數據中出現次數最多的數據，∴這組數據的眾數為1．故答案為：1．本題屬于基礎題，考查了確定一組數據的眾數的能力，解題關鍵是要明確定義，讀懂題意．15、3【解析】試題解析：將點代入，得解得：二次函數的解析式為：當時，故答案為：16、3【分析】根據一元二次方程根與系數的關系，得出和的值，然后將平方和變形為和的形式，代入便可求得k的值．【詳解】∵，設方程的兩個解為則，∵兩實根的平方和為，即=∴解得：k=3或k=－11∵當k=－11時，一元二次方程的△＜0，不符，需要舍去故答案為：3本題考查根與系數的關系，注意在最后求解出2個值后，有一個值不符需要舍去．17、2【分析】利用同角的余角相等可得出∠ABP=∠DPF，結合∠A=∠D可得出△APB∽△DFP，利用相似三角形的性質可求出DF的長，進而可得出CF的長，由∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF可得出△PFD∽△EFC，再利用相似三角形的性質可求出CE的長．【詳解】∵四邊形ABCD為正方形，∴∠A=∠D=∠ECF=90°，AB=AD=CD=6，∴DP=AD﹣AP=1．∵BP⊥PE，∴∠BPE=90°，∴∠APB+∠DPF=90°．∵∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPF．又∵∠A=∠D，∴△APB∽△DFP，∴，即，∴DF=，∴CF=．∵∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF，∴△PFD∽△EFC，∴=，即，∴CE=2．故答案為：2．此題考查相似三角形判定與性質以及正方形的性質，利用相似三角形的判定定理，找出△APB∽△DFP及△PFD∽△EFC是解題的關鍵．18、45°【分析】連接AO、BO，先根據正方形的性質求得∠AOB的度數，再根據圓周角定理求解即可．【詳解】連接AO、BO∵⊙O是正方形ABCD的外接圓∴∠AOB＝90°∴∠APB＝45°．圓周角定理：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，均等于所對圓心角的一半．三、解答題（共78分）19、（1）；（2）當美化面積增加100平方米時，美化的總費用為56000元；（3）當美化面積增加700平方米時，費用最高，最高為128000元【分析】（1）設美化面積增加x平方米，所以美化面積為100+x;每平方米的費用為300元，每增加1平方米，每平方米的費用下降0.2元，所以每平方米的費用為（300-0.2x）元，故總費用y與美化面積增加x的關系式為再化簡即可；（2）把x=100代入解析式即可求解；（3）代入頂點坐標公式：當，y取最大值求解即可．【詳解】（1）依題意得：故y與x的函數關系式為：（2）令x=100代入，得y=56000.所以當當美化面積增加100平方米時，美化的總費用為56000元（3）因此當時，費用最高，最高為128000元本題主要考查二次函數的應用，解題關鍵在于理解題意列出二次函數的解析式，再利用二次函數的最值解決生活中的最值問題20、答案見解析．【分析】根據中心對稱的性質畫出四邊形即可.【詳解】如解圖所示，四邊形即為所求．本題考查的是作圖-旋轉變換，熟知中心對稱圖形性質是解答此題的關鍵．21、（1）；（2）【分析】（1）方程常數項移到右邊，兩邊加上一次項系數一半的平方，利用完全平方公式變形，開方即可求出解；（2）移項，提公因式，利用因式分解法即可求解．【詳解】（1），移項得：，配方得：，即，開平方得：，∴；（2）移項得：，

分解因式得：，∴或，∴．本題考查了解一元二次方程－配方法和因式分解法，能正確運用配方法和因式分解法解方程是解此題的關鍵．22、（1）t=1;（2）t=2.4或;（3）△PQD的面積不能為1，理由見解析．【分析】（1）△PQD的兩直角邊分別用含t的代數式表示，由△PQD的面積為5得到關于t的方程，由此可解得t的值；（2）設△PQD與相似△ABC，由圖形形狀考慮可知有兩種可能性，對兩種可能性分別給予討論可以求得答案；（3）與（1）類似，可以用含t的表達式表示△PQD的面積，令其等于1，由所得方程解的情況可以作出判斷．【詳解】因為四邊形ABCD是矩形，所以AB=CD=6，BC=AD=8，（1）S△PQD=解得：t1=1t2=5(舍去）（2）①當時△PDQ~△ABC即得t=2.4②當時△PQD?~△CBA即得;（3）△PQD的面積為1時，,此方程無實數根，即△PQD的面積不能為1．本題綜合考查三角形相似、面積計算與動點幾何問題，利用方程的思想方法解題是關鍵所在．23、1m高【分析】根據相似三角形的性質即可得到結論．【詳解】解：由于BF＝DB＝2m，即∠D＝45°，∴DP＝OP＝燈高．在△CEA與△COP中，∵AE⊥CP，OP⊥CP，∴AE∥OP．∴△CEA∽△COP，∴．設AP＝xm，OP＝hm，則，①，DP＝OP＝2+4+x＝h，②聯立①②兩式，解得x＝4，h＝1．∴路燈有1m高．本題考查了相似三角形的性質，熟練掌握相似三角形的性質是解題的關鍵．24、（1）20%；（2）①10；②不能．【解析】試題分析：（1）該每套A型健身器材年平均下降率n，則第一次降價后的單價是原價的（1﹣x），第二次降價后的單價是原價的（1﹣x）2，根據題意列方程解答即可．（2）①設A型健身器材可購買m套，則B型健身器材可購買（80﹣m）套，根據采購專項經費總計不超過112萬元列出不等式并解答；②設總的養(yǎng)護費用是y元，則根據題意列出函數y=1.6×5%m+1.5×（1﹣20%）×15%×（80﹣m）=﹣0.1m+11.1．結合函數圖象的性質進行解答即可．試題解析：（1）依題意得：2.5（1﹣n）2=1.6，則（1﹣n）2=0.61，所以1﹣n=±0.8，所以n1=0.2=20%，n2=1.8（不合題意，舍去）．答：每套A型健身器材年平均下降率n為20%；（2）①設A型健身器材可購買m套，則B型健身器材可購買（80﹣m）套，依題意得：1.6m+1.5