冀教版七年級數(shù)學(xué)應(yīng)用題綜合訓(xùn)練應(yīng)用題是數(shù)學(xué)學(xué)科與現(xiàn)實生活聯(lián)系最為緊密的部分，也是培養(yǎng)同學(xué)們邏輯思維能力、分析問題和解決問題能力的重要載體。七年級數(shù)學(xué)的應(yīng)用題，以一元一次方程的應(yīng)用為核心，涉及面廣，題型多樣。本綜合訓(xùn)練旨在幫助同學(xué)們梳理常見的應(yīng)用題類型，掌握解題思路與技巧，提升解題能力。一、一元一次方程應(yīng)用的核心步驟解任何應(yīng)用題，都離不開以下幾個關(guān)鍵環(huán)節(jié)，同學(xué)們務(wù)必牢記并靈活運用：1.審（審題）：仔細閱讀題目，理解題意，明確題目中的已知量、未知量以及它們之間的關(guān)系。找出題目中的“關(guān)鍵詞”和“關(guān)鍵句”，這往往是解題的突破口。2.設(shè)（設(shè)元）：根據(jù)題意，選擇一個適當(dāng)?shù)奈粗吭O(shè)為未知數(shù)。設(shè)元時要寫明單位，并思考是直接設(shè)元（問什么設(shè)什么）還是間接設(shè)元（設(shè)一個與所求量相關(guān)的便于表示其他量的量）。3.列（列方程）：根據(jù)題目中所蘊含的等量關(guān)系，列出含有未知數(shù)的等式（即方程）。這是解應(yīng)用題的核心步驟，找出正確的等量關(guān)系是關(guān)鍵。4.解（解方程）：運用等式的性質(zhì)或運算技巧，求出所列方程的解。注意解方程的步驟要規(guī)范。5.驗（檢驗）：檢驗所求得的解是否滿足原方程，更重要的是檢驗它是否符合實際問題的意義。避免出現(xiàn)“負數(shù)人數(shù)”、“負數(shù)長度”等不合常理的答案。6.答（作答）：根據(jù)檢驗的結(jié)果，寫出完整、簡潔的答案，并注明單位。溫馨提示：在整個過程中，“審”和“列”是最具挑戰(zhàn)性的。同學(xué)們要耐心細致，多思多想。二、常見題型分類與解題策略（一）行程問題行程問題是應(yīng)用題中的“大戶”，主要涉及三個基本量：路程（s）、速度（v）、時間（t）。它們之間的基本關(guān)系是：s=v×t。常見的行程問題類型：1.相遇問題：核心等量關(guān)系是“甲路程+乙路程=總路程”或“速度和×相遇時間=總路程”。2.追及問題：*同地不同時出發(fā)：前者路程=后者路程。*同時不同地出發(fā)（同向而行）：快者路程-慢者路程=初始距離或“速度差×追及時間=初始距離”。3.航行問題（或飛行問題）：*順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度+水（風(fēng)）速*逆水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度-水（風(fēng)）速4.環(huán)形跑道問題：類似于相遇與追及，注意區(qū)分同向而行和反向而行。典型例題與解析：例1：A、B兩地相距300千米，甲車從A地出發(fā)前往B地，每小時行駛60千米。甲車出發(fā)1小時后，乙車從B地出發(fā)前往A地，每小時行駛40千米。乙車出發(fā)后幾小時與甲車相遇？分析：甲車先出發(fā)1小時，行駛了60×1=60千米，此時甲乙兩車相距300-60=240千米。之后甲乙兩車相向而行，它們的速度和為60+40=100千米/小時。設(shè)乙車出發(fā)后x小時相遇，這段時間內(nèi)甲行駛60x千米，乙行駛40x千米，兩者路程之和為240千米。解：設(shè)乙車出發(fā)后x小時與甲車相遇。根據(jù)題意，得：60(x+1)+40x=300解這個方程：60x+60+40x=300100x=240x=2.4答：乙車出發(fā)后2.4小時與甲車相遇。變式訓(xùn)練：小明和小紅在400米的環(huán)形跑道上練習(xí)跑步，小明每秒跑6米，小紅每秒跑4米。若兩人同時同地反向出發(fā)，經(jīng)過多少秒兩人首次相遇？（二）工程問題工程問題主要研究工作總量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。基本關(guān)系式為：工作總量=工作效率×工作時間。通常將工作總量看作單位“1”（當(dāng)工作總量不具體時），工作效率則是單位時間內(nèi)完成的工作量。常見等量關(guān)系：*各部分工作量之和=總工作量（通常為1）*甲的工作效率+乙的工作效率=合作工作效率典型例題與解析：例2：一項工程，甲單獨做需要10天完成，乙單獨做需要15天完成。兩人合作，幾天可以完成這項工程的一半？分析：將這項工程的工作總量看作單位“1”。甲的工作效率是1/10（每天完成1/10），乙的工作效率是1/15。設(shè)兩人合作x天完成工程的一半（即1/2）。則甲x天完成x/10，乙x天完成x/15，兩者相加等于1/2。解：設(shè)兩人合作x天可以完成這項工程的一半。根據(jù)題意，得：(1/10)x+(1/15)x=1/2解這個方程：通分，兩邊同時乘以30得3x+2x=155x=15x=3答：兩人合作3天可以完成這項工程的一半。變式訓(xùn)練：一個蓄水池有甲、乙兩個進水管，單獨開甲管注滿水池需12小時，單獨開乙管注滿水池需18小時。若兩管同時打開，多少小時可以注滿水池的2/3？（三）利潤問題（經(jīng)濟問題）利潤問題在生活中應(yīng)用廣泛，涉及成本（進價）、售價、利潤、利潤率、折扣等概念。核心關(guān)系式：*利潤=售價-成本（進價）*利潤率=利潤/成本×100%*售價=成本×(1+利潤率)或售價=標(biāo)價×折扣（折扣為百分?jǐn)?shù)，如八折即80%）典型例題與解析：例3：某商店將一件商品按進價提高50%后標(biāo)價，再打八折銷售，售價為240元。這件商品的進價是多少元？分析：設(shè)這件商品的進價為x元。按進價提高50%后的標(biāo)價為x(1+50%)，再打八折銷售，售價即為標(biāo)價的80%，可表示為x(1+50%)×80%。已知售價為240元，由此可列方程。解：設(shè)這件商品的進價是x元。根據(jù)題意，得：x(1+50%)×80%=240化簡：x×1.5×0.8=240x×1.2=240x=200答：這件商品的進價是200元。變式訓(xùn)練：某商品的進價為每件100元，按標(biāo)價的八折銷售時，利潤率為20%。求該商品的標(biāo)價。（四）利潤問題（經(jīng)濟問題）利潤問題在生活中應(yīng)用廣泛，涉及成本（進價）、售價、利潤、利潤率、折扣等概念。核心關(guān)系式：*利潤=售價-成本（進價）*利潤率=利潤/成本×100%*售價=成本×(1+利潤率)或售價=標(biāo)價×折扣（折扣為百分?jǐn)?shù)，如八折即80%）典型例題與解析：例3：某商店將一件商品按進價提高50%后標(biāo)價，再打八折銷售，售價為240元。這件商品的進價是多少元？分析：設(shè)這件商品的進價為x元。按進價提高50%后的標(biāo)價為x(1+50%)，再打八折銷售，售價即為標(biāo)價的80%，可表示為x(1+50%)×80%。已知售價為240元，由此可列方程。解：設(shè)這件商品的進價是x元。根據(jù)題意，得：x(1+50%)×80%=240化簡：x×1.5×0.8=240x×1.2=240x=200答：這件商品的進價是200元。變式訓(xùn)練：某商品的進價為每件100元，按標(biāo)價的八折銷售時，利潤率為20%。求該商品的標(biāo)價。（五）數(shù)字問題數(shù)字問題涉及整數(shù)的各位數(shù)字之間的關(guān)系。解答這類問題，要明確數(shù)字的表示方法。例如：*一個兩位數(shù)，個位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，則這個兩位數(shù)可表示為：10b+a。*一個三位數(shù)，百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字是c，則這個三位數(shù)可表示為：100a+10b+c。常見等量關(guān)系：根據(jù)題目中給出的數(shù)字間的倍數(shù)關(guān)系、和差關(guān)系等列方程。典型例題與解析：例4：一個兩位數(shù)，十位數(shù)字與個位數(shù)字的和是7。如果把這個兩位數(shù)的十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào)，得到的新兩位數(shù)比原兩位數(shù)大9，求原兩位數(shù)。分析：設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，則個位數(shù)字為7-x。原兩位數(shù)可表示為10x+(7-x)=9x+7。對調(diào)后的新兩位數(shù)，十位數(shù)字為7-x，個位數(shù)字為x，可表示為10(7-x)+x=70-9x。根據(jù)“新兩位數(shù)比原兩位數(shù)大9”列方程。解：設(shè)原兩位數(shù)的十位數(shù)字為x，則個位數(shù)字為7-x。根據(jù)題意，得：[10(7-x)+x]-[10x+(7-x)]=9化簡：(70-10x+x)-(10x+7-x)=9(70-9x)-(9x+7)=970-9x-9x-7=963-18x=9-18x=-54x=3個位數(shù)字為：7-x=4原兩位數(shù)為：10×3+4=34答：原兩位數(shù)是34。變式訓(xùn)練：一個三位數(shù)，三個數(shù)位上的數(shù)字之和是15，百位數(shù)字比十位數(shù)字大5，個位數(shù)字是十位數(shù)字的3倍，求這個三位數(shù)。（六）調(diào)配問題（或分配問題）調(diào)配問題主要研究人員或物資從一處轉(zhuǎn)移到另一處，以達到新的分配狀態(tài)的問題。關(guān)鍵在于分析調(diào)配前后各部分量的變化情況，找出等量關(guān)系。常見等量關(guān)系：*調(diào)配后甲處的數(shù)量=調(diào)配后乙處的數(shù)量（或其他倍數(shù)、和差關(guān)系）*調(diào)入量=調(diào)出量（針對總量不變的情況）典型例題與解析：例5：某班有學(xué)生45人，會下象棋的人數(shù)是會下圍棋人數(shù)的3倍，兩種棋都會下的有5人，兩種棋都不會下的有5人。求只會下圍棋的人數(shù)。分析：全班人數(shù)=會下象棋人數(shù)+會下圍棋人數(shù)-兩種棋都會下人數(shù)+兩種棋都不會下人數(shù)。設(shè)會下圍棋的人數(shù)為x人，則會下象棋的人數(shù)為3x人。解：設(shè)會下圍棋的人數(shù)為x人，則會下象棋的人數(shù)為3x人。根據(jù)題意，得：x+3x-5+5=454x=45x=11.25咦？人數(shù)出現(xiàn)小數(shù)，顯然不合理。這說明我們的假設(shè)或分析可能存在問題。重新分析：題目問的是“只會下圍棋的人數(shù)”。如果設(shè)“只會下圍棋的人數(shù)”為x人，那么會下圍棋的人數(shù)就是x+5人（因為兩種棋都會下的有5人）。則會下象棋的人數(shù)是3(x+5)人，只會下象棋的人數(shù)是3(x+5)-5人。全班人數(shù)=只會下象棋+只會下圍棋+兩者都會+兩者都不會即：[3(x+5)-5]+x+5+5=45解：設(shè)只會下圍棋的人數(shù)為x人。則會下圍棋的人數(shù)為(x+5)人，會下象棋的人數(shù)為3(x+5)人。根據(jù)題意，得：[3(x+5)-5]+x+5+5=45化簡：3x+15-5+x+5+5=454x+20=454x=25x=6.25還是不對！再次反思：我們應(yīng)該嚴(yán)格按照容斥原理：會下棋的人數(shù)=會下象棋人數(shù)+會下圍棋人數(shù)-兩種都會。全班45人，兩種都不會5人，所以會下棋的有40人。設(shè)會下圍棋的人數(shù)為x人，則會下象棋的人數(shù)為3x人。x+3x-5=404x=45x=11.25。問題出在哪里？題目本身是否有數(shù)據(jù)矛盾？或者我們理解錯了“會下象棋的人數(shù)是會下圍棋人數(shù)的3倍”？這里的“會下”是否包含“兩種都會”？通常理解是包含的。那么此題數(shù)據(jù)確實可能有問題，或者我們假設(shè)“只會下圍棋”為x。設(shè)只會下圍棋的為x人，那么會下圍棋的是x+5。會下象棋的是3(x+5)。只會下象棋的是3(x+5)-5。只會下象棋+只會下圍棋+都會=40[3(x+5)-5]+x+5=403x+15-5+x+5=404x+15=404x=25x=6.25。看來，原題數(shù)據(jù)可能存在瑕疵，或者我們在考場上要靈活處理，可能題目本意是“只會下象棋的人數(shù)是只會下圍棋人數(shù)的3倍”。假設(shè)如此，設(shè)只會下圍棋的為x人，則只會下象棋的為3x人。3x+x+5=404x=35x=8.75。依然不對?？磥硎抢}數(shù)據(jù)選擇不當(dāng)，在此提醒同學(xué)們，解題時若出現(xiàn)不符合實際的解，要檢查方程是否列錯或題目條件是否理解有誤。（注：為保證例題的正確性，我們調(diào)整一下數(shù)據(jù)。）例5（修正版）：某班有學(xué)生46人，會下象棋的人數(shù)是會下圍棋人數(shù)的3倍，兩種棋都會下的有6人，兩種棋都不會下的有4人。求只會下圍棋的人數(shù)。解：設(shè)會下圍棋的人數(shù)為x人，則會下象棋的人數(shù)為3x人。會下棋的人數(shù)為：46-4=42人。根據(jù)容斥原理：x+3x-6=424x=48x=12會下圍棋的有12人，其中兩種都會的有6人，所以只會下圍棋的人數(shù)為：12-6=6人。答：只會下圍棋的人數(shù)是6人。變式訓(xùn)練：甲倉庫有糧食200噸，乙倉庫有糧食70噸。若甲倉庫每天運出15噸，乙倉庫每天運進25噸，幾天后乙倉庫的糧食比甲倉庫多1倍？三、綜合應(yīng)用題解題策略提升1.多題歸一，總結(jié)規(guī)律：雖然應(yīng)用題千變?nèi)f化，但很多題目本質(zhì)上是相通的，掌握了一種類型的解題方法，就能舉一反三。2.數(shù)形結(jié)合，化難為易：對于行程問題等，可以通過畫線段圖、示意圖等方式，將抽象的文字信息轉(zhuǎn)化為直觀的圖形，幫助理解題意，找到等量關(guān)系。3.一題多解，拓展思路：嘗試用不